복소수와 오일러 공식: 곱셈이 회전이 되는 자리

지난 글은 각을 좌표로 적었습니다. 그런데 두 각의 합에 대한 값 — 덧셈정리 — 은 결과만 적고 넘어갔습니다. 이 글이 그 자리를 갚습니다.

출발은 엉뚱한 데서 합니다. 23번 글에서 판별식이 음수이면 "근이 없다"고 했습니다. 정확히 말하면 실수 중에는 없다는 뜻이었습니다. 어떤 실수든 제곱하면 0 이상이라 $x^2=-1$ 을 만족하는 실수는 없습니다. 그 빈자리를 그냥 두는 대신 수를 하나 새로 들여오면, 뜻밖에도 덧셈정리가 딸려 나옵니다.

길은 이렇게 갑니다. 먼저 새 수의 계산 규칙을 세우고, 그 수를 평면 위의 점으로 찍고, 점을 크기와 각으로 다시 적습니다. 그렇게 적고 나면 곱셈이 회전이라는 것이 보이고, 회전을 두 번 하는 것을 전개하면 덧셈정리가 나옵니다. 마지막에는 그 모든 것을 한 줄로 줄여 적는 표기, 오일러 공식에 닿습니다.

허수단위와 사칙연산

허수단위

$i^2=-1$ 을 만족하는 수 $i$ 를 허수단위라고 합니다. 실수 어딘가에서 찾아낸 것이 아니라, 그런 성질을 가진 새 수를 하나 세워 둔 것입니다. 음수의 제곱근도 이것으로 적습니다. 양수 $a$ 에 대해 $\sqrt{-a}=\sqrt{a}\,i$ 로 정하므로 $\sqrt{-4}=2i$, $\sqrt{-9}=3i$ 입니다. 제곱해 보면 $(2i)^2=4i^2=-4$ 이니 뜻이 맞습니다.

이 $i$ 에 실수를 붙여 만든 $a+bi$ 꼴을 복소수라고 합니다. 앞에 붙은 실수 $a$ 를 실수부, $i$ 에 곱해진 실수 $b$ 를 허수부라고 부릅니다 — 허수부는 $bi$ 가 아니라 $b$ 라는 실수 하나입니다. $b=0$ 이면 그냥 실수이니 복소수는 실수를 품은 더 넓은 수입니다.

계산 규칙은 새로 배울 것이 거의 없습니다. $i$ 를 문자처럼 다루다가 $i^2$ 이 나오면 −1로 바꾸면 끝입니다. 15번 글의 전개를 그대로 씁니다.

$(3+2i)+(1-4i) = (3+1)+(2-4)i = 4-2i$

$(3+2i)(1-4i) = 3-12i+2i-8i^2 = 3-10i+8 = 11-10i$

덧셈은 실수부끼리, 허수부끼리 따로 더하는 것이 전부입니다. 곱셈은 네 항으로 편 뒤, 마지막 줄에서 $-8i^2$ 이 $+8$ 로 바뀐 자리가 이 계산의 전부입니다. 그 $+8$ 은 실수라서 실수부 3에 합쳐집니다.

규칙을 문자처럼 다룬다고 해서 실수의 모든 규칙이 그대로 넘어오지는 않습니다. 가장 흔히 걸리는 것이 근호의 곱입니다. 양수끼리는 $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ 가 성립했지만, 둘 다 음수이면 깨집니다.

$\sqrt{-4}\,\sqrt{-9} = 2i\cdot 3i = 6i^2 = -6$

만약 근호를 먼저 합쳐 $\sqrt{(-4)(-9)}=\sqrt{36}=6$ 으로 계산하면 부호가 틀립니다. 가장 짧은 예가 $\sqrt{-1}\,\sqrt{-1}$ 입니다. 정의대로 하면 $i\cdot i=-1$ 인데, 합쳐서 하면 $\sqrt{1}=1$ 이 나옵니다. 그래서 음수의 근호는 곱하거나 나누기 전에 반드시 먼저 $i$ 를 꺼내 적습니다. 이 순서 하나만 지키면 틀릴 일이 없습니다.

거듭제곱의 주기

거듭제곱도 같은 규칙만 되풀이합니다. $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=i^2\cdot i=-i$, $i^4=(-1)(-1)=1$ 이고 다시 $i^5=i^4\cdot i=i$ 입니다. 값이 $i,\,-1,\,-i,\,1$ 넷을 돌며 네 번마다 제자리로 돌아옵니다.

그래서 큰 지수는 4로 나눈 나머지만 보면 됩니다. 절차는 세 걸음입니다.

1. 지수를 4로 나눠 몫과 나머지를 구한다.
2. $i^4=1$ 이므로 몫만큼의 $i^4$ 은 전부 1이 되어 사라진다.
3. 남은 $i^{\text{나머지}}$ 를 위의 네 값에서 읽는다. 나머지가 0이면 1이다.

$i^{27}$ 은 $27=4\times 6+3$ 이므로 $i^{27}=(i^4)^6\cdot i^3=1\cdot i^3=-i$ 입니다. $i^{102}$ 는 $102=4\times 25+2$ 이므로 $i^2=-1$ 입니다. $i^{40}$ 처럼 4로 나누어떨어지면 나머지가 0이라 1입니다. 뒤에서 이 주기에 그림이 붙습니다 — $i$ 를 곱할 때마다 한 바퀴의 4분의 1씩 돈다는 것이 그 정체입니다.

