식을 읽는 순서: 괄호 없이 묶여 있는 것들

지난 글에서 = 가 "양쪽이 같다"는 주장이라는 것을 세웠습니다. 그러면 그 양쪽에 놓인 식 하나는 어떻게 읽을까요.

$2 + 3 \times 4$

14일까요, 20일까요. 답이 갈리는 것은 계산을 못 해서가 아닙니다. 무엇을 먼저 하는지가 정해져 있지 않으면 같은 식이 두 값을 가리키게 되기 때문입니다. 이 글은 그 순서 하나만 다룹니다. 그리고 순서보다 실제로 더 자주 발목을 잡는 것 — 괄호를 안 썼는데도 이미 묶여 있는 자리들 — 을 넷으로 나눠 봅니다.

연산의 우선순위

네 칸의 차례

수학은 이 순서를 약속으로 정해 두었습니다.

위 칸부터 차례로 하고, 같은 칸에 있는 것끼리는 왼쪽부터 합니다. 그래서 $2 + 3 \times 4$ 는 곱셈이 덧셈보다 위 칸이므로 $2 + 12 = 14$ 입니다. 20이 되려면 $(2 + 3) \times 4$ 라고 괄호를 적어야 합니다.

칸이 넷이라는 것은 뒤섞인 식을 만나면 볼 곳이 넷뿐이라는 뜻이기도 합니다. $2 + 3 \times 4^2 - 6 \div 3$ 처럼 길어 보이는 식도 위 칸부터 차례로 걷어 내면 금방 짧아집니다. 거듭제곱을 먼저 해서 $2 + 3 \times 16 - 6 \div 3$, 곱셈과 나눗셈을 해서 $2 + 48 - 2$, 남은 덧셈과 뺄셈을 왼쪽부터 해서 48입니다. 계산이 어려웠던 것이 아니라 어느 것부터 손댈지가 정해져 있지 않으면 시작을 못 하는 것이고, 이 표가 그 시작점을 매번 똑같이 정해 줍니다.

뺄셈과 나눗셈의 방향

'왼쪽부터'가 왜 필요했는지는 숫자로 바로 보입니다.

$8 \div 4 \times 2$

왼쪽부터 하면 $2 \times 2 = 4$ 입니다. 오른쪽부터 하면 $8 \div 8 = 1$ 입니다. 값이 갈립니다. 뺄셈도 같습니다.

$10 - 3 - 2$

왼쪽부터 하면 $7 - 2 = 5$, 오른쪽부터 하면 $10 - 1 = 9$ 입니다. 반면 덧셈과 곱셈은 순서를 바꿔도 값이 같아서 이 규칙이 없어도 문제가 없습니다. 규칙이 필요했던 것은 뺄셈과 나눗셈 때문입니다.

덧셈과 곱셈이 순서에 흔들리지 않는 성질에는 이름이 있습니다. $3 + 5 = 5 + 3$ 처럼 두 수의 자리를 바꿔도 값이 같은 것을 교환법칙이라고 하고, 덧셈과 곱셈에는 있지만 뺄셈과 나눗셈에는 없습니다. 그래서 규칙이 하나 더 필요했던 쪽도 뺄셈과 나눗셈입니다.

분배법칙과 우선순위

그러면 곱셈이 덧셈보다 위 칸인 것은 그저 약속일까요, 아니면 그래야만 하는 이유가 있을까요. $3 + 4 \times 2$ 를 두 순서로 계산해 봅니다. 우선순위대로 하면 $3 + 8 = 11$ 이고, 무조건 왼쪽부터 하면 $7 \times 2 = 14$ 입니다. 둘 다 계산 자체는 막힘없이 굴러갑니다. 이 식 하나만 보면 어느 쪽도 틀렸다고 말할 수 없습니다.

갈리는 자리는 다른 데 있습니다. $2 \times (3 + 4)$ 를 괄호를 풀어 적어 보면

$2 \times (3 + 4) = 2 \times 3 + 2 \times 4 = 6 + 8 = 14$

하나의 수를 괄호 안 전부에 나눠 곱하는 이 성질을 분배법칙이라고 합니다. 오른쪽의 $2 \times 3 + 2 \times 4$ 는 곱셈이 덧셈보다 먼저라는 규칙 아래에서만 14가 됩니다. 무조건 왼쪽부터 하는 세계에서 같은 줄을 읽으면 $6 + 2 = 8$, $8 \times 4 = 32$ 로 32가 나옵니다. 분배법칙을 그 세계에서도 적으려면 $(2 \times 3) + (2 \times 4)$ 처럼 괄호를 두 쌍 더 붙여야 합니다.

