손으로 푸는 습관: 한 줄에 한 조작, 그리고 숫자로 검산

지난 글까지 두 편이 읽는 법이었다면 이 글은 쓰는 법입니다.

문제는 이렇습니다. 계산을 다 했는데 답이 틀렸습니다. 그러면 처음부터 다시 해야 할까요. 다시 해도 같은 실수를 반복하면 몇 번을 해도 같은 답이 나옵니다. 필요한 것은 어느 줄에서 틀렸는지 짚는 방법이고, 그것은 푼 뒤가 아니라 푸는 동안 적는 방식이 정합니다. 그리고 하나 더 — 답을 얻은 뒤 그것이 맞는지 스스로 확인하는 방법입니다.

한 줄에 한 조작

줄마다 하나씩

규칙은 문장 하나입니다. 한 줄에서는 딱 한 가지만 바꿉니다.

왼쪽 풀이는 세 줄이고 답도 맞습니다. 그런데 둘째 줄에서 조작이 둘 일어났습니다 — 괄호를 풀고, 양변에서 15를 뺐습니다. 답이 틀렸다면 둘 중 어디가 틀렸는지 알 수 없어 그 줄 전체를 다시 해야 합니다.

오른쪽 풀이는 네 줄입니다. 줄마다 하나씩만 바뀌고, 무슨 조작을 했는지 이름이 적혀 있습니다. 틀린 답이 나왔다면 위에서부터 한 줄씩 확인하면 되고, 확인이 실패하는 첫 줄이 범인입니다.

틀린 곳을 찾는 일이 위에서 아래로 한 번 훑는 일로 바뀐다 — 이것이 줄을 늘려 얻는 전부입니다. 몰아 쓴 풀이에서는 틀린 곳을 찾는 방법이 처음부터 다시 푸는 것밖에 없고, 다시 풀어도 같은 자리에서 같은 실수를 반복하기 쉽습니다. 줄이 늘어나는 것을 아까워할 이유가 없습니다. 되돌아가 틀린 곳을 찾는 시간이 줄 몇 개 더 적는 시간보다 훨씬 깁니다.

조작의 이름

줄마다 무슨 조작을 했는지 이름을 적습니다. '괄호 풀기', '양변 −15', '양변 ÷3' 처럼요. 이름을 적으려면 자기가 지금 무엇을 하는지 말로 정리해야 하고, 말로 정리가 안 되는 조작은 대개 틀립니다.

이름 중에 하나는 따로 짚어 둡니다. 한쪽에 있던 항을 부호를 바꿔 반대편으로 옮기는 것을 이항이라고 합니다. $x + 7 = 12$ 에서 $x = 12 - 7$ 로 가는 자리가 그것입니다. 이것은 새 규칙이 아니라 1번 글에서 세운 "양변에 같은 것을 하면 등호가 유지된다"를 짧게 적은 것입니다 — 양변에서 7을 뺀 결과가 마침 7이 부호를 바꿔 건너간 모양이 되는 것뿐입니다. 이름이 있으면 그 줄을 의심할 때도 이름으로 부를 수 있습니다.

등호를 세로로

줄마다 = 가 같은 자리에 오게 적습니다. 그러면 양변이 각각 어떻게 바뀌었는지가 눈으로 보입니다. 왼쪽 변만 봐도 $3(x+5) \to 3x+15 \to 3x \to x$ 로 흐름이 읽힙니다.

세로로 맞춰 적으면 딸려 오는 것이 하나 더 있습니다. 한쪽 변만 손댄 줄과 양변을 함께 손댄 줄이 눈에 갈립니다. 괄호 풀기는 한쪽만 바뀌고, 양변 −15는 양쪽이 함께 바뀝니다. 앞의 것은 같은 값을 다르게 적은 것이고 뒤의 것은 등식 자체를 손댄 것이라 성격이 다른데, 세로로 맞춰 두지 않으면 그 차이가 안 보입니다.

검산 네 가지

풀이를 잘 적었다고 답이 맞는 것은 아닙니다. 답을 얻은 뒤에 그것을 확인하는 방법이 필요하고, 이 트랙의 남은 마흔다섯 편이 계속 쓰게 될 방법이 넷입니다.

