피타고라스 정리: 정사각형 하나를 두 가지로 채워 증명하기

지난 글에서 넓이를 '단위 정사각형을 몇 개 깔 수 있는가'로 정하고, 도형을 잘라 붙여 직사각형으로 되돌렸습니다. 그 넓이 하나만 있으면 증명할 수 있는 것이 하나 있습니다.

이 트랙에서는 결과만 받아 두고 넘어가는 것이 많습니다. 구의 부피가 그랬고, 소인수분해가 한 가지뿐이라는 사실도 그랬습니다. 그런데 이번 것은 다릅니다. 끝까지 증명합니다. 필요한 재료가 지난 글에서 이미 다 나왔기 때문입니다.

세 변에 이름 붙이기

한 각이 직각인 삼각형을 직각삼각형이라 부릅니다.

빗변

직각삼각형에서 직각과 마주 보는 변이 가장 깁니다. 그 변을 빗변이라 부르고 $c$ 라 적습니다. 나머지 두 변은 $a$, $b$ 라 적습니다. 어느 쪽을 $a$ 라 부르든 상관없습니다.

가장 길다는 것은 확인하고 넘어갑니다. 삼각형의 세 각을 더하면 180도인데 하나가 이미 90도를 가져갔으므로, 나머지 두 각을 더한 것도 90도입니다. 둘 다 90도보다 작은 각, 곧 예각일 수밖에 없습니다.

그리고 삼각형에서는 큰 각과 마주 보는 변이 더 깁니다. 직각이 세 각 중 가장 크니 그 맞은편 변이 가장 깁니다. 이 한 줄 때문에 아래에서 $c$ 를 늘 빗변으로 두고 계산할 수 있습니다 — 세 변 중 가장 큰 것을 찾으면 그것이 $c$ 입니다.

삼각형 부등식

세 변이 아무 값이나 될 수는 없습니다. 짧은 막대 둘을 양 끝에 세워 위에서 만나게 하려면 두 막대의 길이를 더한 것이 바닥보다 길어야 합니다. 짧으면 공중에서 만나지 못해 삼각형이 안 만들어집니다.

$a + b > c$

이것을 삼각형 부등식이라고 합니다. 그런데 직각삼각형에서는 이 조건을 따로 확인할 필요가 없습니다. 아래에서 증명할 $a^2+b^2=c^2$ 이 이 조건을 저절로 만족시키기 때문입니다.

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$

$a$ 와 $b$ 가 양수이므로 $2ab$ 도 양수입니다. 그러니 $(a+b)^2$ 이 $c^2$ 보다 크고, 둘 다 양수이니 $a+b$ 가 $c$ 보다 큽니다. 나머지 두 부등식은 볼 것도 없습니다 — $c$ 가 가장 긴 변이라 $a+c$ 는 이미 $b$ 보다 크고 $b+c$ 도 $a$ 보다 큽니다.

넓이로 적힌 주장

이제 주장을 적습니다.

$a^2 + b^2 = c^2$

$a^2$ 은 한 변이 $a$ 인 정사각형의 넓이입니다. 그러니까 이 식은 길이에 대한 주장이 아니라 넓이에 대한 주장입니다. 두 짧은 변으로 만든 정사각형 두 개의 넓이를 합치면, 빗변으로 만든 정사각형 하나의 넓이와 같다는 것입니다.

넓이에 대한 주장이니 넓이로 증명하면 됩니다.

두 가지로 채우는 정사각형

한 변의 길이가 $a + b$ 인 정사각형을 두 개 준비합니다. 크기가 똑같은 두 장입니다.

그리고 주어진 직각삼각형과 똑같은 삼각형 여덟 개를 준비합니다. 한 장에 넷씩 넣을 것입니다.

바깥으로 민 배치

왼쪽 정사각형에서는 삼각형 넷을 직사각형 두 개 모양으로 몰아넣습니다. 그림처럼 두 개씩 붙이면 가로 $b$, 세로 $a$ 인 직사각형이 되고, 그런 직사각형이 위쪽 오른편과 아래쪽 왼편에 하나씩 들어갑니다.

