수의 종류와 수직선: 음수끼리 곱하면 왜 양수가 되는가

4번 글에서 다룬 것은 자연수였습니다. 1, 2, 3처럼 세는 데 쓰는 수입니다.

그런데 자연수만으로는 안 되는 계산이 금방 나옵니다. $3 - 5$ 는 자연수 안에 답이 없습니다. $3 \div 2$ 도 없습니다. 7번 글에서 만난 $\sqrt{2}$ 는 더 심합니다.

수의 종류가 늘어난 이유가 정확히 이것입니다. 새로운 것이 발견돼서가 아니라, 앞 단계에서 안 되던 계산 하나를 되게 하려고 매번 자리를 넓혀 온 것입니다.

수를 넓혀 온 순서

단계	무엇이 되게 하려고	새로 들어온 것
자연수	세기	$1, 2, 3, \ldots$
정수	빼기가 늘 되게	0 과 음수
유리수	나누기가 늘 되게	두 정수의 비로 적히는 수
실수	길이를 빠짐없이 적게	분수로 못 적는 무리수

한 단계씩 봅니다.

정수. $3 - 5$ 에 답을 주려면 0보다 작은 수가 있어야 합니다. 자연수에 0과 음수를 더한 것이 정수입니다. $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$

유리수. $3 \div 2$ 에 답을 주려면 정수 사이를 쪼갠 수가 있어야 합니다. 두 정수의 비로 적히는 수를 유리수라고 부릅니다. 정수도 유리수입니다 — $3$ 은 $3 : 1$ 이니까요.

무리수. 여기까지 오면 다 채운 것 같습니다. 그런데 아닙니다. 한 변이 1인 정사각형의 대각선 $\sqrt{2}$ 는 어떤 두 정수의 비로도 적을 수 없습니다. 자를 대고 그릴 수 있는 실제 길이인데도 그렇습니다. 이렇게 유리수가 아닌 수를 무리수라고 부릅니다.

유리수와 무리수를 합친 것이 실수이고, 실수는 수직선을 빈틈없이 채웁니다.

$\sqrt{2}$ 가 정말로 두 정수의 비가 아니라는 것은 증명이 필요합니다. 그 증명은 46번 · 증명 읽는 법의 몫입니다. 그리고 실수 바깥에 허수라는 것이 또 있는데, 26번 · 복소수와 오일러 공식까지는 꺼내지 않습니다.

0과 나눗셈

위 표에서 0은 음수와 같은 칸에 들어 있습니다. 정수 단계에서 함께 들어왔습니다. 자연수는 세는 수라 셀 것이 없는 상태를 적을 자리가 없었고, $5 - 5$ 에 답을 주려면 0이 있어야 하기 때문입니다. 빼기를 되게 하려고 넓힌 그 한 번에 0과 음수가 같이 들어온 것입니다.

그런데 유리수 칸에 적은 「나누기가 늘 되게」에는 조건이 하나 붙습니다. 0으로는 나눌 수 없습니다. 이것은 금지 규칙이 아니라 답이 없다는 사실입니다. 나눗셈이 무엇인지를 되짚으면 바로 보입니다.

$6 \div 3 = 2$ 가 참인 이유는 $2 \times 3 = 6$ 이기 때문입니다. 나눗셈은 곱셈을 되돌리는 계산입니다. $a \div b$ 는 「$b$ 에 곱해서 $a$ 가 되는 수」를 찾는 일입니다.

이 눈으로 $6 \div 0$ 을 봅니다. 0에 곱해서 6이 되는 수를 찾아야 하는데, 무엇에 0을 곱하든 0이라 그런 수가 하나도 없습니다. 답이 없습니다.

$0 \div 0$ 은 반대쪽으로 망가집니다. 0에 곱해서 0이 되는 수를 찾으면 되는데, 이번에는 모든 수가 답입니다. 3도 되고 $-7$ 도 되고 $1/2$ 도 됩니다. 하나로 안 정해지므로 역시 값을 줄 수 없습니다.

