등호가 뜻하는 것: =는 넣으라는 명령이 아니다

수학책을 펴서 처음 막히는 자리는 대개 어려운 계산이 아닙니다. 훨씬 앞쪽, 아무도 설명해 주지 않고 지나가는 기호 하나입니다. 바로 = 입니다.

이 기호는 매일 코드에서 씁니다. 그래서 익숙하다고 생각하고 넘어가는데, 수학책의 = 는 코드의 = 와 하는 일이 다릅니다. 이 차이를 그냥 두면 나중에 유도 과정을 읽을 때마다 "그래서 여기서 무슨 일이 일어난 거지"라는 물음이 계속 생깁니다. 이 글이 답하려는 문제는 하나입니다. 수학에서 = 는 무엇을 뜻하는가.

명령과 주장

다음 두 줄은 글자 하나 다르지 않습니다.

코드에서 x = x + 1 은 명령입니다. "오른쪽을 계산해서 그 값을 왼쪽 이름에 넣어라"라는 뜻이고, 이 명령에는 시간이 있습니다. 실행하기 전의 x 와 실행한 뒤의 x 가 다릅니다. x 가 3이었다면 실행 후에는 4가 됩니다.

수식에서 $x = x + 1$ 은 주장입니다. "왼쪽에 적은 것과 오른쪽에 적은 것이 같은 것을 가리킨다"라는 말이고, 여기에는 시간이 없습니다. 실행하기 전도 뒤도 없습니다. 그냥 그 문장이 참이냐 거짓이냐만 있습니다.

그리고 이 문장은 거짓입니다. 양쪽에서 $x$ 를 빼면 이렇게 됩니다.

$0 = 1$

$x$ 에 무엇을 넣어도 $0$ 과 $1$ 은 같아지지 않습니다. 즉 $x = x + 1$ 을 참으로 만드는 $x$ 는 하나도 없습니다.

여기서 두 가지가 따라 나옵니다.

첫째, 수식의 = 는 좌우를 바꿔 적어도 뜻이 같습니다. $a = b$ 와 $b = a$ 는 같은 말입니다. "$a$ 와 $b$ 가 같은 것을 가리킨다"라는 주장이니까요. 코드에서는 a = b 와 b = a 가 전혀 다른 명령이고, 왼쪽에는 이름만 올 수 있어서 3 = x 라고 쓰면 아예 에러가 납니다. 수학에서는 $3 = x$ 라고 적어도 됩니다.

둘째, 수식의 = 는 '지금 계산해서 값을 내라'는 신호가 아닙니다. $2 + 3 = 5$ 를 "2와 3을 더해서 5를 만들어라"로 읽으면 절반만 읽은 것입니다. 그 문장은 "$2+3$ 이라고 적은 것과 $5$ 라고 적은 것이 같은 수를 가리킨다"라는 주장입니다. 방향이 없습니다.

코드가 이미 둘을 갈라 두었다

사실 이 차이는 코드 쪽에서 먼저 인정하고 표기를 나눠 두었습니다. 넣으라는 명령은 = 이고, 같은지 묻는 것은 == 입니다.

적은 것	코드에서 하는 일	결과
x = x + 1	x에 x+1을 넣어라	x가 1 늘어난다
x == x + 1	둘이 같은지 묻는다	언제나 거짓

수학의 = 에 대응하는 것은 코드의 == 입니다. x == x + 1 이 언제나 거짓인 것과 $x = x + 1$ 이 거짓 등식인 것은 정확히 같은 사실이지요. 기호가 하나 더 붙었다는 것만 다릅니다.

그러니 수학책에서 = 를 만나면 머릿속에서 == 로 바꿔 읽는 것이 처음 한동안은 도움이 됩니다. "넣어라"가 아니라 "같은가"로 읽는 것입니다.

코드에도 주장의 등호가 있다

== 말고도 코드에서 주장을 적는 자리가 있습니다. assert 가 그렇습니다.

assert x == 4

이 줄은 아무것도 넣지 않습니다. "$x$ 가 4다"라는 주장이 참인지 묻고, 거짓이면 거기서 멈춥니다. 값을 만드는 줄이 아니라 값이 어떠해야 하는지를 적어 둔 줄입니다.