남는 자리는 둘입니다.

• 왼쪽 위에 한 변이 $a$ 인 정사각형 — 넓이 $a^2$
• 오른쪽 아래에 한 변이 $b$ 인 정사각형 — 넓이 $b^2$

남은 넓이는 $a^2 + b^2$ 입니다.

모서리에 돌린 배치

오른쪽 정사각형에서는 삼각형 넷을 네 모서리에 하나씩 돌려 놓습니다. 각 변 위에서 짧은 변 $a$ 와 긴 변 $b$ 가 이어져 정확히 $a + b$ 를 채웁니다.

남는 자리는 가운데 기울어진 사각형 하나뿐입니다. 이것이 정사각형인지 확인해 둡니다.

네 변의 길이는 전부 $c$ 입니다. 삼각형의 빗변이기 때문입니다.

네 각도 전부 직각입니다. 삼각형 세 각을 더하면 180도인데 하나가 직각이므로, 나머지 두 각을 더하면 90도입니다. 큰 정사각형의 한 변 위를 보면 그 두 각과 안쪽 사각형의 각 하나가 나란히 놓여 180도를 이룹니다. 두 각이 90도를 차지했으니 남은 각은 90도입니다.

네 변이 같고 네 각이 직각이니 정사각형이고, 남은 넓이는 $c^2$ 입니다.

큰 정사각형 두 장은 크기가 같습니다. 넣은 삼각형도 양쪽 다 넷으로 똑같습니다. 그러면 남은 넓이도 같을 수밖에 없습니다.

$a^2 + b^2 = c^2$

증명이 끝났습니다. 문자식을 전개하지도 않았고, 새로 외운 공식도 쓰지 않았습니다. 쓴 것은 지난 글의 정사각형 넓이 하나뿐입니다.

안쪽으로 접은 배치

같은 삼각형 넷으로 정사각형을 채우는 방법이 하나 더 있습니다. 이번에는 큰 정사각형을 $a+b$ 가 아니라 한 변이 $c$ 인 것으로 잡고, 삼각형 넷을 그 안쪽으로 접어 넣습니다.

네 변 각각에 삼각형 하나씩을 빗변이 그 변에 딱 맞게 놓습니다. 그러면 가운데에 구멍이 하나 남는데, 이것도 정사각형입니다. 한 변의 길이는 $b - a$ 입니다 — 정사각형의 한 변 $c$ 위에 한 삼각형의 긴 변 $b$ 가 놓이고 이웃 삼각형의 짧은 변 $a$ 가 그 위로 겹쳐 들어오므로, 남는 폭이 그 차입니다.

이제 넓이를 두 가지로 셉니다. 큰 정사각형의 넓이는 $c^2$ 이고, 그것은 삼각형 넷과 가운데 정사각형을 더한 것입니다. 직각삼각형 하나의 넓이는 두 변을 곱해 반으로 나눈 $\dfrac{ab}{2}$ 입니다.

$c^2 = 4\cdot\frac{ab}{2} + (b-a)^2 = 2ab + b^2 - 2ab + a^2 = a^2 + b^2$

가운데 항의 $2ab$ 가 서로 지워지면서 곧바로 결론이 나옵니다.

같은 뺄셈

배치가 셋인데 증명은 사실 하나입니다. 셋 다 「큰 정사각형에서 삼각형 넷을 뺀다」는 같은 뺄셈이고, 다른 것은 무엇이 남느냐뿐입니다.

배치	큰 정사각형	삼각형 넷을 빼면
바깥으로 민 것	$(a+b)^2$	$a^2 + b^2$
모서리에 돌린 것	$(a+b)^2$	$c^2$
안쪽으로 접은 것	$c^2$	$(b-a)^2$

위의 두 줄은 뺀 나머지가 같아야 한다는 논법이고, 셋째 줄은 그것을 한 장으로 줄인 것입니다. 어느 쪽을 외우든 상관없지만 셋째가 가장 짧습니다.

