문자와 대입: 문자 하나가 수 전부를 대신할 때

6번 글에서 직사각형의 가로를 $a$, 세로를 $b$ 라고 적었습니다. 8번 글에서는 닮음비를 $k$ 라고 적었습니다.

거기서 글자는 정해진 양 하나에 붙인 이름이었습니다. 이 글에서 처음으로 그 글자가 무엇을 대신하는지를 갈라 봅니다. 대신하는 것이 무엇이냐에 따라 이름이 다르고, 하는 일도 다릅니다.

가른 다음에는 그 자리에 수를 넣어 봅니다. 글자를 쓰는 값이 이 두 동작에서 나옵니다 — 여러 경우를 한 줄로 적어 두고, 필요할 때 아무 값이나 골라 넣는 것입니다.

글자가 하는 네 가지 일

이름	무엇을 대신하나	예
미지수	아직 모르는 값. 찾아야 할 대상	$2x + 1 = 7$ 의 $x$
변수	값이 변하는 것. 여러 값을 오간다	$y = 3x + 5$ 의 $x$ 와 $y$
상수	변하지 않는 정해진 수	$y = 3x + 5$ 의 $5$
계수	문자에 곱해져 있는 수	$3x$ 의 $3$

같은 $x$ 라도 어느 자리에 있느냐로 역할이 달라집니다. $2x + 1 = 7$ 의 $x$ 는 4 하나뿐이고 우리는 그것을 찾는 중입니다. $y = 3x + 5$ 의 $x$ 는 아무 값이나 될 수 있고, 정하는 순간 $y$ 가 따라 정해집니다.

곱셈 기호를 생략해 $3 \times a$ 를 $3a$ 로, $a \times b$ 를 $ab$ 로 적는 관례는 2번 글에서 이미 읽는 법으로 받았습니다. 여기서는 그대로 씁니다.

문자로 적은 상수

위 표의 넷으로는 안 갈리는 자리가 하나 있습니다. $y = kx$ 의 $k$ 입니다.

한 문제 안에서 $k$ 는 상수입니다. $k = 3$ 이라고 정해지고 나면 그 문제가 끝날 때까지 3이고, 움직이는 것은 $x$ 와 $y$ 뿐입니다. 그런데 문제를 바꾸면 $k$ 도 바뀝니다. 어떤 문제에서는 3이고 다른 문제에서는 5입니다.

그러니까 $k$ 는 문제 안에서는 상수이고 문제 밖에서는 변하는 값입니다. 숫자로 적지 않고 글자로 남겨 두는 이유가 이것입니다 — $y = 3x$ 는 문제 하나를 적은 것이고, $y = kx$ 는 그런 문제 전부를 한 줄로 적은 것입니다. 8번 글의 닮음비도 같은 자리였습니다. 도형 한 쌍마다 값이 정해지지만 닮음을 이야기하는 동안에는 상수입니다.

표의 넷과 이 다섯째를 가르는 기준은 하나입니다 — 무엇을 고정하고 보느냐 입니다. 지금 보고 있는 식에서 값이 움직이면 변수이고 움직이지 않으면 상수이니, 같은 글자라도 어느 식에서 보느냐에 따라 답이 갈립니다.

글자를 고르는 관례

아무 글자나 써도 계산은 똑같이 됩니다. $y = 3x + 5$ 를 $q = 3p + 5$ 로 적어도 같은 식입니다. 다만 읽는 사람이 덜 헤매도록 자리마다 즐겨 쓰는 글자가 굳어져 있습니다.

자리	즐겨 쓰는 글자	예
변수·미지수	$x$, $y$, $z$	$y = 3x + 5$
상수·계수	$a$, $b$, $c$, $k$	$y = ax + b$
개수를 세는 정수	$n$, $m$	$n$ 명이 모였다
시간·거리·속도	$t$, $s$, $v$	$s = vt$

관례일 뿐 규칙은 아닙니다. 하지만 $y = ax + b$ 라고만 적어 두고 「$a$ 와 $b$ 는 상수이고 $x$ 가 변수입니다」를 따로 안 적어도 통하는 것은 이 관례 덕입니다.