수학책의 등식이 하는 일이 바로 이것입니다. 유도의 한 줄 한 줄은 새 값을 만드는 명령이 아니라 "여기까지 오면 이것과 이것이 같다"라는 주장이고, 그 주장이 참인지를 읽는 사람이 따라가며 확인합니다.

이름을 한 번만 붙이는 언어

언어에 따라서는 한 번 붙인 이름을 다시 바꾸지 못하게 해 둡니다. 그런 언어에서 = 는 "넣어라"가 아니라 "이 이름은 이것이다"라는 약속에 가까워집니다. 그래서 그런 언어에서는 x = x + 1 이 아예 쓸 수 없는 줄이 됩니다 — 이름 x 를 자기 자신에 기대어 정의하는 꼴이 되니까요.

이 자리가 재미있는 것은, 그때의 = 가 아래에서 볼 수학의 정의와 정확히 같은 일을 한다는 점입니다. 같은 기호가 언어마다 명령이었다가 약속이었다가 합니다. 그러니 기호만 보고 뜻을 정하지 말고 어디에 적힌 기호인지를 먼저 봐야 합니다.

세 갈래로 가려 읽기

그런데 수학책의 = 가 전부 같은 무게를 갖는 것은 아닙니다. 세 갈래가 있고, 셋 다 똑같이 = 하나만 씁니다.

항등식은 어떤 값을 넣어도 참인 등식입니다.

$2(x + 3) = 2x + 6$

$x$ 에 0을 넣으면 왼쪽이 $2 \times 3 = 6$, 오른쪽이 $0 + 6 = 6$. 1을 넣으면 왼쪽이 $2 \times 4 = 8$, 오른쪽이 $2 + 6 = 8$. 5를 넣으면 양쪽 다 16. 무엇을 넣어도 갈리지 않습니다. 그래서 이런 식은 계산 도중에 아무 때나 한쪽을 다른 쪽으로 바꿔 적을 수 있습니다.

방정식은 특정한 값에서만 참인 등식입니다.

$2x + 6 = 14$

$x$ 에 0을 넣으면 왼쪽 6, 오른쪽 14로 갈립니다. 1을 넣으면 8과 14로 갈립니다. 4를 넣을 때만 양쪽이 14로 맞습니다. 그러니까 이 등식은 "이런 $x$ 가 있다"라고 주장하는 것이 아니라 조건을 적어 둔 것이고, 그 조건을 만족하는 $x$ 를 찾는 일이 흔히 말하는 '방정식을 푼다'입니다. 그 절차 자체는 16번 · 일차방정식과 이항의 몫이고, 지금은 갈래를 알아보는 데까지만 갑니다.

정의는 새 이름을 붙이는 등식입니다.

$s = 1 + 2 + 3$

여기서 = 는 "$s$ 라는 이름을 오른쪽 것에 붙이겠다"라는 약속입니다. 참인지 거짓인지 따질 것이 없습니다. 약속이니까요. 수학책이 "$s$ 를 다음과 같이 두자"라거나 "$s$ 라 하자"라고 말한 뒤에 등식을 적었다면 그것은 정의입니다.

셋을 가르는 질문은 하나입니다. "글자 자리에 아무 수나 넣어도 참인가?" 그렇다면 항등식, 특정한 값에서만 그렇다면 방정식입니다. 그리고 애초에 넣어 볼 것이 없이 이름을 붙이는 자리면 정의입니다. 기호가 셋을 구별해 주지 않으므로 앞뒤 문장을 보고 가려야 합니다.

보이는 일과 푸는 일

갈래를 가려야 하는 이유는 분류가 취미여서가 아닙니다. 갈래마다 할 일이 다르기 때문입니다.

