거듭제곱과 근호: a⁰=1은 약속이 아니라 결론이다

위첨자를 "같은 것을 몇 번 곱했는가"로 읽는 약속은 2번 글에서 이미 받았습니다. 근호 기호도 7번 글에서 대각선 길이를 $\sqrt{2}$ 로 적을 때 썼습니다.

이 글이 세우는 것은 그 표기 위의 법칙과 계산입니다. 표기는 있는데 규칙이 없으면 $a^6 \times a^9$ 처럼 적힌 것을 매번 풀어 세야 합니다.

지수법칙 다섯

$a^n$ 은 $a$ 를 $n$ 번 곱한 것입니다. 이 한 줄에서 법칙 다섯이 전부 나옵니다.

법칙	왜 그런가
$a^m \times a^n = a^{m+n}$	$m$ 개 뒤에 $n$ 개를 이어 놓으면 $m+n$ 개
$a^m \div a^n = a^{m-n}$	아래 $n$ 개가 위의 $n$ 개를 지운다
$(a^m)^n = a^{mn}$	$m$ 개짜리 묶음이 $n$ 개
$(ab)^n = a^n b^n$	순서를 바꿔 $a$ 끼리, $b$ 끼리 모은다
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$	분자끼리, 분모끼리 곱하니까

외울 것이 아니라 막히면 풀어 써 보면 되는 것들입니다. $(a^2)^3$ 이 헷갈리면 $(a \cdot a)(a \cdot a)(a \cdot a)$ 라고 적어 세면 $a^6$ 입니다.

$(3x)^2 = 9x^2$ 처럼 괄호 안 전체가 제곱된다는 것도 여기서 옵니다. 3도 같이 제곱되므로 $3x^2$ 이 아닙니다.

밑이 같아야 묶인다

첫째 법칙은 밑이 같을 때만 쓸 수 있습니다. 흔한 실수 하나가 여기 있습니다.

$2^3 \times 3^2 \;\ne\; 6^5$

값을 세어 보면 바로 갈립니다. 왼쪽은 $8 \times 9 = 72$ 이고 오른쪽은 $7776$ 입니다. 지수를 더할 수 있었던 것은 같은 것을 이어 놓았기 때문 인데, 2를 세 번 곱한 것과 3을 두 번 곱한 것은 이어 놓을 같은 것이 없습니다.

밑이 다른 것을 묶을 수 있는 자리는 따로 있습니다. 지수가 같을 때 입니다.

$2^3 \times 3^3 = (2 \times 3)^3 = 6^3 = 216$

넷째 법칙 $(ab)^n = a^nb^n$ 을 거꾸로 읽은 것입니다. 표의 다섯 줄을 두 줄로 요약하면 이렇게 됩니다.

• 밑이 같으면 지수를 더한다 — $2^3 \times 2^2 = 2^5$
• 지수가 같으면 밑을 곱한다 — $2^3 \times 3^3 = 6^3$

둘 다 아니면 묶을 방법이 없습니다. $2^3 \times 3^2$ 은 그냥 72라고 적는 것이 가장 짧은 꼴입니다.

괄호와 부호

$(-2)^4$ 와 $-2^4$ 는 값이 다릅니다. 부호부터 갈립니다.

$(-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16$

$-2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16$

위첨자는 바로 앞에 붙은 하나 에만 걸립니다. 괄호가 있으면 괄호 안 전체가 그 하나이고, 없으면 숫자 2만 그 하나이므로 마이너스는 밖에 남습니다. 2번 글에서 세운 읽는 순서가 그대로 적용된 자리입니다.

지수가 짝수인지 홀수인지도 함께 봅니다.

식	값	왜
$(-2)^3$	$-8$	음수를 홀수 번 곱하면 음수
$(-2)^4$	$16$	음수를 짝수 번 곱하면 양수
$-2^3$	$-8$	$2^3$ 에 마이너스
$-2^4$	$-16$	$2^4$ 에 마이너스

$(-2)^3$ 과 $-2^3$ 은 우연히 값이 같습니다. 지수가 홀수라 부호가 어차피 음수이기 때문인데, 우연히 같은 것을 늘 같은 것으로 읽으면 짝수 지수에서 틀립니다.

