닮음과 비례: 크기가 달라도 변하지 않는 것

지난 글에서 3·4·5 와 5·12·13 을 봤습니다. 그런데 6·8·10 도 직각삼각형이고 9·12·15 도 직각삼각형입니다. 3·4·5 를 두 배, 세 배 한 것들입니다.

이 세 삼각형은 크기만 다르고 모양이 똑같습니다. 크기가 달라졌는데도 그대로 남아 있는 것이 무엇인지, 이 글에서 정확히 짚습니다. 그 답 하나가 뒤에서 삼각비라는 이름을 얻습니다.

닮음과 합동

두 도형이 있습니다.

• 모양도 같고 크기도 같으면 합동이라고 부릅니다. 하나를 들어 옮기면 다른 하나에 정확히 포개집니다.
• 모양은 같은데 크기만 다르면 닮음이라고 부릅니다. 사진을 확대·축소한 관계입니다.

닮은 두 도형에서 한쪽을 몇 배 하면 다른 쪽이 되는지, 그 배수를 닮음비라 하고 $k$ 라 적습니다. 합동은 $k$ 가 1인 닮음인 셈입니다.

닮음에서 중요한 것은 모양이 같다는 말의 뜻입니다. 그냥 비슷해 보인다는 것이 아니라, 두 가지가 정확히 지켜진다는 뜻입니다.

• 대응하는 각의 크기가 같다.
• 대응하는 변의 길이가 모두 같은 배수만큼 늘어났다.

삼각형은 두 각만 같으면 닮음이다

일반적인 도형은 닮았는지 확인하려면 각도 재고 변도 재야 합니다. 그런데 삼각형은 훨씬 적게 재도 됩니다.

두 각의 크기가 같으면 그 두 삼각형은 닮음입니다.

이유는 짧습니다. 삼각형 세 각의 합은 180도이므로, 두 각이 같으면 나머지 한 각도 자동으로 같아집니다. 세 각이 다 같은 삼각형은 크기만 다를 뿐 모양이 같습니다.

이 조건이 이 글에서 실제로 쓰는 유일한 조건입니다. 나머지 둘은 이름만 적어 둡니다 — 세 변의 비가 모두 같아도 닮음이고, 두 변의 비가 같고 그 사이 각이 같아도 닮음입니다.

이 글의 핵심 — 대응하는 변의 비

닮음의 정의에서 "변이 모두 같은 배수만큼 늘어났다"고 했습니다. 이 문장을 뒤집으면 다른 이야기가 됩니다.

한 삼각형 안에서 두 변의 관계는, 삼각형이 커지든 작아지든 그대로입니다.

말로만 하면 잘 안 와닿으니 모눈 위에 직접 그려 봅니다.

세 직각삼각형을 그렸습니다. 세 변이 각각 3·4·5, 6·8·10, 9·12·15 입니다. 두 번째는 첫 번째의 2배, 세 번째는 3배입니다.

한쪽 예각을 같은 자리에 겹쳐 놓고 그리면 세 빗변이 한 직선 위에 놓입니다. 우연이 아닙니다. 셋 다 같은 계단으로 올라가기 때문입니다.

• 첫 번째: 가로 4칸 갈 때 세로 3칸 올라갑니다.
• 두 번째: 가로 8칸 갈 때 세로 6칸. 가로 4칸으로 끊어 보면 세로 3칸입니다.
• 세 번째: 가로 12칸 갈 때 세로 9칸. 역시 가로 4칸마다 세로 3칸입니다.

세 삼각형 어디서 재도 같은 계단이 나옵니다.

여기서 얻는 문장을 정확히 적어 둡니다.

직각삼각형에서 한 예각의 크기가 정해지면, 두 변의 관계는 삼각형이 크든 작든 같다.

이 문장이 이 글의 존재 이유입니다. 각 하나가 삼각형의 크기와 상관없이 변의 관계를 결정한다는 것 — 25번 · 삼각비와 단위원이 그 관계에 사인과 코사인이라는 이름을 붙이는데, 그때 전제로 쓰는 사실이 정확히 이것입니다.

한 가지는 아직 하지 않습니다. '가로 4칸에 세로 3칸'을 수 하나로 적는 일입니다. 나누어떨어지지 않으니 지금 가진 수단으로는 적을 방법이 없습니다. 그것은 12번 · 소수·백분율과 비의 몫이고, 여기서는 계단이 같다는 데까지입니다.

비를 적는 표기

지금까지 "가로 4칸에 세로 3칸"이라고 말로 적었습니다. 여기에 기호를 하나 줍니다.

$4 : 3$

'4 대 3'이라고 읽습니다. 두 양을 나란히 놓고 그 관계만 남긴 표기입니다. 두 비가 같다는 것은 이렇게 적습니다.