그래서 「나누기가 늘 된다」의 정확한 뜻은 이렇습니다. 어떤 수에 곱해서 1이 되는 수를 그 수의 역수라고 하는데, 유리수에서는 0을 뺀 모든 수에 역수가 있습니다. $3$ 의 역수는 $1/3$ 이고 $-2/5$ 의 역수는 $-5/2$ 입니다. 0만 역수가 없고, 그 하나가 위의 두 자리를 그대로 만듭니다.

닫혀 있는 연산

단계마다 한 가지를 확인하고 넘어가면 표가 훨씬 또렷해집니다. 어떤 수 두 개를 가져다 계산했을 때 결과가 그 자리를 안 벗어나면 그 연산이 거기서 닫혀 있다고 말합니다.

자연수를 봅니다. 두 자연수를 더하면 자연수이고 곱해도 자연수입니다. 더하기와 곱하기는 자연수에서 닫혀 있습니다. 그런데 빼면 $3 - 5 = -2$ 처럼 밖으로 나갑니다. 닫혀 있지 않은 그 자리가 다음 단계를 부른 이유입니다.

자리	더하기	빼기	곱하기	나누기
자연수	닫힘	안 닫힘	닫힘	안 닫힘
정수	닫힘	닫힘	닫힘	안 닫힘
유리수	닫힘	닫힘	닫힘	닫힘(0 제외)

표를 왼쪽에서 오른쪽으로 읽지 말고 위에서 아래로 읽으세요. 「안 닫힘」이 하나씩 사라지는 순서가 그대로 수를 넓혀 온 순서입니다. 그리고 유리수 줄에서 사칙연산이 전부 닫혔는데도 한 단계가 더 있는 것은, 실수가 계산 때문이 아니라 길이 때문에 필요해졌기 때문입니다. 그 이야기는 아래 세 번째 절에서 합니다.

소수 표기

$2.7$ 같은 표기가 위 표에 안 보입니다. 새로운 종류의 수가 아니라 적는 방법이기 때문입니다.

4번 글에서 $3705$ 를 자리마다 다른 값으로 읽었습니다. 왼쪽으로 갈수록 10배씩 커졌습니다. 소수 표기는 그 자리를 오른쪽으로 이어 쓴 것입니다. 오른쪽으로 갈수록 10으로 나눠집니다. $2.7$ 은 2 하고 0.1 짜리가 7개입니다.

유한소수와 순환소수를 가르는 일, 분수와 소수를 서로 바꾸는 일은 12번 · 소수·백분율과 비의 몫입니다. 여기서는 소수점이 자릿수를 오른쪽으로 이어 쓴 것이라는 한 줄까지입니다.

수직선 위에 앉히기

수를 하나의 직선 위에 늘어놓습니다.

기준은 0입니다. 오른쪽으로 같은 간격마다 1, 2, 3을 찍고 왼쪽으로 −1, −2, −3을 찍습니다. 정수는 이 눈금 위에만 앉습니다.

유리수는 눈금 사이에 앉습니다. $-7/2$ 는 $-3$ 과 $-4$ 의 한가운데입니다. $-0.3$ 은 0에서 왼쪽으로 조금입니다.

무리수도 자리가 있습니다. $\sqrt{2}$ 는 1과 2 사이 어딘가에 정확히 한 점으로 앉습니다. 정확한 값을 소수로 다 적을 수 없다는 것과, 자리가 없다는 것은 다른 이야기입니다. 한 변이 1인 정사각형의 대각선을 컴퍼스로 옮겨 오면 그 점이 어디인지 그릴 수 있습니다.

대소 비교

수직선을 그려 두면 큰지 작은지가 한 문장으로 끝납니다.

수직선에서 오른쪽에 있는 수가 크다.

$-7 < -3$ 입니다. $7$ 이 $3$ 보다 크다고 해서 $-7$ 이 $-3$ 보다 큰 것이 아닙니다. $-7$ 이 더 왼쪽에 있으니 더 작습니다. 음수는 크기가 클수록 작아집니다.

여기서 흔들리면 나중에 계속 흔들립니다. 헷갈릴 때는 매번 수직선을 그리세요. 그리는 데 3초 걸립니다.