지수의 지수

위첨자 위에 위첨자가 또 붙으면 어느 쪽을 먼저 계산할지 정해 두어야 합니다. 규약은 위에서부터 입니다.

$2^{3^2} = 2^9 = 512$

$3^2$ 을 먼저 계산해 9를 얻고, 그 9로 2를 거듭제곱합니다. 아래에서부터 계산하려면 괄호를 적어야 합니다.

$(2^3)^2 = 8^2 = 64$

512와 64는 여덟 배 차이입니다. 이 규약이 세워진 이유는 아래에서부터 읽는 쪽이 이미 셋째 법칙으로 적히기 때문입니다 — $(a^m)^n$ 은 $a^{mn}$ 이라 위첨자 하나로 정리되므로 위첨자를 두 층으로 쌓을 필요가 없습니다. 두 층으로 쌓아 적을 이유가 있는 것은 위에서부터 읽는 쪽뿐입니다.

a⁰과 음수 지수

$a^0$ 을 "0번 곱한 것"이라고 읽으면 뜻이 안 통합니다. 그런데 값은 정해져 있습니다.

같은 식을 두 방향으로 계산해 보면 나옵니다.

$a^3 \div a^3$ 을 약분해서 세면 위아래가 통째로 지워지므로 $1$ 입니다. 지수법칙으로 계산하면 $a^{3-3} = a^0$ 입니다. 같은 식을 계산한 것이니 두 값은 같아야 합니다.

$a^0 = 1$

한 번 더 갑니다. $a^3 \div a^5$ 을 약분해서 세면 아래에 $a$ 가 둘 남아 $\dfrac{1}{a^2}$ 입니다. 지수법칙으로는 $a^{3-5} = a^{-2}$ 입니다.

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

약속이라서 그런 것이 아닙니다. 지수법칙이 계속 성립하기를 바란다면 이 값들 말고 다른 것을 줄 방법이 없습니다.

10번 글에서 $(-3) \times (-4) = 12$ 를 얻을 때 쓴 논법과 정확히 같습니다. 앞에서 성립하던 것이 계속 성립하려면 값이 하나로 정해진다 — 이 트랙에서 두 번째로 쓰는 자리입니다.

$0^0$ 만 예외입니다. 위 논법이 $a$ 로 나누는 것을 쓰는데 0으로는 나눌 수 없기 때문입니다.

다르게 두면 무엇이 깨지는가

$a^0$ 을 1이 아니라 0으로 두면 안 되는지 확인해 둡니다. 규칙 하나를 바꾸면 어디가 어긋나는지 직접 보는 것이 가장 확실합니다.

첫째 법칙에 $m=3$, $n=0$ 을 넣습니다.

$a^3 \times a^0 = a^{3+0} = a^3$

$a^0$ 이 0이라면 왼쪽은 $a^3 \times 0 = 0$ 이라 $a^3$ 과 같아질 수 없습니다. 어떤 수에 곱해도 그 수가 그대로 남는 수는 1뿐 이므로 $a^0$ 은 1일 수밖에 없습니다.

같은 방식으로 음수 지수도 확인합니다. $a^2 \times a^{-2} = a^0 = 1$ 이어야 하니 $a^{-2}$ 은 $a^2$ 에 곱해서 1이 되는 수, 곧 $\dfrac{1}{a^2}$ 입니다.

분수의 음수 지수

분수에 음수 지수가 붙으면 분자와 분모가 통째로 뒤집힙니다.

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}} = \frac{1}{\dfrac{a^n}{b^n}} = \frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$

세 걸음뿐입니다. 음수 지수를 분모로 내리고, 다섯째 법칙으로 분자와 분모를 각각 거듭제곱하고, 번분수를 정리합니다.

$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$

$\left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5$

지수 $-1$ 은 뒤집으라는 말 로 읽으면 편합니다. $2^{-1}$ 은 $\dfrac12$ 이고 $\left(\dfrac25\right)^{-1}$ 은 $\dfrac52$ 입니다.