곱셈을 위 칸에 둔 덕분에 괄호 없이 적을 수 있게 된 것이 분배법칙만은 아닙니다. 앞으로 계속 나올 $2x^2 + 3x + 1$ 같은 식이 전부 여기에 기대고 있습니다 — 곱셈과 거듭제곱이 먼저 묶여 덩어리를 만들고, 덧셈이 그 덩어리들을 이어 붙입니다. 순서 규칙은 계산을 정하는 약속이면서, 동시에 괄호를 얼마나 적게 쓰고도 식을 적을 수 있는지를 정하는 약속입니다.

(가) 생략된 곱셈

기호 없이 붙여 적는 곱

수식에서 다음은 전부 곱입니다.

$3a \qquad 2(x + 1) \qquad ab \qquad 4xy$

읽는 법은 "3 곱하기 $a$", "2 곱하기 $(x+1)$", "$a$ 곱하기 $b$", "4 곱하기 $x$ 곱하기 $y$" 입니다. 눈에 보이는 기호가 없을 뿐 곱셈이 거기 있습니다.

이것이 우선순위와 어떻게 얽히는지가 중요합니다. 생략된 곱셈도 그냥 곱셈이라 3번 칸에 들어갑니다. 그러니 $2 + 3a$ 는 $2 + (3 \times a)$ 이지 $(2+3) \times a$ 가 아닙니다. $a = 5$ 를 넣어 보면 앞의 것은 $2 + 15 = 17$ 이고 뒤의 것은 $5 \times 5 = 25$ 입니다.

기호를 지웠는데도 뜻이 흔들리지 않는 것은 붙여 적은 두 글자 사이에는 곱 말고 다른 것이 올 자리가 없기 때문입니다. $3a$ 를 보고 "3 더하기 $a$"로 읽을 사람은 없습니다. 더하기라면 기호를 적었을 테니까요.

숫자끼리의 곱

숫자끼리는 생략할 수 없습니다. $23$ 은 2 곱하기 3이 아니라 스물셋입니다. 자리를 붙여 적는 것이 이미 "십의 자리에 2, 일의 자리에 3"이라는 다른 뜻으로 쓰이고 있어서, 곱셈이 그 자리를 빼앗을 수 없습니다.

그래서 숫자와 숫자를 곱할 때는 반드시 기호를 적고, 이때 $\times$ 대신 가운뎃점 $\cdot$ 을 쓰기도 합니다. $2 \cdot 3$ 은 $2 \times 3$ 과 같은 뜻입니다. $\times$ 는 글자 $x$ 와 모양이 닮아서 글자가 섞인 식에서는 가운뎃점 쪽이 안전합니다.

숫자와 글자 사이, 글자와 괄호 사이, 괄호와 괄호 사이는 전부 생략할 수 있습니다. $3a$, $a(x+1)$, $(x+1)(x+2)$ 가 그것입니다. 생략할 수 없는 자리는 숫자와 숫자 사이 하나뿐입니다.

(나) 분수선

위아래를 묶는 괄호

손으로 쓴 분수를 한 줄로 옮겨 적을 때 가장 흔한 사고가 여기서 납니다.

$\frac{a + b}{2}$

이 모양을 그대로 한 줄로 적으면 (a + b) / 2 입니다. a + b / 2 가 아닙니다. 분수선은 위에 적힌 것 전체와 아래에 적힌 것 전체를 각각 괄호로 묶고 있고, 한 줄로 펴는 순간 그 괄호가 눈에 보이지 않게 되기 때문에 직접 적어 줘야 합니다.

숫자를 넣으면 한 번에 끝납니다. $a = 4$, $b = 6$ 이라 하면

• $(4 + 6) \div 2 = 10 \div 2 = 5$
• $4 + 6 \div 2 = 4 + 3 = 7$

5와 7. 다른 식입니다.

분모 쪽의 괄호

같은 일이 아래쪽에서도 일어납니다.

$\frac{1}{x + 1}$

이것은 1 / (x + 1) 이지 1 / x + 1 이 아닙니다. $x = 3$ 을 넣어 보면 앞의 것은 $1 \div 4 = 0.25$ 이고 뒤의 것은 $1 \div 3 + 1 \approx 1.333$ 입니다. 값이 다섯 배 넘게 벌어집니다.