이렇게 두 수의 크고 작음을 부호로 적은 식을 부등식이라고 합니다. 부등식에는 등식과 다른 자리가 하나 있습니다. 양변에 음수를 곱하면 부호가 뒤집힙니다.

$-7 < -3$ 의 양변에 $-1$ 을 곱해 봅니다. 왼쪽은 7, 오른쪽은 3이 되고, 이번에는 $7 > 3$ 입니다. 부등호의 방향이 반대로 바뀌었습니다.

수직선으로 보면 외울 것이 아닙니다. $-1$ 을 곱하는 일은 0을 중심으로 좌우를 뒤집는 일입니다. 왼쪽에 있던 것이 오른쪽으로 가고 오른쪽에 있던 것이 왼쪽으로 갑니다. 「오른쪽에 있는 수가 크다」가 기준이었으니, 좌우가 통째로 뒤집히면 크고 작음도 함께 뒤집힐 수밖에 없습니다.

양수를 곱할 때는 안 뒤집힙니다. $2$ 를 곱하는 일은 눈금 간격을 두 배로 늘리는 것뿐이라 좌우 순서가 그대로이기 때문입니다.

절댓값

수직선을 세워 두면 새 개념 하나가 저절로 나옵니다.

어떤 수가 0에서 얼마나 떨어져 있는가. 이것을 절댓값이라 하고 세로줄 두 개로 적습니다. 방향은 묻지 않고 거리만 봅니다.

$|3| = 3 \qquad |-3| = 3 \qquad |0| = 0$

거리이므로 절댓값은 절대 음수가 되지 않습니다.

두 수 사이의 거리도 같은 방식으로 적습니다.

$(\text{a 와 b 사이의 거리}) = |a - b|$

$-3$ 과 $1$ 사이의 거리를 재 봅니다. $|-3 - 1| = |-4| = 4$ 입니다. 수직선에서 세어 봐도 4칸입니다. 순서를 바꿔 $|1 - (-3)| = |4| = 4$ 로 해도 같습니다. 거리는 어느 쪽에서 재도 같기 때문입니다.

절댓값이 든 부등식

절댓값을 거리로 읽어 두면 절댓값이 든 부등식이 그림 한 장으로 풀립니다.

$|x| < 3$ 은 「$x$ 가 0에서 3보다 가깝다」는 말입니다. 0에서 3보다 가까운 자리는 왼쪽으로 3, 오른쪽으로 3까지입니다. 그러니

$|x| < 3 \iff -3 < x < 3$

입니다. 여기서 $-3 < x < 3$ 처럼 수직선 위의 이어진 한 토막을 구간이라고 부릅니다.

한 칸 더 갑니다. $|x - 1| \le 2$ 는 어떤 구간일까요. 위에서 $|a - b|$ 가 $a$ 와 $b$ 사이의 거리였으니, 이 식은 「$x$ 가 1에서 2 이내에 있다」는 말입니다. 기준이 0이 아니라 1로 옮겨진 것뿐입니다.

1에서 왼쪽으로 2를 가면 $-1$ 이고 오른쪽으로 2를 가면 3입니다.

$|x - 1| \le 2 \iff -1 \le x \le 3$

부등호가 $<$ 인지 $\le$ 인지가 양 끝점 둘을 포함하느냐 마느냐를 가릅니다. 그림에서 끝을 빈 동그라미로 그리면 포함하지 않는 것이고, 채운 동그라미로 그리면 포함하는 것입니다.

식을 이항하고 정리해서 푸는 방법도 있지만, 이 트랙에서는 먼저 거리로 읽고 수직선에 색칠하는 쪽을 권합니다. 부호를 놓쳐도 그림이 바로 이상해 보이기 때문입니다.

삼각부등식

절댓값에는 한 가지 성질이 더 있습니다. 어떤 두 수 $a$, $b$ 를 가져오든 이것이 성립합니다.

$|a + b| \le |a| + |b|$

이 식을 삼각부등식이라고 부릅니다. 수로 확인해 봅니다.

