지수함수: 한 칸 갈 때 몇 배가 되는가, 그리고 e

지난 글까지는 이미 그린 곡선을 옮기고 늘이고 뒤집었습니다. 이 글에서는 곡선이 하나 늘어납니다.

13번 글에서 거듭제곱의 지수를 정수 너머 유리수까지 넓혔습니다. 그때 지수는 고정된 수였습니다. 이번에는 그 자리에 변수를 앉힙니다.

자리 하나를 바꿨을 뿐인데 지금까지 그려 온 어떤 곡선과도 다른 것이 나옵니다. 직선은 한 칸 갈 때마다 같은 수가 더해지고, 포물선은 더해지는 양이 한 칸마다 조금씩 커집니다. 이번 곡선은 더해지지 않고 곱해집니다. 그 차이가 얼마나 큰지는 글 중간에서 수로 확인합니다.

지수함수

거듭제곱함수와 지수함수

$y = x^2$ 과 $y = 2^x$ 은 생긴 것이 비슷해 보이지만 자리가 반대입니다.

식	변하는 것	고정된 것
$y = x^2$	밑 $x$	지수 2
$y = 2^x$	지수 $x$	밑 2

밑을 하나 고정하고 지수를 움직이는 함수를 지수함수 라 합니다. 반대로 지수를 고정하고 밑을 움직이는 $y=x^2$ 은 거듭제곱함수 입니다.

이름을 둘로 갈라 부르는 것은 두 식이 서로 다른 것을 묻기 때문입니다. 거듭제곱함수는 "이 수를 두 번 곱하면 얼마인가"를 묻고, 지수함수는 "2를 몇 번 곱하는가"를 묻습니다. 앞쪽은 곱할 대상이 바뀌고 뒤쪽은 곱하는 횟수가 바뀝니다. 식을 볼 때 $x$ 가 아래에 있는지 위에 있는지만 보면 어느 쪽인지 바로 갈립니다.

밑에 붙는 조건

밑은 양수여야 하고 1이면 안 됩니다. 두 조건이 걸리는 이유가 서로 다릅니다.

밑이 음수면 값이 부호까지 튑니다. $(-2)^1 = -2$, $(-2)^2 = 4$, $(-2)^3 = -8$ 로 한 칸 갈 때마다 아래위를 오가서 점들이 한 줄로 이어지지 않습니다. 사이를 메울 수도 없습니다. $(-2)^{1/2}$ 은 제곱해서 $-2$ 가 되는 수인데 그런 실수는 없습니다. 정수 자리에만 값이 띄엄띄엄 있고 그 사이가 비어 있으니 곡선을 그릴 수가 없습니다.

밑이 1이면 값은 얌전한데 곡선이 아닙니다. $1^x$ 은 $x$ 가 무엇이든 1이라 가로선 $y=1$ 이 됩니다. 이 둘을 빼고 나면 밑으로 쓸 수 있는 것은 1이 아닌 양수 전부입니다.

밑을 정하면 곡선이 하나로 정해집니다. 그래서 지수함수를 부를 때는 밑을 함께 부릅니다 — "밑이 2인 지수함수", "밑이 10인 지수함수"처럼. 밑이 곧 이 함수의 이름표입니다.

표에서 읽는 세 가지

$y=2^x$ 의 값을 직접 적어 봅니다. 음수 지수가 역수라는 것은 13번 글의 규칙 그대로입니다.

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2^x$	$\dfrac{1}{8}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$

표에서 세 가지가 바로 읽힙니다.

• 값이 한 번도 0이나 음수가 되지 않습니다. 왼쪽으로 갈수록 작아지지만 반으로 줄어들 뿐이라 0에 닿지 못합니다.
• $x=0$ 에서 값이 1입니다. 어떤 수든 0제곱은 1이므로 밑이 무엇이든 $(0, 1)$ 을 지납니다.
• 오른쪽으로 갈수록 걷잡을 수 없이 커집니다.

왼쪽 끝을 한 번 더 봅니다. $x=-10$ 이면 $2^{-10} = \dfrac{1}{1024}$ 로 0.001보다 작고, $x=-20$ 이면 백만분의 1쯤 됩니다. 눈으로는 이미 가로축에 붙어 있지만 값은 여전히 양수입니다. 이렇게 한없이 가까워지되 닿지 않는 직선을 점근선 이라 하고, 여기서는 $x$ 축, 곧 $y=0$ 이 점근선입니다.