켤레와 나눗셈

$a+bi$ 에서 허수부의 부호만 바꾼 $a-bi$ 를 켤레복소수라고 하고, $z$ 의 켤레를 $\overline{z}$ 로 적습니다. 이 둘을 곱해 봅니다.

$(a+bi)(a-bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 + b^2$

$i$ 가 사라지고 실수만 남습니다. 이 값의 제곱근 $\sqrt{a^2+b^2}$ 를 복소수의 절댓값이라 하고 $\lvert z\rvert$ 로 적습니다. 그러니 방금 식은 $z\overline{z}=\lvert z\rvert^2$ 이라는 한 줄로도 읽힙니다. 예를 들어 $(3+2i)(3-2i)=9+4=13$ 이고 $\lvert 3+2i\rvert=\sqrt{13}$ 입니다.

나눗셈은 이 성질 하나로 끝납니다. 분모의 켤레를 분자·분모에 함께 곱해 분모를 실수로 만드는 조작을 실수화라고 부르겠습니다. 18번 글에서 분모의 근호를 없애던 유리화와 똑같은 수법입니다.

$\frac{3+2i}{1-i} = \frac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$

분자부터 폅니다.

$(3+2i)(1+i) = 3+3i+2i+2i^2 = 3+5i-2 = 1+5i$

분모는 $1^2+1^2=2$ 입니다. 그러므로

$\frac{3+2i}{1-i} = \frac{1+5i}{2} = \frac12 + \frac52 i$

나눈 결과도 $a+bi$ 꼴입니다. 복소수끼리 더하고 빼고 곱하고 나눠도 복소수를 벗어나지 않습니다. 답을 되짚으려면 몫에 나누는 수를 곱해 봅니다. $\left(\frac12+\frac52 i\right)(1-i)=\frac12-\frac12 i+\frac52 i-\frac52 i^2=\frac12+2i+\frac52=3+2i$ 로 처음 분자가 돌아옵니다.

켤레에는 쓸모 있는 성질이 하나 더 있습니다. 더한 뒤 켤레를 잡으나 켤레를 잡은 뒤 더하나 같고, 곱셈도 그렇습니다.

$\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w},\qquad \overline{zw}=\overline{z}\,\overline{w}$

이것을 켤레가 덧셈과 곱셈을 통과한다고 말합니다. 앞의 $z=3+2i$, $w=1-4i$ 로 곱셈 쪽을 확인합니다. $zw=11-10i$ 였으니 왼쪽은 $11+10i$ 입니다. 오른쪽은

$(3-2i)(1+4i) = 3+12i-2i-8i^2 = 3+10i+8 = 11+10i$

로 같습니다. 이유는 간단합니다. 켤레는 $i$ 를 $-i$ 로 바꾸는 일인데, $-i$ 도 제곱하면 $(-i)^2=-1$ 이라 $i$ 와 똑같은 규칙을 따릅니다. 계산의 모든 줄에서 $i$ 를 $-i$ 로 바꿔 적어도 등식이 그대로 서므로, 결과에서도 $i$ 가 $-i$ 로 바뀌어 있을 뿐입니다. 이 성질이 뒤에서 방정식의 근을 읽을 때 다시 나옵니다.

복소평면

점과 연산

$a+bi$ 에는 실수가 둘 들어 있습니다. 그러면 24번 글의 좌표평면에 점 $(a,b)$ 로 찍을 수 있습니다. 가로축에 실수부, 세로축에 허수부를 잡은 이 평면을 복소평면이라고 합니다. 가로축 위의 점이 실수이고, 세로축 위의 점이 $2i$ 처럼 실수부가 0인 수입니다.

이렇게 놓으면 앞의 계산들이 그림으로 읽힙니다.

• 덧셈은 평행이동입니다. $(3+2i)+(1+i)=4+3i$ 는 점 $3+2i$ 를 오른쪽으로 1, 위로 1 옮긴 것입니다.
• 절댓값은 원점에서의 거리입니다. $\lvert 4+3i\rvert=\sqrt{16+9}=5$ 는 가로 4, 세로 3인 직각삼각형의 빗변이라 7번 글의 정리 그대로입니다.
• 켤레는 가로축에 대한 대칭입니다. 실수부는 두고 허수부의 부호만 뒤집으니 가로축을 거울로 삼아 비춘 자리입니다.

곱셈만 아직 그림이 없습니다. 그것이 이 글의 본론이고, 셋째 절에서 다룹니다.

두 점 사이의 거리

절댓값이 원점까지의 거리라면, 두 복소수 $z$ 와 $w$ 사이의 거리는 무엇일까요. 빼기를 하면 됩니다. $z-w$ 는 $w$ 를 원점으로 끌어오는 평행이동을 $z$ 에도 똑같이 한 결과이므로, 원점에서 $z-w$ 까지의 거리가 곧 $w$ 에서 $z$ 까지의 거리입니다. 그래서 두 점 사이의 거리는 $\lvert z-w\rvert$ 한 기호로 적힙니다.

$z=4+3i$, $w=1-i$ 로 해 봅니다.

$z-w = (4-1)+(3-(-1))i = 3+4i,\qquad \lvert 3+4i\rvert=\sqrt{9+16}=5$

좌표로 적으면 $(4,3)$ 과 $(1,-1)$ 사이의 거리 공식과 같은 계산입니다. 달라진 것은 적는 방법뿐인데, 그 덕분에 도형을 식 한 줄로 적을 수 있게 됩니다.