$a$	$b$	$\|a+b\|$	$\|a\|+\|b\|$
3	5	8	8
3	$-5$	2	8
$-3$	$-5$	8	8
$-3$	5	2	8

왼쪽이 오른쪽보다 큰 경우가 없습니다. 왜 그런지는 수직선 위의 이동 두 번으로 읽으면 한 줄입니다.

0에서 출발해 $a$ 만큼 가고, 거기서 다시 $b$ 만큼 갑니다. 최종 위치는 $a + b$ 이므로 0에서 최종 위치까지의 거리가 $|a + b|$ 입니다. 한편 실제로 걸은 길이는 첫 번째 이동 $|a|$ 와 두 번째 이동 $|b|$ 를 더한 것입니다.

• 두 이동이 같은 방향이면 걸은 만큼 그대로 멀어지므로 둘이 같습니다.
• 두 이동이 반대 방향이면 되돌아온 만큼 손해라 최종 거리가 더 짧습니다.

돌아오는 일은 있어도 걸은 것보다 멀리 가는 일은 없습니다. 그래서 왼쪽이 오른쪽을 넘을 수 없습니다. 표의 둘째 줄과 넷째 줄이 되돌아온 경우이고, 첫째 줄과 셋째 줄이 같은 방향으로 간 경우입니다.

유리수 사이의 빈틈

앞 절에서 실수가 수직선을 빈틈없이 채운다고 한 줄로 적고 넘어갔습니다. 유리수만으로도 이미 충분히 빽빽해 보이는데 왜 한 단계가 더 필요했는지, 여기서 확인합니다.

두 유리수의 한가운데

유리수 둘을 아무렇게나 가져옵니다. 그 사이에는 반드시 또 다른 유리수가 있습니다. 찾는 법도 쉽습니다 — 둘을 더해 2로 나누면 한가운데가 나오고, 유리수를 더하고 2로 나눈 것은 여전히 유리수입니다.

0과 1로 해 봅니다.

• 0과 1의 한가운데는 $\dfrac12$
• 0과 $\dfrac12$ 의 한가운데는 $\dfrac14$
• 0과 $\dfrac14$ 의 한가운데는 $\dfrac18$
• 0과 $\dfrac18$ 의 한가운데는 $\dfrac1{16}$

멈출 자리가 없습니다. 몇 번을 되풀이해도 0과 그 수 사이에 또 하나가 들어갑니다.

여기서 자연수와의 차이가 드러납니다. 자연수에서는 3 다음이 4로 정해져 있고 그 사이에 자연수가 없습니다. 유리수에는 「바로 다음 유리수」라는 것이 아예 없습니다. 어떤 수를 다음 것이라고 골라 와도 그 사이에 더 들어가니까요. 이 성질을 두고 유리수가 촘촘하다고 말합니다.

촘촘함과 빈틈없음

그렇게 촘촘한데도 $\sqrt{2}$ 자리가 비어 있습니다. 비어 있다는 말이 무슨 뜻인지를 실제로 좁혀 가며 봅니다.

$\sqrt{2}$ 는 제곱해서 2가 되는 양수였습니다. 후보를 제곱해 2와 견주면 어느 쪽에 있는지가 바로 갈립니다.

구간	왼쪽 끝의 제곱	오른쪽 끝의 제곱
1 과 2	$1$	$4$
1.4 과 1.5	$1.96$	$2.25$
1.41 과 1.42	$1.9881$	$2.0164$
1.414 과 1.415	$1.999396$	$2.002225$
1.4142 과 1.4143	$1.99996164$	$2.00024449$

한 줄씩 내려갈 때마다 왼쪽 끝의 제곱은 2보다 작고 오른쪽 끝의 제곱은 2보다 큽니다. 찾는 수는 늘 그 사이에 있습니다. 그리고 구간의 폭은 1 → 0.1 → 0.01 → 0.001 → 0.0001 로 십분의 일씩 줄어듭니다.

이 표는 원하는 만큼 아래로 이어 갈 수 있습니다. 구간은 계속 줄어드는데 끝점으로 쓴 유리수 중 어느 것도 제곱해서 정확히 2가 되지는 않습니다. 아무리 좁혀도 딱 맞는 유리수가 나오지 않는 그 자리가, 유리수만으로 수직선을 그렸을 때 비어 있는 점입니다.