피하는 글자도 있습니다. 소문자 $l$ 은 숫자 1과, $o$ 는 0과 닮아서 손으로 적으면 구별이 안 됩니다. 길이를 $l$ 로 적고 싶으면 $L$ 을 쓰는 편이 안전합니다.

항·차수·동류항

$3x^2 - 5x + 7$ 을 봅니다.

$+$ 와 $-$ 로 끊어지는 덩어리 하나하나를 항이라고 합니다. 이 식은 항이 셋입니다 — $3x^2$, $-5x$, $7$. 부호는 뒤에 오는 항의 것이므로 둘째 항은 $5x$ 가 아니라 $-5x$ 입니다.

문자가 곱해진 개수를 차수라고 합니다. $3x^2$ 은 2차, $-5x$ 는 1차, $7$ 은 문자가 없으니 0차이고 상수항이라 부릅니다. 식 전체의 차수는 가장 높은 항의 차수인 2입니다.

항이 하나면 단항식, 여럿이면 다항식입니다.

생략된 1

$x$ 라고만 적힌 항의 계수는 얼마일까요. 1입니다. 곱해도 아무것도 안 바뀌는 수라서 생략합니다. 마찬가지로 $-x$ 의 계수는 $-1$ 입니다.

$x = 1 \times x, \qquad -x = (-1) \times x$

작아 보이지만 계산에서 계속 걸리는 자리입니다. $5x - x$ 를 $5x$ 라고 적는 실수가 여기서 나옵니다. $5$ 개에서 $1$ 개를 뺀 것이므로 답은 $4x$ 입니다.

$x^2$ 도 마찬가지로 계수가 1입니다. 지수 1도 적지 않으므로 $x$ 는 사실 $1 \times x^1$ 입니다. 적히지 않은 1이 두 자리에 숨어 있습니다.

문자가 둘인 항

항에 문자가 둘 이상 들어 있으면 차수는 곱해진 문자의 개수를 전부 센 값입니다. 지수를 더하면 됩니다.

$x^2 y = x \times x \times y$

문자가 세 번 곱해졌으므로 3차입니다. $x$ 에 대해서는 2차이고 $y$ 에 대해서는 1차인데, 항 전체의 차수는 둘을 더한 3입니다. 같은 식으로 $3a^2b^3$ 은 $2 + 3 = 5$ 차입니다.

한 식에 차수가 다른 항이 섞여 있으면 차수가 높은 항부터 적습니다. 이 순서를 내림차순이라고 합니다. $5 - 3x + x^2$ 보다 $x^2 - 3x + 5$ 가 읽기 쉬운데, 식의 차수가 맨 앞에 바로 보이고 두 식을 더할 때 같은 차수끼리 위아래로 줄이 맞기 때문입니다.

이름이 두 갈래로 붙는 것도 여기서 정리해 둡니다. 항이 몇 개인가로 부르는 이름과 차수가 얼마인가로 부르는 이름은 서로 다른 것을 셉니다.

무엇을 세나	이름	예
항의 개수	단항식 · 다항식	$3x^2$ 은 단항식, $x^2-3x+5$ 는 다항식
식의 차수	일차식 · 이차식	$2x+1$ 은 일차식, $x^2-3x+5$ 는 이차식

$x^2 - 3x + 5$ 는 다항식이면서 이차식입니다. 둘 중 하나를 고르는 것이 아니라 세는 대상이 달라 이름이 둘 다 붙습니다.

동류항

문자 부분이 완전히 같은 항끼리는 합칠 수 있습니다. 이런 항을 동류항이라고 합니다.

$4x + 3y - x + 5y = 3x + 8y$

$4x$ 와 $-x$ 는 둘 다 $x$ 짜리이므로 개수를 세듯 더합니다. $x$ 와 $y$ 는 서로 다른 덩어리라 합쳐지지 않습니다. 13번 글에서 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ 이 더 안 줄던 것과 같은 이유입니다.

차수가 다르면 동류항이 아닙니다. $x^2$ 과 $x$ 는 못 합칩니다. $x = 3$ 이면 하나는 9이고 하나는 3이라 아예 다른 값입니다.