그림을 덮고 기억에서 복원해 보면 거의 언제나 같은 두 문장이 빠집니다. 모서리에 돌린 배치에서 가운데 사각형이 왜 정사각형인지를 말하는 두 문장입니다 — 하나는 네 변이 전부 $c$ 라는 것이고, 다른 하나는 세 각이 180도를 이루므로 남은 각이 90도라는 것입니다. 그 둘이 없으면 「가운데에 뭔가 남는다」까지만 말한 셈이라 넓이를 $c^2$ 이라고 적을 근거가 없습니다.

정리의 역과 3·4·5

역

이 정리는 반대 방향으로도 씁니다.

세 변이 $a^2 + b^2 = c^2$ 를 만족하면, 그 삼각형은 직각삼각형입니다.

이쪽은 증명하지 않고 결과로 받아 둡니다. 쓸모는 분명합니다. 자를 대고 각도를 재지 않아도 길이 셋만 재면 직각인지 알 수 있습니다.

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$

3·4·5와 5·12·13은 앞으로 계속 나오니 외워 두면 편합니다. 목수가 직각을 낼 때 실제로 쓰는 방법이 이것입니다. 한쪽으로 3자, 다른 쪽으로 4자를 재고 두 끝 사이가 5자가 되게 맞추면 그 모서리는 직각입니다.

예각과 둔각의 판정

등호가 안 맞을 때도 버릴 것이 없습니다. 어느 쪽으로 어긋났는지가 삼각형의 모양을 알려 줍니다. 가장 긴 변을 $c$ 로 두고 세 경우를 가릅니다.

세 변의 관계	가장 큰 각	삼각형의 이름
$a^2+b^2 > c^2$	90도보다 작다	예각삼각형
$a^2+b^2 = c^2$	정확히 90도	직각삼각형
$a^2+b^2 < c^2$	90도보다 크다	둔각삼각형

외울 것이 아니라 읽으면 됩니다. $c$ 를 그대로 두고 두 짧은 변 사이의 각을 벌리면 $c$ 가 길어지고, 오므리면 짧아집니다. 그러니 $c$ 가 직각일 때보다 길면 각이 더 벌어진 것이고, 짧으면 오므라든 것입니다.

세 변이 4, 5, 6이면 $16+25=41$ 이고 $6^2=36$ 이라 앞쪽이 크니 예각삼각형입니다. 4, 5, 7이면 $41 < 49$ 라 둔각삼각형입니다. 한 변만 바꿨는데 모양이 갈립니다.

정수 세 쌍 만들기

3·4·5와 5·12·13처럼 세 변이 전부 자연수인 짝은 얼마든지 만들 수 있습니다. $m > n > 0$ 인 자연수 둘을 고르고 이렇게 적으면 됩니다.

$a = m^2 - n^2, \qquad b = 2mn, \qquad c = m^2 + n^2$

왜 되는지는 곧바로 계산됩니다. $a^2 + b^2 = (m^2-n^2)^2 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2+n^2)^2$ 입니다. 가운데에서 $-2m^2n^2$ 과 $+4m^2n^2$ 이 더해져 $+2m^2n^2$ 이 되는 자리가 전부입니다.

$(m, n)$	$a$	$b$	$c$	정렬하면
$(2, 1)$	3	4	5	3 · 4 · 5
$(3, 2)$	5	12	13	5 · 12 · 13
$(4, 1)$	15	8	17	8 · 15 · 17
$(4, 3)$	7	24	25	7 · 24 · 25

세 쌍에 같은 수를 곱해도 여전히 직각입니다. 6·8·10은 3·4·5를 두 배로 늘린 것이고, 식 양변에 $k^2$ 을 곱하면 등호가 그대로이기 때문입니다. 그러니 셋의 공약수가 1인 것만 세면 되고, 나머지는 그것을 늘린 것입니다.

모눈 위와 상자 안의 길이

모눈 위의 비스듬한 길이

이제 쓸 자리를 봅니다. 모눈종이 위에 두 점이 찍혀 있고, 그 사이 거리를 알고 싶습니다. 가로도 세로도 아닌 비스듬한 길이라 칸을 세서는 잴 수 없습니다.

