테일러 첫걸음: 함수를 다항식으로 흉내 내기

$e^{0.1}$ 이 얼마인지 손으로 구할 수 있을까요. $\sqrt{1.02}$ 는요. 계산기 없이는 막막합니다.

그런데 다항식이라면 이야기가 다릅니다. 더하고 곱하기만 하면 되니까요. 이 글은 곡선을 다항식으로 흉내 내는 방법을 만듭니다. 출발점은 이미 손에 있는 접선이고, 거기에 항을 하나씩 붙여 가며 얼마나 가까워지는지를 매번 수로 잽니다.

1차 근사

접선의 식

31번 글에서 $x=a$ 에서의 접선을 이렇게 적었습니다.

$y = f(a) + f'(a)(x-a)$

그리고 점 근처에서 곡선과 접선이 거의 겹치는 것을 확인했습니다. $x=a+h$ 로 두면, 곧 $a$ 에서 $h$ 만큼 옮긴 자리를 보면

$f(a+h) \approx f(a) + f'(a)\,h$

이것이 이미 근사입니다. 곡선의 값을 접선의 값으로 바꿔 읽는 이 어림을 1차 근사라고 합니다. 오른쪽은 $h$ 에 대한 1차 다항식이라 더하고 곱하기만 하면 값이 나오고, 미분할 수 있는 함수라면 무엇이든 이 식으로 흉내 낼 수 있습니다.

$f(x)=e^x$ 에 $a=0$ 을 잡아 봅니다. $f(0)=1$ 이고, 32번 글에서 $e^x$ 은 미분해도 그대로였으므로 $f'(0)=e^0=1$ 입니다.

$e^{h} \approx 1+h$

$h=0.1$ 을 넣으면 1.1입니다. 참값은 1.1051709이니 소수 둘째 자리까지 맞습니다. 꽤 가깝지만 셋째 자리부터 어긋납니다.

도함수의 정의

1차 근사는 새 공식이 아닙니다. 도함수의 정의를 거꾸로 적은 것입니다. 31번 글에서 도함수는 평균변화율의 극한이었습니다.

$f'(a) = \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

극한은 $h$ 를 0에 한없이 가깝게 할 때 몫이 다가가는 값이었으니, $h$ 가 작기만 하면 몫은 이미 $f'(a)$ 와 거의 같습니다. 양변에 $h$ 를 곱하면

$f(a+h)-f(a) \approx f'(a)\,h$

말로 읽으면 "값의 변화량은 기울기 곱하기 옮긴 거리와 거의 같다"입니다. 시속 60km로 달리는 차가 1분 뒤 1km쯤 가 있을 거라고 어림하는 것과 같은 계산입니다. 속력이 그 1분 동안 조금 바뀌어도 어림은 크게 틀리지 않고, 10분이면 꽤 틀리고, 한 시간이면 쓸모가 없어집니다. 옮긴 거리가 짧을수록 좋은 어림이라는 점도 그대로 닮았습니다.

오차의 크기

그러면 얼마나 짧아야 얼마나 좋아질까요. $h$ 를 반으로 줄여 직접 잽니다.

$h$	참값 $e^h$	1차 근사 $1+h$	차이
0.1	1.1051709	1.1	0.0051709
0.05	1.0512711	1.05	0.0012711

$h$ 는 절반이 되었는데 차이는 0.0051709에서 0.0012711로, 약 4.07분의 1이 되었습니다. 반이 아니라 넷으로 준 것입니다.

그림은 곡선과 접선 사이의 간격만 따로 세로로 잰 것입니다. 간격이 직선이 아니라 포물선처럼 바닥에서 휘어 올라갑니다. 간격이 $h$ 가 아니라 $h^2$ 을 따라 움직인다는 뜻이고, $h^2$ 은 $h$ 가 절반이 되면 $\frac14$ 이 됩니다. 이 넷이라는 수가 어디서 오는지는 다음 절에서 2차 항을 붙이면 바로 보입니다.

2차 항과 일반 항

계수 맞추기

1차식은 직선이라 휘지 못합니다. $e^x$ 은 휘어 있으니 그만큼 어긋나는 것입니다. 2차 항을 붙여 봅니다.

$P(x) = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2$

여기서 $c_0, c_1, c_2$ 는 아직 모르는 수, 곧 계수입니다. 계수를 정하는 방법은 하나입니다. $x=a$ 에서 $P$ 와 $f$ 의 값을 맞추고, 미분한 것끼리 맞추고, 두 번 미분한 것끼리 맞춥니다.