문자가 둘 이상이면 그 부분이 통째로 같아야 합니다. $3xy$ 와 $-xy$ 는 합쳐져 $2xy$ 가 되지만, $3xy$ 와 $2x$ 는 안 됩니다.

$3xy + 2x - xy = 2xy + 2x$

합쳐지는지 보는 가장 빠른 방법은 문자 부분을 손가락으로 가려 보는 것입니다. 가리고 나서 남은 것이 숫자뿐이면 같은 덩어리이고, 가릴 모양이 서로 다르면 다른 덩어리입니다.

대입의 손계산

문자 자리에 실제 수를 넣어 값을 구하는 것을 대입이라고 합니다.

3번 글에서 검산 요령으로 「숫자를 넣어 본다」를 배웠습니다. 그것이 여기서 정식 계산 도구가 됩니다. 이 트랙의 남은 서른네 편이 이 조작 하나에 계속 기댑니다.

$2x + 5$ 에 $x = 4$ 를 넣습니다.

$2 \times 4 + 5 = 13$

음수 대입과 괄호

여기가 실수가 몰리는 자리입니다.

$x^2$ 에 $x = -3$ 을 넣습니다. 괄호를 치면 $(-3)^2 = 9$ 입니다. 안 치고 $-3^2$ 이라고 적으면 10번 글에서 본 대로 $-9$ 입니다. 답의 부호가 뒤집힙니다.

넣는 값이 음수이면 그 값 전체가 한 덩어리입니다. 덩어리는 괄호로 묶고 시작합니다. 예외를 두지 마세요. 양수일 때도 괄호를 쳐 두면 습관이 흔들리지 않습니다.

$x^2 - 4x$ 에 $x = -2$ 를 넣어 봅니다.

$(-2)^2 - 4 \times (-2) = 4 + 8 = 12$

문자 자리에 문자 넣기

넣는 것이 꼭 수여야 하는 것은 아닙니다. 문자 자리에 식을 통째로 넣어도 됩니다. 넣고 나서 정리하면 새 식이 나옵니다.

$x^2 + 1$ 의 $x$ 자리에 $2t$ 를 넣습니다. 넣는 것이 덩어리이므로 여기서도 괄호를 칩니다.

$(2t)^2 + 1 = 4t^2 + 1$

괄호를 빠뜨려 $2t^2 + 1$ 로 적으면 $t$ 만 제곱한 것이 되어 다른 식입니다. $t = 1$ 을 넣어 보면 하나는 5이고 하나는 3입니다. 대입한 뒤에 수를 하나 넣어 두 식을 견주는 것이 이 실수를 잡는 가장 싼 방법입니다.

넣는 식에 덧셈이 들어 있어도 같습니다. $3x - 2$ 의 $x$ 자리에 $t + 1$ 을 넣으면

$3(t + 1) - 2 = 3t + 3 - 2 = 3t + 1$

이때도 괄호가 먼저입니다. $3t + 1 - 2$ 로 적으면 3이 $t$ 에만 곱해져 답이 달라집니다.

문자 둘에 한꺼번에 넣기

문자가 둘이면 값도 둘을 함께 넣습니다. 각각을 따로 괄호로 묶는 것이 요령입니다.

$a^2 - b^2$ 에 $a = 3$, $b = -2$ 를 넣습니다.

$(3)^2 - (-2)^2 = 9 - 4 = 5$

$a$ 는 양수라 괄호가 없어도 되지만, 한쪽만 치는 습관은 결국 음수 쪽을 빠뜨리게 만듭니다. 넣을 자리가 여럿이면 먼저 전부 괄호로 바꿔 적어 두고 그다음에 계산을 시작하세요. 넣으면서 동시에 계산하려다 부호를 놓치는 것이 가장 흔한 실수입니다.

단위가 붙은 값이면 단위도 함께 적습니다. 넓이 공식 $S = ab$ 에 $a = 3\ \text{cm}$, $b = 4\ \text{cm}$ 를 넣으면 $S = 12\ \text{cm}^2$ 입니다. 숫자만 적어 12라고 두면 그것이 길이인지 넓이인지 나중에 알 수 없고, cm끼리 곱해져 cm²가 되는 것도 단위를 적어 두어야 눈에 보입니다.

