소수·백분율과 비: 같은 양을 적는 세 가지 옷

지난 글에서 $\frac{3}{4}$ 을 다뤘습니다. 같은 양을 $0.75$ 라고도 적고 $75\%$ 라고도 적습니다.

셋은 다른 양이 아닙니다. 같은 양이 옷을 갈아입은 것입니다. 이 글은 그 옷을 자유롭게 갈아입히는 연습이고, 갈아입히는 방법은 전부 곱셈과 나눗셈 몇 번으로 끝납니다. 뒤로 가면 두 양을 견주는 비와, 퍼센트를 쓸 때 사람들이 가장 자주 틀리는 네 자리까지 손으로 계산해 확인합니다.

소수 표기

자릿값의 연장

4번 글에서 $3705$ 를 자리마다 다른 값으로 읽었습니다. 왼쪽으로 한 칸 갈 때마다 자리의 값이 10배씩 커졌습니다.

그 자리를 일의 자리 오른쪽으로 계속 이어 쓴 것이 소수입니다. 오른쪽으로 한 칸 갈 때마다 자리의 값이 10으로 나눠지고, 일의 자리와 그 오른쪽 자리 사이에 찍는 점이 소수점입니다.

$2.75$ 는 $2 + \frac{7}{10} + \frac{5}{100}$ 입니다. 새로운 종류의 수가 아니라 적는 방법입니다. 그래서 소수를 분수로 옮기는 것은 곧바로 됩니다. 소수점 아래 자릿수만큼 분모에 10을 곱해 두면 되고, $2.75 = \frac{275}{100} = \frac{11}{4}$ 처럼 마지막에 약분합니다.

반대 방향, 분수를 소수로 옮기는 것은 실제로 나눠 보는 것입니다. $\frac{3}{8}$ 이면 3을 8로 나눕니다. 3에는 8이 한 번도 안 들어가므로 몫의 일의 자리는 0이고, 소수점을 찍은 뒤 3을 30으로 보면 8이 세 번 들어가고 6이 남습니다. 60에는 일곱 번 들어가고 4가 남고, 40에는 딱 다섯 번 들어가 0이 남습니다. 그래서 $\frac{3}{8} = 0.375$ 입니다. 나머지에 0을 하나 붙여 내리는 이 한 걸음이 소수 한 자리를 만든다는 것을 기억해 두면 아래 절이 쉽습니다.

유한소수와 순환소수

그런데 나눠 보면 결과가 두 갈래로 갈립니다.

$\frac{3}{8} = 0.375 \qquad \frac{1}{3} = 0.333\ldots \qquad \frac{5}{11} = 0.4545\ldots$

$\frac{3}{8}$ 처럼 어느 자리에서 나머지가 0이 되어 딱 떨어지는 소수가 유한소수입니다. $\frac{1}{3}$ 은 3이 끝없이 이어지고, $\frac{5}{11}$ 은 45가 끝없이 되풀이됩니다. 이렇게 같은 마디가 한없이 반복되는 소수가 순환소수이고, 되풀이되는 그 마디를 순환마디라고 부릅니다. 적을 때는 순환마디 위에 줄을 긋습니다.

$\frac{1}{3} = 0.\overline{3} \qquad \frac{5}{11} = 0.\overline{45}$

무엇이 두 갈래를 가를까요. 기약분수로 줄인 뒤 분모를 소인수분해하면 보입니다.

$8 = 2^3 \qquad 3 = 3 \qquad 11 = 11$

분모의 소인수가 2와 5뿐이면 유한소수이고, 다른 소인수가 하나라도 있으면 순환소수입니다. 소수는 $\frac{1}{10}$ 씩 잘라 가는 표기인데 $10 = 2 \times 5$ 이기 때문입니다. 2와 5로만 이뤄진 분모는 모자란 쪽을 곱해 채우면 10의 거듭제곱이 되지만, 3이나 11은 아무리 곱해도 10의 거듭제곱이 되지 않습니다. 소인수분해 절차는 5번 글의 것을 그대로 씁니다.

이 채우기에서 소수점 아래 자릿수까지 나옵니다. $\frac{3}{8}$ 의 분모 $2^3$ 에는 5가 세 개 모자라므로 분자와 분모에 $5^3 = 125$ 를 곱합니다.

$\frac{3}{8} = \frac{3 \times 125}{8 \times 125} = \frac{375}{1000} = 0.375$

분모가 $1000$ 이 되었으니 세 자리입니다. $\frac{7}{20}$ 이면 $20 = 2^2 \times 5$ 라 2가 둘, 5가 하나이고, 5를 하나 더 곱하면 $\frac{35}{100} = 0.35$ 로 두 자리입니다. 분모가 $2^a \times 5^b$ 이면 소수점 아래 자릿수는 $a$ 와 $b$ 중 큰 쪽입니다. 모자란 쪽을 채워 두 지수를 큰 쪽에 맞추는 일이기 때문입니다.