첫째로 값을 맞춥니다. $x=a$ 를 넣으면 $(x-a)$ 가 든 항이 전부 0이 되어 $P(a)=c_0$ 입니다. 이것이 $f(a)$ 와 같아야 하므로

$c_0 = f(a)$

둘째로 기울기를 맞춥니다. $P$ 를 미분하면 $P'(x)=c_1+2c_2(x-a)$ 이고, $x=a$ 를 넣으면 $P'(a)=c_1$ 입니다.

$c_1 = f'(a)$

셋째로 휘는 정도를 맞춥니다. 한 번 더 미분하면 $P''(x)=2c_2$ 로 상수만 남습니다.

$2c_2 = f''(a) \quad\Longrightarrow\quad c_2 = \frac{f''(a)}{2}$

2로 나뉜 자리가 눈에 띕니다. $(x-a)^2$ 을 두 번 미분하면서 지수 2가 앞으로 딸려 나왔기 때문에, 그것을 되돌리려고 나눈 것입니다.

$e^x$ 에 $a=0$ 으로 써 봅니다. 몇 번 미분해도 그대로이므로 $f(0)=f'(0)=f''(0)=1$ 입니다.

$e^h \approx 1+h+\frac{h^2}{2}$

$h=0.1$ 을 넣으면 $1+0.1+0.005 = 1.105$ 입니다. 셋째 자리까지 맞습니다. 앞 절의 넷도 여기서 풀립니다. 1차 근사가 버린 것의 대부분이 바로 이 $\frac{h^2}{2}$ 이라서, $h=0.1$ 이면 0.005, $h=0.05$ 이면 0.00125로 정확히 넷으로 줍니다. 실제 차이 0.0051709와 0.0012711이 이 두 수와 거의 같은 것이 그래서입니다.

계승

같은 방법을 계속 밀면 어떻게 될까요. $c_3(x-a)^3$ 을 세 번 미분하면 앞에 $3\times2\times1=6$ 이 딸려 나옵니다. 지수가 한 번 내려올 때마다 그 수가 곱해지기 때문입니다. 네 번 미분하는 항이면 $4\times3\times2\times1=24$ 입니다.

1부터 $n$ 까지를 모두 곱한 것을 $n$ 의 계승이라고 하고 $n!$ 으로 적습니다. "엔 팩토리얼"이라고 읽습니다.

$n! = 1\times2\times3\times\cdots\times n$

$n$	1	2	3	4	5	6
$n!$	1	2	6	24	120	720

표를 옆으로 읽으면 한 칸 갈 때마다 다음 수를 곱합니다. $5! = 5\times4!$ 이고 $6!=6\times5!$ 입니다. 곧 $n! = n\times(n-1)!$ 입니다. 금방 커져서 $10!$ 이면 벌써 362만 8,800입니다. 계승이 분모에 앉으면 뒤쪽 항들이 빠르게 작아지는 것이 이 때문입니다.

테일러 전개

이제 일반 항이 나옵니다. $n$ 차 항 $c_n(x-a)^n$ 을 $n$ 번 미분하면 앞에 $n!$ 이 딸려 나오고 $(x-a)$ 는 사라집니다. 그보다 낮은 차수의 항은 $n$ 번 미분하는 사이 0이 되고, 높은 차수의 항은 $(x-a)$ 가 남아 있어 $x=a$ 에서 0이 됩니다. 그래서 $n$ 번 미분해 $a$ 를 넣으면 $n!\,c_n$ 하나만 남고, 그것이 $f^{(n)}(a)$ 와 같아야 합니다. 여기서 $f^{(n)}$ 은 $f$ 를 $n$ 번 미분한 함수입니다.

$c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$

계수를 정하는 절차가 결국 이 한 줄입니다. 이렇게 정한 항을 다 이어 붙인 식을 $x=a$ 에서의 테일러 전개라고 하고, 그 가운데 $n$ 차까지만 자른 다항식을 $n$ 차 테일러 다항식이라고 합니다. 전개는 끝없이 이어지는 식이고 다항식은 그중 앞부분을 떼어 쓰는 근사입니다.

$f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h + \frac{f''(a)}{2!}h^2 + \frac{f'''(a)}{3!}h^3 + \cdots$

$0!=1$ 로 두는 것도 여기서 자리가 잡힙니다. 한 줄 공식에 $n=0$ 을 넣으면 $c_0=\frac{f(a)}{0!}$ 인데, 첫 단계에서 $c_0=f(a)$ 였으므로 $0!$ 은 1이어야 합니다. $n!=n\times(n-1)!$ 에 $n=1$ 을 넣어도 $1 = 1\times0!$ 이 되어 같은 답입니다. 편해서 고른 값이 아니라, 공식이 첫 항에서도 그대로 성립하게 하는 유일한 값입니다.

