전개와 인수분해: 괄호를 풀고 다시 묶기

지난 글의 연습에서 $(a+b)^2$ 과 $a^2 + b^2$ 이 다른 값이 나왔습니다. $a = 3$, $b = -2$ 에서 하나는 1이고 하나는 13이었습니다.

왜 다른지, 그리고 정확히 얼마나 다른지를 이 글에서 답합니다. 그러려면 괄호를 푸는 조작이 필요합니다.

분배법칙과 전개 절차

10번 글에서 수에 대해 세운 것이 있습니다.

$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$

분배법칙입니다. 가로 $a$, 세로 $b+c$ 인 직사각형을 세로로 자르면 넓이가 두 조각으로 나뉜다 — 그 그림이 이 식이었습니다.

문자가 들어와도 그대로 성립합니다. 괄호를 이렇게 푸는 것을 전개라고 합니다.

$2(x + 3) = 2x + 6$

괄호가 둘일 때도 같습니다. 앞 괄호의 각 항을 뒤 괄호의 각 항에 하나씩 곱합니다.

$(x + 2)(x + 5) = x^2 + 5x + 2x + 10 = x^2 + 7x + 10$

$x$ 짜리 두 항이 지난 글의 동류항이므로 합쳐서 $7x$ 가 됐습니다.

전개는 절차입니다. 빠뜨리지만 않으면 늘 됩니다.

자리별 곱과 항별 곱

이 절차는 문자가 들어오면서 새로 생긴 것이 아닙니다. 두 자리 수끼리의 곱셈을 손으로 할 때 이미 하고 있던 일입니다.

$23 \times 45$ 를 자리로 풀면 $(20+3)(40+5)$ 이고, 여기서 곱이 넷 나옵니다. $800$, $100$, $120$, $15$ 를 더하면 $1035$ 입니다. 4번 글에서 세로셈을 자리별로 쪼개 본 것이 이것이었습니다.

$(x+2)(x+5)$ 도 곱이 넷입니다. $x^2$, $5x$, $2x$, $10$ 입니다. 다른 점은 하나뿐입니다. 수는 자리마다 크기가 정해져 있어 $100+120$ 처럼 바로 더해지지만, 문자는 $x$ 에 무엇이 들어올지 모르므로 $5x + 2x$ 까지만 합치고 $x^2$ 과는 못 합칩니다. 동류항끼리만 합친다는 규칙이 여기서 나옵니다.

곱의 개수 세기

항이 셋 이상인 괄호가 나오면 빠뜨리기 시작합니다. 그래서 곱을 시작하기 전에 몇 개가 나와야 하는지부터 세어 둡니다. 앞 괄호의 항 수와 뒤 괄호의 항 수를 곱한 값입니다.

$(x+2)(x^2-3x+1)$

앞이 두 항, 뒤가 세 항이므로 곱은 $2 \times 3 = 6$ 개여야 합니다. 하나씩 적습니다.

$x \cdot x^2 + x \cdot (-3x) + x \cdot 1 + 2 \cdot x^2 + 2 \cdot (-3x) + 2 \cdot 1$

$= x^3 - 3x^2 + x + 2x^2 - 6x + 2$

여섯 개가 다 나왔습니다. 이제 동류항을 합칩니다. $x^2$ 끼리 $-3x^2 + 2x^2 = -x^2$ 이고, $x$ 끼리 $x - 6x = -5x$ 입니다.

$(x+2)(x^2-3x+1) = x^3 - x^2 - 5x + 2$

여섯을 미리 세어 두는 습관이 검산의 절반입니다. 다 적고 나서 개수가 다섯이면 하나를 빠뜨린 것이고, 어느 짝이 빠졌는지는 앞 항과 뒤 항을 표처럼 훑으면 금방 찾습니다.

항의 부호

전개에서 실제로 가장 많이 나는 실수는 곱셈이 아니라 부호입니다. 뺄셈을 "빼기"로 읽지 말고 그 항의 부호로 읽습니다. $x-5$ 는 "$x$ 에서 5를 뺀 것"이 아니라 "$x$ 와 $-5$ 를 더한 것"으로 봅니다. 그러면 부호가 항에 붙어 함께 움직입니다.