나머지의 되풀이

순환소수가 왜 되풀이되는지는 나눗셈을 끝까지 따라가면 보입니다. $\frac{1}{7}$ 을 손으로 나눠 봅니다. 앞 절처럼 나머지에 0을 붙여 내리면서 한 자리씩 몫을 얻습니다.

• $10 \div 7$ — 몫 1, 나머지 3
• $30 \div 7$ — 몫 4, 나머지 2
• $20 \div 7$ — 몫 2, 나머지 6
• $60 \div 7$ — 몫 8, 나머지 4
• $40 \div 7$ — 몫 5, 나머지 5
• $50 \div 7$ — 몫 7, 나머지 1

여섯 번째 나머지가 1입니다. 처음 나눌 때 가지고 있던 수가 1이었으므로, 다음 걸음은 다시 $10 \div 7$ 이고 그 뒤는 앞의 여섯 걸음을 그대로 되밟습니다. 그래서 $\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$ 이고 순환마디는 여섯 자리입니다.

여기서 알 수 있는 것이 둘입니다. 첫째, 다음 자리의 몫은 지금의 나머지 하나로만 정해집니다. 그러니 같은 나머지가 한 번 다시 나오는 순간부터 몫은 똑같이 되풀이됩니다. 순환이 시작되는 자리가 바로 나머지가 겹치는 자리입니다.

둘째, 7로 나눈 나머지가 될 수 있는 값은 0부터 6까지뿐입니다. 0이 나오면 거기서 끝나는 유한소수이고, 0이 안 나오면 나머지는 1부터 6까지 여섯 가지 안에서 돌아야 합니다. 일곱 번째 걸음까지 가면 반드시 한 번은 겹칩니다. 그래서 분모가 $n$ 인 분수의 순환마디는 길어야 $n - 1$ 자리이고, $\frac{1}{3}$ 처럼 그보다 훨씬 짧게 끝나는 경우도 많습니다. 끝없이 이어지는 소수라도 분수에서 나온 것이면 무작위로 흩어지지 않고 반드시 되풀이되는 까닭이 이 셈입니다.

순환소수의 분수 변환

거꾸로 순환소수를 분수로 되돌리는 절차도 있습니다. $0.\overline{3}$ 을 $x$ 라고 두고, 10배한 것을 아래에 적습니다.

위에서 아래를 빼면 소수점 아래가 통째로 사라집니다.

$9x = 3 \;\Rightarrow\; x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

되풀이되는 마디가 두 자리면 100배를 합니다. $0.\overline{45}$ 는 $99x = 45$ 이므로 $\frac{45}{99} = \frac{5}{11}$ 입니다. 요령은 소수점 아래가 똑같은 두 수를 만들어 빼는 것입니다.

순환마디가 소수점 바로 뒤에서 시작하지 않으면 한 번 더 옮깁니다. $0.1\overline{6}$ 은 1이 한 번 나오고 그 뒤로 6이 되풀이됩니다. 100배와 10배를 나란히 적으면 소수점 아래가 둘 다 $0.666\ldots$ 이 됩니다.

빼면 $90x = 15$ 이고, $x = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$ 입니다. 검산은 1을 6으로 나눠 보면 됩니다. 10에서 몫 1, 나머지 4가 나오고 그 뒤로는 40에서 몫 6, 나머지 4가 끝없이 되풀이되므로 $0.1666\ldots$ 이 맞습니다.

끝이 없는 것을 뺐는데 왜 딱 떨어지는가 — 이 물음은 정당합니다. 여기서는 절차를 손에 익히는 데까지만 하고, 그 뺄셈이 왜 허용되는지는 29번 · 등비급수가 답합니다.

백분율

퍼센트 기호

전체를 100으로 쳤을 때 그 양이 몇에 해당하는지로 적는 것이 백분율입니다. 붙이는 기호 $\%$ 는 퍼센트라고 읽고, 뜻은 「$\div 100$」 하나입니다. $75\%$ 는 $\frac{75}{100}$ 을 줄여 쓴 것입니다.

• 소수 → 백분율: 100을 곱하고 %를 붙인다
• 백분율 → 소수: %를 떼고 100으로 나눈다

$0.06 \to 6\%, \qquad 140\% \to 1.4$

%가 미터나 그램 같은 단위가 아니라 $\div 100$ 이라는 계산이기 때문에, $0.75 = 75\%$ 처럼 등호로 이어 적어도 됩니다. 등호 양쪽이 정말로 같은 수입니다. 백분율은 1보다 큰 값에도 씁니다. $140\%$ 는 전체보다 큰 양이고, 이상한 값이 아닙니다.

