넓이와 부피: 잘라 붙여 직사각형으로 만들기

지난 글까지는 수를 다뤘습니다. 이제 도형으로 옮겨 갑니다.

넓이 공식은 대개 외운 채로 남아 있습니다. 삼각형은 밑변 곱하기 높이 나누기 2, 원은 파이 알 제곱. 왜 그런지는 기억에 없고 공식만 남아 있는 상태입니다. 이 글은 그 공식들을 전부 한 장의 그림에서 다시 만들어 냅니다. 잊어버려도 그 자리에서 복원할 수 있게 하는 것이 목적입니다.

그전에 — 글자로 이름 붙이기

이 트랙에서 문자를 처음 쓰는 글입니다. 먼저 약속 하나만 해 둡니다.

도형의 가로 길이가 7이든 12든 절차는 똑같습니다. "가로가 7이면 넓이는 7 곱하기 세로, 가로가 12면 넓이는 12 곱하기 세로"라고 매번 다시 말하는 대신, 가로 길이라는 정해진 양 하나에 $a$ 라는 글자로 이름을 붙여 둡니다. 그러면 한 줄로 끝납니다.

여기서 세우는 것은 그것뿐입니다. 글자 하나가 정해진 양 하나를 대신한다. 그 글자가 미지수인지 변수인지 상수인지 가르는 일과, 식에 실제 값을 넣어 계산하는 일은 14번 · 문자와 대입의 몫입니다.

한 가지만 더 붙입니다. 글자끼리 곱할 때는 곱셈 기호를 생략합니다.

$a \times b = ab$

읽는 법은 2번 글에서 이미 받았습니다. 붙어 있는 것은 묶여 있다는 뜻이고, 곱셈이 덧셈보다 먼저입니다. 그래서 $ab + c$ 는 "$a$ 와 $b$ 를 곱한 뒤 $c$ 를 더하라"입니다.

넓이는 단위 정사각형을 몇 개 깔 수 있는가

넓이가 무엇인지부터 정합니다.

한 변이 1인 정사각형을 단위 정사각형이라 부르고, 그 넓이를 1이라고 정합니다. 어떤 도형의 넓이란 그 도형에 단위 정사각형을 몇 개 깔 수 있는가입니다.

가로 5, 세로 3인 직사각형에 단위 정사각형을 깔아 봅니다. 한 줄에 5개씩, 그런 줄이 3개. 모두 15개입니다.

$5 \times 3 = 15$

4번 글에서 곱셈을 "같은 것을 여러 묶음 더하는 것"으로 세웠습니다. 5개짜리 묶음이 3줄이니 정확히 그 곱셈입니다. 직사각형 넓이가 가로 곱하기 세로라는 것은 새로 외울 공식이 아니라 곱셈의 뜻 그대로입니다.

가로를 $a$, 세로를 $b$ 라 하면 이렇게 적힙니다.

$(\text{직사각형의 넓이}) = ab$

이제부터 하는 일은 하나뿐입니다. 다른 도형을 잘라 붙여 직사각형으로 만드는 것.

잘라 붙여 직사각형으로

평행사변형

평행사변형의 왼쪽 끝을 세로로 자릅니다. 잘라 낸 삼각형을 그대로 들어 오른쪽 빈자리에 붙입니다. 직사각형이 됩니다.

자르고 붙였을 뿐이니 넓이는 변하지 않았습니다. 만들어진 직사각형의 가로는 원래 평행사변형의 밑변이고, 세로는 높이입니다.

$(\text{평행사변형의 넓이}) = (\text{밑변}) \times (\text{높이})$

여기서 높이는 비스듬한 변의 길이가 아니라 밑변에서 마주 보는 변까지의 수직 거리입니다. 자를 때 세로로 곧게 잘랐기 때문에 그렇습니다.

삼각형

삼각형은 하나로는 안 됩니다. 똑같은 삼각형을 하나 더 만들어 뒤집어 붙입니다. 그러면 평행사변형이 되고, 평행사변형은 방금 직사각형으로 만들었습니다.

두 개를 붙여 만든 것이니 삼각형 하나는 그 절반입니다.

