분수의 사칙연산: 나눗셈이 왜 역수의 곱인가

4번 글에서 나눗셈을 할 때마다 답이 둘로 나왔습니다. $7 \div 2$ 는 몫이 3이고 나머지가 1입니다. 답이 두 개인 셈입니다.

나머지를 남기지 않고 답 하나로 적으려면 새 표기가 필요합니다. 그것이 분수입니다.

끝내지 않은 나눗셈

$\frac{7}{2}$ 는 「7을 2로 나눈 것」을 계산하지 않고 그대로 적어 둔 것입니다. 나눗셈 기호를 위아래로 눕혔다고 보면 됩니다.

• 분자(위) — 나뉘는 수
• 분모(아래) — 나누는 수

그래서 $\frac{7}{2}$ 를 두 배 하면 7이 됩니다. 나눈 것을 되돌린 것이니까요.

분모에는 0이 올 수 없습니다. $\frac{7}{0}$ 이 어떤 값 $x$ 라면 $0 \times x = 7$ 이어야 하는데, 0에 무엇을 곱해도 0이라 그런 $x$ 가 없습니다. 값이 이상한 것이 아니라 값이 아예 없습니다.

0.333과 1/3

$1 \div 3$ 을 끝까지 계산하면 어떻게 될까요. 3이 끝없이 이어집니다. 어디서 끊든 원래 값이 아닙니다.

$0.333 \times 3 = 0.999$

1이 안 나옵니다. 소수점 아래를 아무리 늘려도 마찬가지입니다 — 0.3333을 세 배 하면 0.9999이고, 언제나 1에서 조금 모자랍니다.

$\dfrac13$ 이라고 적어 두면 세 배 해서 정확히 1입니다. 끝내지 않았으니 잃은 것도 없습니다. 계산을 미뤄 두는 것이 손해가 아니라 이득인 자리가 여기입니다.

그래서 분수는 답을 안 낸 상태가 아니라 답을 정확하게 적어 둔 상태입니다. 「$\dfrac73$ 이 답입니다」는 미완성이 아니라 완성입니다.

두 가지 읽는 법

같은 $\dfrac34$ 를 두 가지로 읽을 수 있고 둘 다 맞습니다.

• 4등분한 것 중 3개 — 피자 한 판을 넷으로 잘라 세 조각을 든 것
• 3을 4로 나눈 답 — 3 L짜리 물을 네 명이 똑같이 나눠 가질 때 한 명의 몫

두 읽기가 같은 값이라는 것은 세어 보면 확인됩니다. 3 L를 넷으로 나누려면 1 L짜리 세 통을 각각 4등분해 한 조각씩 가져가면 되는데, 그러면 한 명이 $\dfrac14$ 짜리 조각 셋, 곧 $\dfrac34$ L를 갖습니다.

어느 읽기가 편한지는 문제마다 다릅니다. 조각을 세는 문제에서는 앞의 읽기가, 나눠 갖는 문제에서는 뒤의 읽기가 바로 식이 됩니다. 막히면 다른 쪽으로 읽어 보세요.

분모가 같은 분수끼리는 조각의 크기가 같으니 개수만 세면 됩니다. $\dfrac15, \dfrac25, \dfrac35, \dfrac45$ 는 10번 글의 수직선 위에 1, 2, 3, 4가 늘어서듯 고르게 늘어섭니다. 자연수를 셀 줄 알면 같은 분모의 분수도 셀 줄 아는 셈입니다.

세 가지 부르는 이름

분자와 분모의 크기 관계에 따라 이름이 붙습니다. 이름만 알아 두면 됩니다.

이름	모양	예
진분수	분자 < 분모, 값이 1보다 작다	$\dfrac{3}{4}$
가분수	분자 ≥ 분모, 값이 1 이상이다	$\dfrac{7}{2}$
대분수	정수 부분과 진분수를 나란히 적은 것	$3\dfrac{1}{2}$

대분수 $3\frac{1}{2}$ 은 $3 + \frac{1}{2}$ 의 줄임말입니다. 곱셈이 아니라 덧셈이 생략된 것이라 계산에서 자주 헷갈립니다. 그래서 계산할 때는 먼저 가분수로 바꿔 놓습니다.