기준량

「몇 %」라는 말에는 언제나 무엇의 몇 %인가가 숨어 있습니다. 견주는 기준이 되는 쪽을 기준량, 기준에 대어 보는 쪽을 비교하는 양이라 하고, 비교하는 양을 기준량으로 나눈 값이 비율입니다. 비율에 100을 곱하면 백분율입니다.

문장에서 기준량을 찾는 방법은 간단합니다. 「A는 B의 몇 %인가」에서 「의」 앞에 붙은 B가 기준량이고, 나눗셈의 분모로 갑니다.

• 18은 24의 몇 %인가 — 기준량 24. $\frac{18}{24} = 0.75$ 이므로 $75\%$
• 24는 18의 몇 %인가 — 기준량 18. $\frac{24}{18} = 1.333\ldots$ 이므로 약 $133.3\%$

같은 두 수인데 답이 75와 133.3으로 갈립니다. 어느 쪽을 분모에 두느냐가 전부입니다. 문장을 읽을 때 기준량에 먼저 밑줄을 긋고 나서 계산을 시작하는 습관이 이 글 뒤쪽의 함정 네 개를 대부분 막아 줍니다.

증감의 곱셈

값이 몇 % 늘거나 줄어드는 계산은 곱셈 한 번으로 바꿔 적을 수 있습니다. 늘어난 비율을 소수로 $r$ 이라 하면 증가율이 $r$ 인 것이고, 원래 값에 원래 값의 $r$ 배가 더해지므로 결과는 원래 값의 $(1 + r)$ 배입니다. 줄어든 비율 곧 감소율이 $r$ 이면 $(1 - r)$ 배입니다.

$45{,}000$ 원이 $12\%$ 오르면 $45{,}000 \times 1.12 = 50{,}400$ 원이고, $15\%$ 내리면 $45{,}000 \times 0.85 = 38{,}250$ 원입니다. 늘어난 폭 $5{,}400$ 을 따로 구해 더하는 것과 결과가 같지만 한 번에 끝납니다. 이 꼴이 중요한 까닭은 여러 번 늘고 줄 때 드러납니다. 곱셈은 이어 붙일 수 있기 때문에, 아래 「퍼센트의 함정」에서 보는 계산이 전부 이 곱셈으로 풀립니다.

비와 비례

비의 값과 몫

8번 글에서 도형의 두 길이를 $a : b$ 로 적었습니다. 그 표기를 여기서는 수로 받습니다.

$3 : 2$ 라는 비는 두 가지로 옮겨 적을 수 있습니다.

• 한쪽을 다른 쪽으로 나눈 값 — $\frac{3}{2} = 1.5$. 앞이 뒤의 1.5배라는 뜻이고, 이 값을 비의 값이라 부릅니다.
• 전체에 대한 몫 — 전체가 $3 + 2 = 5$ 이므로 $\frac{3}{5} = 60\%$ 와 $\frac{2}{5} = 40\%$ 입니다.

앞의 것은 뒤쪽을 기준량으로 둔 비율이고, 뒤의 것은 둘을 합친 전체를 기준량으로 둔 비율입니다. 기준량이 다르니 수가 다릅니다. 둘을 섞으면 틀립니다. 「3 대 2」를 듣고 $30\%$ 대 $20\%$ 라고 적는 실수가 여기서 나옵니다.

세 항의 비

항이 셋이어도 같습니다. $2 : 3 : 5$ 로 $400$ 을 나누면 전체가 $2 + 3 + 5 = 10$ 이므로 각각 $\frac{2}{10}$, $\frac{3}{10}$, $\frac{5}{10}$ 을 받습니다.

$400 \times 0.2 = 80, \qquad 400 \times 0.3 = 120, \qquad 400 \times 0.5 = 200$

셋을 더하면 다시 $400$ 입니다. 셋을 한꺼번에 전체로 나누는 것이라 두 항씩 따로 계산할 필요가 없습니다.

비는 모든 항에 같은 수를 곱하거나 같은 수로 나눠도 뜻이 그대로입니다. 전체에 대한 몫이 하나도 안 바뀌기 때문입니다. 그래서 소수가 섞인 비는 곱해서 정수로 고치고, 큰 수의 비는 공약수로 나눠 줄입니다. 이렇게 모든 항을 정수로 맞춘 비가 정수비입니다.