여러 값을 넣은 표

한 값을 넣으면 값 하나를 얻습니다. 여러 값을 넣어 표로 늘어놓으면 식이 어떻게 움직이는지가 보입니다.

$x^2 - 2x$ 에 $x$ 를 $-2$ 부터 3까지 넣습니다.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$x^2 - 2x$	$8$	$3$	$0$	$-1$	$0$	$3$

$x = 1$ 근처에서 가장 작아지고 양쪽으로 커집니다. 표 하나로 이만큼 알 수 있습니다.

이웃 칸의 차

표를 한 줄 더 늘리면 더 보입니다. 오른쪽 칸에서 왼쪽 칸을 뺀 값을 아래에 적습니다.

구간	$-2 \to -1$	$-1 \to 0$	$0 \to 1$	$1 \to 2$	$2 \to 3$
차	$-5$	$-3$	$-1$	$1$	$3$

차가 음수인 동안은 값이 줄고 있고, 양수로 바뀐 뒤에는 늘고 있습니다. 부호가 바뀌는 자리가 가장 낮은 자리입니다. 값을 하나하나 눈으로 견주지 않아도 차의 부호만 따라가면 어디가 바닥인지 알 수 있습니다.

차의 차

차를 적은 줄에서 다시 한 번 차를 냅니다. $-5$, $-3$, $-1$, $1$, $3$ 에서 이웃끼리 빼면 $2, 2, 2, 2$ — 전부 같습니다.

이것이 판정에 쓰입니다.

어느 줄이 일정한가	식은
차가 일정하다	일차식
차의 차가 일정하다	이차식

$2x + 5$ 로 확인합니다. $x$ 를 0부터 3까지 넣으면 $5, 7, 9, 11$ 이고 차는 $2, 2, 2$ 로 처음부터 일정합니다. 일차식이라 한 줄 만에 멈춘 것입니다.

주의할 것이 하나 있습니다. 이 판정은 $x$ 를 일정한 간격으로 넣었을 때만 성립합니다. 위 표는 1씩 늘렸으니 괜찮지만, $x$ 를 $1, 2, 4, 8$ 처럼 띄엄띄엄 넣으면 차가 일정할 이유가 없습니다. 표를 만들 때 간격부터 고르게 잡으세요.

표가 못 보는 자리

표는 넣어 본 값만 알려 줍니다. 칸과 칸 사이에서 무슨 일이 있었는지는 표에 없습니다.

위 표에서 $x = 0$ 일 때 0이고 $x = 2$ 일 때도 0입니다. 그 사이도 0일 것 같지만 $x = 1$ 을 넣으면 $-1$ 입니다. 칸을 하나 더 채워 보고서야 알았습니다. 그러면 0과 1 사이는 어떨까요. $x = 0.5$ 를 넣으면 $0.25 - 1 = -0.75$ 입니다.

칸을 촘촘히 할수록 나아지지만 칸 사이를 완전히 없앨 수는 없습니다. 그래서 표는 짐작하는 자리이지 못 박는 자리가 아닙니다. 표가 알려 준 것을 확실하게 만들려면 표를 늘리는 쪽이 아니라 식 자체를 손보는 쪽으로 가야 하고, 그것이 이 트랙의 남은 편들이 하는 일입니다.

관계를 적는 식 한 줄

12번 글에서 정비례와 반비례를 표의 값으로만 읽었습니다. $\frac{y}{x}$ 가 늘 3이고, $x \times z$ 가 늘 12였습니다.

이제 문자로 적을 수 있습니다.

$y = 3x \qquad z = \frac{12}{x}$

상수 자리에 문자를 두면 일반형이 됩니다.

$y = kx \qquad y = \frac{k}{x}$

$k$ 를 비례상수라고 합니다. 표 여러 줄이 식 한 줄이 됐습니다. 문자를 쓰는 이유가 이것입니다 — 값이 몇 개든 관계는 한 줄로 적힙니다.

$k$ 를 구하려면 값 한 쌍이면 됩니다. $x = 4$ 일 때 $y = 20$ 인 정비례라면 $20 = k \times 4$ 이므로 $k = 5$ 입니다.