촘촘한 것과 빈틈없는 것은 다릅니다. 사이사이가 아무리 빽빽해도 그것만으로 구멍이 없다는 뜻이 되지 않는다 — 유리수가 그 증거입니다. 자를 대고 그릴 수 있는 길이인데도 그 자리에 앉힐 유리수가 없습니다.

실수와 수직선의 점

그래서 마지막 단계에서 그 빈틈까지 메웁니다. 유리수에 무리수를 더한 것이 실수이고, 실수에 대해서는 이렇게 말할 수 있습니다.

실수 하나에 수직선의 점 하나가 짝지어지고, 수직선의 점 하나에 실수 하나가 짝지어진다.

남는 점도 없고 두 번 쓰이는 점도 없습니다. 빈틈이 없다는 말의 정확한 뜻이 이것입니다. 그래서 수직선을 실수 직선이라고도 부릅니다.

이 절의 내용을 한 줄로 줄이면 이렇습니다. 정수·유리수는 계산을 되게 하려고 넓힌 것이고, 실수는 길이를 앉히려고 넓힌 것입니다. 앞의 두 번과 마지막 한 번은 넓힌 이유가 다릅니다.

음수가 섞인 계산

덧셈과 뺄셈

수직선 위의 이동으로 보면 외울 것이 없습니다.

• 양수를 더한다 → 오른쪽으로 그만큼 간다
• 음수를 더한다 → 왼쪽으로 그만큼 간다
• 양수를 뺀다 → 왼쪽으로 그만큼 간다
• 음수를 뺀다 → 오른쪽으로 그만큼 간다

$3 + (-5)$ 는 3에서 왼쪽으로 5칸이니 $-2$ 입니다. $-3 - (-5)$ 는 $-3$ 에서 오른쪽으로 5칸이니 $2$ 입니다.

음수를 빼면 오른쪽으로 간다는 마지막 줄이 낯설 수 있습니다. 그래서 부호가 둘 붙으면 이렇게 고쳐 씁니다.

$a - (-b) = a + b$

곱셈의 부호 규칙

곱셈은 이렇습니다.

	결과
(양수) × (양수)	양수
(양수) × (음수)	음수
(음수) × (양수)	음수
(음수) × (음수)	양수

앞의 셋은 받아들이기 쉽습니다. $3 \times (-4)$ 는 $-4$ 를 세 번 더한 것이니 $-12$ 입니다.

문제는 마지막 줄입니다. $(-3) \times (-4)$ 를 "$-4$ 를 $-3$ 번 더한 것"이라고 읽을 수는 없습니다. 더하는 횟수가 음수일 수는 없기 때문입니다.

분배법칙으로 정해지는 값

먼저 이름 하나를 붙여 둡니다. 4번 글의 세로셈이 자릿수마다 쓰던 규칙이고, 6번 글에서 직사각형을 세로로 자르던 그림이 그대로 보여 주던 것입니다.

$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$

분배법칙입니다. 가로 $a$, 세로 $b + c$ 인 직사각형을 세로로 자르면 넓이가 두 조각으로 나뉜다 — 그 그림이 이 식입니다.

이제 이것을 그대로 씁니다.

$(-3) \times (4 + (-4))$ 를 두 가지 방법으로 계산합니다.

첫째, 괄호 안을 먼저 계산합니다. $4 + (-4) = 0$ 이고 무엇에 0을 곱하든 0입니다.

$(-3) \times (4 + (-4)) = (-3) \times 0 = 0$

둘째, 분배법칙으로 풉니다.

$(-3) \times (4 + (-4)) = (-3) \times 4 + (-3) \times (-4) = -12 + (-3) \times (-4)$

같은 식을 계산했으니 두 결과는 같아야 합니다.

$-12 + (-3) \times (-4) = 0$

$-12$ 에 무엇을 더해야 0이 될까요. $+12$ 밖에 없습니다.