• $0.5 : 1.5$ — 두 항에 2를 곱해 $1 : 3$
• $12 : 18 : 30$ — 세 항을 최대공약수 6으로 나눠 $2 : 3 : 5$

단위가 남는 비

지금까지 나눈 것은 전부 같은 종류의 양이었습니다. 길이를 길이로, 원을 원으로 나누면 단위가 지워지고 순수한 수만 남습니다. 백분율로 적을 수 있는 것도 그래서입니다.

종류가 다른 두 양을 나누면 단위가 남습니다. 간 거리를 걸린 시간으로 나눈 속력이 대표적이고, 120 km를 2시간에 가면 $60$ km/h 입니다. 질량을 부피로 나눈 밀도도 그렇습니다. 540 g인 알루미늄 조각의 부피가 200 cm³ 이면 밀도는 $540 \div 200 = 2.7$ g/cm³ 입니다.

소금물의 농도는 소금의 무게를 소금물 전체의 무게로 나눈 값입니다. g을 g으로 나누므로 단위가 지워지고, 그래서 %로 적습니다. 소금 9 g이 든 소금물 150 g의 농도는 $\frac{9}{150} = 0.06$ 이므로 $6\%$ 입니다.

단위가 남는 비는 그냥 평균 내면 틀립니다. 여러 값을 모두 더해 개수로 나눈 것이 평균인데, 속력 둘을 이렇게 평균 내면 안 됩니다. 60 km 떨어진 곳에 60 km/h로 갔다가 같은 길을 30 km/h로 돌아왔다고 합시다. $\frac{60 + 30}{2} = 45$ 라고 하고 싶지만, 평균 속력은 전체 거리를 전체 시간으로 나눈 값입니다.

• 가는 데 걸린 시간: $60 \div 60 = 1$ 시간
• 오는 데 걸린 시간: $60 \div 30 = 2$ 시간
• 평균 속력: $120 \div 3 = 40$ km/h

45가 아니라 40입니다. 느린 쪽으로 달린 시간이 두 배 길었으니 느린 속력이 더 큰 무게로 섞인 것입니다. 속력은 시간이 기준량인 비라서, 기준량이 서로 다른 둘을 그냥 더하면 무게가 어긋납니다.

정비례와 반비례

두 줄짜리 표에서 한쪽이 변할 때 다른 쪽이 어떻게 변하는지를 봅니다.

$y$ 는 $x$ 가 2배가 되면 같이 2배가 됩니다. 나눈 값 $\frac{y}{x}$ 가 늘 3으로 일정합니다. 이런 관계를 정비례라고 합니다.

$z$ 는 반대입니다. $x$ 가 2배가 되면 반으로 줄어듭니다. 이번에는 곱한 값 $x \times z$ 가 늘 12로 일정합니다. 이것을 반비례라고 합니다.

정비례에는 표기가 하나 붙습니다.

$y \propto x$

「$y$ 는 $x$ 에 비례한다」고 읽습니다. 상수배를 버리고 관계만 적은 것입니다. $=$ 로 되돌리면 버렸던 상수가 다시 나오고, 그 상수를 비례상수라고 부릅니다. 위 표에서는 3입니다. 이 관계를 문자를 써서 식 한 줄로 적는 것은 14번 · 문자와 대입의 몫이고, $a : b = c : d$ 를 푸는 절차는 16번 · 일차방정식과 이항이 맡습니다.

구성비

합으로 나누기

백분율을 여러 항목에 한꺼번에 쓰면 무슨 일이 벌어지는지 봅니다. 어떤 가게의 하루 매출이 이렇다고 합시다.

전부 더하면 $120$ 입니다. 각각을 그 합으로 나눕니다.

$\frac{48}{120} = 0.4, \qquad \frac{30}{120} = 0.25, \qquad \frac{42}{120} = 0.35$

셋을 더하면 정확히 1입니다. 여기에 100을 곱한 $40\%$, $25\%$, $35\%$ 가 구성비입니다. 전체를 기준량으로 둔 비율을 항목마다 나란히 적은 것이고, 앞 절의 「전체에 대한 몫」을 항목이 여럿인 경우로 넓힌 것입니다.

아무 양수 묶음이든 이 나눗셈 하나로 전체를 1에 맞출 수 있습니다. 단위가 원이든 개수든 상관없습니다. 같은 단위끼리 나누므로 단위가 사라지고 비율만 남기 때문입니다.

순서의 보존

여기서 한 가지가 따라 나옵니다. 전부를 같은 양수로 나눴으므로 큰 쪽과 작은 쪽의 순서가 바뀌지 않습니다. 48이 42보다 컸으니 $40\%$ 도 $35\%$ 보다 큽니다. 두 항목의 차이도 같은 배율로 줄어들 뿐입니다. 48과 42의 차 6은 합 120으로 나누면 $0.05$ 가 되고, 구성비로는 40과 35의 차 5로 나타납니다.