정수 사이는 어떻게 될까요. $2^{1/2}=\sqrt{2}\approx 1.414$ 이므로 $x=0.5$ 에서 점 하나가 1과 2 사이에 찍힙니다. $2^{1/4}\approx 1.189$, $2^{3/4}\approx 1.682$ 처럼 유리수를 촘촘히 찍으면 점들이 빈틈없이 늘어서고, 그 사이를 이어 실수 전체에서 하나의 매끄러운 곡선 으로 읽습니다. 무리수 자리에 값이 어떻게 정해지는지는 28번 · 극한이 맡습니다. 여기서는 그림으로 그렇게 이어진다는 것까지만 받아들입니다.

밑이 정하는 모양

밑이 1보다 작을 때

밑을 $\dfrac{1}{2}$ 로 바꿔 봅니다. 지수법칙으로 고쳐 쓰면 정체가 드러납니다.

$\left(\frac{1}{2}\right)^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$

지수의 부호가 바뀐 것, 즉 입력의 부호를 바꾼 것 입니다. 지난 글의 규칙에 따르면 $y$ 축을 거울로 뒤집은 모습입니다.

밑이 1보다 크면 오른쪽으로 오르고, 0과 1 사이면 오른쪽으로 내립니다. 어느 쪽이든 값은 양수이고, $(0,1)$ 을 지나고, $x$ 축에 한없이 가까워지되 닿지 않습니다. 내려가는 쪽도 점근선은 그대로 $y=0$ 인데, 붙는 방향이 왼쪽이 아니라 오른쪽으로 바뀝니다.

밑이 클수록 가파르다

밑을 여러 개 놓고 같은 자리에서 값을 견줘 봅니다.

밑	$x=-1$	$x=0$	$x=1$	$x=2$	$x=3$
$1.2$	0.833	1	1.2	1.44	1.728
$2$	0.5	1	2	4	8
$5$	0.2	1	5	25	125

가운데 칸이 전부 1입니다. 밑이 무엇이든 곡선은 $(0,1)$ 을 지나므로 밑을 바꾸는 일은 그 점을 축으로 곡선을 눕히거나 세우는 일입니다. 밑이 클수록 오른쪽에서 가파르게 서고 왼쪽에서는 더 빨리 가로축에 붙습니다.

밑이 1에 가까우면 곡선이 거의 가로선처럼 보입니다. $1.2^x$ 은 $x=3$ 에서 아직 1.728이라 좌표평면에 그리면 완만한 오르막입니다. 그렇다고 가로선인 것은 아닙니다. $x=20$ 에서 38.3, $x=40$ 에서 1470쯤 되니, 눈에 보이는 구간이 좁아서 평평해 보였을 뿐입니다.

밑 $a$ 와 밑 $\dfrac{1}{a}$ 은 언제나 짝입니다. $\left(\dfrac{1}{a}\right)^x = a^{-x}$ 이므로 두 곡선은 $y$ 축을 거울로 마주 봅니다. 위 그림에서 밑 2와 밑 0.5가 그 짝이고, 밑 5의 짝인 $0.2^x$ 을 그리면 밑 5의 곡선을 왼쪽으로 접은 모양이 나옵니다.

곱으로 매긴 세로 눈금

$2^x$ 을 보통 모눈종이에 그리면 왼쪽은 납작하고 오른쪽은 종이를 뚫고 나갑니다. $x$ 를 0부터 5까지만 잡아도 값이 1에서 32까지 가는데, 32에 맞춰 세로 눈금을 잡으면 1과 2와 4는 바닥에 뭉개져 구별이 안 됩니다.

세로 눈금을 다르게 매기면 이 문제가 사라집니다. 한 칸 올라갈 때 1씩 더하는 대신 2씩 곱해서 1, 2, 4, 8, 16, 32로 눈금을 적는 것입니다. 그러면 $2^x$ 의 점들이 한 칸마다 정확히 한 칸씩 올라가 일직선으로 섭니다.