방법은 하나입니다. 가로로 몇 칸, 세로로 몇 칸 떨어졌는지를 세어 직각삼각형을 만듭니다.

그림에서 두 점은 가로로 4칸, 세로로 3칸 떨어져 있습니다. 이 둘을 두 변으로 하는 직각삼각형을 그리면, 원래 재고 싶던 비스듬한 선분이 정확히 그 빗변이 됩니다.

$4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

제곱해서 25가 되는 양수는 5입니다. 길이는 5입니다.

이 그림을 좌표로 옮겨 적으면 두 점 사이의 거리 공식이 되는데, 그것은 24번 · 좌표평면과 직선의 몫입니다. 여기서는 모눈과 그림까지입니다.

직육면체의 대각선

평면을 벗어나도 같은 그림이 통합니다. 가로 3, 세로 4, 높이 12인 상자가 있고 한 꼭짓점에서 정반대 꼭짓점까지의 길이를 재려고 합니다. 이 선분을 공간 대각선이라고 합니다.

한 번에 못 재므로 두 번에 나눠 잽니다.

먼저 바닥만 봅니다. 바닥은 가로 3, 세로 4인 직사각형이고 그 대각선은 위에서 한 것과 똑같습니다.

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

이 바닥 대각선을 이번에는 새 직각삼각형의 한 변으로 씁니다. 바닥 대각선과 높이 12인 모서리는 서로 직각으로 만나고, 그 둘을 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이 바로 공간 대각선입니다.

$25 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

제곱해서 169가 되는 양수는 13입니다. 공간 대각선은 13입니다.

차원을 하나 늘린 꼴

방금 계산에서 바닥 대각선의 길이 5를 실제로 적은 적이 없습니다. 첫 줄에서 나온 25를 그대로 둘째 줄에 넣었을 뿐입니다. 그 자리를 그대로 이어 적으면 세 변이 한 줄에 모입니다.

$(\text{공간 대각선})^2 = 3^2 + 4^2 + 12^2$

제곱을 더하는 항이 둘에서 셋으로 늘었을 뿐 모양은 그대로입니다. 평면에서 $a^2+b^2$ 이던 것이 공간에서 $a^2+b^2+h^2$ 이 됩니다. 변이 넷인 자리까지 가면 항이 넷이 되고, 그래서 이 식은 차원을 하나 늘릴 때마다 항을 하나씩 더하는 꼴입니다.

바꿔 말하면 피타고라스 정리를 여러 번 쓰는 것이지 새 공식을 외우는 것이 아닙니다. 길이를 한 번에 못 재면 직각으로 만나는 조각으로 나누고, 나온 제곱을 그대로 다음 줄에 넣으면 됩니다.

한 변이 1인 정사각형의 대각선

근호와 √2

같은 방법을 아주 작은 도형에 써 봅니다. 한 변이 1인 정사각형의 대각선입니다. 가로로 1, 세로로 1 떨어진 두 점 사이의 길이입니다.

$1^2 + 1^2 = 2$

제곱해서 2가 되는 양수가 이 대각선의 길이입니다.

그런 수는 얼마일까요. 1을 제곱하면 1이라 2보다 작고, 2를 제곱하면 4라 2보다 큽니다. 그러니 1과 2 사이의 어떤 길이입니다. 그런데 그 사이에 있는 어떤 자연수의 비로도 이 길이를 정확히 적을 수 없습니다.

그래서 1번 글에서 정의가 하던 일을 여기서도 합니다. 이름을 붙여 둡니다.

$\sqrt{2}$

제곱해서 2가 되는 양수를 이렇게 적고 '루트 2' 라고 읽습니다. 수 위에 씌운 이 기호를 근호라고 부릅니다. 같은 식으로 $\sqrt{9}$ 는 제곱해서 9가 되는 양수, 곧 3입니다.

여기서는 읽는 법과 뜻까지입니다. 근호가 든 식을 계산하고 정리하는 방법은 13번 · 거듭제곱과 근호가, $\sqrt{2}$ 를 자연수의 비로는 절대 적을 수 없다는 증명은 46번 · 증명 읽는 법이 맡습니다.