그래서 어느 항목이 가장 큰지는 합을 몰라도 답할 수 있습니다. 원래 값만 보고 고르면 됩니다. 나누는 일은 서로 견주기 좋게 눈금을 갈아 끼우는 것이지, 순서를 바꾸는 일이 아닙니다. 다만 나누는 수가 음수였다면 순서가 뒤집혔을 것이고, 0이었다면 나눗셈 자체가 안 됩니다. 「양수 묶음」이라는 조건이 붙은 까닭입니다.

반올림의 어긋남

실제로 구성비를 적을 때는 대개 반올림합니다. 그런데 반올림한 값을 더하면 100이 안 되는 일이 생깁니다. 셋이 똑같이 1씩이면 각각 $\frac{1}{3} = 33.33\ldots\%$ 이고, 소수 첫째 자리까지 반올림한 $33.3\%$ 셋을 더하면 $99.9\%$ 입니다. 계산이 틀린 것이 아니라 버린 조각이 모자라게 쌓인 것입니다.

값이 2, 3, 4인 묶음으로 한 번 더 봅니다. 합이 9이므로 구성비는 $22.22\%$, $33.33\%$, $44.44\%$ 이고, 정수로 반올림하면 22, 33, 44라 합이 99입니다. 이럴 때 어느 칸에 1을 얹을지를 정하는 규칙이 있습니다.

1. 모든 칸의 소수 부분을 버린다 — 22, 33, 44로 합이 99다.
2. 100까지 모자란 수를 센다 — 1이다.
3. 버린 소수 부분이 큰 칸부터 1씩 얹는다 — 버린 조각이 0.22, 0.33, 0.44이므로 세 번째 칸이 받아 45가 된다.

결과는 22, 33, 45입니다. 가장 많이 잘려 나간 칸이 먼저 돌려받는 것이라 원래 값에서 가장 덜 멀어집니다. 표 아래에 「반올림 때문에 합이 100이 아닐 수 있다」고 적어 두는 것도 흔한 방법입니다. 자릿수를 어디서 끊을지, 끊어서 생긴 오차를 어떻게 다룰지는 47번 · 자릿수와 오차가 따로 다룹니다.

원래 값의 복원

구성비만 받아 들었을 때 원래 값을 되돌릴 수 있을까요. 앞의 가게 매출이 $40\%$, $25\%$, $35\%$ 였습니다. 합이 120이라는 것을 알면 $120 \times 0.4 = 48$ 처럼 곧바로 돌아옵니다.

그런데 합이 240인 가게도 매출이 96, 60, 84이면 구성비는 똑같이 $40\%$, $25\%$, $35\%$ 입니다. 합으로 나누는 순간 전체의 크기 정보가 지워지므로, 구성비만으로는 두 가게를 가를 수 없습니다. 되돌리려면 합이라는 수 하나가 더 있어야 합니다. 거꾸로 합만 알면 구성비에 곱하는 것으로 모든 항목이 한 번에 돌아옵니다. 구성비를 옮겨 적을 때 합을 함께 적어 두는 이유가 이것입니다.

퍼센트의 함정

말로 넘어가면 계속 틀리는 자리들입니다. 앞에서 세운 두 도구, 기준량을 먼저 찾는 것과 증감을 곱셈으로 적는 것으로 하나씩 못 박습니다.

되돌리는 비율

$100 \times 1.2 = 120$ 이고 $120 \times 0.8 = 96$ 입니다. 원래보다 작아졌습니다.

올릴 때의 20%는 100의 20%라 20이었는데, 내릴 때의 20%는 120의 20%라 24입니다. 기준량이 바뀌었기 때문에 같은 비율이라도 폭이 다릅니다.

그러면 120을 정확히 100으로 되돌리려면 몇 %를 내려야 할까요. 곱해서 1.2를 1로 만드는 수를 찾으면 됩니다. $1.2 \times q = 1$ 이 되는 $q$ 는 $\frac{1}{1.2} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ 이고, 소수로는 $0.8\overline{3}$ 입니다. 원래 값의 $\frac{5}{6}$ 배로 줄어드는 것이므로 감소율은 $1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$, 약 $16.7\%$ 입니다. 검산하면 120의 $\frac{1}{6}$ 은 20이라 정확히 100으로 돌아옵니다. 올린 비율 20%보다 작은 비율만 내려도 제자리입니다.

퍼센트포인트

어떤 비율이 $40\%$ 에서 $44\%$ 가 됐다고 합시다.