곡선이 직선이 되는 것은 눈금을 바꿨기 때문이지 함수가 달라졌기 때문이 아닙니다. 값은 그대로이고 자를 바꿔 잰 것뿐입니다. 이렇게 재면 밑이 다른 곡선들이 기울기가 다른 직선 여럿으로 보여서, 어느 쪽이 더 빨리 커지는지를 눈으로 바로 읽을 수 있습니다.

이 눈금에 붙는 정식 이름과, 눈금 사이를 정수 아닌 자리까지 메우는 방법은 22번 · 로그의 몫입니다. 여기서는 "한 칸이 곱하기 하나"라는 것만 챙기고 넘어갑니다.

옮긴 곡선 읽기

점근선도 함께 옮긴다

$y = 2^{x-1} + 3$ 을 그려 봅니다. 새 표를 채울 필요가 없습니다.

괄호 안이 $x-1$ 이므로 오른쪽으로 1, 뒤에 3이 더해졌으므로 위로 3 입니다.

원래 곡선	옮긴 뒤
점근선 $y=0$	점근선 $y=3$
$(0, 1)$ 을 지남	$(1, 4)$ 를 지남
값의 범위 $y>0$	값의 범위 $y>3$

가장 자주 빠뜨리는 것이 첫 줄입니다. 점근선은 곡선에 딸린 직선이라 곡선이 위로 3 올라가면 그것도 같이 3 올라갑니다. 점근선을 $y=0$ 인 채로 두면 값의 범위도 $y>0$ 으로 틀리게 적게 됩니다.

값 하나로 확인합니다. $x=3$ 을 넣으면 $2^{3-1}+3 = 4+3 = 7$ 입니다. 원래 곡선이 $x=2$ 에서 내놓던 4에 3을 더한 값이고, 자리는 한 칸 오른쪽입니다. 맞습니다.

세로로 늘인 것과 가로로 옮긴 것

지수함수에는 지난 글에 없던 일이 하나 더 있습니다. 세로로 늘인 것과 가로로 옮긴 것이 같은 곡선이 되는 자리 입니다.

$4 \cdot 2^x$ 을 지수법칙으로 고쳐 씁니다.

$4 \cdot 2^x = 2^2 \cdot 2^x = 2^{x+2}$

왼쪽은 "세로로 4배 늘였다"이고 오른쪽은 "왼쪽으로 2 옮겼다"입니다. 두 식이 같으니 곡선도 같습니다. 포물선에서는 이런 일이 일어나지 않습니다. $4x^2$ 은 $(x+2)^2$ 과 전혀 다른 곡선입니다.

이유는 한 줄입니다. 지수함수는 입력을 옮기는 것이 곧 출력에 상수를 곱하는 것 이기 때문입니다. $2^{x+c} = 2^c \cdot 2^x$ 이고 $2^c$ 은 $x$ 와 무관한 수입니다. 그래서 $y=3 \cdot 2^x$ 같은 곡선을 보고 "세로로 3배 늘인 것"이라 읽어도 되고 "가로로 조금 옮긴 것"이라 읽어도 됩니다. 어느 쪽으로 읽든 그려지는 곡선은 하나입니다.

다만 옮기는 양을 수로 적으려면 "2를 몇 번 곱해야 3이 되는가"에 답해야 하는데, 그 답은 정수도 분수도 아닙니다. 이름을 붙이는 것은 다음 글의 일입니다.

값의 범위 읽는 순서

옮긴 곡선에서 값의 범위를 묻는 문제는 순서만 지키면 늘 같습니다.

1. 점근선이 어디로 갔는지 먼저 정합니다. 상수가 더해진 만큼 위아래로 움직입니다.
2. 곡선이 점근선의 위에 있는지 아래에 있는지 봅니다. 앞에 붙은 수가 양수면 위, 음수면 아래입니다.
3. 둘을 합쳐 부등호를 씁니다.

$y = -2^x + 5$ 로 해 봅니다. 상수가 5이므로 점근선은 $y=5$ 입니다. $2^x$ 이 언제나 양수인데 앞에 음수 부호가 붙었으니 $-2^x$ 은 언제나 음수이고, 곡선은 점근선 아래에 있습니다. 따라서 값의 범위는 $y<5$ 입니다. $x=0$ 에서 값이 4, $x=3$ 에서 $-3$ 이니 실제로 5를 넘지 않습니다.

한 칸당 배율

밑이 곧 배율

지수함수를 읽는 가장 쓸모 있는 방법입니다. 이웃한 두 값을 나눠 봅니다.