$3\frac{1}{2} = \frac{3 \times 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

정수 부분 3을 $\frac{6}{2}$ 으로 보고 $\frac{1}{2}$ 을 더한 것입니다. 되돌릴 때는 $7 \div 2$ 의 몫 3이 정수 부분, 나머지 1이 분자가 됩니다. 4번 글의 몫과 나머지가 여기서 그대로 쓰입니다.

약분과 통분

분수는 같은 값을 여러 모양으로 적을 수 있습니다.

$\frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \frac{9}{12}$

분자와 분모에 같은 수를 곱하면 값이 안 변합니다. 나뉘는 쪽과 나누는 쪽을 똑같이 키웠으니 몫은 그대로입니다. 케이크를 두 배로 잘게 자르고 두 배로 많이 가져가면 먹는 양이 같은 것과 같습니다.

이 성질을 두 방향으로 씁니다.

• 약분 — 분자와 분모를 공약수로 나눠 작게 만든다
• 통분 — 여러 분수의 분모를 같은 수로 맞춘다

약분은 5번 글의 최대공약수로, 통분은 같은 글의 최소공배수로 합니다. 구하는 절차는 거기서 이미 세웠으니 여기서는 가져다 쓰기만 합니다.

$\frac{18}{24} \;\to\; \gcd(18, 24) = 6 \;\to\; \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$

더 나눌 공약수가 없는 $\frac{3}{4}$ 를 기약분수라고 합니다. 답은 늘 기약분수로 적습니다. 약분하지 않은 답은 틀린 것은 아니지만 다 푼 것도 아닙니다.

통분은 반대 방향입니다. $\frac{5}{12}$ 과 $\frac{7}{18}$ 을 견주려면 분모를 같게 만들어야 합니다. 12와 18의 최소공배수는 36이므로 각각 3배, 2배 합니다.

$\frac{5}{12} = \frac{15}{36}, \qquad \frac{7}{18} = \frac{14}{36}$

아무 공배수나 써도 값은 맞습니다. 216으로 맞춰도 틀리지 않습니다. 다만 수가 커져 뒤에서 다시 약분해야 하므로 최소공배수를 씁니다.

서로소와 배수 관계

최소공배수를 구하는 절차는 5번 글에 있지만, 통분에서 자주 나오는 두 경우는 절차를 다 밟지 않아도 바로 나옵니다.

• 두 분모의 공약수가 1뿐이면 — 이런 두 수를 서로소라고 합니다 — 최소공배수는 그냥 둘을 곱한 값입니다. 3과 5면 15, 4와 7이면 28입니다.
• 한쪽이 다른 쪽의 배수이면 큰 쪽이 곧 최소공배수입니다. 3과 12면 12이고, 작은 쪽만 4배 하면 끝납니다.

$\frac{1}{3} + \frac{5}{12} = \frac{4}{12} + \frac{5}{12} = \frac{9}{12} = \frac34$

이 둘에 안 걸리는 나머지가 절차를 밟아야 하는 경우입니다. 12와 18처럼 공약수가 있으면서 배수 관계도 아닌 자리인데, 그때는 곱한 값 216 대신 최소공배수 36을 씁니다.

소인수분해로 한 번에 지우기

큰 수를 약분할 때 공약수를 하나씩 찾아 나누다 보면 몇 번이나 더 나눠야 하는지 알 수 없습니다. 분자와 분모를 함께 소인수분해해 두면 지울 것이 한눈에 보입니다.

$\frac{84}{126} = \frac{2 \times 2 \times 3 \times 7}{2 \times 3 \times 3 \times 7}$

위아래에 공통으로 있는 2와 3과 7을 지웁니다. 남는 것은 위에 2, 아래에 3이므로 $\dfrac23$ 입니다.

최대공약수를 따로 구할 필요가 없습니다. 지운 것을 다 곱한 $2 \times 3 \times 7 = 42$ 가 곧 최대공약수이니, 약분하는 동안 그것도 같이 구해집니다.

기약분수인지 확인하기

약분을 끝냈는지 어떻게 알까요. 남은 분자와 분모의 공약수가 1뿐이면 끝난 것입니다.

$\dfrac{12}{18}$ 을 2로 나눠 $\dfrac69$ 를 얻고 멈추면 안 됩니다. 6과 9에 아직 3이라는 공약수가 남아 있습니다. 3으로 한 번 더 나눠야 $\dfrac23$ 이 됩니다.

빨리 확인하는 요령이 몇 개 있습니다.