$-2(x-5) = (-2) \cdot x + (-2) \cdot (-5) = -2x + 10$

괄호 앞의 $-2$ 도 부호를 달고 들어가고, 안쪽의 $-5$ 도 부호를 단 채로 곱해집니다. 음수끼리의 곱이 양수라 끝 항이 $+10$ 입니다. 여기서 $-2x - 10$ 이라고 적는 것이 가장 흔한 실수입니다.

$(x-2)(x+6) = x^2 + 6x - 2x - 12 = x^2 + 4x - 12$

네 곱 중 부호가 붙은 것은 $-2$ 가 낀 둘입니다. $-2 \cdot x = -2x$ 이고 $-2 \cdot 6 = -12$ 입니다.

부호가 섞인 전개는 $x$ 에 아무 수나 넣어 검산합니다. 위 식에 $x=1$ 을 넣으면 왼쪽은 $(-1)(7) = -7$ 이고 오른쪽은 $1+4-12 = -7$ 입니다. 부호를 하나 틀리면 이 값이 어긋나므로 그 자리에서 잡힙니다.

곱셈 공식

자주 나오는 세 모양에는 이름이 붙어 있습니다. 다만 외워야 할 것은 아닙니다.

(a+b)²

6번 글에서 도형의 넓이를 잘라 붙여 구했습니다. 여기서도 같은 그림을 씁니다.

한 변이 $a + b$ 인 정사각형을 $a$ 와 $b$ 로 끊어 자르면 네 조각이 나옵니다. $a^2$, $ab$, $ab$, $b^2$ 입니다.

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$a^2 + b^2$ 이 아닌 이유가 그림에 그대로 있습니다. 가운데 두 조각 $2ab$ 를 통째로 버린 것이 $a^2 + b^2$ 입니다.

지난 글의 값으로 확인해 봅니다. $a = 3$, $b = -2$ 이면 $2ab = -12$ 이고, $13 + (-12) = 1$ 입니다. 정확히 맞습니다.

(a−b)²

같은 그림에서 나옵니다. 한 변 $a$ 인 정사각형에서 폭 $b$ 인 띠를 가로세로로 하나씩 떼어 내면, 겹치는 모서리의 $b^2$ 을 두 번 뺀 셈이 됩니다. 한 번 되돌려 줍니다.

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

가운데 항의 부호만 바뀝니다. 그런데 그림을 다시 그릴 것도 없이 앞의 공식에 $b$ 대신 $-b$ 를 넣기만 해도 됩니다.

$(a + (-b))^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(-b)^2 = b^2$ 이라 끝 항은 그대로이고 가운데만 부호가 뒤집혔습니다. 그러므로 외울 공식은 사실 셋이 아니라 둘입니다 — 제곱 공식 하나와 합차 공식 하나입니다. 뺄셈 쪽은 부호를 항에 붙여 다니는 앞 절의 습관이 있으면 자동으로 따라옵니다.

(a+b)(a−b)

이것은 잘라 붙이는 그림이 더 깔끔합니다.

한 변 $a$ 인 정사각형에서 한 변 $b$ 인 정사각형을 도려냅니다. 남은 ㄱ자를 한 번 잘라 옮겨 붙이면 가로 $a+b$, 세로 $a-b$ 인 직사각형이 됩니다.

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

13번 글에서 유리화할 때 켤레를 곱하면 분모의 근호가 사라졌던 것이 이 공식입니다. $(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = 5 - 3$ 이었습니다.

이 공식은 수 계산 요령으로도 그대로 쓰입니다. $103 \times 97$ 을 세로셈으로 하려면 곱이 넷이지만, 두 수가 100에서 3만큼 위아래로 떨어져 있다는 것을 보면 한 줄로 끝납니다.

$103 \times 97 = (100+3)(100-3) = 100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991$

$48 \times 52$ 도 같습니다. $50^2 - 2^2 = 2500 - 4 = 2496$ 입니다. 가운데 값을 기준으로 같은 거리만큼 벌어진 두 수의 곱이면 늘 이렇게 갑니다.