원은 한 점에서 거리가 일정한 점들의 모임이었습니다. 중심을 복소수 $c$, 반지름을 $r$ 이라 하면 원 위의 점 $z$ 는 전부 $\lvert z-c\rvert=r$ 을 만족하고, 이것을 만족하는 점은 전부 원 위에 있습니다. 좌표로 $(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$ 이라 적던 것이 복소수로는 이렇게 짧아집니다.

예를 들어 $\lvert z-(1+2i)\rvert=3$ 은 중심이 점 $(1,2)$ 이고 반지름이 3인 원입니다. 점 $4+2i$ 가 그 위에 있는지 보려면 $\lvert (4+2i)-(1+2i)\rvert=\lvert 3\rvert=3$ 이니 있습니다. 점 $3+4i$ 는 $\lvert 2+2i\rvert=\sqrt8$ 이고 $\sqrt8<3$ 이라 원의 안쪽에 있습니다.

켤레쌍 근

판별식이 음수인 이차방정식으로 돌아옵니다. $x^2-2x+5=0$ 은 판별식이 $4-20=-16$ 으로 음수입니다. 근의 공식에 그대로 넣습니다.

$x = \frac{2\pm\sqrt{-16}}{2} = \frac{2\pm 4i}{2} = 1\pm 2i$

두 근은 $1+2i$ 와 $1-2i$ 로, 실수부가 같고 허수부의 부호만 다릅니다. 이렇게 서로의 켤레인 두 근을 켤레쌍이라고 부릅니다. 근의 공식에서 $\sqrt{b^2-4ac}$ 의 속이 음수이면 허수가 나오고, 두 근은 $\dfrac{-b}{2a}$ 를 중심으로 $\pm$ 만 다르니 계수가 실수인 이차방정식이면 언제나 켤레쌍입니다. 복소평면에서는 가로축을 사이에 두고 마주 보는 두 점입니다.

이 사실은 이차식에만 해당하지 않습니다. 계수가 모두 실수인 다항식 $p(x)$ 에 복소수 $z$ 를 넣어 $p(z)=0$ 이 되었다고 합시다. 양변의 켤레를 잡습니다. 켤레가 곱셈과 덧셈을 통과하므로 $z^2$ 의 켤레는 $\overline{z}^2$ 이고, 실수 계수는 켤레를 잡아도 제자리이므로 $\overline{p(z)}=p(\overline{z})$ 입니다. 오른쪽 0의 켤레는 0이니 $p(\overline{z})=0$ 입니다. 곧 $z$ 가 근이면 $\overline{z}$ 도 근입니다. 차수가 몇이든 계수가 실수이기만 하면 허수 근은 언제나 쌍으로 나옵니다.

삼차식 $x^3-3x^2+7x-5=0$ 으로 확인합니다. $x=1$ 을 넣으면 $1-3+7-5=0$ 이라 1이 근입니다. 그리고 이 식은 앞의 이차식에 $x-1$ 을 곱한 것과 같습니다.

$(x-1)(x^2-2x+5) = x^3-2x^2+5x-x^2+2x-5 = x^3-3x^2+7x-5$

그래서 근은 $1$, $1+2i$, $1-2i$ 셋입니다. 허수 근 두 개는 쌍을 이루고, 짝이 없는 하나는 가로축 위, 곧 실수입니다. 거꾸로 켤레쌍 두 근 $1\pm 2i$ 만 알면 $(x-(1+2i))(x-(1-2i))$ 를 전개해 실수 계수의 이차식 $x^2-2x+5$ 를 되살릴 수 있습니다. 합이 2, 곱이 $1+4=5$ 이기 때문입니다.

극형식과 곱셈

크기와 편각

평면 위의 점은 가로·세로로 적을 수도 있고 원점에서의 거리와 돌아간 각으로 적을 수도 있습니다. 뒤쪽으로 적어 봅니다.

거리를 $r=\lvert z\rvert$, 양의 실수축에서 반시계로 돈 각을 $\theta$ 라 하면 지난 글의 단위원에서 그 방향의 점이 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 였으므로, 그 점을 $r$ 배 늘린 자리가 $z$ 입니다.

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$

이 표기를 극형식이라고 하고, 여기서 각 $\theta$ 를 그 복소수의 편각이라고 부릅니다. 크기 $r$ 은 절댓값 그대로이고 편각은 방향을 말합니다. 0은 방향이 없으므로 편각을 정하지 않습니다.

$1+i$ 로 손을 움직여 봅니다. 거리는 $r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ 이고, 가로와 세로가 같으니 각은 $45°$ 입니다. 그러므로

$1+i = \sqrt2\left(\cos 45° + i\sin 45°\right)$

되짚어 봅니다. $\cos 45°=\sin 45°=\dfrac{1}{\sqrt2}$ 이므로 실수부도 허수부도 $\sqrt2\times\dfrac{1}{\sqrt2}=1$, 처음 식과 같습니다.

편각에는 한 가지 모호함이 있습니다. $45°$ 에서 한 바퀴를 더 돈 $405°$ 도, 거꾸로 한 바퀴 돈 $-315°$ 도 같은 방향을 가리키므로 같은 점입니다. 편각은 $360°$ 의 배수만큼 달라도 같은 수를 가리킵니다. 그래서 하나를 대표로 고를 때는 보통 $-180°<\theta\le 180°$ 범위에서 고르는 관례를 씁니다. 제3사분면의 $-1-i$ 를 보면 크기는 $\sqrt2$ 이고 방향은 $225°$ 인데, 관례의 범위로 옮기면 $225°-360°=-135°$ 입니다. 계산 도중에는 편하게 아무 각이나 쓰다가 답을 적을 때 범위 안으로 옮기면 됩니다.