하나에 대해 풀어 적기

문자가 셋인 관계도 마찬가지로 한 줄입니다. 직사각형의 넓이는 $S = ab$ 입니다.

이 한 줄에는 물음 셋이 들어 있습니다 — 가로와 세로를 알고 넓이를 묻는 것, 넓이와 가로를 알고 세로를 묻는 것, 넓이와 세로를 알고 가로를 묻는 것입니다. 묻는 것을 왼쪽에 혼자 남기면 각각의 답이 나옵니다.

$S = ab, \qquad b = \frac{S}{a}, \qquad a = \frac{S}{b}$

셋은 같은 관계를 다르게 적은 것뿐입니다. 양변을 같은 수로 나누는 조작은 1번 글의 저울 그대로입니다 — 양쪽에 같은 일을 하면 등호가 유지됩니다.

이렇게 고쳐 적을 때는 나누는 것이 0이면 안 된다는 단서가 따라붙습니다. 가로가 0인 직사각형은 없으니 여기서는 걱정할 일이 없지만, 문자로 적는 한 늘 따라다니는 조건입니다.

정비례와 반비례

정비례를 표로만 읽을 때는 「$y$ 를 $x$ 로 나눈 값이 늘 같다」였습니다. 식으로 적고 나면 같은 말을 더 짧게 할 수 있습니다.

$x$ 가 2배가 되면 $y$ 도 2배가 됩니다. $y = kx$ 의 $x$ 자리에 $2x$ 를 넣으면 $k \times 2x = 2 \times kx$ 이니 원래 $y$ 의 2배입니다. 3배도 10배도 같은 계산입니다.

$x = 0$ 을 넣으면 $y = 0$ 입니다. 정비례에서는 한쪽이 0이면 다른 쪽도 0입니다. 반비례는 그렇지 않습니다 — $y = \dfrac{k}{x}$ 에는 $x = 0$ 을 아예 넣을 수 없고, $x$ 를 0에 가깝게 할수록 $y$ 는 한없이 커집니다.

값 몇 쌍이 맞는 것

표에서 몇 쌍이 맞는다고 정비례라고 단정하면 안 됩니다.

$x$	$1$	$2$
$y$	$3$	$6$

두 쌍만 보면 $y = 3x$ 입니다. 그런데 $x = 3$ 에서 $y$ 가 11이면 어떨까요. 앞의 두 쌍은 그대로 맞는데 정비례는 아닙니다. 실제로 $y = x^2 + 2$ 는 $x = 1$ 에서 3, $x = 2$ 에서 6, $x = 3$ 에서 11입니다. 앞의 두 칸만 보고 있었다면 속았을 것입니다.

표는 반례를 보여 주지 않습니다. 표에 든 칸이 맞는다는 것만 알려 줄 뿐, 넣어 보지 않은 값에 대해서는 아무 말도 하지 않습니다. 「정비례다」는 모든 값에 대한 약속이므로 표로 확인해 얻는 것이 아니라 문제에서 주어지는 것입니다. 주어지고 나면 그때부터 $k$ 를 값 한 쌍으로 구할 수 있습니다.

문장을 식으로 옮기기

12번 글에서 수로 계산했던 문장들을 이번에는 문자로 적습니다. 요령은 「어떤 수」에 이름을 붙이고 문장을 순서대로 따라가는 것입니다.

문장	식
어떤 수보다 3 큰 수	$x + 3$
어떤 수의 2배보다 1 작은 수	$2x - 1$
정가 $a$ 원의 20%를 깎은 값	$0.8a$
시속 $v$ km로 $t$ 시간 간 거리	$vt$

세 번째 줄을 짚어 둡니다. 「20%를 깎는다」를 $a - 0.2a$ 로 적어도 맞습니다. 정리하면 $0.8a$ 이므로 같은 식입니다. 한 번에 $0.8a$ 가 안 나와도 됩니다 — 문장을 그대로 옮긴 뒤 정리하는 편이 오히려 실수가 적습니다.

단위 맞추기

표의 넷은 단위가 이미 맞아 있었습니다. 어긋나 있으면 식을 적기 전에 맞춰야 합니다.