$\frac{2^{x+1}}{2^x} = 2^{(x+1)-x} = 2^1 = 2$

$x$ 가 무엇이든 결과는 2입니다. 한 칸 갈 때마다 이전 값의 2배가 됩니다. 일차함수가 한 칸 갈 때마다 같은 수가 더해지는 것과 짝을 이룹니다 — 지수함수는 더해지는 것이 아니라 곱해집니다.

$x$	0	1	2	3	4	5
$2^x$	1	2	4	8	16	32
앞 값과의 관계	—	$\times 2$	$\times 2$	$\times 2$	$\times 2$	$\times 2$

밑을 $a$ 로 두어도 마찬가지로 $a^{x+1}/a^x = a$ 입니다. 밑이 곧 배율입니다.

거꾸로도 쓸 수 있습니다. 표가 하나 주어졌을 때 그것이 지수함수인지 가리려면 이웃한 값끼리 나눠 보면 됩니다. 몫이 줄곧 같으면 지수함수이고, 차가 줄곧 같으면 일차함수입니다. 1, 3, 9, 27은 나눈 몫이 모두 3이니 $y=3^x$ 이고, 1, 3, 5, 7은 뺀 차가 모두 2이니 일차함수입니다.

배가시간과 반감기

"몇 걸음마다 두 배가 되는가"만 알면 식을 세울 수 있습니다. 세균이 30분마다 두 배가 되고 처음 개수가 $A$ 라면, $t$ 분 뒤의 개수는 이렇게 됩니다.

$y = A \cdot 2^{t/30}$

$t=30$ 이면 지수가 1이라 2배, $t=60$ 이면 지수가 2라 4배입니다. 이 30분을 배가시간 이라 합니다. 지수 자리를 $\dfrac{t}{30}$ 로 적은 것이 요령의 전부입니다. 30분이 한 묶음이 되도록 시간을 나눠 두면, 그 묶음을 몇 번 지났는지가 그대로 2를 몇 번 곱할지가 됩니다.

줄어드는 쪽도 같은 꼴입니다. 반으로 줄어드는 데 걸리는 시간 $T$ 를 반감기 라 하고, 남은 양은 이렇게 적습니다.

$y = A \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$

반감기가 20분인 물질이 처음의 $\dfrac{1}{8}$ 이 되는 시각을 손으로 구해 봅니다. $\dfrac{1}{8} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3$ 이므로 지수 $\dfrac{t}{20}$ 가 3이면 됩니다. 따라서 $t = 60$ 분입니다. 반으로 세 번 줄었으니 반감기 세 번이라고 세어도 같은 답입니다.

배가시간과 반감기는 서로 다른 개념이 아니라 같은 읽기의 두 방향 입니다. 배율이 1보다 크면 두 배가 되는 데 걸리는 칸수를 묻고, 1보다 작으면 반이 되는 데 걸리는 칸수를 묻습니다. 어느 쪽이든 그 칸수가 정해지면 밑도 함께 정해집니다.

70의 법칙

배율이 1에 가까울 때 두 배가 되는 데 걸리는 칸수를 암산하는 방법이 있습니다. 한 칸마다 $r$ 퍼센트씩 늘어난다면 대략 $\dfrac{70}{r}$ 칸 뒤에 두 배가 됩니다.

$r=7$ 이면 10칸입니다. 맞는지 확인해 봅니다. $1.07^{10}$ 을 한 번에 구하기는 어려우니 제곱을 세 번 하면서 따라갑니다.

$1.07^2 = 1.1449, \quad 1.07^4 = 1.1449^2 \approx 1.3108, \quad 1.07^8 \approx 1.7182$

여기에 $1.07^2$ 을 곱하면 $1.7182 \times 1.1449 \approx 1.967$ 입니다. 2에 가깝습니다.

$r=10$ 이면 7칸이라는 말인데, $1.1^7 \approx 1.949$ 로 역시 2 언저리입니다. $r=2$ 면 35칸이고 $1.02^{35} \approx 2.000$ 으로 거의 정확합니다.