특히 $a=0$ 에서의 전개를 매클로린 전개라고 따로 부릅니다. 다음 절에서 모으는 것은 전부 이쪽입니다.

다항식의 전개

다항식에 이 절차를 쓰면 어떻게 될까요. $f(x)=x^3$ 을 $a=0$ 에서 펴면 $f(0)=f'(0)=f''(0)=0$ 이고 $f'''(0)=6$ 이라, 전개는 $\frac{6}{3!}x^3 = x^3$ 한 항으로 끝납니다. 네 번째 도함수부터는 0이라 뒤는 없습니다. 다항식은 자기 자신이 유한 항의 테일러 전개입니다.

중심을 $a=1$ 로 옮기면 모양이 달라집니다. $f(1)=1$, $f'(1)=3$, $f''(1)=6$, $f'''(1)=6$ 이므로

$x^3 = 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2 + (x-1)^3$

같은 함수인데 계수가 $0,0,0,1$ 에서 $1,3,3,1$ 로 바뀌었습니다. 오른쪽을 전개해 정리하면 $x^3$ 으로 돌아오니 검산도 됩니다. 계수는 함수만의 것이 아니라 함수와 중심의 짝이 정한다는 것, 이것이 뒤에서 중심을 고르는 이유가 됩니다.

자주 쓰는 전개

전개 여섯

$a=0$ 에서 세운 것들입니다. 유도는 위와 같은 절차의 되풀이라 결과만 모읍니다.

함수	전개	통하는 범위
$e^x$	$1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots$	모든 $x$
$\sin x$	$x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots$	모든 $x$
$\cos x$	$1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots$	모든 $x$
$\ln(1+x)$	$x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots$	$\lvert x\rvert<1$
$\dfrac{1}{1-x}$	$1+x+x^2+x^3+\cdots$	$\lvert x\rvert<1$
$(1+x)^{\alpha}$	$1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots$	$\lvert x\rvert<1$

$\sin$ 하나만 확인해 봅니다. 미분하면 $\sin\to\cos\to-\sin\to-\cos\to\sin$ 으로 네 번에 한 바퀴 돕니다. $x=0$ 을 넣으면 $0, 1, 0, -1$ 이 되풀이되므로 계수는 $0, \frac{1}{1!}, 0, -\frac{1}{3!}, 0, \frac{1}{5!}, \ldots$ 입니다. 표의 둘째 줄 그대로입니다.

그림은 $e^x$ 에 1·2·3차 테일러 다항식을 겹친 것입니다. 차수를 올릴수록 원래 곡선을 더 오래 따라가고, 어느 차수든 $x=0$ 근처에서는 다 겹칩니다.

홀수 차수와 짝수 차수

$\sin$ 에는 홀수 차수만, $\cos$ 에는 짝수 차수만 있습니다. 우연이 아닙니다. 25번 글에서 사인은 기함수, 코사인은 우함수였습니다. $x$ 를 $-x$ 로 바꾸면 사인은 부호만 뒤집히고 코사인은 그대로라는 뜻이었습니다.

거듭제곱도 같은 성질로 갈립니다. $(-x)^3=-x^3$ 처럼 홀수 차수는 부호가 뒤집히고, $(-x)^4=x^4$ 처럼 짝수 차수는 그대로입니다. 부호가 뒤집히는 함수를 흉내 내려면 부호가 뒤집히는 항만 써야 하므로 사인에는 홀수 차수만 남고, 코사인에는 짝수 차수만 남습니다. 그래서 사인의 전개는 $x=0$ 에서 0으로 시작하고 코사인의 전개는 1로 시작합니다.

차수를 1·3·5·7로 올리면 다항식이 사인에 붙어 있는 구간이 양쪽으로 함께 넓어집니다. 좌우가 대칭으로 넓어지는 것도 기함수이기 때문입니다. 다항식은 결국 양 끝에서 위나 아래로 달아나지만, 사인은 −1과 1 사이를 끝없이 오르내리므로 어느 차수든 언젠가는 떨어져 나갑니다. 차수를 올리면 떨어지는 자리가 멀어질 뿐입니다.

전개에서 전개 만들기

새 함수를 만날 때마다 미분을 거듭할 필요는 없습니다. 이미 아는 전개의 $x$ 자리에 다른 식을 넣으면 됩니다. $e^{x^2}$ 은 $e^x$ 의 전개에서 $x$ 를 $x^2$ 으로 바꿉니다.