(a+b+c)²

항이 셋인 제곱도 그림이 그대로 통합니다. 한 변이 $a+b+c$ 인 정사각형을 가로세로로 각각 세 토막 내면 조각이 $3 \times 3 = 9$ 개 생깁니다.

대각선에 놓인 세 조각이 $a^2$, $b^2$, $c^2$ 이고, 나머지 여섯 조각은 둘씩 짝을 이룹니다. $ab$ 가 두 개, $bc$ 가 두 개, $ca$ 가 두 개입니다.

$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

항이 여섯인 것도 미리 셀 수 있습니다. 제곱은 같은 것을 두 번 곱하는 것이니 곱이 $3 \times 3 = 9$ 개 나오고, 그중 셋이 대각선의 제곱이며 남은 여섯이 둘씩 합쳐져 세 종류가 됩니다. 그래서 서로 다른 항은 $3 + 3 = 6$ 개입니다.

인수분해

전개의 반대 방향입니다. 더하기로 늘어놓은 식을 곱의 모양으로 되돌립니다.

$x^2 + 7x + 10 \;\to\; (x+2)(x+5)$

전개는 절차라 금방 익습니다. 인수분해는 찾기라서 훈련이 필요합니다. 뒤에서 실제로 막히는 쪽은 늘 이쪽입니다. 세 가지로 나눠 익힙니다.

공통인수 빼기

모든 항에 들어 있는 것을 밖으로 꺼냅니다. 분배법칙을 거꾸로 쓰는 것입니다.

$6x^2 + 4x = 2x(3x + 2)$

$6$ 과 $4$ 의 공약수 2, 그리고 두 항에 다 있는 $x$ 를 꺼냈습니다. 가장 먼저 확인할 것이 이것입니다. 공통인수를 빼 두면 남은 식이 작아져 뒤가 쉬워집니다.

항이 넷이면서 모든 항에 공통인 것이 없을 때는 둘씩 나눠 묶으면 공통인수가 새로 생깁니다.

$ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)$

앞의 두 항에서 $a$ 를, 뒤의 두 항에서 $b$ 를 꺼내니 양쪽에 $x+y$ 라는 같은 덩어리가 남았습니다. 그 덩어리를 다시 공통인수로 꺼낸 것입니다. 수로 확인해 봅니다. $a=2$, $b=3$, $x=4$, $y=5$ 이면 왼쪽은 $8+10+12+15 = 45$ 이고 오른쪽은 $5 \times 9 = 45$ 입니다.

어떻게 짝지어 묶을지는 해 보고 정합니다. 위 식을 $ax+bx$ 와 $ay+by$ 로 나눠 묶어도 $x(a+b) + y(a+b) = (a+b)(x+y)$ 로 같은 곳에 닿습니다.

곱셈 공식 되돌리기

위에서 만든 셋을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽습니다.

이 모양이 보이면	이렇게 묶는다
$a^2 + 2ab + b^2$	$(a+b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2$	$(a-b)^2$
$a^2 - b^2$	$(a+b)(a-b)$

$x^2 + 10x + 25$ 를 봅니다. 첫 항이 $x^2$, 끝 항이 $5^2$, 가운데가 $2 \times x \times 5$ 입니다. 모양이 맞으므로 $(x+5)^2$ 입니다.

$x^2 - 16$ 은 $x^2 - 4^2$ 이므로 $(x+4)(x-4)$ 입니다. 제곱에서 제곱을 뺀 모양은 눈에 익혀 두면 가장 빨리 알아보게 됩니다.

여기서 한 가지를 놓치기 쉽습니다. 제곱인 것은 문자만이 아니라 계수도 포함합니다.

$4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x+5)(2x-5)$

$4$ 가 $2^2$ 이므로 $4x^2$ 은 통째로 $(2x)^2$ 입니다. $9x^2 - 16y^2$ 도 $(3x)^2 - (4y)^2$ 이라 $(3x+4y)(3x-4y)$ 가 됩니다. 계수가 1이 아니라고 해서 이 갈래에서 빠지는 것이 아니라, 계수 자체가 제곱인지를 보면 됩니다. 4, 9, 16, 25, 36을 제곱으로 알아보는 눈이 여기서 필요합니다.

