식을 읽는 순서: 괄호 없이 묶여 있는 것들

지난 글에서 = 가 "양쪽이 같다"는 주장이라는 것을 세웠습니다. 그러면 그 양쪽에 놓인 식 하나는 어떻게 읽을까요.

$2 + 3 \times 4$

14일까요, 20일까요. 답이 갈리는 것은 계산을 못 해서가 아닙니다. 무엇을 먼저 하는지가 정해져 있지 않으면 같은 식이 두 값을 가리키게 되기 때문입니다. 이 글은 그 순서 하나만 다룹니다. 그리고 순서보다 실제로 더 자주 발목을 잡는 것 — 괄호를 안 썼는데도 이미 묶여 있는 자리들 — 을 넷으로 나눠 봅니다.

무엇을 먼저 하는가

수학은 이 순서를 약속으로 정해 두었습니다.

위 칸부터 차례로 하고, 같은 칸에 있는 것끼리는 왼쪽부터 합니다. 그래서 $2 + 3 \times 4$ 는 곱셈이 덧셈보다 위 칸이므로 $2 + 12 = 14$ 입니다. 20이 되려면 $(2 + 3) \times 4$ 라고 괄호를 적어야 합니다.

'왼쪽부터'가 왜 필요했는지는 숫자로 바로 보입니다.

$8 \div 4 \times 2$

왼쪽부터 하면 $2 \times 2 = 4$ 입니다. 오른쪽부터 하면 $8 \div 8 = 1$ 입니다. 값이 갈립니다. 뺄셈도 같습니다.

$10 - 3 - 2$

왼쪽부터 하면 $7 - 2 = 5$, 오른쪽부터 하면 $10 - 1 = 9$ 입니다. 반면 덧셈과 곱셈은 순서를 바꿔도 값이 같아서 이 규칙이 없어도 문제가 없습니다. 규칙이 필요했던 것은 뺄셈과 나눗셈 때문입니다.

코드도 대체로 같은 순서를 씁니다. 그래서 2 + 3 * 4 를 쓰면 14가 나옵니다. 다만 코드가 확실히 다른 자리가 하나 있습니다 — 코드는 곱셈 기호를 생략할 수 없습니다. 여기서부터가 이 글의 본론입니다.

(가) 곱셈 기호는 생략한다

수식에서 다음은 전부 곱입니다.

$3a \qquad 2(x + 1) \qquad ab \qquad 4xy$

읽는 법은 "3 곱하기 $a$", "2 곱하기 $(x+1)$", "$a$ 곱하기 $b$", "4 곱하기 $x$ 곱하기 $y$" 입니다. 눈에 보이는 기호가 없을 뿐 곱셈이 거기 있습니다. 이것을 코드로 옮기면 3*a, 2*(x+1), a*b, 4*x*y 이고, 생략한 채로 적으면 아예 다른 뜻이 되거나 에러가 납니다.

숫자끼리는 생략할 수 없습니다. $23$ 은 2 곱하기 3이 아니라 스물셋입니다. 그래서 숫자와 숫자를 곱할 때는 반드시 기호를 적고, 이때 $\times$ 대신 가운뎃점 $\cdot$ 을 쓰기도 합니다. $2 \cdot 3$ 은 $2 \times 3$ 과 같은 뜻입니다.

이것이 우선순위와 어떻게 얽히는지가 중요합니다. 생략된 곱셈도 그냥 곱셈이라 3번 칸에 들어갑니다. 그러니 $2 + 3a$ 는 $2 + (3 \times a)$ 이지 $(2+3) \times a$ 가 아닙니다.

(나) 분수선은 위아래를 통째로 묶는 괄호다

손으로 쓴 분수를 한 줄로 옮겨 적을 때 가장 흔한 사고가 여기서 납니다.

$\frac{a + b}{2}$

이 모양을 그대로 한 줄로 적으면 (a + b) / 2 입니다. a + b / 2 가 아닙니다. 분수선은 위에 적힌 것 전체와 아래에 적힌 것 전체를 각각 괄호로 묶고 있고, 한 줄로 펴는 순간 그 괄호가 눈에 보이지 않게 되기 때문에 직접 적어 줘야 합니다.