위아래가 둘 다 여러 항이면 괄호가 두 쌍 필요합니다. $\dfrac{a+b}{c+d}$ 는 (a + b) / (c + d) 입니다. 한 줄로 펼 때 괄호를 몇 쌍 적어야 하는지는 세어 보면 됩니다 — 분수선 위와 아래를 각각 보고, 그 안이 덧셈이나 뺄셈으로 이어진 여러 덩어리면 괄호가 필요하고 덩어리 하나면 필요 없습니다. $\dfrac{2x}{3}$ 의 위는 곱 하나라 2*x / 3 으로 충분합니다.

(다) 함수 이름과 근호

수식에는 괄호 없이도 뒤쪽을 덮는 기호가 몇 개 있습니다. 이 절에서는 그것들이 무슨 계산인지는 전혀 다루지 않습니다. 선이 어디까지 덮는가만 봅니다.

함수 이름이 덮는 덩어리

함수 이름은 바로 뒤에 붙은 덩어리 하나를 덮습니다.

• $\sin 2x$ 는 $\sin(2x)$ 입니다. $2x$ 가 곱으로 한 덩어리라 통째로 들어갑니다.
• $\sin x + 1$ 은 $(\sin x) + 1$ 입니다. $\sin(x+1)$ 이 아닙니다. 덧셈은 덩어리를 묶어 주지 못합니다.
• $\log ab$ 는 $\log(ab)$ 입니다. $ab$ 가 곱이라 한 덩어리입니다.

헷갈릴 때는 괄호를 적으면 됩니다. 실제로 많은 책이 $\sin(2x)$ 라고 괄호를 적어 줍니다. 덩어리를 만드는 것은 곱이고 덧셈은 덩어리를 끊습니다 — 이 한 줄이 위 셋을 전부 설명합니다.

근호의 지붕

근호는 지붕이 덮은 만큼만 덮습니다. 이것은 손으로 쓴 모양을 보면 분명한데 한 줄로 옮기면 사라집니다.

$\sqrt{a} + b \qquad \text{와} \qquad \sqrt{a + b}$

앞의 것은 $a$ 에만 지붕이 있고 $b$ 는 밖에 있습니다. 뒤의 것은 지붕이 $a+b$ 전체를 덮습니다. 한 줄로 적으면 각각 sqrt(a) + b 와 sqrt(a + b) 입니다. 분수선과 완전히 같은 이야기입니다 — 손글씨에서 선의 길이가 하던 일을 한 줄에서는 괄호가 대신합니다.

지붕이 어디까지인지 헷갈릴 일이 손글씨에서는 거의 없습니다. 선을 그은 만큼이 그대로 보이니까요. 그런데 인쇄된 식에서는 지붕이 짧아 보여 헷갈리는 자리가 생깁니다. $\sqrt{3}y$ 와 $\sqrt{3y}$ 가 그렇습니다. 앞의 것은 지붕이 3에만 있고 $y$ 는 밖에서 곱해진 것이고, 뒤의 것은 $3y$ 가 통째로 근호 안입니다. 이럴 때도 답은 같습니다 — 지붕의 오른쪽 끝이 어디서 멈추는지만 보면 됩니다.

(라) 위첨자와 아래첨자

거듭제곱 표기

위첨자는 같은 것을 몇 번 곱했는지를 적은 것입니다.

$a^2 = a \times a \qquad a^3 = a \times a \times a$

$a^2$ 는 "$a$ 의 제곱" 또는 "$a$ 의 2승"이라고 읽고, $a$ 를 두 번 곱했다는 뜻입니다. $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ 입니다. 이 약속 하나면 앞으로 나올 $2^3 \times 3^2 \times 5$ 같은 표기를 읽을 수 있습니다 — 2를 세 번, 3을 두 번, 5를 한 번 곱했다는 뜻이니 $8 \times 9 \times 5 = 360$ 입니다. 5번 · 약수와 배수·소인수분해에서 이 모양을 계속 쓰게 됩니다. 지수를 다루는 규칙들과 $a^0$·음의 지수는 13번 · 거듭제곱과 근호의 몫입니다.

위첨자가 우선순위 표의 둘째 칸에 있다는 것도 여기서 챙겨 둡니다. $2 \times 3^2$ 은 $2 \times 9 = 18$ 이지 $6^2 = 36$ 이 아닙니다. 거듭제곱은 곱셈보다 먼저라, 붙어 있는 위첨자가 바로 아래 것에만 작용하고 나서 곱셈이 일어납니다.

