손으로 푸는 습관: 한 줄에 한 조작, 그리고 숫자로 검산

지난 글까지 두 편이 읽는 법이었다면 이 글은 쓰는 법입니다.

문제는 이렇습니다. 계산을 다 했는데 답이 틀렸습니다. 그러면 처음부터 다시 해야 할까요. 다시 해도 같은 실수를 반복하면 몇 번을 해도 같은 답이 나옵니다. 필요한 것은 어느 줄에서 틀렸는지 짚는 방법이고, 그것은 푼 뒤가 아니라 푸는 동안 적는 방식이 정합니다. 그리고 하나 더 — 답을 얻은 뒤 그것이 맞는지 스스로 확인하는 방법입니다.

한 줄에 한 조작

규칙은 문장 하나입니다. 한 줄에서는 딱 한 가지만 바꿉니다.

왼쪽 풀이는 세 줄이고 답도 맞습니다. 그런데 둘째 줄에서 조작이 둘 일어났습니다 — 괄호를 풀고, 양변에서 15를 뺐습니다. 답이 틀렸다면 둘 중 어디가 틀렸는지 알 수 없어 그 줄 전체를 다시 해야 합니다.

오른쪽 풀이는 네 줄입니다. 줄마다 하나씩만 바뀌고, 무슨 조작을 했는지 이름이 적혀 있습니다. 틀린 답이 나왔다면 위에서부터 한 줄씩 확인하면 되고, 확인이 실패하는 첫 줄이 범인입니다.

여기에 두 가지를 덧붙입니다.

조작의 이름을 적습니다. '괄호 풀기', '양변 −15', '양변 ÷3' 처럼요. 이름을 적으려면 자기가 지금 무엇을 하는지 말로 정리해야 하고, 말로 정리가 안 되는 조작은 대개 틀립니다.

등호를 세로로 맞춥니다. 줄마다 = 가 같은 자리에 오게 적으면 양변이 각각 어떻게 바뀌었는지가 눈으로 보입니다. 왼쪽 변만 봐도 $3(x+5) \to 3x+15 \to 3x \to x$ 로 흐름이 읽힙니다.

줄이 늘어나는 것을 아까워할 이유가 없습니다. 되돌아가 틀린 곳을 찾는 시간이 줄 몇 개 더 적는 시간보다 훨씬 깁니다.

검산 세 가지

풀이를 잘 적었다고 답이 맞는 것은 아닙니다. 답을 얻은 뒤에 그것을 확인하는 방법이 필요하고, 이 트랙의 남은 마흔다섯 편이 계속 쓰게 될 방법이 셋입니다.

(가) 숫자를 넣어 본다

글자가 든 결과를 얻었다면, 글자 자리에 0, 1, 2를 차례로 넣어 양변의 값을 맞춰 봅니다.

$3(x + 5) = 3x + 15$

• $x = 0$: 왼쪽 $3 \times 5 = 15$, 오른쪽 $0 + 15 = 15$. 같습니다.
• $x = 1$: 왼쪽 $3 \times 6 = 18$, 오른쪽 $3 + 15 = 18$. 같습니다.
• $x = 2$: 왼쪽 $3 \times 7 = 21$, 오른쪽 $6 + 15 = 21$. 같습니다.

틀린 결과라면 어떻게 될까요.

$3(x + 5) = 3x + 5$

$x = 1$ 을 넣으면 왼쪽 18, 오른쪽 8. 갈립니다. 한 숫자에서 값이 갈리면 그 등식은 틀린 것이 확실합니다. 어디서 틀렸는지는 아직 모르지만, 틀렸다는 사실만은 확정입니다.

반대 방향은 성립하지 않습니다. 값이 맞았다고 결과가 맞다는 보장은 없습니다.

$x \times x = x + x$

$x = 0$ 을 넣으면 양쪽 다 0. $x = 2$ 를 넣으면 양쪽 다 4. 두 번이나 통과했지만 이 등식은 항등식이 아닙니다. $x = 1$ 을 넣으면 왼쪽 1, 오른쪽 2로 갈립니다. 그래서 숫자를 하나만 넣고 끝내지 않고 0과 1과 2를 차례로 넣습니다.