제곱해 좁히기

값을 정확히 적을 수 없어도 어디쯤인지는 얼마든지 좁힐 수 있습니다. 방법은 하나입니다 — 후보를 제곱해 2와 견줍니다. 제곱이 2보다 작으면 그 후보는 $\sqrt2$ 보다 왼쪽에 있고, 크면 오른쪽에 있습니다.

후보	제곱	2와 견주면
1.4	1.96	작다
1.5	2.25	크다
1.41	1.9881	작다
1.42	2.0164	크다

첫 두 줄에서 $\sqrt2$ 가 1.4와 1.5 사이임이 정해지고, 다음 두 줄에서 1.41과 1.42 사이로 좁혀집니다. 자릿수를 하나 늘릴 때마다 구간이 십분의 일로 줄어듭니다. 곱셈만 할 줄 알면 원하는 자리까지 갈 수 있습니다.

크기와 무관한 비

한 변이 1이 아니라 5인 정사각형이면 대각선은 얼마일까요. $5^2+5^2=50$ 이고 제곱해서 50이 되는 양수입니다. 이것은 $5\sqrt2$ 입니다 — $(5\sqrt2)^2 = 25\times2 = 50$ 이니까요.

한 변이 $s$ 인 정사각형이면 언제나 대각선이 $s\sqrt2$ 입니다. 그러니 대각선이 한 변의 몇 배인지는 정사각형의 크기와 아무 상관이 없습니다. 늘 $\sqrt2$ 배입니다.

이 성질이 쓰이는 데가 손에 잡히는 곳에 있습니다. A4 용지의 가로와 세로의 비가 정확히 $1 : \sqrt2$ 입니다. 그래서 긴 쪽을 반으로 접어도 비가 그대로입니다.

가로 $1$, 세로 $\sqrt2$ 인 종이를 긴 쪽으로 반 접으면 가로가 $\dfrac{\sqrt2}{2}$, 세로가 $1$ 이 됩니다. 비를 구하면

$1 \div \frac{\sqrt2}{2} = \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$

라서 처음과 같습니다. 마지막 등호는 $\sqrt2 \times \sqrt2 = 2$ 를 쓴 것입니다. A4를 반으로 접으면 A5이고 그것이 다시 A6인 것이 이 계산 하나 때문입니다. 비가 $1:\sqrt2$ 가 아니었다면 접을 때마다 종이 모양이 달라졌을 것입니다.

연습 문제

연습 1 — 세 변 중 하나 구하기, 열 문제

빠진 변을 구하세요. 모두 자연수로 떨어집니다. 답이 자연수가 아니면 어딘가 틀린 것입니다.

1. 두 변이 6과 8 — 빗변

   $36 + 64 = 100$ → $10$
2. 두 변이 9와 12 — 빗변

   $81 + 144 = 225$ → $15$
3. 두 변이 7과 24 — 빗변

   $49 + 576 = 625$ → $25$
4. 두 변이 12와 16 — 빗변

   $144 + 256 = 400$ → $20$
5. 두 변이 15와 20 — 빗변

   $225 + 400 = 625$ → $25$
6. 빗변 13, 한 변 5 — 나머지 변

   $169 - 25 = 144$ → $12$
7. 빗변 17, 한 변 8 — 나머지 변

   $289 - 64 = 225$ → $15$
8. 빗변 25, 한 변 20 — 나머지 변

   $625 - 400 = 225$ → $15$
9. 빗변 26, 한 변 10 — 나머지 변

   $676 - 100 = 576$ → $24$
10. 빗변 29, 한 변 21 — 나머지 변

    $841 - 441 = 400$ → $20$

6번부터 10번은 방향이 반대입니다. 빗변이 주어졌으면 빼야 합니다. $a^2 + b^2 = c^2$ 에서 $c$ 를 알고 $a$ 를 알면 $b^2 = c^2 - a^2$ 입니다. 여기서 무턱대고 더하면 답이 자연수로 안 떨어지니 바로 알아챌 수 있습니다.