$-2^2$ 와 $(-2)^2$

위첨자도 덮는 범위가 있습니다. 그리고 그 범위가 우선순위와 겹쳐 있어 부호가 붙으면 갈립니다.

$-2^2 \qquad \text{와} \qquad (-2)^2$

앞의 것은 위첨자가 $2$ 에만 붙어 있고 앞의 부호는 밖에 있습니다. 거듭제곱이 위 칸이므로 $2^2$ 을 먼저 하고 그 결과에 부호를 붙입니다. 뒤의 것은 괄호가 $-2$ 를 한 덩어리로 묶었으니 그 덩어리를 두 번 곱합니다. 덮는 범위가 다르므로 다른 식입니다.

두 값이 각각 얼마인지는 여기서 계산하지 않습니다 — 음수끼리 곱하면 무엇이 되는지를 아직 세우지 않았고, 그것은 10번 · 수의 종류와 수직선의 몫입니다. 지금 챙길 것은 괄호가 있고 없고에 따라 위첨자가 덮는 것이 달라진다는 것, 그리고 $-2^2$ 을 "마이너스 2의 제곱"이라고 읽으면 뒤의 것과 구별되지 않으니 "2의 제곱에 마이너스" 라고 읽어야 한다는 것입니다.

$x_i$ 와 $x^i$

앞 소절이 우선순위 이야기였다면 이번 것은 순전히 표기 이야기입니다. 같은 글자에 붙는 작은 글자가 위에 있느냐 아래에 있느냐로 완전히 다른 두 가지를 가리킵니다.

$x_1, \; x_2, \; x_3, \; \dots, \; x_n$

아래첨자는 곱이 아니라 이름표입니다. $x_n$ 은 "$x$ 곱하기 $n$"이 아니라 "$x$ 들 중 $n$ 번째"라는 뜻입니다. 이름이 $x$ 하나뿐인데 그런 것이 여럿 필요할 때, 새 글자를 계속 만드는 대신 번호를 붙여 구별하는 장치입니다.

$x^i$ 는 반대로 계산입니다. $x$ 를 $i$ 번 곱하라는 뜻이고, $x$ 가 3이고 $i$ 가 2면 9라는 수 하나가 나옵니다. $x_i$ 는 $i$ 를 정해도 수가 나오지 않습니다 — $x_2$ 가 얼마인지는 누군가 따로 정해 줘야 알 수 있습니다.

모양	읽는 법	정체
$x_i$	"$x$ 아이" · "$x$ 들 중 $i$ 번째"	이름
$x^i$	"$x$ 의 $i$ 승"	계산

작은 글자가 위아래 어느 쪽인지만 보면 되므로 구별 자체는 쉽습니다. 문제는 한 줄로 옮겨 적을 때 위아래가 사라진다는 것이고, 그 자리를 다음 절에서 봅니다.

코드 한 줄로 옮겨 적기

여기까지가 수식을 읽는 법입니다. 그런데 수식을 한 줄에 늘어놓아야 하는 자리가 있습니다. 코드가 그렇고, 계산기 입력창이 그렇고, 메신저로 식을 적어 보낼 때가 그렇습니다. 손으로 쓴 모양에서 선의 길이와 글자의 높낮이가 하던 일을 한 줄에서는 전부 괄호와 기호가 대신해야 합니다.

한 줄로 펴면 사라지는 것

한 줄로 옮길 때 잃어버리는 것이 정확히 넷이고, 앞에서 본 넷과 같습니다.

손으로 쓴 모양	무엇이 묶고 있었나	한 줄에서는
$3a$	붙여 적은 것이 곱	3 * a
$\dfrac{a+b}{2}$	분수선의 길이	(a + b) / 2
$\sqrt{a+b}$	근호의 지붕	sqrt(a + b)
$x_i$ · $x^i$	작은 글자의 높낮이	x[i] · x ** i

곱셈 기호를 되살려야 하는 것이 가장 자주 잊히는 자리입니다. 코드에서 3a 라고 적으면 계산이 틀리는 것이 아니라 문장 자체가 성립하지 않아 그 줄에서 멈춥니다.