음수 지수를 분모로 옮기기

식 안에 음수 지수가 섞여 있으면 전부 양수 지수로 바꿔 적는 것이 보기 좋습니다. 규칙은 위에 있는 음수 지수는 아래로, 아래에 있는 음수 지수는 위로 입니다.

$3x^{-2}y = \frac{3y}{x^2}$

여기서 3이 함께 내려가지 않는 것에 주의합니다. 지수 $-2$ 는 $x$ 에만 붙어 있으므로 $x$ 만 내려갑니다. 앞 절의 괄호 이야기와 같은 자리입니다.

$(3x)^{-2} = \frac{1}{(3x)^2} = \frac{1}{9x^2}$

괄호가 있으면 3도 함께 갑니다. 두 식은 $\dfrac{3y}{x^2}$ 과 $\dfrac{1}{9x^2}$ 로 전혀 다른 식입니다.

아래에 있는 것도 해 봅니다.

$\frac{1}{a^{-3}} = a^3, \qquad \frac{2}{5x^{-1}} = \frac{2x}{5}$

제곱근과 절댓값

$\sqrt{a}$ 는 제곱해서 $a$ 가 되는 음이 아닌 수입니다. $\sqrt{9} = 3$ 입니다.

$-3$ 도 제곱하면 9이지만 $\sqrt{9}$ 는 아닙니다. 기호 하나가 값 하나를 가리키게 하려고 음이 아닌 쪽만 고른 것입니다. 두 쪽을 다 말하려면 $\pm\sqrt{9}$ 라고 적습니다.

여기서 한 자리를 짚어 둡니다.

$\sqrt{x^2} = |x|$

$x$ 가 음수일 때가 문제입니다. $x = -4$ 를 넣어 보면 $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4$ 입니다. $x$ 인 $-4$ 가 아니라 그 절댓값인 4가 나옵니다. 근호가 음이 아닌 쪽만 내놓기로 했으니 부호가 지워지는 것입니다. 절댓값 표기는 10번 글의 것을 그대로 씁니다.

7번 글에서 한 변이 1인 정사각형의 대각선으로 만들어 냈던 $\sqrt{2}$ 가 이제 계산 대상이 됩니다.

곱과 몫은 되고 덧셈은 안 된다

근호는 곱셈과 나눗셈에서는 안팎을 자유롭게 오갑니다.

$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}, \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

$\sqrt{9 \times 16} = \sqrt{144} = 12$ 이고 $\sqrt9 \times \sqrt{16} = 3 \times 4 = 12$ 로 같습니다.

덧셈에서는 그렇지 않습니다. 같은 수로 해 봅니다.

$\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5, \qquad \sqrt9 + \sqrt{16} = 3+4 = 7$

5와 7입니다. 이것이 근호에서 가장 자주 저지르는 실수이고, 7번 글의 그림으로 되돌아가면 왜 그런지가 눈에 보입니다.

다리가 3과 4인 직각삼각형에서 빗변은 $\sqrt{9+16}=5$ 입니다. 두 다리를 일자로 이어 붙이면 7입니다. 빗변으로 질러가는 길과 두 다리를 돌아가는 길의 차이 가 곧 5와 7의 차이입니다. 근호를 각각 씌워 더한 값은 돌아가는 길을 잰 것이라 원래 구하려던 길이가 아닙니다.

음수의 제곱근

$\sqrt{-4}$ 는 어떻게 될까요. 실수 중에는 없습니다.

어떤 실수든 제곱하면 0 이상입니다. 양수를 제곱하면 양수이고 음수를 제곱해도 양수이며 0은 0입니다. 그러니 제곱해서 $-4$ 가 되는 실수는 없습니다.

여기가 10번 글에서 그은 수직선의 경계입니다. 수직선 위의 어느 자리에도 답이 없으므로, 답을 가지려면 수의 범위를 한 번 더 넓혀야 합니다. 그 일은 26번 글의 몫입니다.