• 위아래가 둘 다 짝수이면 아직 2로 나눌 수 있습니다.
• 각 자리 수를 더해 3의 배수가 되면 그 수도 3의 배수입니다. 위아래 둘 다 그러면 3으로 나눌 수 있습니다.
• 분자가 1이면 더 약분할 것이 없습니다.

덧셈과 뺄셈

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ 을 분모끼리, 분자끼리 더해 $\frac{2}{5}$ 라고 적는 실수가 아주 흔합니다. 왜 안 되는지는 그림 하나로 끝납니다.

$\frac{2}{5}$ 는 $\frac{1}{2}$ 보다 작습니다. 무언가를 더했는데 결과가 처음 것보다 작아졌으니 답이 될 수 없습니다.

분모는 조각의 크기이고 분자는 그 개수입니다. 개수는 조각 크기가 같을 때만 더할 수 있습니다. 그래서 먼저 같은 크기로 다시 자릅니다.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

한 번 더 해 봅니다. $\frac{3}{4} + \frac{5}{6}$ 입니다. 4와 6의 최소공배수는 12이므로 분모를 12로 맞춥니다.

$\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12}$

뺄셈도 똑같습니다. 통분한 뒤 분자끼리 뺍니다.

대분수의 덧셈

대분수끼리 더할 때는 전부 가분수로 바꿔도 되고, 정수끼리·분수끼리 나눠 더해도 됩니다.

$2\frac13 + 1\frac12 = (2+1) + \left(\frac13+\frac12\right) = 3 + \frac56 = 3\frac56$

수가 클 때는 이쪽이 훨씬 가볍습니다. $12\frac13 + 9\frac12$ 을 가분수로 바꾸면 $\dfrac{37}{3}+\dfrac{19}{2}$ 가 되어 분자가 커지는데, 나눠 더하면 정수 부분은 21이고 분수 부분만 따로 $\dfrac56$ 입니다.

분수 부분을 더한 값이 1을 넘으면 넘은 만큼을 정수 쪽으로 올립니다.

$2\frac34 + 1\frac25 = 3 + \frac{23}{20} = 3 + 1\frac{3}{20} = 4\frac{3}{20}$

받아내림

뺄 때는 분수 부분이 모자라는 일이 생깁니다.

$5\frac13 - 2\frac56$

$\dfrac13$ 에서 $\dfrac56$ 을 뺄 수 없습니다. 정수 부분에서 1을 빌려 옵니다 — 빌려 온 1을 $\dfrac66$ 으로 바꿔 분수 쪽에 더합니다.

$5\frac13 = 4 + 1 + \frac26 = 4 + \frac66 + \frac26 = 4\frac86$

이제 뺄 수 있습니다.

$4\frac86 - 2\frac56 = (4-2) + \left(\frac86-\frac56\right) = 2\frac36 = 2\frac12$

빌려 온 1을 어떤 분수로 바꿀지는 분모가 정합니다. 분모가 6이면 $\dfrac66$, 12면 $\dfrac{12}{12}$ 입니다. 4번 글에서 10을 빌려 오던 받아내림과 같은 일인데, 여기서는 빌려 오는 단위가 분모입니다.

헷갈리면 가분수로 바꿔 계산하세요. $\dfrac{16}{3}-\dfrac{17}{6} = \dfrac{32}{6}-\dfrac{17}{6} = \dfrac{15}{6} = \dfrac52$ 로 한 줄이고 답이 같습니다.

세 분수 이상

셋 이상을 더할 때 둘씩 차례로 통분하면 분모가 계속 바뀌어 번거롭습니다. 처음부터 셋의 최소공배수로 한꺼번에 맞추는 편이 짧습니다.

$\frac12+\frac13+\frac14 = \frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12} = \frac{13}{12}$

2와 3과 4의 최소공배수가 12입니다. 둘씩 했다면 $\dfrac12+\dfrac13=\dfrac56$ 을 얻고 다시 $\dfrac56+\dfrac14$ 를 12로 통분해야 해서 통분을 두 번 합니다. 답은 같지만 걸음이 늘고, 걸음이 늘면 실수도 늡니다.

두 번 자르는 곱셈

$\frac{2}{3} \times \frac{3}{5}$ 는 「전체의 $\frac{3}{5}$ 만큼을 잡고, 그중에서 다시 $\frac{2}{3}$ 만큼」이라는 뜻입니다.