숫자를 넣으면 한 번에 끝납니다. $a = 4$, $b = 6$ 이라 하면

• $(4 + 6) \div 2 = 10 \div 2 = 5$
• $4 + 6 \div 2 = 4 + 3 = 7$

5와 7. 다른 식입니다. 분모 쪽도 마찬가지여서, $\dfrac{1}{x + 1}$ 은 1 / (x + 1) 이지 1 / x + 1 이 아닙니다.

(다) 함수 이름과 근호가 덮는 범위

수식에는 괄호 없이도 뒤쪽을 덮는 기호가 몇 개 있습니다. 이 절에서는 그것들이 무슨 계산인지는 전혀 다루지 않습니다. 선이 어디까지 덮는가만 봅니다.

함수 이름은 바로 뒤에 붙은 덩어리 하나를 덮습니다.

• $\sin 2x$ 는 $\sin(2x)$ 입니다. $2x$ 가 곱으로 한 덩어리라 통째로 들어갑니다.
• $\sin x + 1$ 은 $(\sin x) + 1$ 입니다. $\sin(x+1)$ 이 아닙니다. 덧셈은 덩어리를 묶어 주지 못합니다.
• $\log ab$ 는 $\log(ab)$ 입니다. $ab$ 가 곱이라 한 덩어리입니다.

헷갈릴 때는 괄호를 적으면 됩니다. 실제로 많은 책이 $\sin(2x)$ 라고 괄호를 적어 줍니다.

근호는 지붕이 덮은 만큼만 덮습니다. 이것은 손으로 쓴 모양을 보면 분명한데 한 줄로 옮기면 사라집니다.

$\sqrt{a} + b \qquad \text{와} \qquad \sqrt{a + b}$

앞의 것은 $a$ 에만 지붕이 있고 $b$ 는 밖에 있습니다. 뒤의 것은 지붕이 $a+b$ 전체를 덮습니다. 한 줄로 적으면 각각 sqrt(a) + b 와 sqrt(a + b) 입니다. 분수선과 완전히 같은 이야기입니다 — 손글씨에서 선의 길이가 하던 일을 한 줄에서는 괄호가 대신합니다.

(라) 위첨자와 아래첨자

위첨자는 같은 것을 몇 번 곱했는지를 적은 것입니다.

$a^2 = a \times a \qquad a^3 = a \times a \times a$

$a^2$ 는 "$a$ 의 제곱" 또는 "$a$ 의 2승"이라고 읽고, $a$ 를 두 번 곱했다는 뜻입니다. $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ 입니다. 이 약속 하나면 앞으로 나올 $2^3 \times 3^2 \times 5$ 같은 표기를 읽을 수 있습니다 — 2를 세 번, 3을 두 번, 5를 한 번 곱했다는 뜻이니 $8 \times 9 \times 5 = 360$ 입니다. 5번 · 약수와 배수·소인수분해에서 이 모양을 계속 쓰게 됩니다. 지수를 다루는 규칙들과 $a^0$·음의 지수는 13번 · 거듭제곱과 근호의 몫입니다.

위첨자도 덮는 범위가 있습니다.

$-3^2 \qquad \text{와} \qquad (-3)^2$

앞의 것은 위첨자가 $3$ 에만 붙어 있고 앞의 부호는 밖에 있습니다. 뒤의 것은 괄호가 $-3$ 을 한 덩어리로 묶었으니 그 덩어리를 두 번 곱합니다. 덮는 범위가 다르므로 다른 식입니다. 두 값이 각각 얼마인지는 여기서 계산하지 않습니다 — 음수끼리 곱하면 무엇이 되는지를 아직 세우지 않았고, 그것은 10번 · 수의 종류와 수직선의 몫입니다. 지금 챙길 것은 "괄호가 있고 없고에 따라 위첨자가 덮는 것이 달라진다"뿐입니다.

아래첨자는 곱이 아니라 이름표입니다.

$a_1, \; a_2, \; a_3, \; \dots, \; a_n$

$a_n$ 은 "$a$ 곱하기 $n$"이 아니라 "$a$ 들 중 $n$ 번째"라는 뜻입니다. 코드로 치면 a[n] 에 가깝습니다. 이름이 $a$ 하나뿐인데 그런 것이 여럿 필요할 때, 새 글자를 계속 만드는 대신 번호를 붙여 구별하는 장치입니다.