「시속 60 km로 $t$ 분 달린 거리」를 $60t$ 라고 적으면 틀립니다. 시속은 한 시간에 가는 거리인데 $t$ 는 분이라 단위가 다릅니다. $t$ 분은 $\dfrac{t}{60}$ 시간이므로

$60 \times \frac{t}{60} = t$

답이 $t$ 라는 것도 말이 됩니다. 시속 60 km면 1분에 1 km이니 $t$ 분이면 $t$ km입니다.

식을 세우기 전에 주어진 값의 단위를 한 줄에 적어 보는 것이 가장 확실한 예방입니다. 「$t$: 분」, 「속도: km/시」라고 적어 두면 둘이 안 맞는다는 것이 바로 보입니다.

「~마다」와 「~당」

문장에 자주 나오는 이 두 말이 서로 반대 방향으로 쓰입니다.

• 「~당」은 하나에 얼마인지를 적은 값이라 개수를 곱합니다. 한 자루에 $p$ 원인 연필 $n$ 자루는 $pn$ 원입니다.
• 「~마다」는 얼마 간격으로 한 번인지를 적은 값이라 전체를 그 간격으로 나눕니다. 3분마다 한 대씩 오는 버스는 $t$ 분 동안 $\dfrac{t}{3}$ 대가 옵니다.

헷갈리면 수를 하나 넣어 봅니다. 「3분마다」에 $t = 6$ 을 넣어 2대가 나오면 맞고, $3 \times 6 = 18$ 대가 나오면 곱셈과 나눗셈이 뒤집힌 것입니다. 상식으로 답을 아는 작은 수를 골라 넣는 것이 요령입니다.

글자는 마음대로 고른다

같은 문장을 다른 글자로 옮겨도 같은 식입니다. 「어떤 수의 3배보다 5 작은 수」를 $3x - 5$ 로 적든 $3a - 5$ 로 적든 다를 것이 없습니다. 이름을 무엇으로 붙이느냐는 계산에 아무 영향이 없습니다.

다만 한 문제 안에서는 한 글자에 한 가지 뜻입니다. 앞에서 $x$ 를 「연필 한 자루 값」으로 썼으면 뒤에서 $x$ 를 「자루 수」로 쓰면 안 됩니다. 글자가 모자라면 $x_1$, $x_2$ 처럼 번호를 붙이거나 다른 알파벳을 가져옵니다.

그래서 식을 적기 전에 무엇을 무슨 글자로 뒀는지 한 줄 적어 두는 습관이 여기서 가장 잘 듣습니다. 「$x$: 연필 한 자루 값(원)」처럼 적어 두면 식을 다 세운 뒤에 답이 무엇을 뜻하는지 되짚을 때도 그 줄만 보면 됩니다.

연습 문제

연습 1 — 대입 스무 문제

1번부터 12번까지는 $a = 3$, $b = -2$ 입니다. 음수는 괄호로 묶고 시작하세요.

1. $a + b$

   $3 + (-2) = 1$
2. $a - b$

   $3 - (-2) = 5$
3. $ab$

   $3 \times (-2) = -6$
4. $a^2$

   $9$
5. $b^2$

   $(-2)^2 = 4$
6. $-b^2$

   $-(-2)^2 = -4$ — 제곱을 먼저 하고 부호를 붙입니다.
7. $a^2 + b^2$

   $9 + 4 = 13$
8. $(a + b)^2$

   $1^2 = 1$ — 7번과 다릅니다.
9. $2a - 3b$

   $6 - (-6) = 12$
10. $\frac{a - b}{b}$

    $\dfrac{5}{-2} = -\dfrac{5}{2}$
11. $a^2 - 2ab + b^2$

    $9 - 2 \times 3 \times (-2) + 4 = 9 + 12 + 4 = 25$
12. $b^3$

    $(-2)^3 = -8$ — 세 번 곱했으니 음수입니다.

13번부터 17번까지는 $x = \dfrac{1}{2}$, $y = -4$ 입니다.