$4 : 3 = 8 : 6 = 12 : 9$

이 등식이 뜻하는 것은 하나입니다. 한쪽에 같은 수를 곱하면 다른 쪽으로 옮겨 갈 수 있다. $4:3$ 의 양쪽에 2를 곱하면 $8:6$ 이고, 3을 곱하면 $12:9$ 입니다.

거꾸로도 씁니다. $12:9$ 를 양쪽 다 3으로 나누면 $4:3$ 입니다. 양쪽에 같은 수를 곱하거나 나눠도 비는 변하지 않습니다.

비를 분수나 백분율로 옮겨 적는 것은 12번 · 소수·백분율과 비, 비례식을 풀어 모르는 값을 구하는 절차를 세우는 것은 16번 · 일차방정식과 이항의 몫입니다.

닮음비가 k 이면 넓이비는 k², 부피비는 k³

6번 글에서 가로 3 세로 4인 직사각형을 둘 다 2배로 늘리면 넓이가 4배가 된다는 것을 하나만 확인했습니다. 이제 일반화합니다.

이유는 지난 글들에서 이미 나왔습니다.

넓이는 두 방향의 곱입니다. 가로도 $k$ 배, 세로도 $k$ 배가 되면 곱은 $k \times k$ 배, 곧 $k^2$ 배입니다.

부피는 세 방향의 곱입니다. 그래서 $k^3$ 배입니다.

$(\text{길이의 비}) = k \qquad (\text{넓이의 비}) = k^2 \qquad (\text{부피의 비}) = k^3$

직사각형이나 정육면체만 그런 것이 아닙니다. 어떤 도형이든 잘게 쪼개면 작은 사각형들의 모임이고, 그 하나하나가 $k^2$ 배가 되므로 전체도 $k^2$ 배입니다.

실감 나는 예가 하나 있습니다. 피자를 지름만 두 배로 키우면 양은 두 배가 아니라 네 배입니다. 값이 두 배라면 큰 쪽이 이득입니다.

평행선이 만드는 비례

닮음이 실제로 가장 자주 쓰이는 자리는 직접 잴 수 없는 길이를 재는 일입니다.

먼저 결과 하나를 받아 둡니다. 삼각형의 한 변에 평행한 직선이 나머지 두 변을 자르면, 두 변을 같은 비로 자릅니다. 평행하면 각이 같아지고, 각이 같으니 두 삼각형이 닮음이기 때문입니다.

이것을 그대로 쓰는 곳이 그림자입니다.

해는 아주 멀리 있어서 광선이 나란히 들어옵니다. 그래서 막대가 만드는 직각삼각형과 나무가 만드는 직각삼각형은 같은 각을 가지고, 따라서 닮음입니다.

막대는 높이 2 m 에 그림자가 3 m 였습니다. 나무의 그림자는 9 m 입니다. 그림자가 3배로 길어졌으니 닮음비가 3이고, 높이도 3배입니다.

$2 \times 3 = 6$

나무의 높이는 6 m 입니다. 나무에 올라가지 않고, 자를 지면에 대고 두 번 재서 얻었습니다.

연습 문제

연습 1 — 닮음비로 모르는 변 구하기, 열 문제

두 삼각형이 닮음입니다. 작은 쪽 세 변과 큰 쪽의 한 변이 주어집니다. 큰 쪽의 나머지 두 변을 구하세요. 답은 전부 자연수입니다.

1. 3, 4, 5 — 가장 짧은 변이 9

   닮음비 3, 나머지 두 변 12, 15 입니다.
2. 3, 4, 5 — 가장 짧은 변이 12

   닮음비 4, 나머지 두 변 16, 20 입니다.
3. 5, 12, 13 — 가장 긴 변이 26

   닮음비 2, 나머지 두 변 10, 24 입니다.
4. 6, 8, 10 — 가장 짧은 변이 18

   닮음비 3, 나머지 두 변 24, 30 입니다.
5. 2, 3, 4 — 가장 짧은 변이 6

   닮음비 3, 나머지 두 변 9, 12 입니다.
6. 7, 24, 25 — 가장 짧은 변이 21

   닮음비 3, 나머지 두 변 72, 75 입니다.
7. 4, 7, 9 — 가장 짧은 변이 20

   닮음비 5, 나머지 두 변 35, 45 입니다.
8. 5, 6, 7 — 가장 짧은 변이 35

   닮음비 7, 나머지 두 변 42, 49 입니다.
9. 8, 15, 17 — 가장 짧은 변이 24

   닮음비 3, 나머지 두 변 45, 51 입니다.
10. 9, 12, 15 — 가장 짧은 변이 27

    닮음비 3, 나머지 두 변 36, 45 입니다.