$(\text{삼각형의 넓이}) = (\text{밑변}) \times (\text{높이}) \div 2$

나누기 2가 어디서 왔는지가 이 그림의 전부입니다. 삼각형 두 개로 직사각형 하나를 만들었기 때문입니다.

사다리꼴

사다리꼴도 같습니다. 똑같은 사다리꼴을 하나 더 만들어 180도 돌려 옆에 붙입니다. 위쪽 변과 아래쪽 변이 나란히 이어져 평행사변형이 됩니다.

이 평행사변형의 밑변은 얼마일까요. 원래 사다리꼴의 아랫변에 윗변이 이어 붙었으니 윗변 더하기 아랫변입니다. 높이는 그대로입니다. 그리고 사다리꼴 두 개로 만든 것이니 하나는 절반입니다.

$(\text{사다리꼴의 넓이}) = ((\text{윗변}) + (\text{아랫변})) \times (\text{높이}) \div 2$

세 공식이 전부 같은 절차에서 나왔습니다. 자르거나 뒤집어 붙여 직사각형으로 만들고, 두 개를 썼으면 2로 나눈다.

원 — 먼저 π 를 정한다

원은 직선으로 잘라 붙일 수 없어 보입니다. 그래도 됩니다. 다만 그 전에 수 하나를 정해야 합니다.

크기가 다른 원들을 가져다 둘레를 지름으로 나눠 보면 언제나 같은 값이 나옵니다. 지름의 3배보다 조금 깁니다. 그 '조금'이 얼마인지는 끝까지 딱 떨어지지 않아서, 아예 π 라는 글자를 붙여 두고 그대로 씁니다. '파이'라고 읽습니다. 원의 둘레를 지름으로 나눈 이 값을 원주율이라고 합니다.

$(\text{원둘레}) \div (\text{지름}) = \pi$

지름은 반지름의 2배입니다. 반지름을 $r$ 라 하면 지름은 $2r$ 이므로 둘레는 이렇게 적힙니다.

$(\text{원둘레}) = 2\pi r$

부채꼴로 잘라 번갈아 붙이기

원을 피자처럼 부채꼴 여덟 조각으로 자릅니다. 그리고 한 조각은 뾰족한 쪽이 위로, 다음 조각은 아래로 번갈아 놓으며 옆으로 이어 붙입니다.

톱니 모양이지만 평행사변형에 가까운 것이 나옵니다. 이 도형의 밑변과 높이를 봅니다.

• 높이는 부채꼴의 뾰족한 끝에서 둥근 쪽까지, 곧 원의 반지름 $r$ 입니다.
• 밑변은 아래쪽에 놓인 둥근 부분들을 이은 길이입니다. 조각들의 둥근 부분 전체가 원둘레인데 그중 절반만 아래에 있으니, 밑변은 원둘레의 절반인 $\pi r$ 입니다.

조각을 더 잘게 자를수록 톱니가 평평해져 진짜 평행사변형에 가까워집니다. 그러면 평행사변형 공식을 그대로 씁니다.

$(\text{원의 넓이}) = \pi r \times r = \pi r^2$

$\pi r^2$ 의 $\pi r$ 은 둘레의 절반이고 $r$ 은 반지름입니다. 외운 공식이 아니라 밑변 곱하기 높이입니다.

호의 길이나 부채꼴 넓이를 각도로 적는 것은 25번 · 삼각비와 단위원의 몫이고, 곡선 아래를 잘게 쪼개 더하는 방식을 절차로 굳히는 것은 33번 · 정적분의 몫입니다. 여기서는 그림 한 장으로 충분합니다.

부피도 같은 방식이다

넓이가 단위 정사각형을 세는 일이었다면, 부피는 단위 정육면체를 세는 일입니다. 한 모서리가 1인 정육면체의 부피를 1이라 정합니다.

가로 5, 세로 3, 높이 4인 직육면체에 넣어 봅니다. 바닥에 한 층 깔면 $5 \times 3 = 15$ 개, 그런 층이 4개.

$(\text{직육면체의 부피}) = 5 \times 3 \times 4 = 60$

바닥에 한 층 깐 개수가 곧 밑넓이이고, 층수가 높이입니다. 그래서 이렇게 정리됩니다.