곱셈과 회전

먼저 가장 작은 곱셈부터 봅니다 — $i$ 를 곱하면 무슨 일이 생기는가.

$1\cdot i = i,\qquad i\cdot i=-1,\qquad -1\cdot i=-i,\qquad -i\cdot i=1$

네 점을 복소평면에 찍어 보면 오른쪽 → 위 → 왼쪽 → 아래로 한 칸씩 돕니다. $i$ 를 곱하는 것은 원점을 중심으로 $90°$ 돌리는 일입니다. 앞 절의 거듭제곱이 넷마다 돌아오던 것은 $90°$ 를 네 번 돌면 한 바퀴이기 때문이었습니다.

네 점만이 아니라 아무 점이나 그렇습니다. $z=a+bi$ 에 $i$ 를 곱하면 $iz=ai+bi^2=-b+ai$ 입니다. 좌표로 $(a,b)$ 가 $(-b,a)$ 로 갔습니다. $a$ 와 $b$ 가 0이 아닐 때 원점에서 두 점으로 가는 선분의 기울기를 곱하면 $\dfrac{b}{a}\times\dfrac{a}{-b}=-1$ 이라 24번 글의 수직 조건 그대로이고, 길이는 둘 다 $\sqrt{a^2+b^2}$ 입니다. $3+2i$ 에 $i$ 를 곱한 $-2+3i$ 를 찍어 보면 정확히 직각으로 꺾인 자리에 섭니다. 그래서 두 복소수가 원점에서 수직인지를 묻는 일은 한쪽이 다른 쪽에 $i$ 와 실수를 곱한 것인지를 묻는 일로 바뀝니다.

이제 일반화합니다. 단위원 위의 점 $u=\cos\theta+i\sin\theta$ 를 임의의 점 $x+yi$ 에 곱합니다.

$(x+yi)(\cos\theta+i\sin\theta) = (x\cos\theta - y\sin\theta) + i(x\sin\theta + y\cos\theta)$

이 변환이 정말 "돌리기"인지 두 가지를 확인합니다.

첫째, 길이가 그대로입니다. 결과의 절댓값을 제곱해 봅니다.

$(x\cos\theta-y\sin\theta)^2 + (x\sin\theta+y\cos\theta)^2$

$= x^2\cos^2\theta - 2xy\cos\theta\sin\theta + y^2\sin^2\theta + x^2\sin^2\theta + 2xy\sin\theta\cos\theta + y^2\cos^2\theta$

가운데 두 항이 부호가 반대라 지워지고, 남은 것을 묶으면

$= x^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) + y^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta) = x^2+y^2$

지난 글의 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ 하나로 정리됩니다. 넣기 전과 나온 뒤의 거리가 같습니다.

둘째, 방향이 뒤집히지 않습니다. 1을 넣으면 $\cos\theta+i\sin\theta$, 곧 각 $\theta$ 의 자리로 갑니다. $i$ 를 넣으면 $-\sin\theta+i\cos\theta$ 인데 이것은 각 $\theta$ 에서 $90°$ 더 간 자리입니다. 1과 $i$ 사이의 직각이 같은 방향으로 유지됩니다.

원점을 그대로 두고 모든 길이를 보존하는 평면의 변환은 돌리기 아니면 뒤집기 둘뿐인데, 방향이 유지되니 뒤집기가 아닙니다. 그러므로 $\cos\theta+i\sin\theta$ 를 곱하는 것은 각 $\theta$ 만큼 돌리는 일입니다. 여기에 크기 $r$ 을 붙이면 돌린 뒤 $r$ 배로 늘리는 것이 됩니다.

$r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)\cdot r_2(\cos\beta+i\sin\beta) = r_1r_2\left(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\right)$

크기는 곱해지고 각은 더해집니다. 복소수의 곱셈은 이 한 문장으로 요약됩니다.

나눗셈과 절댓값

곱셈이 크기를 곱하고 각을 더하는 일이면, 나눗셈은 그 반대입니다. 크기를 나누고 각을 뺍니다.

$\frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\alpha-\beta)+i\sin(\alpha-\beta)\right)$

오른쪽에 나누는 수를 곱하면 크기는 $\dfrac{r_1}{r_2}\times r_2=r_1$, 각은 $(\alpha-\beta)+\beta=\alpha$ 로 왼쪽 분자가 돌아오니 맞습니다. $2i$ 를 $1+i$ 로 나눠 봅니다. $2i$ 는 크기 2, 각 $90°$ 이고 $1+i$ 는 크기 $\sqrt2$, 각 $45°$ 입니다. 몫은 크기 $\dfrac{2}{\sqrt2}=\sqrt2$, 각 $90°-45°=45°$ 이니 $1+i$ 입니다. 실수화로 되짚으면 $\dfrac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{2i-2i^2}{2}=\dfrac{2+2i}{2}=1+i$ 로 같습니다.

곱셈 규칙에서 크기 쪽만 떼어 적으면 이렇습니다.