두 수 찾기

$x^2 + 7x + 12$ 처럼 완전제곱도 아니고 차도 아닌 것이 남습니다.

$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$

이 모양을 되돌리려면 곱하면 12, 더하면 7이 되는 두 수를 찾으면 됩니다. 12를 만드는 짝을 늘어놓고 합을 봅니다.

두 수	곱	합
1, 12	12	13
2, 6	12	8
3, 4	12	7

$x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4)$

부호가 섞이면 이렇게 봅니다. 끝 항이 음수이면 두 수의 부호가 다르고, 양수이면 같습니다. 같을 때는 가운데 항의 부호가 곧 두 수의 부호입니다.

$x^2 - 2x - 8$ 은 끝이 음수이므로 부호가 다른 짝을 찾습니다. 곱이 $-8$, 합이 $-2$ 인 두 수는 $-4$ 와 $2$ 이므로 $(x-4)(x+2)$ 입니다.

전개로 검산

인수분해는 찾기라서 맞았는지 스스로 확인하는 마무리가 필요합니다. 방법은 하나뿐이고 늘 됩니다. 묶은 결과를 도로 전개해 원래 식으로 돌아오는지 보는 것입니다.

$(x-4)(x+2) = x^2 + 2x - 4x - 8 = x^2 - 2x - 8$

원래 식으로 돌아왔습니다. 전개는 절차라 틀릴 일이 적으니, 찾기의 결과를 절차로 검사하는 셈입니다. 다 펴 보기가 번거로우면 가운데 항 하나만 맞춰 봐도 대부분 걸립니다 — 부호나 짝을 잘못 고르면 가장 먼저 어긋나는 곳이 거기입니다.

계수가 1이 아닌 이차식

앞 절의 셋째 갈래인 두 수 찾기는 $x^2$ 의 계수가 1일 때만 그대로 통합니다. $2x^2 + 7x + 3$ 처럼 앞에 수가 붙으면 한 걸음이 더 필요합니다.

가운데 항 쪼개기

$(px+a)(qx+b) = pq\,x^2 + (pb+qa)x + ab$

이 모양을 되돌리는 절차는 이렇습니다. 첫 계수와 끝 항을 곱한 수를 만들고, 그 수를 곱으로 갖고 가운데 계수를 합으로 갖는 두 수를 찾습니다. 그 두 수로 가운데 항을 쪼갠 뒤 둘씩 묶습니다.

$2x^2 + 7x + 3$ 에서 첫 계수 2와 끝 항 3을 곱하면 6입니다. 곱이 6, 합이 7인 두 수는 1과 6 입니다. 가운데 $7x$ 를 $x + 6x$ 로 쪼갭니다.

$2x^2 + x + 6x + 3 = x(2x+1) + 3(2x+1) = (2x+1)(x+3)$

항이 넷이 되었으니 앞 절에서 익힌 "둘씩 묶기"가 그대로 쓰였습니다. 도로 펴서 확인합니다. $2x^2 + 6x + x + 3 = 2x^2 + 7x + 3$ 으로 돌아옵니다. $x=1$ 을 넣어도 왼쪽 $2+7+3=12$, 오른쪽 $3 \times 4 = 12$ 로 맞습니다.

공통인수 먼저 빼기

$2x^2 + 10x + 12$ 를 위 절차로 풀려 하기 전에 모든 항에 2가 있다는 것부터 봅니다.

$2x^2 + 10x + 12 = 2(x^2 + 5x + 6) = 2(x+2)(x+3)$

괄호 안이 계수 1짜리 이차식이 되었으므로 두 수 찾기를 그대로 쓰면 끝납니다. 공통인수를 가장 먼저 확인하라는 규칙이 여기서 값을 합니다 — 빼지 않고 갔으면 곱이 $2 \times 12 = 24$, 합이 10인 두 수를 찾느라 후보를 훨씬 많이 훑어야 했습니다.