• 4퍼센트포인트 올랐다 — 두 백분율의 차이입니다.
• 10% 올랐다 — 40을 기준량으로 4가 늘었으니 $\frac{4}{40} = 10\%$ 입니다.

두 백분율을 그냥 빼서 얻은 차이를 퍼센트포인트라 부르고, 기준량에 대어 본 변화는 그대로 %로 적습니다. 같은 변화를 4라고도 하고 10이라고도 합니다. 둘 다 맞는 말이고 재는 방식이 다를 뿐입니다. 그래서 백분율 자체가 오르내릴 때는 어느 쪽으로 말하는지를 밝혀야 합니다. 「금리가 2%에서 3%로 1% 올랐다」는 문장은 사실 50% 오른 것을 1이라고 적은 셈이고, 바르게 적으면 1퍼센트포인트입니다.

증가와 배수

증가라는 말은 원래 값에 더해지는 양을 가리킵니다. $200\%$ 증가는 원래의 2배만큼이 더 붙는 것이므로 결과는 3배입니다. 증감의 곱셈 꼴로 적으면 $1 + 2 = 3$ 배가 곧바로 보입니다.

$100 \to 100 + 100 \times 2 = 300$

$200\%$ 가 되었다고 하면 그것은 2배입니다. 「증가」인지 「되었다」인지 동사 하나가 1배만큼의 차이를 만듭니다. 그리고 「2배 증가」라는 말은 쓰는 사람에 따라 2배로도 3배로도 읽힙니다. 「2배가 되었다」고 적으면 흔들리지 않습니다.

증가율의 연결

$10\%$ 오른 뒤 다시 $30\%$ 오르면 $40\%$ 오른 것이 아닙니다.

$1.1 \times 1.3 = 1.43$

$43\%$ 입니다. 두 번째 30%가 이미 늘어난 값에 붙기 때문에 3%가 더 생깁니다. 첫 소절에서 본 것과 같은 이유이고, 기준량이 매번 바뀌므로 비율은 더하지 않고 곱합니다.

이제 이 두 해를 「한 해 평균 몇 % 올랐나」로 줄여 말하고 싶다고 합시다. 10과 30의 평균인 20%라고 답하기 쉽지만, 두 해 모두 20%씩 오르면 $1.2 \times 1.2 = 1.44$ 라서 실제 결과 1.43과 어긋납니다. 우리가 찾는 것은 두 번 곱해서 1.43이 되는 양수입니다. 7번 글의 근호로 적으면 $\sqrt{1.43}$ 입니다.

손으로 어림합니다. $1.19 \times 1.19 = 1.4161$ 이고 $1.20 \times 1.20 = 1.44$ 이므로 답은 그 사이에 있고 1.20 쪽에 더 가깝습니다. $1.196 \times 1.196 = 1.430416$ 이라 거의 맞습니다. 한 해 평균 약 $19.6\%$ 입니다.

두 수를 더해 2로 나눈 보통의 평균을 산술평균, 두 수를 곱한 뒤 근호를 씌운 것을 기하평균이라고 부릅니다. 여러 해의 배율처럼 곱으로 이어지는 값의 평균은 기하평균이어야 원래 결과로 돌아옵니다. 앞의 왕복 속력에서 45가 틀렸던 것과 뿌리가 같습니다. 어떤 방식으로 이어지는 값인지를 보고 평균 내는 방식을 골라야 합니다.

연습 문제

연습 1 — 변환표

기약분수·소수·백분율 셋 중 빠진 것을 채우세요. 나눠서 안 떨어지면 순환마디에 줄을 그어 적습니다.

1. $\frac{1}{8}$

   $0.125$, $12.5\%$
2. $\frac{3}{5}$

   $0.6$, $60\%$
3. $0.04$

   $\frac{4}{100} = \frac{1}{25}$, $4\%$
4. $1.6$

   $\frac{16}{10} = \frac{8}{5}$, $160\%$
5. $85\%$

   $0.85$, $\frac{85}{100} = \frac{17}{20}$
6. $8\%$

   $0.08$, $\frac{8}{100} = \frac{2}{25}$
7. $\frac{7}{12}$

   $12 = 2^2 \times 3$ 이라 3이 남으므로 순환소수입니다. $0.58\overline{3}$, 약 $58.3\%$
8. $\frac{4}{11}$

   $0.\overline{36}$, 약 $36.4\%$
9. $0.\overline{6}$

   $10x - x = 6$ 이므로 $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$, 약 $66.7\%$
10. $0.\overline{27}$

    $100x - x = 27$ 이므로 $\frac{27}{99} = \frac{3}{11}$, 약 $27.3\%$

연습 2 — 문장제

1. 정가 $32{,}000$ 원인 물건을 $25\%$ 할인하면 얼마입니까.