이 글에서는 근호 안이 0 이상일 때만 다룹니다. 그래서 $\sqrt{x-3}$ 같은 식을 만나면 $x \ge 3$ 이라는 조건이 함께 따라붙습니다.

근호를 다루는 손계산

근호가 든 식은 그대로 두면 크기를 가늠하기 어렵습니다. 정리하는 손놀림 셋을 익혀 둡니다.

근호 밖으로 빼기

$\sqrt{75}$ 를 더 간단히 적을 수 있습니다. 5번 글의 소인수분해를 씁니다.

$75 = 3 \times 5^2 \;\Rightarrow\; \sqrt{75} = \sqrt{5^2 \times 3} = 5\sqrt{3}$

제곱으로 묶이는 것만 근호 밖으로 나옵니다. 소인수분해해서 짝이 맞는 것을 찾으면 됩니다.

근호끼리 곱할 때도 같은 손놀림으로 마무리합니다.

$\sqrt{6} \times \sqrt{10} = \sqrt{60} = \sqrt{2^2 \times 15} = 2\sqrt{15}$

먼저 안으로 합쳐 60을 만들고, 소인수분해해서 제곱인 4를 찾아 2를 빼냅니다. 합치고 나서 빼내는 순서 를 지키면 됩니다.

같은 근호끼리는 더할 수 있습니다. $2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ 입니다. $\sqrt{3}$ 을 하나의 덩어리로 보면 사과 2개에 4개를 더하는 것과 같습니다. $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ 은 더 이상 줄지 않습니다. 덩어리가 다르기 때문입니다.

분모의 유리화

$\dfrac{3}{\sqrt{6}}$ 처럼 분모에 근호가 있으면 값을 어림하기 어렵습니다. 11번 글에서 약분과 통분에 썼던 성질 — 분자와 분모에 같은 것을 곱해도 값이 안 변한다 — 을 그대로 씁니다.

$\frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\sqrt{6} \times \sqrt{6} = 6$ 이라 분모의 근호가 사라집니다. 이렇게 분모에서 근호를 없애는 조작을 유리화라고 합니다.

분모가 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ 처럼 두 항이면 같은 것을 곱해도 근호가 안 없어집니다. 이때는 부호만 바꾼 짝을 곱합니다. 이 짝을 켤레라고 합니다.

$\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

분모가 $5 - 3$ 이 되는 이유는 15번 글에서 공식으로 다시 만납니다. 여기서는 곱해 보면 가운데 항이 서로 지워진다는 것으로 충분합니다.

어림하기와 대소 비교

유리화를 왜 하는지는 두 꼴을 나란히 놓고 어림해 보면 알 수 있습니다. $\sqrt6 \approx 2.449$ 를 씁니다.

꼴	어림하는 법	값
$\dfrac{3}{\sqrt6}$	3을 2.449로 나눈다	약 1.225
$\dfrac{\sqrt6}{2}$	2.449를 2로 나눈다	약 1.225

같은 값인데 뒤쪽이 손으로 훨씬 쉽습니다. 근호가 든 수로 나누는 것보다 정수로 나누는 편이 간단하기 때문입니다. 계산기가 없던 시절에 유리화가 굳은 관습이 된 이유가 이것입니다.

근호가 든 두 수의 대소는 제곱해서 견줍니다. $2\sqrt3$ 과 $3\sqrt2$ 중 어느 쪽이 클까요.

$(2\sqrt3)^2 = 4 \times 3 = 12, \qquad (3\sqrt2)^2 = 9 \times 2 = 18$

18이 크므로 $3\sqrt2$ 가 큽니다. 둘 다 음이 아닌 수라 제곱해도 대소가 뒤집히지 않습니다. 근호를 어림해서 견주면 자릿수가 아슬아슬할 때 틀리지만, 제곱해서 견주면 정수끼리의 비교라 틀릴 일이 없습니다.

n제곱근과 유리수 지수

세제곱해서 8이 되는 수를 $\sqrt[3]{8}$ 이라고 적고, 그 값은 2입니다. 일반적으로 $\sqrt[n]{a}$ 입니다.