$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + \cdots$

$x=0.3$ 이면 $1+0.09+0.00405=1.09405$ 이고 참값 1.0941743과 넷째 자리까지 맞습니다. $e^{x^2}$ 을 직접 네 번 미분했다면 연쇄법칙과 곱의 법칙이 겹겹이 나왔을 것입니다.

항마다 적분하는 요령도 있습니다. $\frac{1}{1-x}$ 의 전개에서 $x$ 를 $-x$ 로 바꾸면

$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots$

34번 글의 기본정리로 양변을 0부터 $x$ 까지 적분합니다. 왼쪽은 $\ln(1+x)$ 이고, 오른쪽은 항마다 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ 이 됩니다.

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$

표의 넷째 줄이 미분 없이 나왔습니다. 로그의 분모가 계승이 아니라 1·2·3인 까닭도 여기서 보입니다. 적분이 $n+1$ 로 한 번만 나누기 때문입니다.

이항 전개

표의 마지막 줄 $(1+x)^{\alpha}$ 의 전개를 이항 전개라고 합니다. $\alpha$ 는 어떤 실수여도 됩니다. $n$ 번째 계수는 $\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$ 인데, $(1+x)^\alpha$ 를 미분할 때마다 지수가 앞으로 나오면서 하나씩 줄어들기 때문입니다.

$\alpha$ 가 자연수이면 일이 달라집니다. $\alpha=3$ 이면 계수가 차례로

$1,\quad 3,\quad \frac{3\times2}{2!}=3,\quad \frac{3\times2\times1}{3!}=1,\quad \frac{3\times2\times1\times0}{4!}=0$

이고, 네 번째부터는 분자에 0이 끼어 전부 0입니다. 전개가 $1+3x+3x^2+x^3$ 에서 끊깁니다. 앞에서 $x^3$ 을 $a=1$ 에서 펼 때 나온 $1,3,3,1$ 과 같은 수이고, 39번 · 세는 법에서 다루는 이항정리 그대로입니다. 자연수 지수일 때는 유한한 식이고, $\frac12$ 이나 $-1$ 같은 지수로 넓히면 끝없는 급수가 되는 것입니다.

오차와 범위

버린 첫 항

테일러 다항식을 쓰면 늘 뒤쪽 항을 버립니다. 버린 것이 얼마인지부터 봅니다. $e^{0.1}$ 을 세 번 근사합니다.

차수	식	값	참값과의 차이
1차	$1+0.1$	1.1	0.0051709
2차	$+\dfrac{0.1^2}{2}$	1.105	0.0001709
3차	$+\dfrac{0.1^3}{6}$	1.1051667	0.0000043

참값은 1.1051709입니다. 차이가 한 항마다 30~40배씩 줄어듭니다. 맞는 자릿수로 세면 소수 둘째 → 셋째 → 넷째 자리입니다. 그리고 각 줄의 차이는 그 다음 줄에서 새로 더한 항과 거의 같습니다. 1차의 차이 0.0051709는 2차 항 0.005와, 2차의 차이 0.0001709는 3차 항 0.0001667과 가깝습니다.

$\sin$ 에서도 봅니다. 첫 항만 쓰면 $\sin x \approx x$ 이고 $\sin(0.1)\approx0.1$ 입니다. 참값은 0.0998334이므로 차이가 0.0001666입니다. 다음 항이 $-\frac{x^3}{6}=-\frac{0.001}{6}=-0.0001667$ 이니 차이가 바로 그 항입니다.

$\sqrt{1.02}=(1+0.02)^{1/2}$ 에는 이항 전개에 $\alpha=\frac12$, $x=0.02$ 를 넣습니다. 1차까지만 쓰면 $1+\frac{0.02}{2}=1.01$ 이고, 참값 1.0099505와 0.0000495 차이입니다. 2차 계수가 $\frac{\frac12\times(-\frac12)}{2}=-\frac18$ 이므로 버린 첫 항은 $-\frac{0.02^2}{8}=-0.00005$ 이고, 역시 차이와 거의 같습니다. 그 항까지 넣은 1.00995는 참값과 0.0000005 차이입니다.

네 예가 한 규칙을 말합니다. $n$ 차에서 자르면 오차는 대략 버린 첫 항과 같고, 그 크기는 $h^{n+1}$ 을 따라갑니다. 1차 근사의 오차가 $h^2$ 을 따라 넷으로 줄던 것이 이 규칙의 $n=1$ 인 경우입니다. 이 크기를 기호로 적는 약속은 47번 · 자릿수와 오차에서 다룹니다.