	항등식	방정식
묻는 것	늘 참인가	언제 참인가
하는 일	양변을 같은 모양으로 만든다	글자만 한쪽에 남긴다
나오는 답	참이거나 거짓	값, 또는 없음

항등식 앞에서 "$x$ 를 구하라"는 물음은 성립하지 않습니다. 모든 $x$ 가 답이라 구할 것이 없으니까요. 반대로 방정식 앞에서 "양변이 같음을 보여라"는 물음도 성립하지 않습니다. 애초에 늘 같지는 않은 식이니까요.

그래서 등식 하나를 만나 손이 안 움직인다면, 계산을 못 해서가 아니라 갈래를 아직 안 정했기 때문인 경우가 많습니다.

기호로 갈래를 밝히는 관례

= 하나가 셋을 다 진다는 것이 불편하니, 갈래를 기호로 밝혀 두는 관례도 있습니다.

기호	읽는 법	쓰는 자리
$:=$	이렇게 정의한다	정의
$\equiv$	항상 같다	항등식

$s := 1 + 2 + 3$ 이라고 적으면 "$s$ 를 이렇게 두겠다"가 기호에 드러나고, $2(x+3) \equiv 2x + 6$ 이라고 적으면 "아무 값에서나 같다"가 드러납니다.

다만 이 표기는 굳어지지 않았습니다. 책마다 쓰기도 하고 안 쓰기도 하며, $\equiv$ 는 다른 뜻으로 쓰이는 분야도 있습니다. 우리 글도 = 하나만 씁니다. 대부분의 자리에서는 앞뒤 문장이 갈래를 이미 알려 주기 때문입니다 — 그래서 기호가 아니라 문맥을 읽는 습관이 먼저입니다.

갈래를 잘못 읽으면

갈래를 잘못 읽어도 계산은 굴러갑니다. 다만 끝에 이상한 줄이 나옵니다.

항등식 $2(x+3) = 2x + 6$ 을 방정식으로 착각하고 $x$ 를 구해 봅니다. 왼쪽을 풀면 $2x + 6 = 2x + 6$ 이고, 양변에서 $2x + 6$ 을 빼면 이렇게 됩니다.

$0 = 0$

$x$ 가 사라졌습니다. 이것은 "풀다가 망했다"가 아니라 "아무 $x$ 나 답이다"라는 신호입니다. 즉 그 식은 방정식이 아니라 항등식이었습니다.

반대쪽 신호도 있습니다. $4x + 3 = 4x - 2$ 를 풀면 양변에서 $4x$ 를 빼 $3 = -2$ 가 나옵니다. 이번에는 거짓인 줄이 남았으니 참이 되는 $x$ 가 하나도 없다는 뜻입니다.

마지막에 남은 줄	뜻
$x = 4$ 처럼 값 하나	그 값에서만 참
$0 = 0$ 처럼 참인 줄	아무 값이나 참 — 항등식이었다
$3 = -2$ 처럼 거짓인 줄	참인 값이 하나도 없다

풀다가 글자가 사라졌을 때 당황하지 않으려면 이 표 한 장이면 됩니다.

등호 사슬

수학책에서 이런 모양을 자주 봅니다.

$2(x + 4) + 1 = 2x + 8 + 1 = 2x + 9$

등호가 두 번 나옵니다. 이것을 등호 사슬이라고 부르겠습니다. 사슬은 두 가지를 약속합니다.

하나, 이웃한 두 칸은 서로 같습니다. $2(x+4)+1$ 과 $2x+8+1$ 이 같고, $2x+8+1$ 과 $2x+9$ 가 같습니다.

둘, 그래서 맨 왼쪽과 맨 오른쪽도 같습니다. $2(x+4)+1 = 2x+9$ 입니다. 이것이 사슬을 쓰는 이유입니다. 처음 모양에서 마지막 모양으로 곧장 가기는 어렵지만, 한 번에 한 걸음씩이면 각 걸음이 맞는지 확인하기 쉽습니다.