(가) 숫자를 넣어 본다

글자가 든 결과를 얻었다면, 글자 자리에 0, 1, 2를 차례로 넣어 양변의 값을 맞춰 봅니다.

$3(x + 5) = 3x + 15$

• $x = 0$: 왼쪽 $3 \times 5 = 15$, 오른쪽 $0 + 15 = 15$. 같습니다.
• $x = 1$: 왼쪽 $3 \times 6 = 18$, 오른쪽 $3 + 15 = 18$. 같습니다.
• $x = 2$: 왼쪽 $3 \times 7 = 21$, 오른쪽 $6 + 15 = 21$. 같습니다.

틀린 결과라면 어떻게 될까요.

$3(x + 5) = 3x + 5$

$x = 1$ 을 넣으면 왼쪽 18, 오른쪽 8. 갈립니다. 한 숫자에서 값이 갈리면 그 등식은 틀린 것이 확실합니다. 어디서 틀렸는지는 아직 모르지만, 틀렸다는 사실만은 확정입니다.

반대 방향은 성립하지 않습니다. 값이 맞았다고 결과가 맞다는 보장은 없습니다.

$x \times x = x + x$

$x = 0$ 을 넣으면 양쪽 다 0. $x = 2$ 를 넣으면 양쪽 다 4. 두 번이나 통과했지만 이 등식은 항등식이 아닙니다. $x = 1$ 을 넣으면 왼쪽 1, 오른쪽 2로 갈립니다. 그래서 숫자를 하나만 넣고 끝내지 않고 0과 1과 2를 차례로 넣습니다.

넣는 수는 지금은 0과 자연수로 한정합니다. 음수와 분수를 넣는 것은 그 수들을 세운 뒤의 일이고, 대입을 검산 요령이 아니라 정식 계산 도구로 다루는 것은 14번 · 문자와 대입의 몫입니다.

(나) 극단값으로 그럴듯함 보기

값을 정확히 맞추는 대신 말이 되는지만 보는 방법입니다. 0을 넣거나 아주 큰 수를 넣어 보고, 나온 답이 상식에 맞는지 확인합니다.

• 직사각형의 넓이를 구했는데 한 변을 0으로 두었더니 넓이가 0이 아니라면 틀렸습니다.
• 사람 수가 늘수록 총액이 늘어야 하는 상황에서, 사람 수를 크게 했더니 총액이 줄어든다면 틀렸습니다.
• 값이 반드시 양수여야 하는 자리에 음수가 나왔다면 틀렸습니다.

정밀하지 않지만 아주 빠릅니다. 계산을 다시 하지 않고 답을 한 번 쳐다보는 것만으로 큰 실수가 걸립니다.

(다) 같은 것을 두 방법으로 계산한다

1부터 10까지 더해 봅니다.

첫째 방법 — 차례로 더하기. $1+2=3$, $3+3=6$, $6+4=10$, $10+5=15$, $15+6=21$, $21+7=28$, $28+8=36$, $36+9=45$, $45+10=55$.

둘째 방법 — 짝지어 더하기. 양 끝에서 하나씩 짝지으면 $1+10=11$, $2+9=11$, $3+8=11$, $4+7=11$, $5+6=11$. 11이 다섯 쌍이니 $11 \times 5 = 55$.

둘 다 55입니다. 서로 다른 길로 갔는데 같은 곳에 도착했으니 믿을 만합니다. 두 방법이 갈리면 둘 중 하나가 틀린 것이고, 어느 쪽인지는 셋째 방법을 찾거나 각각을 (가)로 확인해서 가릅니다.

(라) 단위와 차원을 맞춰 본다

앞의 셋이 수를 맞춰 보는 방법이라면 이것은 답이 무엇의 값인지를 맞춰 보는 방법입니다. 문장으로 된 문제를 풀었을 때 특히 잘 걸립니다.

가로 3cm, 세로 4cm인 직사각형의 넓이를 구한다고 합시다. 답이 $3 \times 4 = 12$ 라면 단위는 cm와 cm를 곱한 $\text{cm}^2$ 입니다. 그런데 실수로 $3 + 4 = 7$ 을 적었다면 단위가 cm입니다. 넓이를 물었는데 길이가 나온 것이고, 수를 따져 보기 전에 이미 틀렸습니다.

곱하고 나누면 단위도 함께 곱하고 나눠집니다.