$\lvert zw\rvert = \lvert z\rvert\,\lvert w\rvert$

극형식에서는 한 줄이지만, 성분으로 풀어 적으면 뜻밖의 사실이 나옵니다. $z=a+bi$, $w=c+di$ 이면 $zw=(ac-bd)+(ad+bc)i$ 이므로 양쪽을 제곱해

$(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2$

두 제곱수의 합끼리 곱하면 다시 두 제곱수의 합이 됩니다. $2=1^2+1^2$ 과 $5=1^2+2^2$ 로 해 봅니다. $(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i^2=-1+3i$ 이므로 $2\times5=10=(-1)^2+3^2=1+9$ 입니다. 곱을 직접 제곱의 합으로 쪼개는 방법을 몰라도, 복소수 곱셈 한 번이 그 쪼갬을 찾아 줍니다.

덧셈정리와 거듭제곱

덧셈정리

이제 지난 글이 미뤄 둔 것을 갚습니다. 곱셈 규칙에서 $r_1=r_2=1$ 로 두면 각이 $\alpha$ 인 회전과 각이 $\beta$ 인 회전을 잇는 일이 각 $\alpha+\beta$ 인 회전이라는 말이 됩니다. 이번에는 왼쪽을 그냥 전개해 봅니다.

$(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)$

$= \cos\alpha\cos\beta + i\cos\alpha\sin\beta + i\sin\alpha\cos\beta + i^2\sin\alpha\sin\beta$

$= (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + i(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)$

그런데 오른쪽은 $\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)$ 입니다. 두 복소수가 같으려면 실수부끼리 같고 허수부끼리 같아야 하므로

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

지난 글이 결과만 적어 둔 두 식, 덧셈정리입니다. 외울 것이 아니라 곱셈 한 번을 전개한 결과였습니다. 코사인 쪽에 빼기가 나오는 이유도 보입니다 — $i\sin\alpha$ 와 $i\sin\beta$ 를 곱한 항에서 $i^2=-1$ 이 튀어나오기 때문입니다.

수를 넣어 확인합니다. $\alpha=30°$, $\beta=60°$ 이면 $\alpha+\beta=90°$ 이고 $\cos90°=0$ 이어야 합니다. 오른쪽은 $\cos30°\cos60°-\sin30°\sin60°=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac12-\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=0$ 으로 맞습니다. 사인 쪽은 $\dfrac12\cdot\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac14+\dfrac34=1=\sin90°$ 입니다.

두 각을 같게 두면 두 배 각의 값도 곧바로 나옵니다. $\alpha=\beta=\theta$ 를 넣으면

$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta,\qquad \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$

이 둘을 배각 공식이라고 부릅니다. $\theta=30°$ 이면 $\cos60°=\dfrac34-\dfrac14=\dfrac12$ 로 지난 글의 표와 같습니다.

드무아브르 정리

각이 더해진다면, 같은 것을 $n$ 번 곱하면 각이 $n$ 번 더해져 $n$ 배가 됩니다. 크기는 $n$ 번 곱해져 $n$ 제곱이 됩니다.

$\left(r(\cos\theta+i\sin\theta)\right)^n = r^n\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right)$

이것을 드무아브르 정리라고 합니다. 작은 경우부터 확인합니다. $(1+i)^2$ 은 전개하면 $1+2i+i^2=2i$ 입니다. 정리로는 크기 $(\sqrt2)^2=2$, 각 $2\times45°=90°$ 이니 $2(\cos90°+i\sin90°)=2i$ 로 같습니다.

이제 $(1+i)^8$ 을 계산해 봅니다. 앞에서 $1+i=\sqrt2(\cos 45°+i\sin 45°)$ 였으므로

$(1+i)^8 = (\sqrt2)^8\left(\cos 360° + i\sin 360°\right) = 16(1+0i) = 16$

전개하면 아홉 항이 나올 계산이 각을 여덟 배 하는 것으로 끝났습니다. $(\sqrt2)^8=2^4=16$ 이고 $360°$ 는 한 바퀴라 제자리입니다. 한 번 더, $(1+i)^8=\left((1+i)^2\right)^4=(2i)^4=16i^4=16$ 으로도 되짚을 수 있습니다.

같은 정리의 왼쪽을 그대로 전개하면 삼각함수의 세 배 각도 나옵니다. $r=1$, $n=3$ 이면 왼쪽을 전개해 실수부를 모은 것이 $\cos3\theta$ 가 됩니다. 이 계산은 연습 문제로 남겨 둡니다.

1의 n제곱근

드무아브르 정리는 거꾸로도 씁니다. $z^n=1$ 을 만족하는 $z$ 를 1의 $n$ 제곱근이라고 합니다. $z^3=1$ 인 $z$ 를 찾아 봅니다. $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ 로 두면 $z^3$ 의 크기는 $r^3$ 이고 이것이 1이어야 하므로 $r=1$ 입니다. 각은 세 배 해서 한 바퀴의 배수가 되어야 하므로 $3\theta = 0°,\,360°,\,720°$, 즉 $\theta=0°,\,120°,\,240°$ 입니다. 그다음 $3\theta=1080°$ 는 $\theta=360°$ 라 처음과 같은 자리로 돌아오니 더는 없습니다.

$1,\qquad -\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\qquad -\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$

단위원을 셋으로 똑같이 나눈 자리입니다. $1$ 의 $n$ 제곱근은 언제나 단위원 위의 정 $n$ 각형이 되고, 이웃한 두 근 사이가 $\dfrac{360°}{n}$ 입니다. 뒤의 두 근이 켤레쌍인 것도 눈에 띕니다. $z^3-1=0$ 은 실수 계수의 다항식이니 앞 절에서 본 대로 허수 근이 쌍으로 나와야 합니다.