$(-3) \times (-4) = 12$

규칙이라서 그런 것이 아닙니다. 분배법칙이 음수에서도 계속 성립하기를 바란다면, 음수끼리의 곱에 12 말고 다른 값을 줄 방법이 없습니다.

이 논법은 여기서만 쓰는 것이 아닙니다. 13번 · 거듭제곱과 근호에서 $a^0 = 1$ 을 얻을 때 똑같은 방식이 그대로 되풀이됩니다. 앞에서 성립하던 것이 계속 성립하려면 값이 하나로 정해진다 — 수학에서 새 규칙이 정해지는 방식이 대개 이렇습니다.

나눗셈의 부호도 같습니다. 나눗셈은 곱셈을 되돌리는 계산이므로 표가 그대로 적용됩니다.

0을 중심으로 한 뒤집기

위의 논법은 값이 12라는 것을 못 박아 주지만 그림이 없습니다. 그림 쪽 설명은 대소 비교에서 이미 나왔습니다. $-1$ 을 곱하는 일은 수직선을 0을 중심으로 뒤집는 일입니다.

$3$ 에 $-1$ 을 곱하면 0의 오른쪽 3칸에 있던 점이 왼쪽 3칸으로 갑니다. $-3$ 에 $-1$ 을 곱하면 왼쪽 3칸에 있던 점이 오른쪽 3칸으로 옵니다. 뒤집기를 두 번 하면 제자리입니다. 음수끼리의 곱이 양수인 것은 이 「두 번 뒤집으면 제자리」와 같은 말입니다.

$(-3) \times (-4)$ 를 이 눈으로 다시 읽습니다. $-4$ 를 세 번 늘린 자리가 $-12$ 이고, 남은 $-1$ 이 그것을 0을 중심으로 뒤집어 $12$ 로 보냅니다. 분배법칙이 준 값과 같습니다.

항이 셋 이상 섞였을 때도 이 읽기가 편합니다. $(-2) \times (-5) \times (-3)$ 에서 부호만 따로 세면 뒤집기가 세 번입니다. 홀수 번 뒤집으면 반대쪽에 있으므로 결과는 음수이고, 크기는 $2 \times 5 \times 3 = 30$ 이니 $-30$ 입니다. 괄호를 풀지 않고 부호를 먼저 정한 것입니다.

• 음수가 짝수 개면 뒤집기가 짝수 번이라 제자리 → 양수
• 음수가 홀수 개면 뒤집기가 홀수 번이라 반대쪽 → 음수

연습 문제

연습 1 — 부호가 섞인 계산 스무 문제

1. $7 + (-3)$

   $4$
2. $-7 + 3$

   $-4$
3. $-7 + (-3)$

   $-10$
4. $5 - 9$

   $-4$
5. $-5 - 9$

   $-14$
6. $5 - (-9)$

   $14$
7. $-5 - (-9)$

   $4$
8. $-8 - (-8)$

   $0$
9. $4 \times (-6)$

   $-24$
10. $(-4) \times 6$

    $-24$
11. $(-4) \times (-6)$

    $24$
12. $(-1) \times (-1)$

    $1$
13. $(-2) \times (-3) \times (-4)$

    $-24$
14. $(-2) \times (-3) \times (-4) \times (-5)$

    $120$
15. $(-12) \div 3$

    $-4$
16. $12 \div (-3)$

    $-4$
17. $(-12) \div (-3)$

    $4$
18. $(-2)^2$

    $4$
19. $-2^2$

    $-4$
20. $(-2)^3$

    $-8$

세 자리를 짚어 둡니다.

13번과 14번. 음수가 홀수 개면 결과가 음수, 짝수 개면 양수입니다. 둘씩 짝지어 없앤다고 생각하면 됩니다.

18번과 19번. $(-2)^2$ 는 $(-2) \times (-2) = 4$ 이고, $-2^2$ 는 $-(2 \times 2) = -4$ 입니다. 괄호가 있으면 부호까지 제곱하고, 없으면 제곱을 먼저 합니다. 2번 글에서 정한 순서 그대로입니다. 이 둘을 같다고 본 사람이 많다면 그 글로 한 번 돌아가는 편이 좋습니다.