$r$	$70/r$	실제 배율
2	35칸	2.000
7	10칸	1.967
10	7칸	1.949
20	3.5칸	1.933

$r$ 이 작을수록 잘 맞고 커질수록 조금씩 어긋납니다. 이 70이라는 수가 어디서 나왔는지는 22번 글의 도구가 있어야 설명됩니다. 지금은 표로 확인한 어림으로 씁니다.

곱하기와 더하기의 경주

$x^2$ 과 $2^x$ 은 둘 다 오른쪽으로 커집니다. 같은 표에 놓고 봅니다.

$x=3$ 에서는 $x^2=9$ 가 $2^x=8$ 보다 큽니다. $x=4$ 에서 16으로 같아지고, $x=5$ 부터는 32 대 25로 뒤집힙니다. $x=20$ 에서는 400 대 1048576, 2600배가 넘게 벌어집니다.

초반의 우열은 아무것도 말해 주지 않습니다. $x^2$ 은 한 칸 갈 때 더해지는 양이 커지는 함수이고, $2^x$ 은 한 칸 갈 때 몇 배가 될지가 늘 같은 함수입니다. 곱하기가 더하기를 이깁니다.

밑이 1보다 크기만 하면 결과는 같습니다. $1.01^x$ 은 $x=100$ 에서 겨우 2.7인데 $x^{100}$ 은 같은 자리에서 자릿수가 200개입니다. 그런데도 $x$ 를 계속 키우면 언젠가 $1.01^x$ 이 앞섭니다. 한쪽은 비율이 고정이고 다른 쪽은 비율이 1로 줄어들기 때문입니다. $x^{100}$ 의 한 칸당 배율 $\left(\dfrac{x+1}{x}\right)^{100}$ 은 $x$ 가 커질수록 1에 가까워지는데, $1.01$ 은 끝까지 $1.01$ 입니다.

지수보다 더 빨리 커지는 것도 있습니다. $1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n$ 을 $n!$ 이라 적는데, 이쪽은 한 칸당 배율이 $n$ 이라 아예 고정조차 아닙니다. $2^{10}=1024$ 이고 $10! = 3{,}628{,}800$ 입니다.

줄어드는 쪽에도 같은 경주가 있습니다. $2^{-x}$ 과 $\dfrac{1}{x^2}$ 을 견주면 $x=4$ 에서 0.0625로 같고, 그 뒤로는 $2^{-x}$ 이 훨씬 빨리 0에 붙습니다. $x=20$ 에서 한쪽은 백만분의 1이고 다른 쪽은 0.0025입니다.

e

쪼개 붙이는 셈

밑으로 쓸 만한 수가 하나 더 있습니다. 이렇게 얻습니다.

1년에 원금이 두 배가 되는 셈을 잘게 쪼개 붙인다고 해 봅시다. 한 번에 붙이면 $1 + 1 = 2$ 배입니다. 반년마다 절반씩 나눠 붙이면 $\left(1+\dfrac{1}{2}\right)^2 = 2.25$ 배로 조금 늘어납니다. 앞서 붙은 것에도 다시 붙기 때문입니다.

$n$ 번으로 쪼개면 이렇게 됩니다.

$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$

식 안에서 두 가지가 동시에 움직이는 것이 이 자리의 핵심입니다. 괄호 안의 $\dfrac{1}{n}$ 은 $n$ 이 커질수록 작아지고, 지수의 $n$ 은 커집니다. 작아지는 것을 여러 번 곱하는 셈이라 어느 쪽이 이길지가 한눈에 안 보입니다.

표가 붙는 자리

$n$ 을 키우면 한없이 커질까요. 네 줄을 채워 봅니다.

$n$	$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$
10	2.593742
100	2.704814
1000	2.716924
10000	2.718146

커지긴 하지만 어딘가에 걸려 더 못 갑니다. $n$ 을 열 배로 늘려도 소수점 아래에서만 조금씩 달라지고, 2.7182818… 언저리에 붙어 움직이지 않습니다. 줄마다 늘어난 폭을 보면 0.111, 0.012, 0.0012로 열 배씩 줄어듭니다. 남은 몫이 이 속도로 줄어드니 아무리 줄을 더해도 2.72를 넘지 못합니다.

이 수에 $e$ 라는 이름을 붙이고 자연상수라고 부릅니다.