여기서 조심할 것이 있습니다. 중간의 한 칸이 틀리면 사슬 전체가 무너집니다. 세 칸짜리 사슬에서 두 번째 칸이 잘못 적혔다면, 첫째와 둘째 사이도 틀리고 둘째와 셋째 사이도 틀립니다. 결론인 "맨 왼쪽 = 맨 오른쪽"도 보장되지 않습니다. 사슬이 길수록 이 위험은 커집니다.

그래서 사슬을 읽을 때 쓰는 확인 방법이 있습니다. 아무 숫자나 하나 넣어서 맨 왼쪽과 맨 오른쪽의 값을 비교하는 것입니다. 위 사슬에 $x = 1$ 을 넣어 봅니다.

• 맨 왼쪽: $2(1 + 4) + 1 = 2 \times 5 + 1 = 11$
• 맨 오른쪽: $2 \times 1 + 9 = 11$

같습니다. $x = 3$ 을 넣으면 맨 왼쪽 $2 \times 7 + 1 = 15$, 맨 오른쪽 $6 + 9 = 15$. 역시 같습니다. 이렇게 값이 맞으면 사슬을 일단 믿고 넘어갑니다. 값이 갈리면 어딘가 틀린 것이 확실합니다. 어느 줄에서 틀렸는지 짚어 고치는 요령은 3번 · 손으로 푸는 습관에서 따로 다룹니다.

줄을 바꿔 적을 때

사슬이 길어지면 한 줄에 다 안 들어갑니다. 줄을 바꿔 적는데, 이때 등호를 다음 줄 맨 앞에 맞춰 세우는 것이 관례입니다.

2(x + 4) + 1
  = 2x + 8 + 1
  = 2x + 9

등호가 세로로 나란히 서면 어느 칸과 어느 칸이 같다고 주장하는지가 한눈에 보입니다. 반대로 등호를 앞 줄 끝에 남겨 두면 시선이 줄 오른쪽 끝에서 다음 줄 왼쪽 끝으로 크게 건너뛰어야 해서, 긴 유도에서는 읽는 자리를 자주 잃습니다.

그리고 이렇게 적어 두면 왼쪽 여백이 통째로 비어 있어 각 줄에 "여기서 무엇을 했는지"를 메모해 두기도 좋습니다. 손으로 유도를 따라갈 때 이 여백이 실제로 쓸모가 있습니다.

긴 사슬은 잘라서 확인한다

칸이 다섯을 넘어가면 한 번에 확인하기가 벅찹니다. 그럴 때는 가운데를 잘라 사슬 둘로 나눕니다.

$A = B = C$ 와 $C = D = E$ 로 나누면, 각각을 따로 확인한 뒤 $A = C$ 와 $C = E$ 를 이어 $A = E$ 를 얻습니다. 사슬의 두 번째 약속을 두 번 쓰는 것이지요.

이렇게 나누면 확인해야 할 자리가 반으로 줄어듭니다. 숫자를 넣어 봤을 때 값이 갈리면 어느 반쪽에서 갈리는지 먼저 보고 그쪽만 다시 따져 보면 됩니다. 여섯 칸을 하나씩 훑는 것보다 훨씬 빠릅니다.

부등호가 섞인 사슬

사슬에 등호만 오는 것은 아닙니다. 부등호가 섞이기도 합니다.

$a = b \le c = d$

이때 결론은 $a \le d$ 입니다. 등호로 이어진 칸들은 값을 그대로 옮겨 주고, 한 칸이라도 $\le$ 가 끼면 결론도 $\le$ 가 됩니다. 사슬의 결론은 가장 약한 고리를 따릅니다.

$a \le b < c$ 처럼 $\le$ 와 $<$ 가 섞이면 결론은 $a < c$ 입니다. 한 칸이라도 "확실히 작다"가 끼면 전체도 확실히 작아지니까요.

다만 방향이 엇갈리면 아무 결론도 안 나옵니다. $a \le b \ge c$ 로는 $a$ 와 $c$ 를 견줄 수 없습니다. 둘 다 $b$ 보다 작거나 같다는 것만 알 뿐이지요. 사슬을 이어 적으려면 방향이 한쪽으로 고른지부터 봅니다.