두 번째 근 $-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$ 를 $\omega$ 라고 부르겠습니다. 각이 $120°$ 이니 $\omega^2$ 은 각이 $240°$, 곧 세 번째 근입니다. 직접 제곱해 확인합니다.

$\omega^2 = \frac14 - 2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}i + \frac34 i^2 = \frac14-\frac34-\frac{\sqrt3}{2}i = -\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$

그러니 세 근은 $1,\ \omega,\ \omega^2$ 으로 적힙니다. $n$ 제곱근도 같아서, 각이 가장 작은 $\dfrac{360°}{n}$ 짜리 근 하나를 잡으면 나머지는 전부 그 거듭제곱입니다. 한 칸 돌리는 것을 되풀이하면 정 $n$ 각형의 꼭짓점을 차례로 다 밟기 때문입니다.

세 근을 더하면 $1+\omega+\omega^2=\left(1-\dfrac12-\dfrac12\right)+\left(\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)i=0$ 입니다. 이것도 우연이 아닙니다. 합을 $S$ 라 하고 $\omega$ 를 곱하면 각 근이 한 칸씩 돌아 $\omega+\omega^2+\omega^3=\omega+\omega^2+1$, 곧 다시 $S$ 가 됩니다. $\omega S=S$ 인데 $\omega\ne1$ 이니 $S=0$ 일 수밖에 없습니다. 그림으로 읽으면 정다각형의 꼭짓점을 원점에서 가리키는 화살표들이 사방으로 고르게 퍼져 서로 상쇄된다는 말이고, 꼭짓점들의 평균, 곧 무게중심이 원의 중심인 원점이라는 말과 같습니다.

오일러 공식

지수 표기

$\cos\theta+i\sin\theta$ 는 자주 나오니 짧은 이름이 필요합니다. 그런데 하필 왜 $e^{i\theta}$ 일까요.

지금까지 확인한 성질은 이것입니다.

$(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta) = \cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)$

$\theta$ 를 받아 값을 내놓는 이 대상은 곱하면 안의 것이 더해집니다. 21번 글의 지수법칙 $a^{\alpha}a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}$ 과 모양이 똑같습니다. $\theta=0$ 을 넣으면 $\cos0+i\sin0=1$ 이라 $a^0=1$ 과도 맞습니다. 그래서 지수 표기를 빌려 씁니다.

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

이것을 오일러 공식이라고 합니다. 여기서 $\theta$ 는 지난 글의 라디안으로 잽니다. 밑이 왜 하필 $e$ 인지는 이 관찰만으로는 안 나오고, 확인하려면 함수를 무한히 긴 다항식으로 펼치는 급수가 필요합니다. 그것은 35번 테일러 첫걸음의 몫이니 그 글을 읽은 뒤 여기로 돌아오면 됩니다.

지금 할 수 있는 것은 읽는 일입니다. $e^{i\theta}$ 는 크기가 1이고 각이 $\theta$ 인 점, 곧 단위원 위의 점입니다. $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ 는 $90°$ 이니 $e^{i\pi/2}=i$ 이고, $\theta=2\pi$ 는 한 바퀴이니 $e^{2\pi i}=1$ 입니다. $\theta=\pi$ 를 넣으면 $\cos\pi=-1,\ \sin\pi=0$ 이므로

$e^{i\pi} = -1 \quad\to\quad e^{i\pi}+1 = 0$

반 바퀴를 돌면 반대편에 선다는 말입니다. 그림으로는 그게 전부이고, 놀라운 쪽은 그것이 이렇게 짧게 적힌다는 점입니다. 극형식도 이제 $z=re^{i\theta}$ 로 줄여 적을 수 있습니다. $1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$ 입니다.

켤레와 삼각함수

$e^{i\theta}$ 의 켤레를 잡아 봅니다. 허수부의 부호만 바뀌므로 $\cos\theta-i\sin\theta$ 입니다. 그런데 코사인은 각의 부호를 바꿔도 값이 그대로이고 사인은 부호만 바뀌니, 이것은 각 $-\theta$ 의 점이기도 합니다.

$\overline{e^{i\theta}} = \cos\theta - i\sin\theta = \cos(-\theta)+i\sin(-\theta) = e^{-i\theta}$

그림으로는 가로축 대칭이 각을 반대로 돌린 자리라는 말입니다. 둘을 곱하면 $e^{i\theta}e^{-i\theta}=e^{0}=1$ 인데, 켤레끼리의 곱이 절댓값의 제곱이었으니 크기가 1이라는 사실과 맞습니다.

이번에는 둘을 더하고 빼 봅니다. 더하면 허수부가 지워지고, 빼면 실수부가 지워집니다.

$e^{i\theta}+e^{-i\theta} = 2\cos\theta,\qquad e^{i\theta}-e^{-i\theta} = 2i\sin\theta$

양변을 나누면 삼각함수가 지수로 적힙니다.

$\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$

오일러 공식은 지수를 삼각함수로 풀어 쓰는 식이었는데, 이 두 식은 거꾸로 삼각함수를 지수로 되받습니다. 코사인은 서로 반대로 도는 두 점의 가운데, 곧 두 점을 이은 선분의 중점의 가로 좌표입니다. $\theta=\pi$ 로 확인하면 $\dfrac{(-1)+(-1)}{2}=-1=\cos\pi$ 입니다.