$e = 2.718281828\ldots$

$\pi$ 처럼 소수점 아래가 끝나지도 반복되지도 않는 수입니다. 밑이 $e$ 인 지수함수 $y=e^x$ 은 $2^x$ 과 $3^x$ 사이를 지나고, 앞에서 본 성질 셋은 그대로입니다. 왜 하필 이 수를 밑으로 자주 쓰는지는 32번 · 도함수 계산 규칙이 답합니다.

"$n$ 을 한없이 키운다"를 표가 아니라 기호로 정확히 적는 것은 28번 · 극한의 몫입니다. 여기서는 표 네 줄로 충분합니다.

뽑히지 않는 쪽

$e$ 는 거꾸로 세는 자리에서도 나옵니다. 부호 하나만 바꾼 $\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{n}$ 을 같은 방식으로 채워 봅니다.

$n$	$\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{n}$
10	0.348678
100	0.366032
1000	0.367695
10000	0.367861

붙는 자리가 $\dfrac{1}{e} \approx 0.367879$ 입니다.

이 수가 서는 자리가 하나 있습니다. 상자에 공이 $n$ 개 들어 있고, 하나를 뽑아 번호를 적고 도로 넣기를 $n$ 번 한다고 합시다. 특정한 공 하나가 한 번도 안 뽑힐 확률은 매번 $1-\dfrac{1}{n}$ 이고 그것을 $n$ 번 곱한 값이니 위 표 그대로입니다. 공이 열 개면 34.9%, 백 개면 36.6%가 한 번도 안 뽑힙니다.

$n$ 을 아무리 키워도 이 값은 0으로 가지 않고 0.368 언저리에 멈춥니다. $n$ 번이나 뽑았는데도 공의 37% 가까이는 한 번도 안 뽑히고, 뒤집어 말하면 서로 다른 공은 63%쯤만 나옵니다. 상자를 키우면 나아질 것 같지만 비율은 그대로입니다.

연습 문제

연습 1 — 값 여덟 문제

1. $3^2$

   $9$.
2. $3^1$

   $3$.
3. $3^0$

   $1$. 밑이 무엇이든 0제곱은 1입니다.
4. $3^{-1}$

   $\dfrac{1}{3}$. 음수 지수는 역수입니다.
5. $3^{-2}$

   $\dfrac{1}{9}$.
6. $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}$

   $\dfrac{1}{9}$. 5번의 답과 같습니다. $\left(\frac13\right)^x = 3^{-x}$ 이기 때문입니다.
7. $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}$

   $9$. 역수의 역수라 $3^2$ 으로 돌아옵니다.
8. $3^{1/2}$

   $\sqrt{3} \approx 1.732$. 1과 3 사이의 값이라 $x=0.5$ 의 점이 $3^0$ 과 $3^1$ 사이에 찍힙니다.

1번부터 5번까지를 왼쪽에서 오른쪽으로 늘어놓으면 $y=3^x$ 의 표가 되고, 6번부터는 $y=\left(\frac13\right)^x$ 의 표입니다. 두 표를 나란히 보면 값이 서로 뒤집혀 있습니다.

연습 2 — 옮긴 곡선 세 문제

1. $y = 2^{x+2}$ 의 점근선과, $y=2^x$ 의 $(0,1)$ 이 옮겨 간 자리

   왼쪽으로 2 옮긴 것이라 점근선은 $y=0$ 그대로이고, $(0,1)$ 은 $(-2, 1)$ 로 갑니다.
2. $y = 2^{x} - 4$ 의 점근선과 $x$ 축과 만나는 점

   아래로 4 내린 것이라 점근선은 $y=-4$ 입니다. $2^x = 4$ 인 자리가 $x=2$ 이므로 $(2, 0)$ 에서 만납니다.
3. $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-3} + 1$ 의 점근선과 값의 범위

   오른쪽 3, 위로 1입니다. 점근선은 $y=1$ 이고 값의 범위는 $y>1$ 입니다. 밑이 1보다 작으므로 오른쪽으로 내려가는 곡선입니다.

연습 3 — 배가와 반감 세 문제

1. 세균이 30분마다 두 배가 됩니다. 처음 200마리였다면 3시간 뒤는 몇 마리입니까?

   3시간은 180분이고 $180 \div 30 = 6$ 이므로 $2^6 = 64$ 배입니다. $200 \times 64 = 12800$ 마리.
2. 반감기가 25년인 물질이 처음의 $\dfrac{1}{16}$ 이 되는 데 몇 년 걸립니까?