교대급수의 상한

"대략"을 "넘지 않는다"로 바꿀 수 있는 경우가 있습니다. 부호가 $+,-,+,-$ 로 번갈아 바뀌고 항의 크기가 점점 작아지는 급수를 교대급수라고 합니다. $\sin$, $\cos$, 그리고 $0<x<1$ 에서의 $\ln(1+x)$ 가 그렇습니다. 교대급수에서는 앞 몇 항에서 자른 값과 참값의 차이가 버린 첫 항의 크기를 넘지 않습니다. 더할 때마다 참값을 넘었다가 못 미쳤다가 하면서 그 폭이 계속 좁아지기 때문입니다.

$\sin 0.5$ 를 두 항으로 구하면 $0.5-\frac{0.125}{6}=0.4791667$ 입니다. 버린 첫 항은 $\frac{0.5^5}{120}=0.0002604$ 이고, 참값 0.4794255와의 실제 차이는 0.0002589로 그보다 작습니다.

$\ln 1.2$ 를 보면 넘나듦이 더 잘 보입니다. 두 항까지 더하면 $0.2-0.02=0.18$ 로 참값 0.1823216보다 작고, 세 항까지 더하면 $0.18+\frac{0.008}{3}=0.1826667$ 로 참값보다 큽니다. 참값은 늘 연속한 두 부분합 사이에 끼어 있습니다. 세 항에서 자를 때 버린 첫 항은 $\frac{0.2^4}{4}=0.0004$ 이고 실제 차이 0.0003451은 그 안에 있습니다.

$e^{0.1}$ 은 사정이 다릅니다. 항이 전부 양수라 넘나들지 않고, 1차에서 자를 때 버린 첫 항 0.005보다 실제 차이 0.0051709가 조금 큽니다. 버린 항 뒤로도 양수가 계속 더해지기 때문입니다. 부호가 번갈아 바뀌지 않으면 버린 첫 항은 크기를 가늠하는 어림일 뿐 울타리가 아닙니다.

중심의 선택

같은 수를 구해도 어디에 중심을 잡느냐에 따라 결과가 크게 갈립니다. $\sqrt{4.1}$ 로 봅니다.

$a=0$ 쪽에서 펴 봅니다. $\sqrt{x}$ 자체는 $x=0$ 에서 기울기가 한없이 커져 거기서 펼 수가 없으므로, $\sqrt{4.1}=\sqrt{1+3.1}$ 로 적고 이항 전개에 $x=3.1$ 을 넣습니다. 3차 계수는 $\frac{\frac12\times(-\frac12)\times(-\frac32)}{3!}=\frac{1}{16}$ 입니다.

차수	값
1차 $1+\frac{3.1}{2}$	2.55
2차 $-\frac{3.1^2}{8}$	1.34875
3차 $+\frac{3.1^3}{16}$	3.2106875

항을 붙일수록 2.55, 1.35, 3.21로 오히려 크게 흔들립니다. $x=3.1$ 은 통하는 범위 $\lvert x\rvert<1$ 밖이라 항이 작아지기는커녕 커지기 때문입니다.

이번에는 중심을 4에 둡니다. 4는 제곱근을 아는 수이고 4.1과 가깝습니다. $f(x)=\sqrt{x}$ 이면 $f(4)=2$, $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 에서 $f'(4)=\frac14$, $f''(x)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}$ 에서 $f''(4)=-\frac{1}{32}$ 입니다. $h=0.1$ 로 놓으면

$\sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{0.1}{4} - \frac{1}{32}\cdot\frac{0.1^2}{2} = 2 + 0.025 - 0.00015625 = 2.0248438$

참값 2.0248457과 0.0000019 차이입니다. 두 항만 더했는데 소수 다섯째 자리까지 맞았습니다. 가까운 곳에 값을 아는 점을 잡아 $h$ 를 작게 만드는 것, 이것이 중심을 고르는 요령의 전부입니다.

수렴 범위

$\ln(1+x)\approx x$ 가 $x$ 를 키울수록 어떻게 무너지는지 표로 봅니다.

$x$	$\ln(1+x)$	근사값 $x$	차이	참값 대비
0.01	0.00995	0.01	0.00005	0.5%
0.1	0.09531	0.1	0.00469	4.9%
0.5	0.40547	0.5	0.09453	23.3%
1	0.69315	1	0.30685	44.3%
2	1.09861	2	0.90139	82.0%

0에서 멀어질수록 급격히 무너집니다. 항을 더 붙이면 나아지기는 하지만 거기에도 끝이 있습니다. $\frac{1}{1-x}$ 의 전개를 봅니다.