그런데 이것을 위첨자로도 적습니다.

$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$

이것도 지수법칙이 강제하는 정의입니다. $a^{1/2}$ 을 두 번 곱하면 지수법칙에 따라 $a^{1/2 + 1/2} = a^1 = a$ 입니다. 두 번 곱해서 $a$ 가 되는 수는 $\sqrt{a}$ 이므로 둘이 같아야 합니다.

분자가 1이 아닐 때도 같은 법칙으로 읽습니다.

$a^{m/n} = \left(a^{1/n}\right)^m = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$

$8^{2/3}$ 을 계산해 봅니다. 먼저 세제곱근을 취해 2를 얻고 제곱해서 $4$ 입니다. 순서를 바꿔 $8^2 = 64$ 의 세제곱근을 구해도 4입니다. 어느 쪽을 먼저 해도 같고, 대개 근호를 먼저 취하는 쪽이 수가 작아 편합니다.

홀수 제곱근은 음수도 받는다

$n$ 이 홀수인지 짝수인지에 따라 받아들이는 수가 달라집니다.

$\sqrt[3]{-8} = -2$

$-2$ 를 세 번 곱하면 $-8$ 이 맞습니다. 음수를 홀수 번 곱하면 음수이므로, 세제곱해서 음수가 되는 실수가 실제로 있습니다.

$\sqrt{-4}$ 는 앞에서 본 대로 없습니다. 짝수 번 곱하면 반드시 0 이상이 되기 때문입니다.

$n$	근호 안	값	예
짝수	0 이상만	음이 아닌 값 하나	$\sqrt{16}=4$
짝수	음수	실수에 없음	$\sqrt{-4}$
홀수	아무 실수나	부호까지 그대로	$\sqrt[3]{-27}=-3$

짝수 쪽에만 조건이 붙는 것이 핵심입니다. $\sqrt[4]{-16}$ 도 없고 $\sqrt[5]{-32} = -2$ 는 있습니다.

유리수 지수 한 표

음수 지수와 분수 지수가 만나면 $a^{-m/n}$ 이 됩니다. 새 규칙은 없습니다 — 앞에서 세운 둘을 이어 쓰면 됩니다.

$a^{-m/n} = \frac{1}{a^{m/n}} = \frac{1}{\left(\sqrt[n]{a}\right)^m}$

$a=8$ 로 한 줄씩 확인해 봅니다.

식	읽는 법	값
$8^{1}$	그대로	$8$
$8^{1/3}$	세제곱근	$2$
$8^{2/3}$	세제곱근을 제곱	$4$
$8^{0}$	어떤 수든 1	$1$
$8^{-1/3}$	세제곱근을 뒤집기	$\dfrac12$
$8^{-2/3}$	세제곱근의 제곱을 뒤집기	$\dfrac14$

위에서 아래로 읽으면 지수가 $1, \frac13, \frac23, 0, -\frac13, -\frac23$ 으로 오르내리는데 값이 그에 맞춰 움직입니다. 지수 하나가 커지면 값이 커지고 작아지면 값이 작아진다 는 흐름이 정수 지수에서 분수 지수로 그대로 이어집니다.

지수를 어디까지 넓히나

여기까지 지수 자리에 들어간 것은 정수와 분수, 곧 유리수였습니다. $2^{\sqrt2}$ 처럼 무리수 를 넣으면 어떻게 될까요.

$\sqrt2$ 를 분수로 적을 수 없으니 "몇 번 곱한다"로도 "몇 제곱근"으로도 읽히지 않습니다. 그런데 값은 있습니다. $\sqrt2 \approx 1.41421$ 이므로 $2^{1.4}$, $2^{1.41}$, $2^{1.414}$ 를 차례로 계산하면 어떤 값에 다가갑니다.

이 "다가간다"를 제대로 다루는 도구가 아직 없습니다. 지수를 무리수까지 넓히는 일과 그 역을 세우는 일은 21번 글과 22번 글의 몫입니다. 여기서는 유리수 지수까지가 이 글의 범위 라고 선을 그어 둡니다.