가로를 5칸으로 나눠 3칸을 잡고, 세로를 3칸으로 나눠 2칸을 잡으면 전체 15칸 중 6칸이 겹칩니다.

$\frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{2 \times 3}{3 \times 5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

분자끼리, 분모끼리 곱합니다. 통분이 필요 없습니다. 자른 조각 위에서 다시 자르는 것이니 크기를 맞출 일이 없기 때문입니다.

곱하기 전에 약분해 두면 계산이 가벼워집니다. 위에서도 3이 위아래에 있으므로 먼저 지우면 $\frac{2}{5}$ 가 바로 나옵니다.

곱했는데 작아지는 자리

방금 답이 두 수보다 다 작았습니다. 곱셈은 커지는 계산이라고 배운 사람에게는 이상하게 보입니다.

1보다 작은 수를 곱하는 것은 전체의 일부만 가져오는 것이라 그렇습니다. $\dfrac35$ 를 곱하면 원래 것의 5분의 3만 남습니다. 자연수를 곱할 때 커졌던 것은 그 자연수가 1보다 컸기 때문입니다.

곱하는 수	결과
1보다 크다	원래보다 커진다
1이다	그대로다
1보다 작다	원래보다 작아진다

이 표가 다음 절의 나눗셈에서 그대로 뒤집힙니다. 계산을 시작하기 전에 답이 커질지 작아질지를 먼저 말해 두면 검산이 저절로 됩니다.

자연수는 분모 1인 분수

$\dfrac{4}{9} \times 6$ 처럼 한쪽이 자연수여도 규칙은 하나입니다. 6을 $\dfrac61$ 로 보면 됩니다.

$\frac{4}{9} \times \frac61 = \frac{24}{9} = \frac83$

모든 자연수는 분모가 1인 분수입니다. 이렇게 보고 나면 자연수와 분수가 섞인 계산에 따로 외울 규칙이 없습니다. 나눗셈도 마찬가지여서, 6으로 나누는 것은 $\dfrac16$ 을 곱하는 것입니다.

곱하기 전에 약분해 두면 가볍습니다. 위에서 6과 9를 먼저 3으로 지우면 $\dfrac43 \times \dfrac21$ 이라 곧바로 $\dfrac83$ 입니다. 24와 9를 만든 뒤에 약분하는 것보다 다루는 수가 작습니다.

「~의」를 곱으로 읽기

문장에 나오는 「~의」는 곱셈입니다.

• 「전체의 $\dfrac23$」 은 $\dfrac23$ 을 곱하는 것
• 「그중에서 다시 절반」 은 $\dfrac12$ 을 곱하는 것
• 「$\dfrac35$ 의 $\dfrac23$」 은 $\dfrac35 \times \dfrac23$

「12의 $\dfrac23$」은 $12 \times \dfrac23 = 8$ 입니다. 「12를 3등분한 것 중 2개」와 같은 말이고 답도 같습니다.

여러 번 겹쳐도 차례로 곱하면 됩니다. 「한 통의 $\dfrac12$ 를 마시고, 남은 것의 $\dfrac13$ 을 또 마셨다」면 두 번째로 마신 양은 $\dfrac12 \times \dfrac13 = \dfrac16$ 통입니다. 남은 것은 $\dfrac12 - \dfrac16 = \dfrac13$ 통입니다.

나눗셈과 역수

「뒤집어서 곱한다」는 규칙을 외운 사람은 많지만 왜 그런지는 대개 배우지 않습니다. 나눈다는 말이 원래 무엇을 묻는 것인지로 돌아가면 나옵니다.

$3 \div \frac{1}{2}$ 는 이렇게 읽습니다 — 3 안에 $\frac{1}{2}$ 이 몇 개 들어가는가.

1 안에 $\frac{1}{2}$ 이 2개 들어가니 3 안에는 6개입니다. 그리고 $3 \times 2 = 6$ 입니다. 뒤집어 곱한 것과 답이 같습니다.

$\frac{1}{2}$ 이 아니라 $\frac{2}{3}$ 으로 나눠도 같습니다. 1 안에 $\frac{2}{3}$ 이 $\frac{3}{2}$ 개 들어가므로, 나누는 수를 뒤집은 $\frac{3}{2}$ 가 곱해집니다.