지수법칙과 덧셈정리

오일러 공식을 쓰면 덧셈정리 절의 계산이 한 줄로 줄어듭니다. 지수법칙으로

$e^{i(\alpha+\beta)} = e^{i\alpha}\,e^{i\beta}$

이고, 왼쪽을 공식으로 풀면 $\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)$, 오른쪽을 풀어 전개하면 덧셈정리 절에서 얻은 실수부와 허수부가 나옵니다. 양쪽의 실수부가 코사인의 덧셈정리이고 허수부가 사인의 덧셈정리이니, 이 한 줄이 두 식을 한꺼번에 적고 있는 셈입니다.

세 배 각, 네 배 각도 같습니다. $e^{in\theta}=\left(e^{i\theta}\right)^n$ 은 드무아브르 정리를 지수법칙으로 다시 적은 것이고, 오른쪽을 전개해 실수부와 허수부를 모으면 $\cos n\theta$ 와 $\sin n\theta$ 가 사인과 코사인의 식으로 나옵니다. 삼각함수의 공식 여럿이 서로 다른 것이 아니라 회전을 여러 번 하는 한 가지 일에서 나온다는 것이 이 표기가 보여 주는 것입니다.

연습 문제

연습 1 — 사칙연산

1. $(2+3i)+(4-i)$

   실수부끼리 $2+4=6$, 허수부끼리 $3-1=2$ 이므로 $6+2i$ 입니다.
2. $(2+3i)(4-i)$

   $8-2i+12i-3i^2 = 8+10i+3 = 11+10i$ 입니다.
3. $5+i$ 의 켤레와 절댓값

   켤레는 $5-i$, 절댓값은 $\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$ 입니다.
4. $\dfrac{4+3i}{2+i}$

   분모의 켤레 $2-i$ 를 위아래에 곱합니다. 분자는 $(4+3i)(2-i)=8-4i+6i-3i^2=11+2i$, 분모는 $2^2+1^2=5$ 이므로 $\dfrac{11}{5}+\dfrac25 i$ 입니다.
5. $i^{15}$ 과 $i^{50}$

   $15=4\times 3+3$ 이므로 $i^{15}=i^3=-i$ 이고, $50=4\times12+2$ 이므로 $i^{50}=i^2=-1$ 입니다.
6. $\sqrt{-9}\,\sqrt{-16}$

   먼저 $i$ 를 꺼냅니다. $3i\cdot4i=12i^2=-12$ 입니다. 근호를 먼저 합쳐 $\sqrt{144}=12$ 로 하면 부호가 틀립니다.

연습 2 — 복소평면과 근

1. $6+3i$ 와 $1-9i$ 사이의 거리

   차가 $(6-1)+(3+9)i=5+12i$ 이므로 거리는 $\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ 입니다.
2. $\lvert z-1\rvert=2$ 를 만족하는 점 $z$ 가 그리는 도형과, 점 $3$ · $-1+i$ 가 그 위에 있는지

   중심이 $1$(좌표로 $(1,0)$)이고 반지름이 2인 원입니다. $\lvert3-1\rvert=2$ 라 $3$ 은 원 위에 있고, $\lvert -2+i\rvert=\sqrt5$ 는 2보다 크므로 $-1+i$ 는 원 밖에 있습니다.
3. $z=2+i$, $w=1+3i$ 로 $\overline{zw}$ 와 $\overline{z}\,\overline{w}$ 를 각각 계산해 비교하기

   $zw=2+6i+i+3i^2=-1+7i$ 이므로 $\overline{zw}=-1-7i$ 입니다. $\overline{z}\,\overline{w}=(2-i)(1-3i)=2-6i-i+3i^2=-1-7i$ 로 같습니다.
4. $x^3-4x^2+14x-20=0$ 의 한 근이 $1+3i$ 일 때 나머지 두 근

   계수가 실수이므로 켤레 $1-3i$ 도 근입니다. 두 근의 합이 2, 곱이 $1+9=10$ 이라 이 둘이 만드는 이차식은 $x^2-2x+10$ 입니다. 여기에 $x-c$ 를 곱한 상수항 $-10c$ 가 $-20$ 이어야 하므로 $c=2$ 입니다. 나머지 두 근은 $1-3i$ 와 $2$ 입니다. $x=2$ 를 넣으면 $8-16+28-20=0$ 으로 확인됩니다.
5. $x^2-4x+13=0$ 의 두 근

   $x=\dfrac{4\pm\sqrt{16-52}}{2}=\dfrac{4\pm\sqrt{-36}}{2}=\dfrac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$ 입니다. 두 근이 켤레쌍입니다.