연습 2 — 모양 판정과 정수 세 쌍

앞의 다섯은 세 변만 보고 삼각형의 모양을 가르는 문제입니다. 가장 긴 변을 먼저 찾으세요.

1. 세 변이 6, 8, 10

   $36+64=100$ 이고 $10^2=100$ 이라 같으므로 직각삼각형입니다.
2. 세 변이 6, 8, 9

   $36+64=100$ 이고 $9^2=81$ 입니다. 앞쪽이 크므로 예각삼각형입니다.
3. 세 변이 6, 8, 11

   $100 < 121$ 이라 뒤쪽이 크므로 둔각삼각형입니다.
4. 세 변이 5, 12, 13

   $25+144=169=13^2$ 이라 직각삼각형입니다.
5. 세 변이 2, 3, 4

   가장 긴 변이 4이고 $4+9=13$ 인데 $4^2=16$ 입니다. $13 < 16$ 이라 둔각삼각형입니다.
6. $(m,n)=(5,2)$ 로 세 쌍을 만들고 검산하세요.

   $a=25-4=21$, $b=2\times5\times2=20$, $c=25+4=29$ 입니다. 검산하면 $441+400=841=29^2$ 입니다.
7. $(m,n)=(3,1)$ 로 세 쌍을 만들고, 그것이 앞에서 본 어느 것을 늘린 것인지 적으세요.

   $a=9-1=8$, $b=6$, $c=10$ 이라 6 · 8 · 10 입니다. 3 · 4 · 5 를 두 배로 늘린 것이고, 셋의 공약수가 2입니다.
8. $(m,n)=(5,4)$ 로 세 쌍을 만들고 검산하세요.

   $a=25-16=9$, $b=2\times5\times4=40$, $c=25+16=41$ 입니다. 검산하면 $81+1600=1681=41^2$ 입니다.

연습 3 — 대각선 여덟

앞의 다섯은 직사각형, 뒤의 셋은 직육면체입니다. 뒤쪽은 두 번 적용해야 합니다.

1. 가로 3, 세로 4인 직사각형의 대각선

   $9 + 16 = 25$ → $5$
2. 가로 5, 세로 12인 직사각형의 대각선

   $25 + 144 = 169$ → $13$
3. 가로 8, 세로 15인 직사각형의 대각선

   $64 + 225 = 289$ → $17$
4. 가로 9, 세로 12인 직사각형의 대각선

   $81 + 144 = 225$ → $15$
5. 한 변이 1인 정사각형의 대각선

   $1 + 1 = 2$ → $\sqrt{2}$
6. 가로 2, 세로 3, 높이 6인 직육면체의 공간 대각선

   바닥에서 $4+9=13$ 이고 여기에 높이를 더해 $13+36=49$ 입니다. → $7$
7. 가로 1, 세로 4, 높이 8인 직육면체의 공간 대각선

   $1+16=17$ 이고 $17+64=81$ 입니다. → $9$
8. 한 변이 2인 정육면체의 공간 대각선

   $4+4=8$ 이고 $8+4=12$ 입니다. 제곱해서 12가 되는 양수이므로 $2\sqrt3$ 입니다. 앞의 일곱과 달리 자연수로 안 떨어집니다.

앞의 넷은 자연수로 떨어지지만 다섯 번째와 마지막은 그렇지 않습니다. 자연수로 떨어지는 쪽이 오히려 드문 경우입니다.

연습 4 — 증명 그림 복원하기

빈 종이에 직접 그리세요. 위 그림을 덮어 두고 기억에서 꺼내는 것이 요령입니다.

1. 한 변이 $a + b$ 인 정사각형 두 개를 그리고, 왼쪽에는 삼각형 넷을 직사각형 두 개 모양으로 몰아넣어 남은 두 정사각형에 $a^2$ 과 $b^2$ 을 적으세요. 오른쪽에는 삼각형 넷을 네 모서리에 하나씩 돌려 놓고 남은 사각형에 $c^2$ 을 적으세요. 마지막으로 넓이 등식 한 줄을 쓰세요.