빼낸 2를 밖에 그대로 두는 것도 잊지 않습니다. $(x+2)(x+3)$ 만 적으면 값이 절반이 됩니다.

후보의 개수

찾기가 막막하게 느껴지는 이유는 언제까지 찾아야 하는지를 모르기 때문입니다. 후보의 개수는 미리 셀 수 있습니다. 곱이 $N$ 인 두 자연수 짝은 $N$ 의 약수를 작은 쪽부터 반만 보면 다 나옵니다.

곱해서 만들 수	자연수 짝	개수
6	1·6, 2·3	2
12	1·12, 2·6, 3·4	3
24	1·24, 2·12, 3·8, 4·6	4

곱이 6이면 볼 짝이 둘뿐이라 두 번 보고 안 되면 그만입니다. 끝 항이 음수여서 부호가 다른 짝을 찾을 때는 각 짝마다 어느 쪽에 음수를 붙일지 두 경우가 있으므로 후보가 두 배가 됩니다.

세어 두면 찾기가 유한한 작업이 됩니다. 후보를 다 훑었는데 합이 안 맞으면 "내가 못 찾은 것"이 아니라 "정수로는 안 묶이는 식"입니다.

정수 범위의 한계

$x^2 + x + 1$ 을 봅니다. 곱이 1이고 합이 1인 두 정수를 찾아야 합니다. 곱이 1인 정수 짝은 $1 \cdot 1$ 과 $(-1) \cdot (-1)$ 둘뿐인데, 합이 각각 2와 $-2$ 라 1이 되지 않습니다. 후보를 다 훑었으므로 이 식은 정수 범위에서 인수분해되지 않습니다.

이런 식이 예외가 아니라 흔합니다. $x^2 + 1$ 도, $x^2 - 2$ 도 정수로는 안 묶입니다. $x^2-2$ 는 $(x+\sqrt2)(x-\sqrt2)$ 로 근호까지 쓰면 묶이지만, 어디까지를 쓸 수 있는 수로 볼 것인가에 따라 답이 달라집니다. 이 글에서는 정수 계수까지만 다룹니다.

어떤 이차식이 묶이고 어떤 것이 안 묶이는지를 후보를 훑지 않고 한 번에 판정하는 방법은 23번 · 이차함수와 포물선의 판별식이 맡습니다. 삼차 이상의 인수분해도 이 과정에서는 쓰지 않으므로 다루지 않습니다.

항등식과 방정식

1번 글에서 등호를 셋으로 갈랐습니다. 지금 손에 든 두 식으로 확인만 하고 넘어갑니다.

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$a$ 와 $b$ 에 무엇을 넣어도 참입니다. 항등식입니다.

$2x + 1 = 7$

$x = 3$ 일 때만 참입니다. 방정식입니다.

곱셈 공식은 전부 항등식이고, 그래서 아무 값이나 넣어 검산할 수 있습니다. 전개와 인수분해도 같은 식을 다른 모양으로 적은 것이니 마찬가지입니다. 이 글 전체에서 검산이 늘 "아무 값이나 넣어 보기"였던 이유가 이것입니다. 방정식을 실제로 푸는 절차는 16번 · 일차방정식과 이항의 몫입니다.

연습 문제

두 연습 모두 $x = 2$ 를 넣어 검산하세요. 전개나 인수분해는 같은 식을 다른 모양으로 적은 것이므로, 어떤 값을 넣어도 양쪽 값이 같아야 합니다. 다르면 어딘가 틀린 것입니다.