양변에 같은 일 하기

= 를 "양쪽이 같다"로 읽으면 자연스럽게 따라오는 성질이 있습니다. 양팔저울이 균형을 이루고 있을 때, 양쪽 접시에 똑같은 무게를 얹으면 균형이 그대로입니다. 똑같은 무게를 덜어 내도 그대로입니다.

등식도 같습니다. $a = b$ 가 참이면 다음 넷도 참입니다.

• 양변에 같은 수를 더한 것 — $a + 3 = b + 3$
• 양변에서 같은 수를 뺀 것 — $a - 3 = b - 3$
• 양변에 같은 수를 곱한 것 — $a \times 3 = b \times 3$
• 양변을 같은 수로 나눈 것 — $a \div 3 = b \div 3$ (단 0으로는 나눌 수 없습니다)

앞에서 $x = x + 1$ 의 양변에서 $x$ 를 빼 $0 = 1$ 을 얻은 것이 바로 이 성질을 쓴 것입니다. 그리고 이 넷이 방정식을 푸는 절차의 전부입니다. 그 절차로 굳히는 것은 16번 · 일차방정식과 이항의 몫이고, 지금은 "양변에 똑같은 일을 하면 등호가 그대로"라는 문장 하나만 챙겨 두면 됩니다.

되돌릴 수 있는 것과 없는 것

양변에 해도 되는 일이 전부 같은 값어치를 갖지는 않습니다. 되돌아올 수 있느냐에서 갈립니다.

3을 더했으면 3을 빼서 돌아옵니다. 3을 곱했으면 3으로 나눠 돌아옵니다. 이런 조작은 앞뒤로 자유롭게 오갈 수 있으니 유도 중에 마음 놓고 씁니다.

제곱은 다릅니다. $a = b$ 가 참이면 $a^2 = b^2$ 도 참입니다. 여기까지는 문제가 없습니다. 그런데 거꾸로는 안 됩니다 — $a^2 = b^2$ 이라고 해서 $a = b$ 라는 보장이 없습니다. $a = 2$, $b = -2$ 가 그 예입니다. 제곱하면 둘 다 4로 같아지지만 원래 둘은 다른 수였지요.

그래서 제곱은 한쪽 방향으로만 통하는 조작입니다. 등식을 푸는 도중에 쓰면 원래 없던 답이 딸려 들어올 수 있고, 그것을 걸러 내려면 마지막에 원래 식에 넣어 확인해야 합니다.

0을 곱하면

되돌릴 수 없는 조작 가운데 가장 극단적인 것이 0을 곱하는 것입니다. $x = 5$ 의 양변에 0을 곱해 봅니다.

$0 \times x = 0 \times 5 \quad \to \quad 0 = 0$

등호는 지켜졌는데 $x$ 에 대한 정보가 통째로 사라졌습니다. $0 = 0$ 은 참이지만 아무 말도 하지 않는 참이지요. 처음 식이 $x = 5$ 였는지 $x = 100$ 이었는지 이제 알 길이 없습니다.

여기서 배울 것은 이것입니다. "양변에 같은 일을 하면 등호가 유지된다"는 말은 맞지만, 유지된 등호가 처음과 같은 것을 말한다는 보장은 없습니다. 나누기에서 0을 제외해 두는 것도 같은 문제의 반대쪽입니다 — 0으로 나누는 것은 사라진 정보를 되살리려는 꼴이라 아예 금지해 둡니다.

씌우는 것도 같은 일이다

더하기·곱하기만 양변에 할 수 있는 것은 아닙니다. 양쪽에 똑같은 무언가를 씌우는 것도 전부 같은 성질입니다.

$a = b$ 가 참이면 $a^2 = b^2$ 도, $|a| = |b|$ 도 참입니다. 같은 것에 같은 일을 했으니 결과도 같을 수밖에 없지요. 나중에 배우는 로그 같은 조작도 정확히 이 자리에 섭니다.