넣는 수는 지금은 0과 자연수로 한정합니다. 음수와 분수를 넣는 것은 그 수들을 세운 뒤의 일이고, 대입을 검산 요령이 아니라 정식 계산 도구로 다루는 것은 14번 · 문자와 대입의 몫입니다.

(나) 극단값으로 그럴듯함 보기

값을 정확히 맞추는 대신 말이 되는지만 보는 방법입니다. 0을 넣거나 아주 큰 수를 넣어 보고, 나온 답이 상식에 맞는지 확인합니다.

• 직사각형의 넓이를 구했는데 한 변을 0으로 두었더니 넓이가 0이 아니라면 틀렸습니다.
• 사람 수가 늘수록 총액이 늘어야 하는 상황에서, 사람 수를 크게 했더니 총액이 줄어든다면 틀렸습니다.
• 값이 반드시 양수여야 하는 자리에 음수가 나왔다면 틀렸습니다.

정밀하지 않지만 아주 빠릅니다. 계산을 다시 하지 않고 답을 한 번 쳐다보는 것만으로 큰 실수가 걸립니다.

(다) 같은 것을 두 방법으로 계산한다

1부터 10까지 더해 봅니다.

첫째 방법 — 차례로 더하기. $1+2=3$, $+3=6$, $+4=10$, $+5=15$, $+6=21$, $+7=28$, $+8=36$, $+9=45$, $+10=55$.

둘째 방법 — 짝지어 더하기. 양 끝에서 하나씩 짝지으면 $1+10=11$, $2+9=11$, $3+8=11$, $4+7=11$, $5+6=11$. 11이 다섯 쌍이니 $11 \times 5 = 55$.

둘 다 55입니다. 서로 다른 길로 갔는데 같은 곳에 도착했으니 믿을 만합니다. 두 방법이 갈리면 둘 중 하나가 틀린 것이고, 어느 쪽인지는 셋째 방법을 찾거나 각각을 (가)로 확인해서 가릅니다.

틀렸을 때 의심할 순서

검산이 실패했습니다. 어디부터 볼까요. 자주 틀리는 자리 순서대로 봅니다.

1. 부호 — $+$ 와 $-$ 를 옮겨 적다 바뀐 자리
2. 괄호 — 괄호를 풀 때 안쪽 전부에 적용했는지. $2(a+b)$ 를 $2a + b$ 로 적는 실수가 여기입니다
3. 옮겨 적다 빠뜨린 항 — 윗줄에는 있는데 아랫줄에 없는 것. 줄마다 항이 몇 개인지 세면 바로 걸립니다
4. 분모 — 분수선이 덮는 범위. 지난 글의 $(a+b)/2$ 를 $a + b/2$ 로 적는 사고가 여기입니다

이 넷이 손계산 실수의 대부분입니다. 한 줄에 한 조작으로 적어 두었다면, 이 목록을 들고 위에서부터 한 줄씩 훑는 것으로 끝납니다.

손으로 해 봅니다

연습 1 — 틀린 줄 짚기

다음 다섯 개의 풀이에는 각각 틀린 줄이 하나씩 있습니다. 몇 번 줄인지 짚고, 왜 틀렸는지 한 마디로 적으세요. 짚은 뒤에는 숫자를 넣어 확인하세요.

(1) ① $3(x + 2) = 18$ ② $3x + 2 = 18$ ③ $3x = 16$

(2) ① $x + 7 = 12$ ② $x = 12 + 7$ ③ $x = 19$

(3) ① $5x = 30$ ② $x = 30 \times 5$ ③ $x = 150$

(4) ① $4 + 2 \times 3 = 6 \times 3$ ② $= 18$

(5) ① $2(a + b) = 2a + b$

답.