20번. 세 번 곱했으니 음수가 홀수 개, 결과는 음수입니다.

연습 2 — 절댓값과 거리 일곱 문제

앞의 다섯은 두 번 확인하세요. 식으로 $|a - b|$ 를 계산한 뒤, 수직선을 그려 칸을 세어 같은 값이 나오는지 봅니다.

1. $-2$ 와 $5$ 사이의 거리

   $|-2 - 5| = |-7| = 7$ 입니다. 수직선에서 $-2$ 부터 5까지 세어도 7칸입니다.
2. $-6$ 과 $-1$ 사이의 거리

   $|-6 - (-1)| = |-5| = 5$ 입니다. 둘 다 0의 왼쪽에 있어도 재는 법은 같습니다.
3. $4$ 와 $4$ 사이의 거리

   $|4 - 4| = 0$ 입니다. 거리가 0인 경우는 두 점이 같을 때뿐입니다.
4. $0$ 과 $-9$ 사이의 거리

   $|0 - (-9)| = |9| = 9$ 입니다. 한쪽이 0이면 그냥 절댓값입니다.
5. $-3.5$ 와 $2$ 사이의 거리

   $|-3.5 - 2| = |-5.5| = 5.5$ 입니다. 눈금 사이에 앉은 수라도 재는 법은 그대로입니다.
6. $|x| < 4$ 를 구간으로 적으세요.

   0에서 4보다 가까운 자리이므로 $-4 < x < 4$ 입니다. 양 끝은 들어가지 않습니다.
7. $|x - 2| \le 3$ 을 구간으로 적으세요.

   2에서 3 이내이므로 왼쪽 끝이 $2 - 3 = -1$ 이고 오른쪽 끝이 $2 + 3 = 5$ 입니다. $-1 \le x \le 5$ 이고 양 끝을 포함합니다.

연습 3 — 논법을 스스로 되풀이하기

앞에서 읽은 두 논법을 다른 수로 직접 써 보는 자리입니다. 답을 펼치기 전에 종이에 문장으로 적어 보세요.

1. 분배법칙으로 $(-5) \times (-7) = 35$ 를 얻으세요. 본문의 $(-3) \times (-4)$ 와 같은 순서로 갑니다.

   $(-5) \times (7 + (-7))$ 을 두 가지로 계산합니다. 괄호 안을 먼저 하면 $(-5) \times 0 = 0$ 입니다. 분배법칙으로 풀면 $(-5) \times 7 + (-5) \times (-7) = -35 + (-5) \times (-7)$ 입니다. 두 결과가 같아야 하므로 $-35 + (-5) \times (-7) = 0$ 이고, $-35$ 에 더해 0을 만드는 수는 $35$ 뿐입니다.
2. $8 \div 0$ 에 답을 줄 수 없는 이유를 곱셈으로 설명하세요.

   $8 \div 0$ 은 「0에 곱해서 8이 되는 수」를 찾는 일입니다. 무엇에 0을 곱하든 0이므로 그런 수가 하나도 없습니다. 답이 없어서 값을 줄 수 없습니다.
3. $0 \div 7$ 은 어떨까요. 답이 있는지 없는지를 곱셈으로 판정하고, 있다면 그 값을 적으세요.

   「7에 곱해서 0이 되는 수」를 찾는 일이고 그런 수는 0 하나뿐입니다. 하나로 정해지므로 답이 있고 값은 0입니다. 0으로 나누는 것과 0을 나누는 것은 다른 일입니다.
4. 2번과 3번, 그리고 본문의 $0 \div 0$ 을 나란히 놓고 무엇이 갈리는지 한 줄로 적으세요. 본문을 되짚는 문제입니다.

   찾는 수가 하나도 없으면 답이 없고(2번), 하나뿐이면 그것이 답이고(3번), 전부 답이면 하나로 안 정해집니다($0 \div 0$). 값을 줄 수 없는 두 경우는 망가지는 방향이 서로 반대입니다.