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

뒤집은 $\frac{d}{c}$ 를 $\frac{c}{d}$ 의 역수라고 부릅니다. 어떤 수와 그 역수를 곱하면 1입니다.

$\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{6}{6} = 1$

그래서 실제 계산은 이렇게 됩니다.

$\frac{2}{3} \div \frac{4}{9} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

$\frac{2}{3}$ 보다 답이 커졌습니다. 1보다 작은 수로 나누면 몫이 커집니다. 작은 조각일수록 많이 들어가니 당연한 일인데, 나눗셈은 줄어드는 계산이라는 습관 때문에 여기서 자주 흔들립니다.

나눗셈의 두 뜻

나눗셈이 묻는 것이 둘이고, 분수에서는 둘을 갈라 두는 것이 도움이 됩니다.

• 몇 개 들어가는가 — 12를 3으로 나누면 「12 안에 3이 4개」
• 하나가 얼마인가 — 12를 3으로 나누면 「3명이 나눠 가지면 한 명이 4」

자연수에서는 답이 같아 구별할 일이 없습니다. 그런데 분수로 나눌 때는 앞의 읽기라야 말이 됩니다. $3 \div \dfrac12$ 를 「$\dfrac12$ 명이 나눠 갖는다」로는 읽을 수 없지만 「3 안에 $\dfrac12$ 이 몇 개」로는 읽을 수 있습니다.

거꾸로 분수를 자연수로 나눌 때는 뒤의 읽기가 자연스럽습니다. $\dfrac34 \div 3$ 은 「$\dfrac34$ 를 셋이 나눠 가지면 한 명이 얼마」입니다. 둘 중 말이 되는 쪽으로 읽으면 식이 저절로 섭니다.

분수를 자연수로 나누기

$\dfrac34 \div 3$ 을 조각으로 봅니다. 4등분한 것 중 세 조각을 셋이 나누면 한 명이 한 조각, 곧 $\dfrac14$ 입니다.

$\frac34 \div 3 = \frac34 \times \frac13 = \frac{3}{12} = \frac14$

떨어지지 않으면 조각을 더 잘라야 합니다. $\dfrac34 \div 2$ 는 세 조각을 둘로 못 가르니, 4등분을 8등분으로 다시 잘라 여섯 조각으로 만든 뒤 셋씩 나눕니다.

$\frac34 \div 2 = \frac34 \times \frac12 = \frac38$

분수를 자연수로 나누면 분모가 커집니다. 조각을 더 잘게 잘랐다는 뜻이고, 개수가 아니라 크기가 줄어든 것입니다. 앞 절의 「1보다 작은 수를 곱하면 작아진다」가 그대로 적용된 자리입니다 — 2로 나누는 것은 $\dfrac12$ 을 곱하는 것이니까요.

번분수

나눗셈을 분수 한 줄로 겹쳐 적을 수도 있습니다. 분자나 분모에 다시 분수가 든 것을 번분수라고 합니다.

$\frac{\ \dfrac23\ }{\dfrac45}$

분수는 나눗셈이므로 이것은 $\dfrac23 \div \dfrac45$ 와 같은 말입니다. 그러니 뒤집어 곱하면 됩니다.

$\frac23 \times \frac54 = \frac{10}{12} = \frac56$

새 규칙이 아니라 새 표기입니다. 조심할 것은 어느 가로줄이 큰 나눗셈인지 헷갈리지 않게 적는 것뿐이라, 바깥쪽 가로줄을 더 길게 긋습니다.

대소 비교와 검산

$\frac{3}{4}$ 과 $\frac{5}{7}$ 중 어느 쪽이 클까요. 분자도 분모도 한쪽이 크므로 눈으로는 안 됩니다. 통분하면 조각 크기가 같아지니 개수만 보면 됩니다.

$\frac{3}{4} = \frac{21}{28}, \qquad \frac{5}{7} = \frac{20}{28} \;\Rightarrow\; \frac{3}{4} > \frac{5}{7}$

10번 글의 수직선 위에 앉히면 $\frac{5}{7}$ 이 조금 더 왼쪽입니다. 둘 다 0과 1 사이이고 $\frac{3}{4}$ 쪽이 1에 가깝습니다.

분자를 맞춰 비교하기

통분은 분모를 맞추는 것이었는데, 분자를 맞춰도 비교가 됩니다. 두 분자 4와 5를 20으로 맞춰도 되지만 여기서는 15로 맞춰 보겠습니다.