연습 1 — 전개 열 문제

1. $3(x + 4)$

   $3x + 12$. $x=2$ 에서 양쪽 다 $18$.
2. $-2(x - 5)$

   $-2x + 10$. 부호에 주의합니다. $x=2$ 에서 양쪽 다 $6$.
3. $x(x + 7)$

   $x^2 + 7x$. $x=2$ 에서 양쪽 다 $18$.
4. $(x + 3)(x + 5)$

   $x^2 + 8x + 15$. $x=2$ 에서 $5 \times 7 = 35$ 이고 $4+16+15 = 35$.
5. $(x - 2)(x + 6)$

   $x^2 + 4x - 12$. $x=2$ 에서 양쪽 다 $0$.
6. $(x + 4)^2$

   $x^2 + 8x + 16$. $x=2$ 에서 양쪽 다 $36$.
7. $(x - 5)^2$

   $x^2 - 10x + 25$. $x=2$ 에서 양쪽 다 $9$.
8. $(x + 7)(x - 7)$

   $x^2 - 49$. $x=2$ 에서 $9 \times (-5) = -45$ 이고 $4 - 49 = -45$.
9. $(2x + 1)(x - 3)$

   $2x^2 - 5x - 3$. $x=2$ 에서 $5 \times (-1) = -5$ 이고 $8 - 10 - 3 = -5$.
10. $(3x - 2)^2$

    $9x^2 - 12x + 4$. $x=2$ 에서 $4^2 = 16$ 이고 $36 - 24 + 4 = 16$.

연습 2 — 항이 셋인 괄호 세 문제

곱이 몇 개 나와야 하는지 먼저 적고 시작하세요.

1. $(x+1)(x^2+2x+3)$

   곱은 $2 \times 3 = 6$ 개입니다. $x^3+2x^2+3x+x^2+2x+3 = x^3+3x^2+5x+3$. $x=2$ 에서 $3 \times 11 = 33$ 이고 $8+12+10+3 = 33$.
2. $(x-3)(x^2+x-2)$

   곱은 6개입니다. $x^3+x^2-2x-3x^2-3x+6 = x^3-2x^2-5x+6$. $x=2$ 에서 $(-1) \times 4 = -4$ 이고 $8-8-10+6 = -4$.
3. $(a+b+c)^2$ 을 전개하고 항이 여섯인지 세어 보세요.

   곱은 $3 \times 3 = 9$ 개이고, 그중 셋이 제곱이며 나머지 여섯이 둘씩 합쳐집니다. $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ 로 항이 여섯입니다.

연습 3 — 합차 공식으로 수 계산 세 문제

1. $98 \times 102$

   $(100-2)(100+2) = 10000-4 = 9996$.
2. $47 \times 53$

   $(50-3)(50+3) = 2500-9 = 2491$.
3. $1.02 \times 0.98$

   $(1+0.02)(1-0.02) = 1 - 0.0004 = 0.9996$.

연습 4 — 인수분해 열 문제

1. $6x + 9$

   $3(2x + 3)$. $x=2$ 에서 양쪽 다 $21$.
2. $x^2 - 5x$

   $x(x - 5)$. $x=2$ 에서 양쪽 다 $-6$.
3. $4x^2 + 6x$

   $2x(2x + 3)$. $x=2$ 에서 양쪽 다 $28$.
4. $x^2 + 9x + 20$

   곱이 20, 합이 9인 두 수는 4와 5이므로 $(x+4)(x+5)$. $x=2$ 에서 양쪽 다 $42$.
5. $x^2 - 7x + 12$

   끝이 양수이고 가운데가 음수이니 둘 다 음수입니다. $(x-3)(x-4)$. $x=2$ 에서 양쪽 다 $2$.
6. $x^2 + 2x - 15$

   끝이 음수이니 부호가 다릅니다. $(x+5)(x-3)$. $x=2$ 에서 양쪽 다 $-7$.
7. $x^2 - 3x - 10$

   $(x-5)(x+2)$. $x=2$ 에서 양쪽 다 $-12$.
8. $x^2 + 12x + 36$

   $36 = 6^2$ 이고 가운데가 $2 \times 6$ 이므로 $(x+6)^2$. $x=2$ 에서 양쪽 다 $64$.
9. $x^2 - 81$

   $(x+9)(x-9)$. $x=2$ 에서 양쪽 다 $-77$.
10. $9x^2 - 16$

    $(3x)^2 - 4^2$ 이므로 $(3x+4)(3x-4)$. $x=2$ 에서 양쪽 다 $20$.