(a + b) / 2 와 a + b / 2

이 둘은 코드에서도 멀쩡히 돌아가고 둘 다 숫자를 내놓습니다. 틀렸다는 표시가 어디에도 안 뜹니다. 그래서 분수선을 옮겨 적다 괄호를 빠뜨리면, 프로그램은 조용히 다른 값을 계속 내놓습니다.

a, b = 4, 6
print((a + b) / 2)   # 5.0
print(a + b / 2)     # 7.0

앞에서 손으로 구한 5와 7이 그대로 나옵니다. 코드가 수학과 다른 순서를 쓰는 것이 아니라, 같은 순서를 쓰기 때문에 괄호를 빠뜨린 줄이 7을 내놓는 것입니다.

부호와 거듭제곱도 같습니다.

print(-2 ** 2)       # -4
print((-2) ** 2)     # 4

앞 절에서 "값은 나중에 세운다"고 미뤄 둔 그 두 값입니다. 여기서는 수를 외우지 말고 둘이 다른 값이라는 사실만 챙기면 됩니다.

첨자와 거듭제곱

작은 글자의 높낮이는 한 줄에서 가장 크게 모양이 바뀌는 자리입니다.

• 아래첨자 $x_i$ 는 대괄호로 적습니다 — x[i]. 이름표이므로 값이 아니라 자리를 가리키는 표기를 씁니다.
• 위첨자 $x^i$ 는 별표 둘로 적습니다 — x ** i. 계산이므로 연산 기호가 붙습니다.

$\sqrt{x}$ 도 한 줄에서는 이름을 가진 함수가 됩니다 — sqrt(x). 근호의 지붕이 괄호로 바뀐 것뿐이고, 그래서 지붕이 어디까지였는지를 옮겨 적는 사람이 직접 판단해 괄호를 쳐야 합니다.

한 줄로 옮긴 뒤에는 숫자를 하나 넣어 맞춰 보는 것이 가장 빠릅니다. $\dfrac{a+b}{2}$ 에 $a=4$, $b=6$ 을 넣으면 5여야 하니, 한 줄로 적은 것이 7을 내놓으면 거기서 틀린 것입니다. 이 확인 방법은 다음 글에서 검산 습관으로 다시 세웁니다.

연습 문제

연습 1 — 괄호를 채워 뜻을 확정하기

다음 열 개의 식에 괄호를 채워 계산 순서를 눈에 보이게 적고, 값을 구하세요.

1. $7 + 2 \times 5$

   $7 + (2 \times 5) = 17$ 입니다.
2. $18 \div 3 \times 2$

   $(18 \div 3) \times 2 = 12$ 입니다.
3. $14 - 5 - 3$

   $(14 - 5) - 3 = 6$ 입니다.
4. $2 \times 3^2$

   $2 \times (3^2) = 18$ 입니다.
5. $3 + 4 \times 5 - 6$

   $(3 + (4 \times 5)) - 6 = 17$ 입니다.
6. $12 \div 3 + 1$

   $(12 \div 3) + 1 = 5$ 입니다.
7. $2 + 2 \times 2^2$

   $2 + (2 \times (2^2)) = 10$ 입니다.
8. $5 \times 2 + 3 \times 4$

   $(5 \times 2) + (3 \times 4) = 22$ 입니다.
9. $100 \div 5 \div 2$

   $(100 \div 5) \div 2 = 10$ 입니다.
10. $1 + 2 \times 3 \times 4$

    $1 + ((2 \times 3) \times 4) = 25$ 입니다.

연습 2 — 분수를 한 줄로 옮겨 적기

다음 다섯 개를 괄호를 써서 한 줄로 적으세요.

1. $\dfrac{a + b}{2}$

   (a + b) / 2 입니다.
2. $\dfrac{2}{x - 3}$

   2 / (x - 3) 입니다.
3. $\dfrac{2x + 1}{3}$

   (2*x + 1) / 3 입니다.
4. $\dfrac{x}{y + z}$

   x / (y + z) 입니다.
5. $\dfrac{a + b}{c + d}$

   (a + b) / (c + d) 입니다.

3번에서 곱셈 기호를 되살려 적은 것에 주의하세요. $2x$ 는 곱이므로 한 줄로 옮길 때 2*x 가 됩니다.

연습 3 — 겉보기에 비슷한 다섯 쌍

각 쌍의 두 값을 구해서, 두 식이 같지 않다는 것을 확인하세요.