$(\text{기둥의 부피}) = (\text{밑넓이}) \times (\text{높이})$

밑면이 원이든 삼각형이든 상관없습니다. 같은 모양을 위로 쌓아 올린 것이면 전부 밑넓이 곱하기 높이입니다. 밑면이 반지름 $r$ 인 원이고 높이가 $h$ 인 원기둥이라면 $\pi r^2 h$ 입니다.

결과만 받아 두는 셋

여기서 증명하지 않고 결과로만 받아 두는 것이 셋 있습니다.

• 뿔의 부피는 같은 밑면·같은 높이인 기둥의 3분의 1입니다. 손으로 확인하는 방법은 있습니다. 같은 밑면·같은 높이의 원뿔 그릇과 원기둥 그릇을 준비해, 원뿔에 물을 가득 채워 원기둥에 부으면 세 번 만에 꽉 찹니다.
• 구의 부피는 반지름이 $r$ 일 때 $4\pi r^3 \div 3$ 입니다.
• 구의 겉넓이는 $4\pi r^2$ 입니다.

이 셋을 왜 그런지 보려면 잘게 쪼개 더하는 계산이 필요하고, 그것은 34번 · 미적분의 기본정리와 적분 기법까지 가야 합니다.

단위 — 1 m² 는 10,000 cm² 다

여기서 가장 자주 틀립니다. 길이는 1 m가 100 cm입니다. 그러면 1 m²는 100 cm²일까요.

아닙니다.

한 변이 1 m인 정사각형을 그려 놓고 세어 봅니다. 가로 한 줄에 1 cm짜리 칸이 100개 들어갑니다. 그런 줄이 세로로 100개 있습니다.

$100 \times 100 = 10{,}000$

넓이는 두 방향을 곱하기 때문에 배율도 두 번 곱해집니다. 길이가 100배면 넓이는 $100 \times 100$ 배입니다.

부피는 세 방향이니 세 번입니다.

$1 \text{ m}^3 = 100 \times 100 \times 100 = 1{,}000{,}000 \text{ cm}^3$

한 변을 2배로 늘리면 어떻게 될까요. 가로 3 세로 4인 직사각형의 넓이는 12입니다. 둘 다 2배로 늘려 가로 6 세로 8이 되면 넓이는 48입니다. 4배입니다. 이것이 도형 전체에 대해 왜 항상 성립하는지는 다음 글의 다음 글, 8번 · 닮음과 비례가 맡습니다.

연습 문제

연습 1 — 넓이 열 문제

1. 직사각형 — 가로 12, 세로 7

   $12 \times 7 = 84$
2. 정사각형 — 한 변 9

   $9 \times 9 = 81$
3. 평행사변형 — 밑변 15, 높이 6

   $15 \times 6 = 90$
4. 삼각형 — 밑변 14, 높이 5

   $14 \times 5 \div 2 = 35$
5. 삼각형 — 밑변 9, 높이 8

   $9 \times 8 \div 2 = 36$
6. 사다리꼴 — 윗변 6, 아랫변 10, 높이 4

   $(6 + 10) \times 4 \div 2 = 32$
7. 사다리꼴 — 윗변 5, 아랫변 11, 높이 6

   $(5 + 11) \times 6 \div 2 = 48$
8. 원 — 반지름 3

   $\pi \times 3^2 = 9\pi$
9. 원 — 반지름 10

   $\pi \times 10^2 = 100\pi$
10. 직사각형에서 삼각형을 오려 낸 것 — 가로 10, 세로 8인 직사각형에서 밑변 10, 높이 8인 삼각형을 오려 냄

    $80 - 40 = 40$ — 오려 낸 삼각형이 마침 직사각형의 절반이라 남은 것도 절반입니다.

8번과 9번은 $\pi$ 를 숫자로 바꾸지 않고 그대로 둡니다. $\pi$ 가 딱 떨어지지 않는 수라서, 바꾸는 순간 답이 어림값이 됩니다.

연습 2 — 그림 셋을 직접 그려 공식 복원하기

종이에 직접 그리세요. 보고 베끼지 말고, 기억에서 꺼내 그린 다음 위 그림과 맞춰 보세요.