그러니 외울 것은 조작의 목록이 아니라 문장 하나입니다 — 같은 것에 같은 일을 하면 결과도 같다. 갈림은 앞 소절에서 본 되돌아올 수 있느냐에서만 생깁니다.

등호를 닮은 기호 넷

마지막으로, = 근처에 서 있어서 헷갈리기 쉬운 기호 넷을 갈라 둡니다. 넷 다 = 가 아니고, 주장하는 것이 각각 다릅니다.

근사와 비례

$\pi \approx 3.14$

$\approx$ 는 "거의 같다"입니다. 같다고 주장하지 않는 것이 요점입니다. $\pi$ 와 $3.14$ 는 다른 수이고, 다만 쓸 만큼 가깝다는 말입니다. 그러니 $\approx$ 로 이어진 줄에서는 위의 사슬 약속이 그대로 통하지 않습니다 — 근사를 여러 번 이으면 어긋남이 쌓입니다.

$y \propto x$

$\propto$ 는 "비례한다"입니다. 이것도 두 값이 같다는 말이 아닙니다. $y = kx$ 가 되는 상수 $k$ 가 있다는 주장이지요. 원의 둘레가 지름에 비례한다고 할 때, 둘레와 지름이 같다는 뜻이 아니라 둘의 비가 늘 고정이라는 뜻입니다.

따름과 동치

$\Rightarrow$ 와 $\Longleftrightarrow$ 는 앞의 둘과 성격이 아예 다릅니다. 값 사이의 관계가 아니라 문장 사이의 관계이기 때문입니다.

$x = 2 \;\Longrightarrow\; x^2 = 4$

"$x = 2$ 가 참이면 $x^2 = 4$ 도 참이다"라고 읽습니다. 앞이 뒤를 부르는 한 방향짜리 주장입니다. 실제로 반대는 성립하지 않습니다 — $x^2 = 4$ 라고 해서 $x = 2$ 라는 보장이 없고, $x = -2$ 일 수도 있으니까요.

$\Longleftrightarrow$ 는 양쪽이 서로를 부를 때 씁니다.

$x = 2 \;\Longleftrightarrow\; 3x = 6$

이쪽은 어느 쪽에서 출발해도 상대가 따라 나옵니다. 방정식을 푸는 각 걸음이 $\Longleftrightarrow$ 로 이어져야 답이 늘지도 줄지도 않습니다 — 앞 소절의 제곱이 위험했던 이유가 정확히 그 걸음만 $\Rightarrow$ 였기 때문입니다.

「따라서」를 =로 적지 않는다

마지막은 기호가 아니라 흔한 실수 하나입니다. 방정식을 풀면서 이렇게 적는 일이 있습니다.

$3x = 12 = x = 4$

읽는 사람 머릿속의 뜻은 "$3x = 12$ 이므로 $x = 4$" 입니다. 그런데 적힌 것은 사슬이고, 사슬은 이웃한 칸이 서로 같다고 약속합니다. 그 약속대로 읽으면 $12$ 와 $x$ 가 같고, $3x$ 와 $4$ 가 같다는 말이 됩니다. 둘 다 사실이 아닙니다.

무엇이 무너지는지도 분명합니다. 사슬의 두 번째 약속을 쓰면 맨 왼쪽과 맨 오른쪽이 같아야 하므로 $3x = 4$ 가 나오는데, 이것은 우리가 방금 구한 $x = 4$ 와 어긋납니다.

바르게 적는 길은 둘입니다.

• 줄을 나누고 말로 잇는다 — "$3x = 12$ 이므로 $x = 4$ 입니다."
• 기호로 잇는다 — $3x = 12 \;\Longleftrightarrow\; x = 4$

「같다」와 「따라서」는 다른 말이고, = 는 앞의 것만 뜻합니다. 유도가 잘 읽히지 않을 때 이 자리를 의심하면 꽤 자주 걸립니다.