크기 감각과 과학적 표기

지수는 조금만 커져도 값이 감당하기 어려워집니다. 어림 하나를 손에 쥐고 있으면 됩니다.

$2^{10} = 1024 \approx 10^3$

이 어림 덕분에 $2^{20} \approx 10^6$, $2^{30} \approx 10^9$ 이라고 바로 말할 수 있습니다. 10 올라갈 때마다 0이 세 개씩 붙습니다.

2의 거듭제곱 세기

지수가 10의 배수가 아니어도 됩니다. 10으로 나눈 몫과 나머지로 쪼개면 됩니다.

$2^{32} = 2^{30} \times 2^{2} \approx 10^9 \times 4 = 4{,}000{,}000{,}000$

말로 하면 이렇습니다. 32를 $30+2$ 로 쪼개고, 30은 $10^9$ 으로 바꾸고, 남은 $2^2=4$ 를 곱합니다. 약 40억입니다. 실제 값은 4,294,967,296이라 어림이 7% 정도 작습니다.

$2^{16}$ 이라면 $10+6$ 으로 쪼개 $10^3 \times 64 = 64{,}000$ 이고 실제로는 65,536입니다. 자릿수를 맞히는 데는 이 어림이면 충분 하고, 정확한 값이 필요하면 그때 계산합니다.

어림이 늘 조금 작게 나오는 이유도 분명합니다. 1024를 1000으로 낮춰 잡았기 때문에 열 번마다 2.4%씩 빠집니다.

과학적 표기

큰 수와 작은 수를 적을 때는 10의 거듭제곱을 떼어 냅니다.

$384{,}000{,}000 = 3.84 \times 10^8, \qquad 0.000042 = 4.2 \times 10^{-5}$

이것을 과학적 표기라고 합니다. 규칙은 하나입니다 — 앞의 수를 1 이상 10 미만으로 맞추고 나머지를 10의 거듭제곱으로 뺍니다. 소수점을 왼쪽으로 옮긴 칸수가 양의 지수, 오른쪽으로 옮긴 칸수가 음의 지수입니다.

계산기 화면에는 위첨자를 올릴 수 없어 같은 것을 한 줄로 적습니다. $1.5 \times 10^{-8}$ 을 1.5E-8 이나 1.5e-8 로 적는 표기가 그것입니다. E 뒤의 수가 곧 10의 지수 이므로 읽는 법은 다르지 않습니다.

이 표기의 이점은 곱셈과 나눗셈이 지수법칙으로 내려온다는 것입니다.

$(3 \times 10^8) \times (2 \times 10^{-5}) = 6 \times 10^{3}$

앞의 수끼리 곱하고 10의 지수끼리 더합니다. 0을 세어 가며 자리를 맞출 필요가 없습니다.

접두어로 자리 세기

10의 거듭제곱 중에서 세 칸씩 끊은 자리에는 이름이 붙어 있습니다.

접두어	10의 거듭제곱	읽기
킬로	$10^3$	천
메가	$10^6$	백만
기가	$10^9$	십억
테라	$10^{12}$	조
페타	$10^{15}$	천조
밀리	$10^{-3}$	천분의 일
마이크로	$10^{-6}$	백만분의 일
나노	$10^{-9}$	십억분의 일

세 칸마다 이름이 바뀌므로 접두어가 한 칸 올라가면 1000배 입니다. 3기가는 $3 \times 10^9$ 이고 이것은 $2^{10} \approx 10^3$ 을 세 번 쓴 $2^{30}$ 과 거의 같습니다. 그래서 2의 거듭제곱으로 세는 자리와 10의 거듭제곱으로 세는 자리가 대략 맞아떨어집니다.

그리고 밑이 1보다 큰가 작은가에 따라 운명이 갈립니다. 2를 서른 번 곱하면 10억이 넘고, 0.5를 서른 번 곱하면 10억분의 1 근처로 사라집니다. 곱하는 횟수는 같은데 방향이 정반대입니다.