열 문제 모두 같은 절차입니다. 먼저 닮음비 $k$ 를 구하고, 나머지 변에 그 $k$ 를 곱합니다.

3번만 방향이 다릅니다. 주어진 것이 가장 긴 변이니 $13$ 과 $26$ 을 맞춰 $k = 2$ 를 얻고, 나머지 $5$ 와 $12$ 에 2를 곱합니다. 어느 변이 주어졌는지 확인하지 않고 무조건 가장 짧은 변끼리 맞추면 여기서 틀립니다.

연습 2 — 모눈 위에서 계단 재기

모눈종이에 직접 그리세요.

1. 가로 4칸, 세로 3칸인 직각삼각형을 그리세요. 그리고 같은 꼭짓점에서 출발해 가로 8칸 세로 6칸, 가로 12칸 세로 9칸인 직각삼각형을 겹쳐 그리세요.
2. 세 빗변이 한 직선 위에 놓이는지 자를 대고 확인하세요.
3. 두 번째 삼각형의 빗변 위에서 가로 4칸만 가 보세요. 세로로 몇 칸 올라갔습니까. 세 번째 삼각형에서도 해 보세요.

3번의 답이 셋 다 3칸이면 이 글의 핵심을 손으로 확인한 것입니다.

연습 3 — 넓이비와 부피비 다섯

1. 닮음비가 2인 두 도형의 넓이비와 부피비는?

   넓이비 $2^2 = 4$, 부피비 $2^3 = 8$ 입니다.
2. 닮음비가 3인 두 도형의 넓이비와 부피비는?

   넓이비 $3^2 = 9$, 부피비 $3^3 = 27$ 입니다.
3. 한 변이 5인 정사각형과 한 변이 15인 정사각형의 넓이는 각각 얼마이고, 두 넓이의 비는?

   $25$ 와 $225$, 비는 $1 : 9$ — 닮음비가 3이니 $3^2 = 9$ 입니다.
4. 한 모서리가 2인 정육면체와 한 모서리가 6인 정육면체의 부피는 각각 얼마이고, 두 부피의 비는?

   $8$ 과 $216$, 비는 $1 : 27$ — 닮음비가 3이니 $3^3 = 27$ 입니다.
5. 닮음비가 4인 두 도형에서 작은 쪽의 넓이가 7이면 큰 쪽의 넓이는?

   $7 \times 4^2 = 7 \times 16 = 112$ 입니다.

5번에서 $7 \times 4 = 28$ 이라고 답했다면 닮음비를 그대로 곱한 것입니다. 넓이에는 제곱을 곱합니다.

연습 4 — 그림자로 높이 재기, 셋

1. 막대 2 m 의 그림자가 3 m 일 때, 그림자가 9 m 인 나무의 높이는?

   그림자가 3배 → $2 \times 3 = 6$ m 입니다.
2. 막대 1 m 의 그림자가 4 m 일 때, 그림자가 40 m 인 건물의 높이는?

   그림자가 10배 → $1 \times 10 = 10$ m 입니다.
3. 키 2 m 인 사람의 그림자가 5 m 일 때, 그림자가 60 m 인 탑의 높이는?

   그림자가 12배 → $2 \times 12 = 24$ m 입니다.

세 문제 모두 같은 시각에 잰 그림자여야 성립합니다. 시간이 다르면 해의 각이 달라져 닮음이 아니게 됩니다.

정리

• 합동은 모양과 크기가 모두 같은 것, 닮음은 모양만 같고 크기가 다른 것입니다. 그 배수가 닮음비 $k$ 입니다.
• 삼각형은 두 각만 같으면 닮음입니다. 세 각의 합이 180도이므로 나머지 한 각은 자동으로 같아집니다.
• 닮은 삼각형에서 대응하는 변은 모두 같은 배수만큼 늘어납니다. 그래서 직각삼각형에서 한 예각이 정해지면 두 변의 관계는 크기와 상관없이 같습니다.
• 비는 $a : b$ 로 적고, 양쪽에 같은 수를 곱하거나 나눠도 비는 변하지 않습니다.
• 닮음비가 $k$ 이면 넓이비는 $k^2$, 부피비는 $k^3$ 입니다. 넓이는 두 방향, 부피는 세 방향의 곱이기 때문입니다.
• 평행선이 만드는 닮음으로 직접 잴 수 없는 높이를 그림자만 재서 구할 수 있습니다.

여기까지가 도형 세 편입니다. 다음 글에서는 잠시 도형을 내려놓고, 앞으로 서른아홉 편에서 만날 기호들의 읽는 법을 한자리에 모아 둡니다. 뜻을 다 배우는 것이 아니라, 낯선 글자 앞에서 멈추지 않게 하는 것이 목적입니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