연습 문제

연습 1 — 세 갈래로 가르기

다음 열 줄이 항등식인지 방정식인지 정의인지 가르세요. 판단이 서지 않으면 글자 자리에 0과 1과 2를 차례로 넣어 보세요.

1. $x + x = 2x$

   항등식. 0을 넣으면 0과 0, 1이면 2와 2, 2면 4와 4입니다.
2. $x + 3 = 7$

   방정식. 4일 때만 참입니다.
3. $p = 2(a + b)$

   정의. 직사각형의 둘레를 $p$ 라 할 때 적는 등식으로, $p$ 라는 이름을 붙였습니다.
4. $2(x + 1) = 2x + 2$

   항등식.
5. $5x = 20$

   방정식. 4일 때만 참입니다.
6. $x \times 1 = x$

   항등식.
7. $x + 4 = x$

   방정식 — 다만 참이 되는 $x$ 가 하나도 없습니다. 조건을 적어 둔 것은 맞지만 그 조건을 만족하는 수가 없는 경우이고, 이런 것도 방정식입니다.
8. $s = 1 + 2 + 3 + 4$

   정의.
9. $2x + 6 = 4x$

   방정식. 3일 때만 참입니다 — 양쪽 다 12입니다.
10. $3 + x = x + 3$

    항등식.

연습 2 — 마지막 줄 읽기

다음 넷을 풀어 마지막에 남는 줄을 적고, 그 줄이 무엇을 뜻하는지 한마디로 적으세요.

1. $3x + 2 = 11$

   $3x = 9$ 에서 $x = 3$. 값 하나가 남았으니 그 값에서만 참입니다.
2. $4(x + 1) = 4x + 4$

   왼쪽을 풀면 $4x + 4 = 4x + 4$ 이고 양변을 빼면 $0 = 0$. 아무 값이나 참이므로 항등식이었습니다.
3. $2x + 5 = 2x - 1$

   양변에서 $2x$ 를 빼면 $5 = -1$. 거짓인 줄이 남았으니 참이 되는 $x$ 가 없습니다.
4. $5(x - 2) = 5x - 10$

   왼쪽을 풀면 $5x - 10 = 5x - 10$ 이고 양변을 빼면 $0 = 0$. 항등식입니다.

연습 3 — 등호 사슬 확인하기

다음 사슬 다섯 개에 괄호 안의 숫자를 넣어, 맨 왼쪽과 맨 오른쪽의 값이 정말 같은지 확인하세요.

1. $3(x + 2) + 4 = 3x + 6 + 4 = 3x + 10$  ($x = 2$)

   맨 왼쪽 $3 \times 4 + 4 = 16$, 맨 오른쪽 $6 + 10 = 16$. 같습니다.
2. $5x - 2x + 7 = 3x + 7$  ($x = 2$)

   맨 왼쪽 $10 - 4 + 7 = 13$, 맨 오른쪽 $6 + 7 = 13$. 같습니다.
3. $4(x + 1) - 4 = 4x + 4 - 4 = 4x$  ($x = 3$)

   맨 왼쪽 $4 \times 4 - 4 = 12$, 맨 오른쪽 $12$. 같습니다.
4. $(x + 1) + (x + 2) = 2x + 3$  ($x = 5$)

   맨 왼쪽 $6 + 7 = 13$, 맨 오른쪽 $10 + 3 = 13$. 같습니다.
5. $3(x + 2) - 1 = 3x + 2 - 1 = 3x + 1$  ($x = 1$)

   맨 왼쪽 $3 \times 3 - 1 = 8$, 맨 오른쪽 $3 + 1 = 4$. 갈립니다. 이 사슬은 어딘가 틀렸습니다. 숫자 하나로 그 사실이 확실해졌다는 것이 지금 얻은 전부이고, 어느 칸이 틀렸는지 짚어 고치는 것은 3번에서 합니다.

5번에서 보듯 값이 갈리면 틀린 것이 확실합니다. 반대로 값이 맞았다고 사슬이 맞다는 보장은 없습니다. 우연히 그 숫자에서만 맞았을 수도 있으니까요. 그래서 숫자를 하나만 넣지 않고 0과 1과 2를 차례로 넣어 봅니다.