유효숫자와 반올림, 오차가 계산을 거치며 어떻게 커지는지는 47번 글의 몫입니다.

연습 문제

연습 1 — 지수법칙 스무 문제

각 식을 위첨자 하나로 정리하거나 값을 구하세요.

1. $a^3 \times a^4$

   $a^7$
2. $x^5 \div x^2$

   $x^3$
3. $(y^2)^4$

   $y^8$
4. $(2b)^3$

   $8b^3$ — 2도 세제곱됩니다.
5. $\left(\frac{x}{3}\right)^2$

   $\dfrac{x^2}{9}$
6. $5^0$

   $1$
7. $(-7)^0$

   $1$ — 밑이 0만 아니면 됩니다.
8. $3^{-2}$

   $\dfrac{1}{9}$
9. $\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}$

   $\dfrac{5}{2}$ — 지수 $-1$ 은 뒤집으라는 뜻입니다.
10. $2^3 \times 2^{-5}$

    $2^{-2} = \dfrac{1}{4}$
11. $\frac{m^4}{m^9}$

    $m^{-5} = \dfrac{1}{m^5}$
12. $(x^2 y^3)^2$

    $x^4 y^6$
13. $\frac{(a^3)^2}{a^4}$

    위가 $a^6$ 이므로 $a^2$
14. $\sqrt[3]{125}$

    $5$
15. $16^{1/2}$

    $4$
16. $27^{2/3}$

    세제곱근이 3이고 제곱하면 $9$
17. $4^{-1/2}$

    $\dfrac{1}{4^{1/2}} = \dfrac{1}{2}$
18. $9^{3/2}$

    제곱근이 3이고 세제곱하면 $27$
19. $2^{40}$ 은 10의 거듭제곱으로 대략 얼마입니까.

    $2^{10} \approx 10^3$ 이 네 번이므로 약 $10^{12}$ 입니다.
20. $0.0000037$ 을 과학적 표기로 적으세요.

    $3.7 \times 10^{-6}$ — 소수점을 오른쪽으로 6칸 옮겼습니다.

연습 2 — 괄호와 부호 여섯 문제

1. $(-3)^2$

   $9$ — 괄호 안 전체를 제곱하므로 음수를 짝수 번 곱해 양수입니다.
2. $-3^2$

   $-9$ — 위첨자가 3에만 붙고 마이너스는 밖에 남습니다.
3. $(-3)^3$

   $-27$
4. $(-1)^{100}$

   $1$ — 지수가 짝수입니다.
5. $2^{2^3}$

   위에서부터 읽어 $2^8 = 256$
6. $(3^2)^3$

   $9^3 = 729$ 이고 지수법칙으로는 $3^6$ 입니다.

연습 3 — 음수 지수 정리 다섯 문제

각 식을 양수 지수만 쓰는 꼴로 고쳐 적으세요.

1. $5x^{-3}$

   $\dfrac{5}{x^3}$ — 5는 지수가 안 붙어 있으므로 위에 남습니다.
2. $(5x)^{-3}$

   $\dfrac{1}{125x^3}$
3. $\dfrac{4}{y^{-2}}$

   $4y^2$
4. $\left(\dfrac{3}{7}\right)^{-2}$

   $\left(\dfrac73\right)^2 = \dfrac{49}{9}$
5. $\dfrac{a^{-2}b^3}{c^{-1}}$

   $\dfrac{b^3 c}{a^2}$

연습 4 — 근호 열두 문제

1. $\sqrt{50}$

   $50 = 5^2 \times 2$ 이므로 $5\sqrt{2}$
2. $\sqrt{72}$

   $72 = 6^2 \times 2$ 이므로 $6\sqrt{2}$
3. $\sqrt{18} + \sqrt{8}$

   $3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
4. $\sqrt{3} \times \sqrt{12}$

   $\sqrt{36} = 6$
5. $\frac{6}{\sqrt{3}}$

   $\dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$
6. $\frac{1}{\sqrt{5}}$

   $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
7. $\frac{4}{2 - \sqrt{2}}$