• 시속 60km로 2시간 가면 $60 \times 2$ 이고 단위는 $\text{km/시} \times \text{시} = \text{km}$ 입니다. 거리를 물었으니 맞습니다.
• 같은 문제에서 $60 \div 2$ 를 적었다면 단위가 $\text{km/시}^2$ 이 되어 거리도 속도도 아닌 것이 나옵니다.

더하고 뺄 때는 반대입니다 — 같은 종류끼리만 됩니다. 3cm와 4cm는 더해 7cm가 되지만 3cm와 $4\text{cm}^2$ 는 더할 수 없습니다. 길이와 넓이는 다른 종류이기 때문입니다. 이렇게 단위의 종류를 따져 보는 것을 차원을 맞춘다고 합니다. 식 안에 종류가 다른 것을 더한 자리가 있으면 그 줄이 틀렸습니다.

단위가 안 붙은 순수한 수식에서도 같은 요령이 통합니다. 길이를 뜻하는 글자 $r$ 로 넓이를 구했는데 답이 $2\pi r$ 이면 $r$ 이 한 번만 곱해진 것이라 길이입니다. 넓이라면 $r$ 이 두 번 곱해진 $\pi r^2$ 이어야 합니다. 트랙 뒤쪽에서 도형과 물리량을 다룰 때 이 검산을 계속 쓰게 됩니다.

의심하는 순서

검산이 실패했습니다. 어디부터 볼까요. 자주 틀리는 자리 순서대로 봅니다.

부호

$+$ 와 $-$ 를 옮겨 적다 바뀌는 자리가 가장 흔합니다. 특히 괄호 앞에 마이너스가 있을 때 그렇습니다.

$5 - (x + 2)$

이것을 $5 - x + 2$ 로 적는 실수가 여기입니다. 괄호 앞의 마이너스는 괄호 안 전부에 걸리므로 $5 - x - 2$ 가 맞고, 정리하면 $3 - x$ 입니다. $x = 1$ 을 넣어 확인하면 원래 식은 $5 - 3 = 2$, 틀린 쪽은 $5 - 1 + 2 = 6$, 맞는 쪽은 $3 - 1 = 2$ 입니다.

부호는 눈에 작게 보여서 옮겨 적을 때 놓치기 쉽습니다. 줄을 바꿔 적을 때 부호부터 먼저 옮기고 나서 수를 옮기는 습관이 이 실수를 많이 줄입니다.

이항

항을 반대편으로 옮길 때 부호를 바꾸지 않고 그대로 옮기는 것이 둘째로 흔합니다.

$2x - 3 = 7$

여기서 $2x = 7 - 3$ 이라고 적으면 틀렸습니다. 왼쪽의 $-3$ 을 없애려면 양변에 3을 더해야 하고, 그러면 오른쪽은 $7 + 3 = 10$ 이 됩니다. $2x = 10$ 이니 $x = 5$ 입니다.

확인은 원래 식에 넣어 보는 것으로 끝납니다. $x = 5$ 면 $10 - 3 = 7$ 로 맞고, 틀린 쪽이 내놓은 $x = 2$ 를 넣으면 $4 - 3 = 1$ 로 7이 아닙니다. 이항한 줄을 의심할 때는 옮긴 항의 부호가 뒤집혔는지만 보면 됩니다.

괄호

괄호를 풀 때 안쪽 전부에 적용했는지를 봅니다. $2(a+b)$ 를 $2a + b$ 로 적는 실수가 여기입니다. 앞 글에서 본 분배법칙이 요구하는 것은 괄호 안의 모든 항에 곱하라는 것이고, 하나라도 빠뜨리면 다른 식이 됩니다.

괄호 안의 항이 둘이면 잘 안 틀리는데 셋부터 새기 시작합니다. $2(a + b + c)$ 의 답은 $2a + 2b + 2c$ 이고, 마지막 항에 곱하는 것을 빠뜨리는 것이 가장 흔합니다. 그래서 이 줄을 확인할 때는 값을 따지기 전에 항의 개수부터 셉니다 — 괄호 안이 세 항이었으면 푼 뒤에도 세 항이어야 하고, 각 항에 2가 하나씩 붙어 있어야 합니다. 개수가 맞으면 그다음에 하나씩 값을 봅니다.