$\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\cdots$

29번 글에서 유도한 등비급수의 합 공식과 글자 하나까지 같습니다. 그리고 거기서 이 급수는 공비의 절댓값이 1보다 작을 때만 값이 있었습니다. 이렇게 전개가 참값으로 모이는 $x$ 의 구간을 그 전개의 수렴 범위라고 합니다. 표의 셋째 칸이 적어 둔 것이 이것입니다.

$x=2$ 를 넣어 보면 왼쪽은 $\frac{1}{1-2}=-1$ 인데 오른쪽은 $1+2+4+8+\cdots$ 로 한없이 커집니다. 근사가 나쁜 정도가 아니라 아예 다른 값입니다. 경계에 선 $x=-1$ 에서는 오른쪽이 $1-1+1-1+\cdots$ 로 0과 1 사이를 오가기만 하고 어디로도 모이지 않습니다.

테일러 전개는 한 점 둘레에서만 통하는 근사입니다. $e^x$·$\sin$·$\cos$ 처럼 모든 $x$ 에서 통하는 것도 있지만 그쪽이 오히려 드뭅니다. 그리고 통하는 범위 안에서도 중심에서 멀어질수록 같은 차수의 근사가 나빠집니다.

오일러 공식

세 급수

표의 위 세 줄을 나란히 적습니다.

$e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

$\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$

$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\cdots$

아래 둘을 합치면 위와 항이 정확히 같습니다. 부호만 다릅니다. $e^x$ 의 짝수 차수 항은 $\cos$ 이 가져가고 홀수 차수 항은 $\sin$ 이 가져가는데, 둘 다 두 항마다 부호가 뒤집힙니다.

26번 글에서 오일러 공식 $e^{ix}=\cos x + i\sin x$ 를 결과로만 받아들이고 넘어갔습니다. 여기서 확인할 수 있습니다. 부호를 두 항마다 뒤집는 것이 바로 $i$ 가 하는 일이기 때문입니다. $e^x$ 의 전개에 $x$ 대신 $ix$ 를 넣습니다.

$e^{ix} = 1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\cdots$

$i^2=-1$ 이므로 $(ix)^2=-x^2$, $(ix)^3=-ix^3$, $(ix)^4=x^4$ 입니다. 거듭제곱이 $1, i, -1, -i$ 로 네 번에 한 바퀴 돕니다.

$= 1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

$i$ 가 없는 항과 있는 항으로 갈라 모읍니다.

$= \left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots\right) + i\left(x-\frac{x^3}{3!}+\cdots\right)$

앞은 $\cos x$, 뒤는 $\sin x$ 입니다. 오일러 공식이 나왔습니다.

허수를 넣는 조건

방금 두 가지를 슬쩍 했습니다. 실수에서 만든 전개에 허수를 넣었고, 끝없는 합을 두 무더기로 갈라 모았습니다. 유한한 합이면 순서를 바꿔도 합이 같지만 끝없는 합에서는 순서를 바꾸면 합이 달라지는 급수도 있습니다.

둘 다 허락해 주는 조건이 한 줄입니다. 각 항에 절댓값을 씌워 더해도 유한한 값으로 모이면 그 급수가 절대수렴한다고 하고, 절대수렴하는 급수는 항을 어떻게 갈라 모아도 합이 그대로입니다. $e^{ix}$ 의 전개에서 항의 절댓값은 $\frac{\lvert x\rvert^n}{n!}$ 이고, 이것을 다 더하면 $e^{\lvert x\rvert}$ 라는 유한한 수입니다. 분모의 계승이 분자의 거듭제곱보다 결국 훨씬 빨리 커지기 때문입니다. 그래서 위의 갈라 모으기는 모든 $x$ 에서 정당합니다.

쌍곡선 함수

$i$ 없이 같은 갈라 모으기를 하면 다른 짝이 나옵니다. $e^{-x}$ 는 전개에서 홀수 차수 항의 부호만 뒤집힌 것이므로, $e^x$ 와 더해 2로 나누면 홀수 차수가 지워집니다.

$\frac{e^x+e^{-x}}{2} = 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

코사인의 전개에서 부호만 모두 $+$ 로 바꾼 모양입니다. 이 함수를 $\cosh x$ 라 적고 하이퍼볼릭 코사인이라 읽습니다. 더하는 대신 빼서 2로 나눈 $\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ 는 $\sinh x$ 라 적고 하이퍼볼릭 사인이라 읽으며, 이 둘을 묶어 쌍곡선 함수라고 부릅니다. $\cosh 0.2$ 는 $1+0.02+\frac{0.0016}{24}=1.0200667$ 로, 참값 1.0200668과 거의 같습니다.