   켤레 $2 + \sqrt{2}$ 를 곱하면 분모가 $4 - 2 = 2$ 이므로 $4 + 2\sqrt{2}$
8. $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$

   켤레 $\sqrt{7} - \sqrt{5}$ 를 곱하면 분모가 $7 - 5 = 2$ 이므로 $\dfrac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$
9. $\sqrt{(-6)^2}$

   $\sqrt{36} = 6$ — 부호가 지워집니다.
10. $x = -3$ 일 때 $\sqrt{x^2}$

    $3$ 입니다. $-3$ 이 아닙니다.
11. $\sqrt{14} \times \sqrt{35}$

    안으로 합치면 $\sqrt{490}$ 이고 $490 = 7^2 \times 10$ 이므로 $7\sqrt{10}$
12. $\sqrt{36+64}$ 와 $\sqrt{36} + \sqrt{64}$ 를 각각 구하고 견주세요.

    앞은 $\sqrt{100}=10$ 이고 뒤는 $6+8=14$ 입니다. 근호 안의 덧셈은 밖으로 나오지 않습니다.

9번과 10번을 $-6$ 과 $-3$ 이라고 적었다면 $\sqrt{x^2} = |x|$ 를 한 번 더 보세요. 여기서 흔들리면 뒤에서 근호가 든 식을 정리할 때마다 부호가 어긋납니다.

연습 5 — 대소 비교 네 문제

각 짝에서 큰 쪽을 고르세요. 제곱해서 견주면 정수끼리의 비교가 됩니다.

1. $3\sqrt5$ 와 $5\sqrt2$

   제곱하면 45와 50이므로 $5\sqrt2$ 가 큽니다.
2. $2\sqrt7$ 과 $4\sqrt2$

   제곱하면 28과 32이므로 $4\sqrt2$ 가 큽니다.
3. $\sqrt{10}$ 과 $3$

   제곱하면 10과 9이므로 $\sqrt{10}$ 이 큽니다.
4. $\dfrac{4}{\sqrt3}$ 과 $\sqrt5$

   앞을 유리화하면 $\dfrac{4\sqrt3}{3}$ 이고, 제곱하면 $\dfrac{16}{3} \approx 5.33$ 과 5이므로 앞이 큽니다.

정리

• 지수법칙 다섯은 외울 것이 아니라 막히면 풀어 써서 세면 되는 것입니다. 묶을 수 있는 자리는 둘뿐입니다 — 밑이 같으면 지수를 더하고, 지수가 같으면 밑을 곱합니다.
• 위첨자는 바로 앞에 붙은 하나에만 걸립니다. $(-2)^4$ 는 16이고 $-2^4$ 는 $-16$ 입니다.
• $a^0 = 1$ 과 $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 은 약속이 아니라, 같은 식을 두 방향으로 계산했을 때 지수법칙이 계속 성립하도록 강제된 값입니다.
• $\sqrt{a}$ 는 제곱해서 $a$ 가 되는 음이 아닌 수이고, 그래서 $\sqrt{x^2} = |x|$ 입니다.
• 근호는 곱셈과 나눗셈에서만 안팎을 오갑니다. $\sqrt{9+16}$ 은 5이고 $\sqrt9+\sqrt{16}$ 은 7로 다릅니다.
• 근호는 소인수분해로 제곱을 찾아 밖으로 빼고, 분모에 있으면 같은 것이나 켤레를 곱해 없앱니다. 두 수의 대소는 제곱해서 견줍니다.
• $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ 도 지수법칙이 강제한 정의입니다. $n$ 이 홀수면 근호 안에 음수가 와도 됩니다.
• $2^{10} \approx 10^3$ 하나면 큰 수의 자릿수를 어림할 수 있습니다. 세 칸마다 붙는 접두어도 같은 눈금입니다.

여기까지가 수와 표기의 이야기입니다. 다음 글부터는 수 자리에 문자가 들어옵니다. 문자 하나가 무엇을 대신하는지 가르고, 그 자리에 값을 넣어 계산하는 훈련을 합니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