1. 평행사변형을 하나 그리고, 어디를 어떻게 잘라 어디에 붙이면 직사각형이 되는지 화살표로 표시하세요. 만들어진 직사각형의 가로와 세로가 원래 도형의 무엇인지 적으세요.
2. 삼각형을 하나 그리고, 똑같은 것을 하나 더 그려 붙여 평행사변형을 만드세요. 왜 2로 나누는지 한 문장으로 적으세요.
3. 사다리꼴을 하나 그리고, 뒤집어 붙여 평행사변형을 만드세요. 그 평행사변형의 밑변이 왜 윗변 더하기 아랫변인지를 그림 위에 표시하세요.

세 번째가 가장 중요합니다. 사다리꼴 공식은 외우면 금방 잊히지만, 뒤집어 붙인 그림 하나만 남아 있으면 언제든 다시 만들 수 있습니다.

연습 3 — 부피 다섯 문제

1. 가로 8, 세로 5, 높이 3인 직육면체

   $8 \times 5 \times 3 = 120$
2. 한 모서리가 6인 정육면체

   $6 \times 6 \times 6 = 216$
3. 밑넓이가 24, 높이가 7인 기둥

   $24 \times 7 = 168$
4. 밑면이 반지름 5인 원이고 높이가 4인 원기둥

   $\pi \times 5^2 \times 4 = 100\pi$
5. 밑넓이가 30, 높이가 9인 뿔

   $30 \times 9 \div 3 = 90$

연습 4 — 단위 환산 다섯 문제

1. $3 \text{ m}^2$ 는 몇 $\text{cm}^2$ 인가

   $3 \times 10{,}000 = 30{,}000 \text{ cm}^2$
2. $50{,}000 \text{ cm}^2$ 는 몇 $\text{m}^2$ 인가

   $50{,}000 \div 10{,}000 = 5 \text{ m}^2$
3. $2 \text{ m}^3$ 는 몇 $\text{cm}^3$ 인가

   $2 \times 1{,}000{,}000 = 2{,}000{,}000 \text{ cm}^3$
4. $1 \text{ km}^2$ 는 몇 $\text{m}^2$ 인가

   1 km = 1,000 m 이므로 $1{,}000 \times 1{,}000 = 1{,}000{,}000 \text{ m}^2$
5. 한 변이 $1 \text{ cm}$ 인 정사각형은 한 변이 $1 \text{ mm}$ 인 정사각형 몇 개인가

   1 cm = 10 mm 이므로 $10 \times 10 = 100$ 개

5번을 틀렸다면 그림을 그려 보세요. 한 변에 10개씩, 10줄입니다.

정리

• 넓이는 단위 정사각형을 몇 개 깔 수 있는가입니다. 직사각형의 넓이가 가로 곱하기 세로인 것은 공식이 아니라 곱셈의 뜻 그대로입니다.
• 평행사변형은 한쪽을 잘라 반대쪽에 붙이면 직사각형이 됩니다. 그래서 밑변 곱하기 높이입니다.
• 삼각형과 사다리꼴은 똑같은 것을 하나 더 만들어 뒤집어 붙이면 평행사변형이 됩니다. 두 개를 썼으니 2로 나눕니다.
• 원은 부채꼴로 잘라 번갈아 붙이면 밑변 $\pi r$, 높이 $r$ 인 평행사변형에 가까워집니다. 그래서 $\pi r^2$ 입니다.
• 기둥의 부피는 밑넓이 곱하기 높이입니다. 뿔의 3분의 1과 구의 공식은 결과로 받아 둡니다.
• 단위는 방향의 수만큼 곱해집니다. 길이가 100배면 넓이는 $100^2$ 배, 부피는 $100^3$ 배입니다.

여기서 그린 직사각형 그림은 앞으로 여러 번 다시 나옵니다. 다음 글에서는 한 변이 두 길이의 합인 정사각형 하나를 두 가지 방법으로 채워, 직각삼각형의 세 변 사이에 성립하는 관계를 증명합니다.

---

읽어주셔서 감사합니다. 😊