1. ② 가 틀렸습니다. 괄호를 풀 때 3이 $x$ 에만 갔고 2에는 안 갔습니다. 맞게 적으면 $3x + 6 = 18$ 입니다. 확인: $x = 2$ 를 ①에 넣으면 $3 \times 4 = 12$, ②에 넣으면 $6 + 2 = 8$. 갈립니다.
2. ② 가 틀렸습니다. ①에서 $x$ 만 남기려면 양변에서 7을 빼야 하는데 더했습니다. 맞게 적으면 $x = 12 - 7 = 5$ 입니다. 확인: $x = 19$ 를 ①에 넣으면 $26 \ne 12$.
3. ② 가 틀렸습니다. $5x$ 는 $5 \times x$ 이므로 $x$ 만 남기려면 양변을 5로 나눠야 합니다. 맞게 적으면 $x = 6$ 입니다. 확인: $x = 150$ 을 ①에 넣으면 $750 \ne 30$.
4. ① 이 틀렸습니다. 곱셈이 덧셈보다 먼저라 $4 + 2 \times 3 = 4 + 6 = 10$ 입니다. 왼쪽부터 순서대로 계산해 버린 것이고, 이것이 지난 글에서 세운 우선순위를 어긴 자리입니다.
5. ① 이 틀렸습니다. 2가 $a$ 에만 갔습니다. 맞게 적으면 $2a + 2b$ 입니다. 확인: $a = 1$, $b = 1$ 을 넣으면 왼쪽 $2 \times 2 = 4$, 오른쪽 $2 + 1 = 3$. 갈립니다.

다섯 중 셋이 괄호를 풀 때 안쪽 전부에 적용하지 않은 실수입니다. 의심 목록의 2번이 왜 위쪽에 있는지 보여 주는 셈입니다.

연습 2 — 한 줄에 한 조작으로 다시 적기

앞의 두 편에서 본 계산을, 이번에는 줄마다 조작 이름을 붙여 다시 적으세요.

(1) 1번 글의 사슬 $2(x + 4) + 1 = 2x + 9$ 를 세 줄로 펴서 적으세요.

(2) 2번 글의 $3 + 4 \times 5 - 6$ 을 한 줄에 한 조작으로 계산하세요.

답.

(1)

$$\begin{aligned} 2(x + 4) + 1 &= 2x + 8 + 1 && \text{괄호 풀기} \\ &= 2x + 9 && \text{상수끼리 더하기} \end{aligned}$$

확인: $x = 0$ 이면 $2 \times 4 + 1 = 9$ 와 $9$. $x = 1$ 이면 11과 11. $x = 2$ 면 13과 13.

(2)

$$\begin{aligned} 3 + 4 \times 5 - 6 &= 3 + 20 - 6 && \text{곱셈 먼저} \\ &= 23 - 6 && \text{왼쪽부터 덧셈} \\ &= 17 && \text{뺄셈} \end{aligned}$$

확인: 순서를 바꿔 $20 - 6 = 14$ 를 먼저 하고 $3 + 14 = 17$ 로 해도 같습니다. 덧셈과 뺄셈만 남은 줄에서는 이렇게 두 방법으로 세어 볼 수 있고, 이것이 검산 (다)입니다.

정리

• 한 줄에 한 조작. 줄마다 무슨 조작을 했는지 이름을 적고, 등호를 세로로 맞춥니다. 그래야 틀린 줄을 짚을 수 있습니다.
• 검산 셋 — 숫자 넣기(0·1·2), 극단값 보기, 두 방법으로 세기.
• 값이 갈리면 틀린 것이 확실하지만, 값이 맞았다고 맞다는 보장은 없습니다.
• 틀렸을 때 의심할 순서는 부호 → 괄호 → 빠뜨린 항 → 분모입니다.

여기까지가 수학을 읽고 쓰는 법입니다. 다음 글부터는 계산 자체로 들어갑니다. 첫 자리는 자연수인데, 구구단을 다시 외우자는 것이 아니라 세로셈이 왜 자리를 맞춰 쓰는지를 묻습니다.

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지난 글: 식을 읽는 순서: 괄호 없이 묶여 있는 것들

읽어주셔서 감사합니다. 😊