   $\dfrac{1}{16} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^4$ 이므로 반감기 네 번입니다. $25 \times 4 = 100$ 년.
3. 한 칸 갈 때마다 값이 3배가 되고 $x=0$ 에서 5입니다. 식을 쓰고 $x=4$ 의 값을 구하세요.

   밑이 곧 배율이므로 $y = 5 \cdot 3^x$ 입니다. $3^4 = 81$ 이므로 $5 \times 81 = 405$.

연습 4 — 표를 보고 가리는 네 문제

각 표가 지수함수인지 일차함수인지 가리고, 그렇게 본 까닭을 적으세요.

1. 2, 6, 18, 54

   지수함수. 이웃한 값을 나누면 몫이 모두 3입니다. $y = 2 \cdot 3^x$ 입니다.
2. 2, 6, 10, 14

   일차함수. 이웃한 값을 빼면 차가 모두 4입니다.
3. 80, 40, 20, 10

   지수함수. 몫이 모두 $\dfrac{1}{2}$ 이라 밑이 1보다 작습니다. $y = 80 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ 입니다.
4. 1, 4, 9, 16

   둘 다 아닙니다. 차가 3, 5, 7로 늘어나고 몫도 4, 2.25, 1.78로 줄어듭니다. $y=(x+1)^2$ 꼴의 거듭제곱함수입니다.

연습 5 — e 로 가는 표 네 줄

$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$ 을 분수로 계산한 뒤 소수 셋째 자리까지 적으세요.

1. $n = 1$

   $2^1 = 2$. 곧 $2.000$ 입니다.
2. $n = 2$

   $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4} = 2.250$.
3. $n = 3$

   $\left(\dfrac{4}{3}\right)^3 = \dfrac{64}{27} \approx 2.370$.
4. $n = 4$

   $\left(\dfrac{5}{4}\right)^4 = \dfrac{625}{256} \approx 2.441$.

네 값이 계속 커지지만 본문의 2.718에는 아직 한참 못 미칩니다. 늘어나는 폭이 갈수록 줄어드는 것까지 확인하면 표가 어딘가에 붙어 간다는 말이 눈에 들어옵니다.

정리

• 밑을 고정하고 지수를 움직이는 $y = a^x$ 이 지수함수입니다. 밑은 양수이고 1이 아닙니다.
• 값은 언제나 양수이고, $(0,1)$ 을 지나고, 한쪽 끝에서 $x$ 축에 한없이 가까워집니다.
• 밑이 1보다 크면 오르고 0과 1 사이면 내립니다. $\left(\frac12\right)^x = 2^{-x}$ 이라 두 곡선은 $y$ 축 대칭입니다.
• 세로 눈금을 곱으로 매기면 지수함수가 직선으로 섭니다. 눈금을 바꾼 것이지 함수가 바뀐 것이 아닙니다.
• 옮기고 늘이는 것은 지난 글의 규칙 그대로입니다. 점근선도 함께 옮겨 갑니다. 세로로 늘인 것과 가로로 옮긴 것이 같아지는 것은 지수함수만의 성질입니다.
• 한 칸 갈 때 몇 배가 되는가로 읽습니다. 그 배율이 곧 밑입니다. 배가시간과 반감기가 이 읽기의 다른 이름이고, 70의 법칙은 그 칸수를 어림하는 방법입니다.
• $x^2$ 과 $2^x$ 은 초반에 우열이 엎치락뒤치락하지만 결국 $2^x$ 이 이깁니다.
• $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 의 표가 붙는 자리가 $e = 2.718281828\ldots$ 이고, 부호를 바꾼 표는 $\frac{1}{e} \approx 0.368$ 에 붙습니다.

이 글에서 $2^x$ 에 $x$ 를 넣어 값을 얻는 일만 했습니다. 거꾸로 $2^x = 10$ 처럼 값이 주어지고 지수를 묻는 식은 지금까지의 도구로 풀리지 않습니다. 곱 눈금의 이름도, 70의 법칙의 70도, 세로로 3배 늘인 곡선이 가로로 얼마나 옮겨진 것인지도 전부 같은 답을 기다리고 있습니다. 다음 글이 그 답에 이름을 붙입니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