   $32{,}000 \times 0.75 = 24{,}000$ 원.
2. $24{,}000$ 원에 사 온 물건에 $25\%$ 의 이익을 붙여 팔면 얼마입니까.

   $24{,}000 \times 1.25 = 30{,}000$ 원. 1번과 같은 25%인데 기준량이 달라 원래 값으로 돌아오지 않습니다.
3. 원금 $500{,}000$ 원을 연 $4\%$ 로 3년 맡깁니다. 해마다 이자가 원금에 붙어 다음 해 기준이 될 때 3년 뒤 금액은 얼마입니까. 원 단위 아래는 버립니다.

   $500{,}000 \times 1.04^3 = 562{,}432$ 원.
4. 소금 $45$ g을 물에 녹여 소금물 $300$ g을 만들었습니다. 농도는 몇 %입니까.

   $\frac{45}{300} = 0.15$ 이므로 $15\%$.
5. 농도 $8\%$ 인 소금물 $250$ g에 들어 있는 소금은 몇 g입니까.

   $250 \times 0.08 = 20$ g.
6. 농도 $10\%$ 인 소금물 $200$ g과 농도 $4\%$ 인 소금물 $300$ g을 섞으면 농도는 몇 %입니까.

   소금은 $200 \times 0.1 = 20$ g과 $300 \times 0.04 = 12$ g으로 모두 32 g이고, 소금물은 500 g입니다. $\frac{32}{500} = 0.064$ 이므로 $6.4\%$. 10과 4의 평균인 7%가 아닙니다.
7. 농도 $6\%$ 인 소금물 $300$ g에 물 $100$ g을 더 부으면 농도는 몇 %입니까.

   소금은 $300 \times 0.06 = 18$ g 그대로이고 소금물은 400 g이 됩니다. $\frac{18}{400} = 0.045$ 이므로 $4.5\%$.
8. 120 km 떨어진 곳에 40 km/h로 가서 같은 길을 60 km/h로 돌아왔습니다. 왕복의 평균 속력은 얼마입니까.

   가는 데 $120 \div 40 = 3$ 시간, 오는 데 $120 \div 60 = 2$ 시간이라 모두 5시간에 240 km를 갔습니다. $240 \div 5 = 48$ km/h. 50이 아닙니다.

연습 3 — 네 함정

1. $100$ 이 $30\%$ 올랐다가 다시 $30\%$ 내리면 얼마가 됩니까.

   $100 \times 1.3 \times 0.7 = 91$. 9만큼 줄었습니다.
2. 어떤 비율이 $25\%$ 에서 $30\%$ 가 되었습니다. 몇 퍼센트포인트이고 몇 % 오른 것입니까.

   5퍼센트포인트이고, $\frac{5}{25} = 20\%$ 상승입니다.
3. 어떤 값이 $150\%$ 증가하면 원래의 몇 배가 됩니까.

   $1 + 1.5 = 2.5$ 배.
4. $20\%$ 오른 뒤 다시 $50\%$ 오르면 모두 몇 % 오른 것입니까.

   $1.2 \times 1.5 = 1.8$ 이므로 $80\%$ 입니다. $70\%$ 가 아닙니다.
5. 값이 $25\%$ 오른 뒤 원래 값으로 되돌리려면 몇 %를 내려야 합니까.

   $\frac{1}{1.25} = 0.8$ 배가 되어야 하므로 $20\%$ 를 내립니다. 검산하면 $1.25 \times 0.8 = 1$ 입니다.
6. 어떤 값이 첫해에 $60\%$ 오르고 이듬해에 $10\%$ 내렸습니다. 두 해의 배율을 곱한 값과, 한 해 평균 증가율을 구하세요.

   $1.6 \times 0.9 = 1.44$ 이고, 두 번 곱해 1.44가 되는 수는 $1.2$ 이므로 한 해 평균 $20\%$ 입니다. 60과 −10의 산술평균인 25%로 이으면 $1.25 \times 1.25 = 1.5625$ 라 결과가 어긋납니다.

연습 4 — 나눗셈과 구성비

1. $\frac{7}{40}$ 을 소수로 적으면 소수점 아래 몇 자리입니까. 소수로도 적으세요.

   $40 = 2^3 \times 5$ 라 세 자리입니다. 분자와 분모에 $5^2 = 25$ 를 곱하면 $\frac{175}{1000} = 0.175$.
2. $\frac{3}{7}$ 을 손으로 나눠 나머지를 차례로 적고, 순환마디를 구하세요.