연습 5 — 넷씩 묶기와 계수가 1이 아닌 이차식 다섯 문제

1. $xy + 2x + 3y + 6$

   앞 둘에서 $x$, 뒤 둘에서 3을 꺼내면 $x(y+2) + 3(y+2) = (x+3)(y+2)$.
2. $2x^2 + 5x + 2$

   곱이 $2 \times 2 = 4$, 합이 5인 두 수는 1과 4입니다. $2x^2 + x + 4x + 2 = x(2x+1) + 2(2x+1) = (2x+1)(x+2)$. $x=2$ 에서 양쪽 다 $20$.
3. $3x^2 + 7x + 2$

   곱이 6, 합이 7인 두 수는 1과 6입니다. $3x^2 + x + 6x + 2 = x(3x+1) + 2(3x+1) = (3x+1)(x+2)$. $x=2$ 에서 양쪽 다 $28$.
4. $3x^2 + 12x + 12$

   공통인수 3을 먼저 뺍니다. $3(x^2+4x+4) = 3(x+2)^2$. $x=2$ 에서 양쪽 다 $48$.
5. $x^2 + 3x + 5$ 를 정수 범위에서 인수분해할 수 있는지 판정하세요.

   곱이 5, 합이 3인 두 정수를 찾아야 합니다. 곱이 5인 짝은 $1 \cdot 5$ 와 $(-1)\cdot(-5)$ 둘뿐이고 합이 6과 $-6$ 이라 맞지 않습니다. 후보를 다 훑었으므로 정수 범위에서는 묶이지 않습니다.

연습 4의 3번을 $x(4x + 6)$ 이라고 적었다면 틀린 것은 아니지만 다 푼 것도 아닙니다. 괄호 안에 아직 공통인수 2가 남아 있습니다. 인수분해는 더 이상 안 쪼개질 때까지 갑니다.

정리

• 전개는 분배법칙을 문자로 확장한 것입니다. 앞 괄호의 각 항을 뒤 괄호의 각 항에 하나씩 곱합니다. 두 자리 수의 세로셈에서 자리별로 곱하던 것과 같은 절차입니다.
• 곱이 몇 개 나와야 하는지 먼저 셉니다. 앞 항 수와 뒤 항 수의 곱이고, 다 적고 나서 개수가 모자라면 빠뜨린 것입니다.
• 부호는 항에 붙여 다닙니다. $x-5$ 를 "$x$ 와 $-5$"로 읽으면 곱할 때 부호가 저절로 따라갑니다.
• 곱셈 공식은 정사각형 넓이 그림에서 매번 복원할 수 있습니다. $(a+b)^2$ 이 $a^2+b^2$ 이 아닌 이유가 그림의 가운데 두 조각입니다. $(a-b)^2$ 은 $b$ 대신 $-b$ 를 넣은 것이라 따로 외울 것이 아닙니다.
• 합차 공식은 수 계산 요령으로도 씁니다 — $103 \times 97 = 100^2-3^2$.
• 인수분해는 셋으로 나눠 익힙니다 — 공통인수 빼기, 곱셈 공식 되돌리기, 곱이 끝 항이고 합이 가운데 항인 두 수 찾기. 항이 넷이면 둘씩 묶어 공통인수를 만듭니다.
• 계수가 1이 아닌 이차식은 첫 계수와 끝 항의 곱을 곱으로, 가운데 계수를 합으로 갖는 두 수로 가운데 항을 쪼갠 뒤 둘씩 묶습니다. 공통인수를 먼저 빼면 이 단계가 아예 없어지기도 합니다.
• 후보의 개수는 미리 셀 수 있습니다. 다 훑었는데 합이 안 맞으면 정수로는 안 묶이는 식입니다.
• 묶었으면 도로 전개해 원래 식으로 돌아오는지 봅니다. 전개와 인수분해는 같은 식을 다르게 적은 것이므로 아무 값이나 넣어 검산할 수 있습니다.

다음 글에서는 방정식을 실제로 풉니다. $2x + 1 = 7$ 에서 $x$ 를 찾아내는 절차, 그리고 양변에 같은 것을 해도 등호가 유지된다는 원칙을 손에 익힙니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