손으로 해 봅니다

연습 1 — 괄호를 채워 뜻을 확정하기

다음 열 개의 식에 괄호를 채워 계산 순서를 눈에 보이게 적고, 값을 구하세요.

1. $2 + 3 \times 4$
2. $8 \div 4 \times 2$
3. $10 - 3 - 2$
4. $2 \times 3^2$
5. $3 + 4 \times 5 - 6$
6. $12 \div 3 + 1$
7. $2 + 2 \times 2^2$
8. $5 \times 2 + 3 \times 4$
9. $100 \div 5 \div 2$
10. $1 + 2 \times 3 \times 4$

답. 1 $2 + (3 \times 4) = 14$. 2 $(8 \div 4) \times 2 = 4$. 3 $(10 - 3) - 2 = 5$. 4 $2 \times (3^2) = 18$. 5 $(3 + (4 \times 5)) - 6 = 17$. 6 $(12 \div 3) + 1 = 5$. 7 $2 + (2 \times (2^2)) = 10$. 8 $(5 \times 2) + (3 \times 4) = 22$. 9 $(100 \div 5) \div 2 = 10$. 10 $1 + ((2 \times 3) \times 4) = 25$.

연습 2 — 분수를 한 줄로 옮겨 적기

다음 다섯 개를 괄호를 써서 한 줄로 적으세요.

1. $\dfrac{a + b}{2}$
2. $\dfrac{1}{x + 1}$
3. $\dfrac{2x + 1}{3}$
4. $\dfrac{x}{y + z}$
5. $\dfrac{a + b}{c + d}$

답. 1 (a + b) / 2. 2 1 / (x + 1). 3 (2*x + 1) / 3. 4 x / (y + z). 5 (a + b) / (c + d).

3번에서 곱셈 기호를 되살려 적은 것에 주의하세요. $2x$ 는 곱이므로 한 줄로 옮길 때 2*x 가 됩니다.

연습 3 — 겉보기에 비슷한 다섯 쌍

각 쌍의 두 값을 구해서, 두 식이 같지 않다는 것을 확인하세요.

1. $2 \cdot 3^2$ 와 $(2 \cdot 3)^2$
2. $(4 + 6) \div 2$ 와 $4 + 6 \div 2$
3. $8 - 3 + 1$ 와 $8 - (3 + 1)$
4. $12 \div 2 \times 3$ 와 $12 \div (2 \times 3)$
5. $2 + 3 \times 4$ 와 $(2 + 3) \times 4$

답. 1 $2 \times 9 = 18$ 과 $6^2 = 36$. 2 $5$ 와 $7$. 3 $5 + 1 = 6$ 과 $8 - 4 = 4$. 4 $6 \times 3 = 18$ 과 $12 \div 6 = 2$. 5 $14$ 와 $20$.

다섯 쌍 모두 괄호 하나가 값을 바꿉니다. 앞에서 본 $-3^2$ 와 $(-3)^2$, $\sqrt{a} + b$ 와 $\sqrt{a+b}$ 도 같은 이유로 다른 식이지만, 그 값을 확인하는 것은 음수와 근호를 세운 뒤의 일이라 여기서는 읽는 법만 챙겨 둡니다.

정리

• 순서는 괄호 → 거듭제곱 → 곱셈·나눗셈 → 덧셈·뺄셈이고, 같은 칸이면 왼쪽부터입니다. '왼쪽부터'가 필요했던 것은 뺄셈과 나눗셈이 순서를 바꾸면 값이 달라지기 때문입니다.
• 괄호를 안 썼는데도 이미 묶여 있는 자리가 넷 있습니다 — 생략된 곱셈, 분수선, 함수 이름과 근호, 위첨자.
• 위첨자 $a^2$ 는 같은 것을 두 번 곱했다는 뜻이고, 아래첨자 $a_n$ 은 곱이 아니라 이름표입니다.

읽는 법은 여기까지입니다. 다음 글은 반대 방향 — 어떻게 적을 것인가입니다. 계산이 틀렸을 때 어느 줄에서 틀렸는지 찾을 수 있게 적는 방법과, 답을 얻은 뒤 숫자로 검산하는 습관을 세웁니다.

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지난 글: 등호가 뜻하는 것: =는 넣으라는 명령이 아니다

읽어주셔서 감사합니다. 😊