나머지 둘은 빈도가 낮지만 한 번 걸리면 찾기 어렵습니다.

• 옮겨 적다 빠뜨린 항 — 윗줄에는 있는데 아랫줄에 없는 것. 줄마다 항이 몇 개인지 세면 바로 걸립니다.
• 분모 — 분수선이 덮는 범위. 지난 글의 $(a+b)/2$ 를 $a + b/2$ 로 적는 사고가 여기입니다.

이 다섯이 손계산 실수의 대부분입니다. 한 줄에 한 조작으로 적어 두었다면, 이 목록을 들고 위에서부터 한 줄씩 훑는 것으로 끝납니다.

틀린 줄 고치기

목록을 봤으니 실제로 써 봅니다. 아래 다섯은 전부 한 줄짜리 변형이고 그 줄이 틀렸습니다. 순서는 늘 같습니다 — 어느 줄인지 짚고, 왜 틀렸는지 이름을 붙이고, 맞게 고쳐 적고, 숫자를 넣어 확인합니다.

부호와 이항에서 난 것

하나. $7 - 3 + 2 = 7 - 5 = 2$

뒤의 $+2$ 를 마이너스 안쪽으로 끌어들여 $3 + 2$ 로 묶었습니다. 부호 실수입니다. $+2$ 앞에는 괄호가 없으므로 묶을 근거가 없고, 덧셈과 뺄셈만 남은 줄은 왼쪽부터 합니다. 맞게 적으면 $4 + 2 = 6$ 입니다.

둘. $4x + 9 = 21$ 에서 $4x = 21 + 9$

$+9$ 를 옮기면서 부호를 그대로 뒀습니다. 이항 실수입니다. 맞게 적으면 $4x = 21 - 9 = 12$ 이고 $x = 3$ 입니다. 원래 식에 넣어 확인하면 $12 + 9 = 21$ 로 맞고, 틀린 쪽이 내놓은 $4x = 30$ 은 $30 + 9 = 39$ 라 21이 아닙니다.

괄호와 약분에서 난 것

셋. $3(2x - 1) = 6x - 1$

3이 $2x$ 에만 갔습니다. 괄호 실수입니다. 맞게 적으면 $6x - 3$ 입니다. $x = 1$ 로 확인하면 원래 식은 $3 \times 1 = 3$, 틀린 쪽은 $6 - 1 = 5$, 맞는 쪽은 $6 - 3 = 3$ 입니다.

넷. $\dfrac{x + 6}{3} = x + 2$

분모의 3으로 위쪽의 6만 나눴습니다. 약분 실수입니다. 분수선 위아래를 같은 수로 나누는 것을 약분이라고 하는데, 위쪽이 여러 항이면 그 항 전부를 나눠야 합니다. 맞게 적으면 $\dfrac{x}{3} + 2$ 입니다. $x = 3$ 으로 확인하면 원래 식은 $\dfrac{9}{3} = 3$, 틀린 쪽은 $3 + 2 = 5$, 맞는 쪽은 $1 + 2 = 3$ 입니다.

이 넷째 실수는 앞 글의 분수선 이야기와 같은 자리입니다. $\dfrac{x+6}{3}$ 의 위쪽은 통째로 묶여 있으므로 그 묶음 전체가 3으로 나뉩니다.

우선순위에서 난 것

다섯. $10 - 2 \times 3 = 8 \times 3 = 24$

왼쪽부터 차례로 계산해 버렸습니다. 우선순위 실수입니다. 곱셈이 뺄셈보다 먼저이므로 $10 - 6 = 4$ 가 맞습니다.

이 실수는 앞의 넷과 성격이 다릅니다. 앞의 넷은 식을 바꾸다가 난 것이라 바꾼 결과가 원래 식과 같은지 숫자를 넣어 보면 걸립니다. 그런데 이것은 바꾼 것이 아니라 처음부터 다르게 읽은 것이라, 읽은 대로 계산한 뒤 숫자를 넣어 봐야 자기가 읽은 그 식이 다시 나올 뿐입니다. 그래서 이 줄은 값을 맞춰 보는 대신 읽는 순서 자체를 다시 봐야 걸립니다 — 괄호를 채워 적어 보는 것이 가장 빠릅니다. $10 - (2 \times 3)$ 이라고 적고 나면 틀릴 자리가 없습니다.