두 정의를 더하면 $e^{-x}$ 가 지워져 $e^x=\cosh x+\sinh x$ 입니다. 오일러 공식 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 와 나란히 놓으면 같은 갈라 모으기에 $i$ 가 있느냐 없느냐의 차이만 남습니다.

덧셈정리

오일러 공식을 얻고 나면 덧셈정리가 지수법칙 한 줄로 줄어듭니다. 지수법칙 $e^{i(a+b)}=e^{ia}\,e^{ib}$ 의 양쪽을 오일러 공식으로 바꿉니다.

$\cos(a+b)+i\sin(a+b) = (\cos a+i\sin a)(\cos b+i\sin b)$

오른쪽을 곱해 $i^2=-1$ 을 쓰면

$= (\cos a\cos b-\sin a\sin b) + i(\sin a\cos b+\cos a\sin b)$

양쪽의 $i$ 가 없는 부분끼리, 있는 부분끼리 맞추면 25번 글에서 결과로 받아 두었던 두 식이 그대로 나옵니다.

$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$

26번 글은 이것을 회전을 두 번 하는 그림으로 보였습니다. 여기서는 급수에서 출발해 같은 곳에 닿았습니다. 곱셈이 회전이라는 사실과 급수의 부호가 두 항마다 뒤집힌다는 사실이 같은 이야기의 두 얼굴입니다.

연습 문제

연습 1 — 전개식 세우기

계승 표와 위의 전개 표를 씁니다.

1. $e^x$ 의 3차까지의 전개에 $x=0.2$ 를 넣은 값. 참값은 1.2214028입니다

   $1+0.2+\dfrac{0.04}{2}+\dfrac{0.008}{6} = 1+0.2+0.02+0.0013333 = 1.2213333$ 입니다. 차이는 0.0000695로 소수 넷째 자리까지 맞습니다.
2. $\cos x$ 의 2차까지의 전개에 $x=0.2$ 를 넣은 값과, 참값 0.9800666과의 차이를 버린 첫 항과 맞대 보기

   $1-\dfrac{0.04}{2}=0.98$ 입니다. 차이가 0.0000666입니다. 다음 항이 $\dfrac{x^4}{24}=\dfrac{0.0016}{24}=0.0000667$ 이라 버린 항이 곧 차이입니다.
3. $4!$ 과 $6!$ 의 값, 그리고 $\dfrac{6!}{4!}$

   $4!=24$, $6!=720$ 입니다. $\dfrac{720}{24}=30$ 이고, 이것은 $5\times6$ 과 같습니다 — 앞의 네 곱셈이 그대로 지워지기 때문입니다.

연습 2 — 1차 근사로 암산하기

1. $\sqrt{1.04}$ 의 1차 근사. 참값은 1.0198039입니다

   $(1+x)^{\alpha}\approx 1+\alpha x$ 에 $\alpha=\dfrac12$, $x=0.04$ 를 넣어 $1+0.02=1.02$ 입니다. 차이가 0.0001961입니다.
2. $\dfrac{1}{1.03}$ 의 1차 근사. 참값은 0.9708738입니다

   $(1+0.03)^{-1}$ 이므로 $\alpha=-1$ 이고 $1-0.03=0.97$ 입니다. 차이가 0.0008738입니다.
3. $1.05^{10}$ 의 1차 근사. 참값은 1.6288946입니다

   $\alpha=10$, $x=0.05$ 이므로 $1+0.5=1.5$ 입니다. 차이가 0.13으로 큽니다 — $\alpha x$ 가 0.5나 되어 "작은 값"이라고 하기 어렵기 때문입니다.
4. $\sqrt{9.1}$ 을 2차까지. 참값은 3.0166206입니다

   제곱근을 아는 9에 중심을 둡니다. $f(9)=3$, $f'(9)=\dfrac{1}{2\times3}=\dfrac16$, $f''(9)=-\dfrac{1}{4\times27}=-\dfrac{1}{108}$ 이므로 $3+\dfrac{0.1}{6}-\dfrac{1}{108}\cdot\dfrac{0.01}{2}=3+0.0166667-0.0000463=3.0166204$ 입니다. 차이는 0.0000002입니다.
5. $\ln 0.9$ 를 3차까지. 참값은 −0.1053605입니다

   $\ln x$ 를 $\ln 1 = 0$ 인 1에서 폅니다. $f'(x)=\dfrac1x$, $f''(x)=-\dfrac{1}{x^2}$, $f'''(x)=\dfrac{2}{x^3}$ 이라 $x=1$ 에서 $1, -1, 2$ 이고 계수는 $1, -\dfrac12, \dfrac{2}{3!}=\dfrac13$ 입니다. $h=-0.1$ 을 넣으면 $-0.1-\dfrac{0.01}{2}+\dfrac{-0.001}{3}=-0.1-0.005-0.0003333=-0.1053333$ 입니다. 차이는 0.0000272입니다.