연습 4 — 사슬의 결론 넷

다음 사슬에서 맨 왼쪽과 맨 오른쪽을 견줄 수 있는지, 있다면 어떤 기호로 이어지는지 적으세요.

1. $a = b < c = d$

   $a < d$. 한 칸에 $<$ 가 끼었으므로 결론도 $<$ 입니다.
2. $a \le b \le c$

   $a \le c$.
3. $a < b \le c$

   $a < c$. $<$ 와 $\le$ 가 섞이면 결론은 $<$ 입니다.
4. $a \ge b \le c$

   견줄 수 없습니다. 방향이 엇갈려 $a$ 와 $c$ 의 순서를 알 길이 없습니다.

연습 5 — 기호 고르기 다섯

$=$, $\approx$, $\propto$, $\Rightarrow$, $\Longleftrightarrow$ 중 알맞은 것을 고르고 이유를 한 줄 적으세요.

1. $\sqrt{2}$ 와 $1.414$ 사이

   $\approx$. 두 수는 다르고 다만 가깝습니다.
2. "정사각형의 둘레"와 "한 변의 길이" 사이의 관계

   $\propto$. 둘레는 한 변의 4배이므로 비가 4로 고정입니다. 값이 같다는 말은 아닙니다.
3. $x = 7$ 과 $2x = 14$ 사이

   $\Longleftrightarrow$. 어느 쪽에서 출발해도 상대가 따라 나옵니다.
4. $x = -3$ 과 $x^2 = 9$ 사이

   $\Rightarrow$. 앞에서 뒤는 나오지만, $x^2 = 9$ 에서는 $x = 3$ 일 수도 있어 뒤에서 앞은 안 나옵니다.
5. $4x = 20$ 다음 줄에 $x = 5$ 를 적을 때, 두 줄을 $=$ 하나로 이어도 되는지

   안 됩니다. 이으면 $4x$ 와 $5$ 가 같다는 주장이 되어 버립니다. $\Longleftrightarrow$ 로 잇거나 줄을 나누고 "이므로"라고 적습니다.

정리

• 코드의 = 는 넣으라는 명령이고, 수식의 = 는 양쪽이 같다는 주장입니다. 수학의 = 에 대응하는 것은 코드의 == 이고, 그래서 $x = x + 1$ 은 코드에서는 매일 쓰는 줄이지만 수식으로는 참이 되는 $x$ 가 없는 거짓 등식입니다.
• 같은 = 가 세 갈래로 쓰입니다 — 어떤 값에서도 참인 항등식, 특정한 값에서만 참인 방정식, 새 이름을 붙이는 정의. 갈래마다 할 일이 다르고, 풀다가 $0=0$ 이나 $4=0$ 이 남았다면 그것이 갈래를 알려 주는 신호입니다.
• 등호 사슬은 이웃한 칸끼리 같다는 약속이고, 그 결과 맨 왼쪽과 맨 오른쪽이 같습니다. 중간 한 칸이 틀리면 전체가 무너지고, 부등호가 섞이면 결론은 가장 약한 고리를 따릅니다.
• 양변에 똑같은 일을 하면 등호는 유지되지만, 유지된 등호가 처음과 같은 것을 말한다는 보장은 없습니다. 제곱처럼 되돌아올 수 없는 조작과 0을 곱하는 것이 그 자리입니다.
• = 를 닮았지만 다른 기호가 넷 있습니다 — $\approx$ 는 가깝다, $\propto$ 는 비가 고정이다, $\Rightarrow$ 와 $\Longleftrightarrow$ 는 값이 아니라 문장 사이의 관계입니다. 「따라서」를 = 로 적지 않습니다.

이제 = 양쪽에 놓인 식 하나를 읽을 차례입니다. $2 + 3 \times 4$ 는 14일까요, 20일까요. 다음 글이 기호 여럿이 한 식에 놓였을 때 무엇을 먼저 하는지를 정합니다.

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