다섯 개를 이렇게 훑고 나면 고치는 절차 자체가 손에 남습니다. 짚고 · 이름 붙이고 · 고쳐 적고 · 숫자로 확인한다. 이름을 붙이는 단계를 건너뛰지 마세요 — 이름이 없으면 같은 실수를 다음에 또 만나도 처음 보는 것처럼 느껴집니다.

계산기의 자리

여기까지 전부 손으로 했습니다. 그러면 계산기는 아예 쓰지 말라는 뜻일까요. 그렇지 않습니다. 다만 어디까지가 손의 몫이고 어디부터가 기계의 몫인지 선을 그어 두지 않으면, 손으로 해야 할 자리를 기계에 넘기거나 반대로 기계에 맡겨도 될 자리에서 시간을 쓰게 됩니다. 선을 한 번 그어 둡니다.

손으로 하는 자리

식을 바꾸는 일은 손으로 합니다. 괄호 풀기, 이항, 약분, 같은 것끼리 모아 항 정리하기가 그것입니다.

이 일들은 답을 내는 일이 아니라 같은 것을 다르게 적는 일입니다. 계산기는 수를 넣으면 수를 돌려주지 식을 어떻게 바꿔야 하는지는 알려 주지 않습니다. 그리고 이 트랙이 세우려는 것이 정확히 그 부분입니다 — 뒤쪽 글들이 다루는 방정식·함수·미분은 전부 식을 바꾸는 절차이고, 그 절차가 손에 붙어 있지 않으면 계산기를 켜 놓아도 무엇을 두드릴지 모릅니다.

손으로 하면 딸려 오는 것이 하나 더 있습니다. 틀린 줄이 종이에 남습니다. 계산기에 몰아 넣으면 답 하나만 나오고 어디서 틀렸는지 볼 자리가 없습니다. 답이 이상해도 다시 두드리는 것 말고는 할 수 있는 일이 없고, 다시 두드려도 같은 식을 넣으면 같은 답이 나옵니다 — 이 글 첫머리의 그 문제가 그대로 돌아옵니다.

기계에 맡기는 자리

수를 내는 일은 기계에 맡겨도 됩니다. 자릿수 많은 사칙연산, 제곱근이나 삼각비의 소수 값, 같은 식에 수를 여럿 넣어 보는 일이 그것입니다.

$\sqrt{2}$ 가 대략 1.414라는 것을 손으로 구하는 훈련은 이 트랙의 목적이 아닙니다. 그 값이 필요한 이유는 대개 다른 무언가를 확인하려는 것이고, 확인이 목적이면 값은 빨리 나오는 편이 낫습니다. 검산 (가)에서 0과 1과 2를 차례로 넣어 보는 일도 수가 커지면 기계가 훨씬 빠릅니다.

다만 기계에 넣을 때도 앞 글의 괄호 이야기가 그대로 따라옵니다. 계산기도 같은 우선순위를 쓰기 때문에, 분수선을 옮겨 적으며 괄호를 빠뜨리면 기계는 오류를 내지 않고 조용히 다른 값을 돌려줍니다. 기계를 믿을 수 있는 것은 넣은 식이 맞을 때뿐입니다.

연습 문제

연습 1 — 틀린 줄 짚기

다음 다섯 개의 풀이에는 각각 틀린 줄이 하나씩 있습니다. 어느 줄인지 짚고 왜 틀렸는지를 한 마디로 적으세요 — 줄이 하나뿐이라 고를 것이 없는 것도 있으니, 이 연습의 몫은 이유 쪽입니다. 짚은 뒤에는 숫자를 넣어 확인하세요.