$\frac34 = \frac{15}{20}, \qquad \frac57 = \frac{15}{21}$

조각을 같은 개수 들었으면 조각이 큰 쪽이 더 많이 든 것입니다. 20등분한 조각이 21등분한 조각보다 크므로 $\dfrac34$ 가 큽니다. 분자를 맞췄을 때는 분모가 클수록 작습니다.

어느 쪽을 맞출지는 수가 정합니다. $\dfrac{3}{101}$ 과 $\dfrac{4}{103}$ 이라면 분모를 맞추는 것이 끔찍하지만 분자는 12로 쉽게 맞습니다. $\dfrac{12}{404}$ 와 $\dfrac{12}{309}$ 이므로 뒤가 큽니다.

1에서 모자란 만큼

1에 가까운 분수끼리는 1에서 얼마나 모자란가로 견주는 것이 가장 빠릅니다.

$\dfrac34$ 는 1에서 $\dfrac14$ 모자라고, $\dfrac57$ 은 $\dfrac27$ 모자랍니다.

$\dfrac14$ 와 $\dfrac27$ 을 견주면 되는데, 분자를 맞춰 $\dfrac28$ 과 $\dfrac27$ 로 보면 앞이 작습니다. 덜 모자란 쪽이 더 큽니다. 그래서 $\dfrac34 > \dfrac57$ 이고, 통분해서 얻은 답과 같습니다.

길이 여럿인 것은 낭비가 아닙니다. 수를 보고 가장 짧은 길을 고를 수 있다는 뜻입니다.

소수로 어림한 검산

답이 나오면 소수로 어림해 말이 되는지 봅니다. 3번 글의 검산 습관 그대로입니다.

$\dfrac34 = 0.75$ 이고 $\dfrac57 \approx 0.714$ 이니 앞이 큽니다. 세 자리까지만 봐도 판정이 끝납니다.

다만 어림은 판정이 아니라 검산입니다. $\dfrac57$ 과 $\dfrac{12}{17}$ 은 0.714와 0.706이라 아주 가까워서 어림을 더 늘려야 하고, 그럴 바에는 통분이 확실합니다. 어림으로 답을 정하지 말고 구한 답이 말이 되는지만 보세요.

덧셈에서도 같습니다. $\dfrac37+\dfrac14 = \dfrac{19}{28}$ 을 얻었으면 $0.43+0.25 = 0.68$ 이고 $\dfrac{19}{28} \approx 0.679$ 라 맞습니다. 만약 분모끼리 분자끼리 더해 $\dfrac{4}{11}$ 이라고 적었다면 0.36이라 어림과 한참 달라 바로 걸립니다.

연습 문제

연습 — 분수 계산 스무 문제

답은 끝까지 약분해서 적으세요. 그리고 3번 글의 검산 습관대로, 답이 나오면 소수로 어림해 말이 되는지 한 번씩 확인하세요. 대분수는 가분수로 바꾸고 시작하면 실수가 줄어듭니다. 괄호가 있으면 2번 글의 순서를 따릅니다.

1. $\frac{2}{5} + \frac{1}{3}$

   $\frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}$ — 약 $0.73$ 이고 $0.4 + 0.33$ 과 맞습니다.
2. $\frac{5}{8} - \frac{1}{6}$

   $\frac{15}{24} - \frac{4}{24} = \frac{11}{24}$ — 약 $0.46$ 입니다.
3. $\frac{7}{10} + \frac{3}{4}$

   $\frac{14}{20} + \frac{15}{20} = \frac{29}{20}$ — 1보다 큽니다. $1.45$ 입니다.
4. $\frac{5}{6} - \frac{7}{9}$

   $\frac{15}{18} - \frac{14}{18} = \frac{1}{18}$ — 두 수가 거의 같으니 답이 아주 작습니다.
5. $\frac{3}{8} \times \frac{4}{9}$

   4와 8을, 3과 9를 먼저 약분하면 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ 입니다.
6. $\frac{5}{12} \times \frac{9}{10}$

   5와 10을, 9와 12를 약분하면 $\frac{1}{4} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{8}$ 입니다.
7. $\frac{7}{15} \times 5$

   5를 $\frac{5}{1}$ 로 보면 $\frac{35}{15} = \frac{7}{3}$ 입니다.
8. $\frac{4}{7} \div \frac{2}{3}$