연습 3 — 범위와 오차

1. $\dfrac{1}{1-x}$ 의 전개에 $x=0.5$ 를 넣어 네 항까지 더한 값과 참값

   $1+0.5+0.25+0.125=1.875$ 이고 참값은 $\dfrac{1}{0.5}=2$ 입니다. 아직 0.125 모자라지만 항을 더할수록 2로 갑니다.
2. $\ln(1+x)$ 의 전개에 $x=-2$ 를 넣으면 안 되는 까닭

   통하는 범위가 $\lvert x\rvert<1$ 인데 벗어납니다. 애초에 $\ln(-1)$ 은 정의되지 않으므로 왼쪽부터 값이 없습니다.
3. $\sin x\approx x$ 를 $x=0.05$ 에서 썼을 때 오차의 대략적인 크기

   버리는 첫 항이 $\dfrac{x^3}{6}$ 이므로 $\dfrac{0.000125}{6}\approx0.0000208$ 입니다. $x=0.1$ 일 때의 0.0001666보다 여덟 배쯤 작습니다 — $x$ 가 절반이 되면 세제곱은 여덟분의 일이 되기 때문입니다.
4. $e^{0.3}\approx1.3$ 의 오차를 계산기 없이 어림하고, 참값 1.3498588과 맞대 보기

   버린 첫 항은 $\dfrac{0.3^2}{2}=0.045$ 입니다. 실제 차이는 0.0498588로 어림보다 조금 큽니다. 항이 모두 양수라 버린 항 뒤로도 더해지는 것이 있기 때문입니다.
5. $\sqrt{1.06}\approx1.03$ 의 오차를 어림하고, 참값 1.0295630과 맞대 보기

   이항 전개의 2차 항 $-\dfrac{x^2}{8}$ 에 $x=0.06$ 을 넣으면 $-\dfrac{0.0036}{8}=-0.00045$ 입니다. 근사값이 그만큼 크다는 뜻이고, 실제로 $1.03$ 이 참값보다 0.0004370 큽니다.

연습 4 — 전개에서 전개 만들기

미분을 거듭하지 말고 위의 전개 표에서 만듭니다.

1. $e^{-x^2}$ 의 전개를 4차까지, 그리고 $x=0.2$ 에서의 값. 참값은 0.9607894입니다

   $e^x$ 의 $x$ 자리에 $-x^2$ 을 넣어 $1-x^2+\dfrac{x^4}{2}-\cdots$ 입니다. $x=0.2$ 이면 $1-0.04+0.0008=0.9608$ 이고 차이는 0.0000106입니다.
2. $\dfrac{1}{1+x^2}$ 의 전개를 4차까지, 그리고 통하는 범위

   $\dfrac{1}{1-x}$ 의 $x$ 자리에 $-x^2$ 을 넣어 $1-x^2+x^4-\cdots$ 입니다. 넣은 것 $-x^2$ 의 절댓값이 1보다 작아야 하므로 $\lvert x\rvert<1$ 입니다. 왼쪽 함수는 모든 $x$ 에서 값이 있는데도 전개는 그 범위에서만 통합니다.
3. $\ln(1-x)$ 의 전개를 3차까지, 그리고 $x=0.2$ 에서의 값. 참값은 −0.2231436입니다

   $\ln(1+x)$ 의 $x$ 자리에 $-x$ 를 넣으면 $-x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}-\cdots$ 로 부호가 모두 $-$ 가 됩니다. $x=0.2$ 이면 $-0.2-0.02-0.0026667=-0.2226667$ 이고 차이는 0.0004769입니다.
4. $\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ 의 전개를 5차까지, 그리고 $\sinh 0.1$ 의 값. 참값은 0.1001668입니다

   $e^{-x}$ 는 홀수 차수 항의 부호만 뒤집힌 것이라, 빼면 짝수 차수가 지워지고 홀수 차수가 두 배가 됩니다. 2로 나누면 $x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots$ 입니다. $x=0.1$ 이면 $0.1+\dfrac{0.001}{6}=0.1001667$ 입니다.

여기까지가 한 함수를 다루는 도구였습니다. 다음 글은 물음을 뒤집습니다 — 함수 자체는 모르고 그 변화율만 알 때, 함수를 되찾을 수 있을까요.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