연습 3 — 극형식과 곱셈

1. $-1+i$ 의 극형식

   $r=\sqrt{1+1}=\sqrt2$ 이고 제2사분면에서 가로와 세로의 크기가 같으므로 $\theta=135°$ 입니다. $\sqrt2(\cos 135°+i\sin 135°)$.
2. $\sqrt3+i$ 의 극형식

   $r=\sqrt{3+1}=2$ 이고 $\cos\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin\theta=\dfrac12$ 이므로 $\theta=30°$ 입니다. $2(\cos 30°+i\sin 30°)$.
3. $-\sqrt3-i$ 의 편각을 $-180°<\theta\le180°$ 범위에서

   크기는 2이고 방향은 2번의 정반대라 $30°+180°=210°$ 입니다. 범위 안으로 옮기면 $210°-360°=-150°$ 입니다.
4. $(\sqrt3+i)^6$

   2번의 극형식에 드무아브르를 씁니다. $2^6(\cos 180°+i\sin 180°) = 64\times(-1) = -64$ 입니다.
5. $(1-i)^4$

   $1-i$ 는 $r=\sqrt2$, $\theta=-45°$ 입니다. $(\sqrt2)^4(\cos(-180°)+i\sin(-180°)) = 4\times(-1) = -4$ 입니다.
6. $\dfrac{4(\cos150°+i\sin150°)}{2(\cos60°+i\sin60°)}$

   크기는 $\dfrac42=2$, 각은 $150°-60°=90°$ 이므로 $2(\cos90°+i\sin90°)=2i$ 입니다.
7. $13=2^2+3^2$ 과 $17=1^2+4^2$ 를 써서 $221$ 을 두 제곱수의 합으로 적기

   $13\times17=221$ 입니다. $(2+3i)(1+4i)=2+8i+3i+12i^2=-10+11i$ 이므로 $221=10^2+11^2=100+121$ 입니다.
8. $2+5i$ 를 원점 둘레로 반시계 $90°$ 돌린 점

   $i$ 를 곱합니다. $i(2+5i)=2i+5i^2=-5+2i$ 입니다.

연습 4 — 제곱근과 오일러 공식

1. $1$ 의 여섯제곱근 여섯 개와 그 합

   크기는 1이고 $6\theta$ 가 한 바퀴의 배수여야 하므로 $\theta=0°,60°,120°,180°,240°,300°$ 입니다. 차례로 $1$, $\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$, $-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$, $-1$, $-\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i$, $\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i$ 로 단위원 위의 정육각형입니다. 실수부의 합 $1+\dfrac12-\dfrac12-1-\dfrac12+\dfrac12=0$, 허수부의 합도 $\dfrac{\sqrt3}{2}$ 둘과 $-\dfrac{\sqrt3}{2}$ 둘이라 0이므로 합은 0입니다.
2. $e^{i\pi/3}$ 을 $a+bi$ 꼴로

   $\dfrac{\pi}{3}$ 은 $60°$ 이므로 $\cos60°+i\sin60°=\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$ 입니다.
3. $(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta-i\sin\beta)$ 를 전개해 $\cos(\alpha-\beta)$ 와 $\sin(\alpha-\beta)$ 의 식 얻기

   두 번째 인수는 각 $-\beta$ 의 점이라 곱은 각 $\alpha-\beta$ 의 점입니다. 전개하면 $\cos\alpha\cos\beta-i\cos\alpha\sin\beta+i\sin\alpha\cos\beta-i^2\sin\alpha\sin\beta$ 이고, 실수부와 허수부를 모으면 $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$, $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ 입니다.
4. $(\cos\theta+i\sin\theta)^3$ 을 전개해 $\cos3\theta$ 를 $\cos\theta$ 와 $\sin\theta$ 로 적고 $\theta=60°$ 로 확인하기

   $(c+is)^3=c^3+3c^2(is)+3c(is)^2+(is)^3=c^3+3ic^2s-3cs^2-is^3$ 이므로 실수부는 $\cos3\theta=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta$ 입니다. $\theta=60°$ 이면 $\dfrac18-3\cdot\dfrac12\cdot\dfrac34=\dfrac18-\dfrac98=-1$ 이고 $\cos180°=-1$ 과 같습니다.

정리

• $i^2=-1$ 을 만족하는 수를 들여오면 $a+bi$ 꼴의 복소수가 됩니다. 계산은 $i$ 를 문자처럼 다루다 $i^2$ 만 −1로 바꾸는 것이고, 음수의 근호는 먼저 $i$ 를 꺼낸 뒤 곱합니다.
• $i$ 의 거듭제곱은 넷마다 돌아오므로 지수를 4로 나눈 나머지만 봅니다.
• 켤레 $a-bi$ 를 곱하면 $a^2+b^2$ 이라는 실수가 남고, 이것으로 나눗셈이 풀립니다. 켤레는 덧셈과 곱셈을 통과합니다.
• 복소평면에서 덧셈은 평행이동, 절댓값은 원점까지의 거리, 켤레는 가로축 대칭입니다. 두 점 사이 거리는 $\lvert z-w\rvert$ 이고 원은 $\lvert z-c\rvert=r$ 입니다.
• 계수가 실수인 다항식의 허수 근은 차수와 상관없이 켤레쌍으로 나옵니다.
• 극형식 $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ 로 적으면 곱셈은 크기를 곱하고 각을 더하는 일, 나눗셈은 크기를 나누고 각을 빼는 일이 됩니다. $i$ 를 곱하는 것은 $90°$ 회전입니다.
• 그 곱셈을 전개한 실수부와 허수부가 그대로 삼각함수의 덧셈정리입니다.
• 드무아브르 정리로 거듭제곱은 각의 $n$ 배가 되고, $1$ 의 $n$ 제곱근은 단위원 위의 정 $n$ 각형이 되며 그 합은 0입니다.
• 곱하면 안이 더해지는 성질이 지수법칙과 같은 모양이라 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 로 적고, 켤레 $e^{-i\theta}$ 와 더하고 빼 삼각함수를 지수로 되받습니다.

여기까지 다룬 수는 하나씩 떨어져 있었습니다. 다음 글은 수를 줄지어 세워 놓고 그 줄 전체를 한 기호로 접습니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