   두 큰 정사각형의 넓이가 같고 뺀 삼각형도 양쪽 다 넷이므로 남은 넓이가 같아야 합니다. 왼쪽에 $a^2+b^2$ 이, 오른쪽에 $c^2$ 이 남았으므로 $a^2+b^2=c^2$ 입니다.
2. 1번의 오른쪽 그림에서 안쪽 사각형이 왜 정사각형인지를 두 문장으로 적으세요. 하나는 변에 대해, 하나는 각에 대해서입니다.

   네 변이 모두 삼각형의 빗변이므로 길이가 전부 $c$ 입니다. 그리고 큰 정사각형의 한 변 위에서 삼각형의 두 예각과 안쪽 사각형의 한 각이 180도를 이루는데 두 예각의 합이 90도이므로 남은 각이 90도입니다.
3. 이번에는 한 변이 $c$ 인 정사각형 하나만 그리고 삼각형 넷을 안쪽으로 접어 넣으세요. 가운데 구멍의 한 변이 얼마인지 적고, 넓이 등식을 세워 정리하세요.

   가운데 구멍의 한 변은 $b-a$ 입니다. 넓이를 세면 $c^2 = 4\cdot\dfrac{ab}{2} + (b-a)^2$ 이고, 오른쪽을 펼치면 $2ab + b^2 - 2ab + a^2 = a^2+b^2$ 입니다.
4. 세 배치가 왜 같은 증명인지 한 문장으로 적으세요.

   셋 다 큰 정사각형의 넓이에서 똑같은 삼각형 넷의 넓이를 빼고 남은 것을 두 가지로 적은 것이라, 다른 것은 어느 정사각형을 크게 잡았느냐뿐입니다.

2번을 못 적었다면 위로 돌아가 다시 읽으세요. 그 두 문장이 이 증명에서 가장 자주 빠뜨리는 자리입니다.

정리

• 직각삼각형에서 직각과 마주 보는 가장 긴 변이 빗변입니다. 직각이 가장 큰 각이고 큰 각의 맞은편 변이 가장 길기 때문입니다.
• 세 변 사이에 $a^2 + b^2 = c^2$ 이 성립합니다. 이것은 길이가 아니라 넓이에 대한 주장이고, 그래서 넓이로 증명합니다. 삼각형 부등식 $a+b>c$ 도 이 식에서 저절로 따라옵니다.
• 증명은 큰 정사각형에서 삼각형 넷을 빼는 같은 뺄셈을 세 가지로 배치한 것입니다. 한 변 $a+b$ 로 잡으면 남는 것이 $a^2+b^2$ 과 $c^2$ 이고, 한 변 $c$ 로 잡으면 $c^2 = 2ab + (b-a)^2$ 한 줄로 끝납니다.
• 거꾸로 세 변이 그 관계를 만족하면 직각삼각형입니다. 어긋나는 방향이 모양을 알려 줍니다 — $a^2+b^2$ 이 $c^2$ 보다 크면 예각, 작으면 둔각입니다.
• 세 변이 자연수인 짝은 $(m^2-n^2,\ 2mn,\ m^2+n^2)$ 로 얼마든지 만듭니다. 같은 수를 곱한 것도 여전히 직각이라 공약수가 1인 것만 세면 됩니다.
• 모눈 위 비스듬한 길이는 가로 차이와 세로 차이로 직각삼각형을 만들어 잽니다. 직육면체의 공간 대각선은 바닥 대각선을 다시 한 변으로 써서 두 번 적용하면 되고, 결과는 항이 하나 늘어난 $a^2+b^2+h^2$ 입니다.
• 한 변이 $s$ 인 정사각형의 대각선은 언제나 $s\sqrt2$ 라 비가 크기와 무관합니다. A4 용지를 반으로 접어도 모양이 그대로인 것이 이 때문입니다.

다음 글에서는 크기만 다르고 모양이 같은 두 도형을 다룹니다. 크기가 달라져도 변하지 않는 것이 무엇인지 보면, 각 하나만 정해지면 두 변의 비가 삼각형의 크기와 상관없이 같아진다는 사실에 닿습니다.

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