13. $4x$

    $2$
14. $xy$

    $\dfrac{1}{2} \times (-4) = -2$
15. $\frac{y}{x}$

    $-4 \div \dfrac{1}{2} = -8$
16. $x^2 y$

    $\dfrac{1}{4} \times (-4) = -1$
17. $2x - \frac{y}{2}$

    $1 - (-2) = 3$

18번부터 20번까지는 식마다 값이 따로 주어집니다.

18. $\frac{1}{2}bh$ 에서 $b = 7$, $h = 6$

    $\dfrac{1}{2} \times 7 \times 6 = 21$
19. $\pi r^2$ 에서 $r = 3$, $\pi$ 는 $3.14$ 로 봅니다

    $3.14 \times 9 = 28.26$
20. $\frac{5}{9}(F - 32)$ 에서 $F = 95$

    $\dfrac{5}{9} \times 63 = 35$

8번과 7번이 다르게 나온 것을 확인하세요. $(a+b)^2$ 과 $a^2 + b^2$ 은 같지 않습니다. 왜 다른지, 그리고 그 차이가 정확히 얼마인지는 다음 글에서 공식으로 만납니다.

연습 2 — 문장을 식으로 열 문제

모르는 값에 이름을 붙이고 식으로 적으세요.

1. 어떤 수의 3배보다 5 작은 수

   $3x - 5$
2. 한 변의 길이가 $a$ 인 정사각형의 둘레

   $4a$
3. $x$ 원짜리를 3개, $y$ 원짜리를 2개 샀을 때 총액

   $3x + 2y$
4. 정가 $p$ 원에 $15\%$ 의 이익을 붙인 값

   $1.15p$ 또는 $p + 0.15p$
5. 전체 $n$ 명 중 $k$ 명이 찬성했을 때 찬성 비율(%)

   $\dfrac{100k}{n}$
6. 소금 $s$ g이 든 소금물 $m$ g의 농도(%)

   $\dfrac{100s}{m}$
7. 연속한 두 정수 중 작은 쪽이 $n$ 일 때 두 수의 합

   $n + (n+1) = 2n + 1$
8. $a$ 를 5로 나눈 몫이 $q$ 이고 나머지가 $r$ 일 때 $a$

   $5q + r$
9. 가로가 세로보다 4 긴 직사각형의 세로가 $h$ 일 때 넓이

   $h(h + 4)$
10. 시속 $45$ km로 $t$ 분 달린 거리(km)

    $45 \times \dfrac{t}{60} = \dfrac{3t}{4}$ — 분을 시간으로 고쳐야 합니다.

10번처럼 단위가 어긋나는 자리가 문장제에서 가장 자주 틀리는 곳입니다. 본문에서 시속 60 km로 풀어 본 것과 같은 자리인데 수가 달라지면 답도 이렇게 달라집니다.

정리

• 글자는 미지수·변수·상수·계수 중 무엇이냐에 따라 하는 일이 다릅니다. 자리를 보면 알 수 있고, 문제 안에서는 상수인데 문제 밖에서는 변하는 $k$ 같은 자리도 있습니다.
• $+$ 와 $-$ 로 끊어지는 덩어리가 항이고, 부호는 뒤 항의 것입니다. 문자 부분이 통째로 같은 항끼리만 합칩니다.
• 항의 개수로 부르는 이름(단항식·다항식)과 차수로 부르는 이름(일차식·이차식)은 세는 대상이 다릅니다.
• 대입은 문자 자리에 수를 넣는 것이고, 이 트랙이 앞으로 계속 쓰는 도구입니다. 수 대신 식을 넣어도 됩니다.
• 음수를 넣을 때는 반드시 괄호로 묶습니다. $(-3)^2$ 과 $-3^2$ 은 다릅니다.
• 여러 값을 넣어 표를 만들고 이웃 칸의 차를 한 줄 더 적으면 식의 차수까지 보입니다. 다만 표는 칸 사이를 알려 주지 않습니다.
• 표 여러 줄로 읽던 관계가 $y = kx$ 처럼 식 한 줄이 됩니다.

다음 글에서는 괄호를 풀고 다시 묶습니다. $(a+b)^2$ 이 왜 $a^2 + b^2$ 이 아닌지가 그림 하나로 끝납니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