   $\frac{4}{7} \times \frac{3}{2} = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}$ 입니다.
9. $\frac{5}{9} \div \frac{10}{3}$

   $\frac{5}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$ 입니다. 1보다 큰 수로 나눴으니 작아졌습니다.
10. $6 \div \frac{3}{4}$

    $6 \times \frac{4}{3} = 8$ 입니다. 1보다 작은 수로 나눴으니 커졌습니다.
11. $\frac{3}{4} \div 6$

    6의 역수는 $\frac{1}{6}$ 이므로 $\frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ 입니다.
12. $1\frac{1}{2} + 2\frac{2}{3}$

    $\frac{3}{2} + \frac{8}{3} = \frac{9}{6} + \frac{16}{6} = \frac{25}{6}$ 이고 대분수로는 $4\frac{1}{6}$ 입니다.
13. $3\frac{1}{4} - 1\frac{5}{6}$

    $\frac{13}{4} - \frac{11}{6} = \frac{39}{12} - \frac{22}{12} = \frac{17}{12}$ 이고 $1\frac{5}{12}$ 입니다.
14. $2\frac{1}{3} \times 1\frac{2}{7}$

    $\frac{7}{3} \times \frac{9}{7} = 3$ 입니다. 7끼리, 3과 9가 약분됩니다.
15. $1\frac{1}{5} \div 2\frac{2}{5}$

    $\frac{6}{5} \times \frac{5}{12} = \frac{1}{2}$ 입니다. 나뉘는 수가 나누는 수의 절반이니 맞습니다.
16. $\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{3}\right) \times \frac{12}{7}$

    괄호 안이 $\frac{7}{12}$ 이고 곱하면 $1$ 입니다. 서로 역수였습니다.
17. $\frac{2}{3} \times \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{2}\right)$

    괄호 안이 $\frac{1}{4}$ 이므로 $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ 입니다.
18. $\left(\frac{5}{6} - \frac{1}{3}\right) \div \frac{1}{4}$

    괄호 안이 $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ 이고 $\frac{1}{2} \times 4 = 2$ 입니다.
19. $\frac{3}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}$

    곱셈이 먼저입니다. $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ 이고 $\frac{9}{15} + \frac{10}{15} = \frac{19}{15}$ 입니다.
20. $1 - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\right) \div \frac{4}{3}$

    괄호 안이 $\frac{2}{3}$, 나누면 $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$, 빼면 $\frac{1}{2}$ 입니다.

19번과 20번에서 곱셈·나눗셈을 먼저 하지 않고 왼쪽부터 차례로 계산했다면 답이 달라집니다. 괄호가 없는 자리의 순서는 2번 글로 한 번 돌아가 확인하세요.

정리

• 분수는 끝내지 않은 나눗셈입니다. 분자가 나뉘는 수, 분모가 나누는 수이고, 분모가 0인 분수는 값이 없습니다. 끝까지 나누면 $\dfrac13$ 처럼 정확히 적을 수 없는 값이 생깁니다.
• 같은 분수를 「몇 등분한 것 중 몇 개」로도 「나눗셈의 답」으로도 읽을 수 있고, 문제에 따라 편한 쪽이 다릅니다.
• 분자와 분모에 같은 수를 곱해도 값이 안 변합니다. 이것을 줄이는 쪽으로 쓰면 약분, 맞추는 쪽으로 쓰면 통분입니다. 위아래를 함께 소인수분해하면 지울 것이 한눈에 보입니다.
• 분모는 조각의 크기, 분자는 그 개수입니다. 그래서 덧셈·뺄셈은 통분부터 하고, 곱셈은 통분이 필요 없습니다. 대분수의 뺄셈에서는 1을 분모 꼴로 빌려 옵니다.
• 나눗셈은 「몇 개 들어가는가」를 묻는 것이고, 그래서 역수를 곱하는 것이 됩니다. 1보다 작은 수로 나누면 몫이 커집니다.
• 대소는 통분해서 분자만 비교합니다. 분자를 맞춰 분모를 비교해도 되고, 1에서 모자란 만큼으로 견주어도 됩니다.

다음 글에서는 같은 양을 소수와 백분율로도 적어 봅니다. $\frac{3}{4}$ 과 $0.75$ 와 $75\%$ 가 왜 같은 것인지, 그리고 나눠서 안 떨어지는 분수는 소수로 어떻게 되는지까지 갑니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