1. ① $3(x + 2) = 18$
   ② $3x + 2 = 18$
   ③ $3x = 16$

   ② 가 틀렸습니다. 괄호를 풀 때 3이 $x$ 에만 갔고 2에는 안 갔습니다. 맞게 적으면 $3x + 6 = 18$ 입니다. 확인: $x = 2$ 를 ①에 넣으면 $3 \times 4 = 12$, ②에 넣으면 $6 + 2 = 8$. 갈립니다.
2. ① $x + 7 = 12$
   ② $x = 12 + 7$
   ③ $x = 19$

   ② 가 틀렸습니다. ①에서 $x$ 만 남기려면 양변에서 7을 빼야 하는데 더했습니다. 맞게 적으면 $x = 12 - 7 = 5$ 입니다. 확인: $x = 19$ 를 ①에 넣으면 $26 \ne 12$.
3. ① $5x = 30$
   ② $x = 30 \times 5$
   ③ $x = 150$

   ② 가 틀렸습니다. $5x$ 는 $5 \times x$ 이므로 $x$ 만 남기려면 양변을 5로 나눠야 합니다. 맞게 적으면 $x = 6$ 입니다. 확인: $x = 150$ 을 ①에 넣으면 $750 \ne 30$.
4. ① $4 + 2 \times 3 = 6 \times 3$
   ② $6 \times 3 = 18$

   ① 이 틀렸습니다. 곱셈이 덧셈보다 먼저라 $4 + 2 \times 3 = 4 + 6 = 10$ 입니다. 왼쪽부터 순서대로 계산해 버린 것이고, 이것이 지난 글에서 세운 우선순위를 어긴 자리입니다.
5. ① $4(y - 3) = 4y - 3$

   ① 이 틀렸습니다. 4가 $y$ 에만 갔습니다. 맞게 적으면 $4y - 12$ 입니다. 확인: $y = 4$ 를 넣으면 왼쪽 $4 \times 1 = 4$, 오른쪽 $16 - 3 = 13$. 갈립니다.

다섯 중 셋이 괄호를 풀 때 안쪽 전부에 적용하지 않은 실수입니다. 의심하는 순서에서 괄호가 왜 위쪽에 있는지 보여 주는 셈입니다.

연습 2 — 한 줄에 한 조작으로 다시 적기

앞의 두 편에서 본 계산을, 이번에는 줄마다 조작 이름을 붙여 다시 적으세요.

1. 1번 글의 사슬 $2(x + 4) + 1 = 2x + 9$ 를 세 줄로 펴서 적으세요.

   $$\begin{aligned} 2(x + 4) + 1 &= 2x + 8 + 1 && \text{괄호 풀기} \\ &= 2x + 9 && \text{상수끼리 더하기} \end{aligned}$$

   확인: $x = 0$ 이면 $2 \times 4 + 1 = 9$ 와 $9$. $x = 1$ 이면 11과 11. $x = 2$ 면 13과 13.

2. 2번 글의 $3 + 4 \times 5 - 6$ 을 한 줄에 한 조작으로 계산하세요.

   $$\begin{aligned} 3 + 4 \times 5 - 6 &= 3 + 20 - 6 && \text{곱셈 먼저} \\ &= 23 - 6 && \text{왼쪽부터 덧셈} \\ &= 17 && \text{뺄셈} \end{aligned}$$

   확인: 순서를 바꿔 $20 - 6 = 14$ 를 먼저 하고 $3 + 14 = 17$ 로 해도 같습니다. 덧셈과 뺄셈만 남은 줄에서는 이렇게 두 방법으로 세어 볼 수 있고, 이것이 검산 (다)입니다.

정리

• 한 줄에 한 조작. 줄마다 무슨 조작을 했는지 이름을 적고, 등호를 세로로 맞춥니다. 그래야 틀린 줄을 짚을 수 있습니다.
• 검산 넷 — 숫자 넣기(0·1·2), 극단값 보기, 두 방법으로 세기, 단위와 차원 맞추기.
• 값이 갈리면 틀린 것이 확실하지만, 값이 맞았다고 맞다는 보장은 없습니다.
• 의심하는 순서는 부호 → 이항 → 괄호 → 빠뜨린 항 → 분모입니다. 틀린 줄을 만나면 짚고, 이름 붙이고, 고쳐 적고, 숫자로 확인합니다.
• 식을 바꾸는 일은 손으로, 수를 내는 일은 기계로. 계산기도 같은 우선순위를 쓰므로 괄호를 빠뜨린 식은 조용히 다른 값을 내놓습니다.

여기까지가 수학을 읽고 쓰는 법입니다. 다음 글부터는 계산 자체로 들어갑니다. 첫 자리는 자연수인데, 구구단을 다시 외우자는 것이 아니라 세로셈이 왜 자리를 맞춰 쓰는지를 묻습니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