   30에서 몫 4·나머지 2, 20에서 몫 2·나머지 6, 60에서 몫 8·나머지 4, 40에서 몫 5·나머지 5, 50에서 몫 7·나머지 1, 10에서 몫 1·나머지 3입니다. 나머지가 처음의 3으로 돌아왔으므로 $\frac{3}{7} = 0.\overline{428571}$ 이고, $\frac{1}{7}$ 과 같은 여섯 숫자가 자리만 돌아간 것입니다.
3. $0.2\overline{7}$ 을 기약분수로 고치세요.

   $100x = 27.777\ldots$ 과 $10x = 2.777\ldots$ 을 빼면 $90x = 25$ 이므로 $x = \frac{25}{90} = \frac{5}{18}$.
4. $1.2 : 0.8 : 2$ 를 가장 간단한 정수비로 고치고, 그 비로 $250$ 을 나누세요.

   5를 곱하면 $6 : 4 : 10$, 2로 나누면 $3 : 2 : 5$ 입니다. 전체가 10이므로 $75$, $50$, $125$.
5. 36은 45의 몇 %이고, 45는 36의 몇 %입니까.

   $\frac{36}{45} = 0.8$ 이라 $80\%$, $\frac{45}{36} = 1.25$ 라 $125\%$ 입니다.
6. 세 항목의 값이 1, 4, 8입니다. 구성비를 정수 %로 반올림해 더하면 얼마이고, 본문의 규칙으로 고치면 각각 얼마입니까.

   합이 13이라 구성비는 $7.69\%$, $30.77\%$, $61.54\%$ 이고 반올림하면 8, 31, 62로 합이 101입니다. 소수 부분을 버리면 7, 30, 61로 98이라 2가 모자라고, 버린 조각이 큰 30(0.77)과 7(0.69)이 하나씩 받아 8, 31, 61이 됩니다.
7. 반올림한 구성비를 더하면 100이 안 되는 세 값의 묶음을 하나 직접 만들어 보세요.

   예를 들어 1, 1, 5는 합이 7이라 $14.29\%$, $14.29\%$, $71.43\%$ 이고 반올림하면 14, 14, 71로 99입니다. 버린 조각이 셋 다 0.5보다 작은 묶음을 고르면 모자라게 쌓입니다.
8. 어떤 반의 구성비가 $30\%$, $45\%$, $25\%$ 입니다. 원래 인원을 알려면 무엇이 더 있어야 합니까. 그 값이 $480$ 이면 각 인원은 얼마입니까.

   전체의 합이 있어야 합니다. $480 \times 0.3 = 144$, $480 \times 0.45 = 216$, $480 \times 0.25 = 120$.

정리

세 표기

• 소수는 자릿수를 오른쪽으로 이어 쓴 표기입니다. 기약분수의 분모가 2와 5로만 이뤄지면 유한소수이고, 자릿수는 2와 5의 지수 중 큰 쪽입니다. 다른 소인수가 있으면 순환소수입니다.
• 나머지는 분모보다 작은 값 안에서 돌기 때문에 반드시 되풀이되고, 순환마디는 길어야 분모보다 1 짧습니다.
• 순환소수는 10배(또는 100배) 해서 빼면 분수로 돌아옵니다.
• $\%$ 기호는 $\div\,100$ 입니다. 붙일 때 100을 곱하고 뗄 때 100으로 나눕니다.

비율의 계산

• 「무엇의 몇 %인가」에서는 기준량을 먼저 찾아 분모에 둡니다. 늘면 $\times(1+r)$, 줄면 $\times(1-r)$ 입니다.
• 비 $a : b$ 는 한쪽을 다른 쪽으로 나눈 값으로도, 전체에 대한 몫으로도 옮길 수 있습니다. 둘을 섞지 않습니다. 단위가 남는 비는 그냥 평균 내지 않습니다.
• 항목마다의 값을 합으로 나누면 합이 1인 묶음이 되고 100을 곱하면 구성비입니다. 같은 양수로 나눈 것이라 순서가 바뀌지 않으므로, 가장 큰 항목은 합을 몰라도 알 수 있습니다. 거꾸로 원래 값을 되돌리려면 합이 있어야 합니다.
• 퍼센트 변화는 더하지 않고 곱합니다. 기준량이 매번 바뀌기 때문이고, 곱으로 이어지는 값의 평균은 기하평균입니다.

다음 글에서는 위첨자로 돌아갑니다. $2^3$ 처럼 적는 거듭제곱의 법칙을 세우고, $a^0 = 1$ 이 왜 외울 약속이 아니라 계산에서 나오는 결론인지까지 갑니다.

읽어주셔서 감사합니다. 😊