연습 4 — 수직선 위에 앉히고 정렬하기

1. 빈 종이에 $-4$ 부터 $4$ 까지 수직선을 그리고, 아래 네 수를 그 위에 표시한 뒤 작은 것부터 큰 것 순으로 다시 적으세요. 눈금 간격은 넉넉하게 잡습니다. $-\dfrac{7}{2}$, $\sqrt{2}$, $2.7$, $-0.3$

   $-\dfrac{7}{2}$ 는 $-3$ 과 $-4$ 의 한가운데이고, $-0.3$ 은 0에서 왼쪽으로 아주 조금입니다. $\sqrt{2}$ 는 제곱해서 2가 되는 수인데 $1^2 = 1$ 이고 $2^2 = 4$ 이므로 1과 2 사이이며 한가운데보다 조금 왼쪽입니다. $2.7$ 은 2와 3 사이, 3에 가깝습니다. 그래서 $-\dfrac{7}{2} < -0.3 < \sqrt{2} < 2.7$ 입니다.
2. 1번의 네 수 중 유리수가 아닌 것을 고르고, 그렇게 판단한 근거를 한 줄로 적으세요.

   $\sqrt{2}$ 입니다. 나머지 셋은 두 정수의 비로 적힙니다 — $-\dfrac{7}{2}$ 는 그대로이고, $-0.3 = -\dfrac{3}{10}$, $2.7 = \dfrac{27}{10}$ 입니다. $\sqrt{2}$ 만 그렇게 적을 수 없습니다.

$\sqrt{2}$ 의 자리를 못 잡았다면 이렇게 하세요. 제곱해서 2가 되는 수이니, 1과 2 중 어느 쪽에 가까운지 확인하려면 후보를 제곱해 2와 비교하면 됩니다. 세 번째 절에서 다섯 줄까지 좁혀 본 그 절차이고, 근호가 든 수의 크기를 가늠할 때 계속 씁니다.

정리

• 수의 종류가 늘어난 것은 앞 단계에서 안 되던 계산 하나를 되게 하려고였습니다. 빼기 때문에 정수, 나누기 때문에 유리수, 잴 수 있는 길이 때문에 무리수입니다.
• 어떤 연산의 결과가 그 자리를 안 벗어나면 닫혀 있다고 말합니다. 안 닫힌 자리가 사라지는 순서가 그대로 수를 넓혀 온 순서입니다.
• 0으로 나눌 수 없는 것은 규칙이 아닙니다. $6 \div 0$ 은 답이 하나도 없고 $0 \div 0$ 은 하나로 안 정해집니다.
• 소수 표기는 새 종류의 수가 아니라 자릿수를 오른쪽으로 이어 쓴 방법입니다.
• 수직선 위에서 오른쪽에 있는 수가 큽니다. 양변에 음수를 곱하면 부등호가 뒤집히는데, $-1$ 곱하기가 0을 중심으로 한 뒤집기이기 때문입니다.
• 절댓값은 0에서 떨어진 거리이므로 음수가 되지 않습니다. 두 수 사이의 거리는 $|a - b|$ 이고, $|x - 1| \le 2$ 같은 부등식은 거리로 읽어 구간으로 색칠하면 됩니다.
• 삼각부등식 $|a + b| \le |a| + |b|$ 는 이동 두 번으로 읽습니다. 되돌아오는 일은 있어도 걸은 것보다 멀리 가는 일은 없습니다.
• 유리수는 촘촘하지만 빈틈없지는 않습니다. 두 유리수 사이에는 늘 또 하나가 있는데도 $\sqrt{2}$ 자리가 비어 있습니다. 그 빈틈까지 메운 것이 실수이고, 실수는 수직선의 점과 하나씩 짝지어집니다.
• 음수끼리의 곱이 양수인 것은 규칙이 아니라 결론입니다. 분배법칙이 계속 성립하려면 $(-3) \times (-4)$ 에 12 말고 다른 값을 줄 수 없고, 그림으로는 두 번 뒤집으면 제자리라는 말입니다.

여기까지가 수의 자리를 넓히는 이야기입니다. 다음 글에서는 유리수를 실제로 계산합니다. 분수를 더하고 빼고 곱하고, 나눗셈이 왜 뒤집어 곱하는 것이 되는지까지 갑니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