1. $3 \cdot 2^2$ 와 $(3 \cdot 2)^2$

   $3 \times 4 = 12$ 와 $6^2 = 36$ 입니다.
2. $(4 + 6) \div 2$ 와 $4 + 6 \div 2$

   $5$ 와 $7$ 입니다.
3. $8 - 3 + 1$ 와 $8 - (3 + 1)$

   $5 + 1 = 6$ 과 $8 - 4 = 4$ 입니다.
4. $12 \div 2 \times 3$ 와 $12 \div (2 \times 3)$

   $6 \times 3 = 18$ 과 $12 \div 6 = 2$ 입니다.
5. $5 + 2 \times 6$ 와 $(5 + 2) \times 6$

   $17$ 와 $42$ 입니다.

다섯 쌍 모두 괄호 하나가 값을 바꿉니다. 앞에서 본 $-2^2$ 와 $(-2)^2$, $\sqrt{a} + b$ 와 $\sqrt{a+b}$ 도 같은 이유로 다른 식이지만, 그 값을 확인하는 것은 음수와 근호를 세운 뒤의 일이라 여기서는 읽는 법만 챙겨 둡니다.

연습 4 — 소리 내어 읽기

식을 말로 옮기는 연습입니다. 앞의 셋이 손으로 적는 연습이었다면 이번 것은 입으로 읽는 연습입니다. 소리 내어 읽을 수 있으면 어디까지가 한 덩어리인지를 이미 안 것이고, 읽다가 막히면 그 자리가 아직 안 잡힌 자리입니다.

다음 다섯 개를 소리 내어 읽고, 읽은 말을 그대로 적으세요. 괄호도 "괄호 열고 · 괄호 닫고"로 읽습니다.

1. $5(y - 2)$

   "5 곱하기 괄호 열고 $y$ 빼기 2 괄호 닫고"입니다. 곱셈 기호가 생략되어 있으므로 "곱하기"를 살려 읽습니다.
2. $\dfrac{x - 1}{4}$

   "$x$ 빼기 1을 4로 나눈 것"입니다. 위쪽 전체가 한 덩어리라 "$x$ 빼기, 1을 4로 나눈 것"으로 끊어 읽으면 다른 식이 됩니다.
3. $\sqrt{2x}$

   "2 $x$ 의 제곱근"입니다. 지붕이 $2x$ 전체를 덮고 있어 $2x$ 가 통째로 근호 안입니다.
4. $b_5$

   "$b$ 들 중 다섯 번째"입니다. "$b$ 곱하기 5"가 아닙니다.
5. $(x + 1)^3$

   "괄호 열고 $x$ 더하기 1 괄호 닫고, 의 세제곱"입니다. 괄호가 덩어리를 만들었으므로 그 덩어리를 세 번 곱한다는 뜻입니다.

다섯 개 모두 어디서 끊어 읽느냐가 곧 어디까지가 한 덩어리냐입니다. 읽다가 어색하면 대개 덩어리를 잘못 잡은 것이니, 그때 괄호를 적어 넣고 다시 읽으면 됩니다.

정리

• 순서는 괄호 → 거듭제곱 → 곱셈·나눗셈 → 덧셈·뺄셈이고, 같은 칸이면 왼쪽부터입니다. '왼쪽부터'가 필요했던 것은 뺄셈과 나눗셈이 순서를 바꾸면 값이 달라지기 때문입니다.
• 괄호를 안 썼는데도 이미 묶여 있는 자리가 넷 있습니다 — 생략된 곱셈, 분수선, 함수 이름과 근호, 위첨자.
• 위첨자 $a^2$ 는 같은 것을 두 번 곱했다는 뜻이고, 아래첨자 $a_n$ 은 곱이 아니라 이름표입니다. 작은 글자가 위에 있으면 계산이고 아래에 있으면 이름입니다.
• 곱셈이 덧셈보다 먼저인 것은 분배법칙을 괄호 없이 적을 수 있게 하는 선택이었습니다. 그 순서 덕분에 $2x^2 + 3x + 1$ 같은 식이 괄호 없이 적힙니다.
• 한 줄로 옮길 때는 선의 길이와 글자의 높낮이가 하던 일을 괄호와 기호가 대신합니다 — 3 * a, (a + b) / 2, sqrt(a + b), x[i], x ** i.

읽는 법은 여기까지입니다. 다음 글은 반대 방향 — 어떻게 적을 것인가입니다. 계산이 틀렸을 때 어느 줄에서 틀렸는지 찾을 수 있게 적는 방법과, 답을 얻은 뒤 숫자로 검산하는 습관을 세웁니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