식 조작: 유도의 생략된 줄을 복원하는 기술

책이나 강의에서 이런 줄을 만납니다.

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$

등호 하나로 건너뛰었습니다. 여기서 막히면 개념을 몰라서가 아니라 왼쪽에서 오른쪽으로 무슨 조작을 했는지를 못 읽어서입니다.

앞의 아홉 편에서 익힌 조작을 이 글에서 하나로 묶습니다. 세울 것은 넷뿐이고, 나머지 분량은 전부 그 넷으로 빈 줄을 채우는 연습입니다.

유리식 계산

문자가 든 분수도 11번 글의 규칙 그대로입니다. 더하려면 분모를 맞추고, 분모와 분자에 같은 인수가 있으면 지웁니다.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{(x+2) + x}{x(x+2)} = \frac{2x+2}{x(x+2)}$

약분은 인수분해가 먼저입니다. 더하기로 늘어놓은 상태에서는 지울 것이 안 보입니다.

$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 5x + 6} = \frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)(x+3)} = \frac{x-2}{x+3}$

지운 $x+2$ 가 0이면 원래 식 자체가 뜻을 잃습니다. 그래서 이 등식은 $x \neq -2$ 에서만 성립합니다. 약분할 때는 무엇을 지웠는지 한 번 보고 넘어갑니다.

최소공통분모

분모가 여러 항짜리이면 두 분모를 그냥 곱하지 말고 먼저 인수분해해 봅니다.

$\frac{1}{x^2-1} + \frac{1}{x^2+2x+1}$

두 분모를 묶으면 $(x+1)(x-1)$ 과 $(x+1)^2$ 입니다. 공통으로 든 $x+1$ 을 한 번만 세면 되는 가장 작은 공통분모는 $(x+1)^2(x-1)$ 입니다. 앞 분수에는 $x+1$ 을, 뒤 분수에는 $x-1$ 을 위아래에 곱합니다.

$\frac{x+1}{(x+1)^2(x-1)} + \frac{x-1}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{2x}{(x+1)^2(x-1)}$

두 분모를 그냥 곱했다면 분모가 $(x+1)^3(x-1)$ 이 되어, 계산을 마친 뒤 다시 $x+1$ 하나를 약분해야 합니다. 먼저 묶어 두면 나중에 지울 일이 없습니다.

뺄셈의 부호

유리식에서 가장 잦은 실수는 통분이 아니라 뺄셈입니다. 빼는 쪽 분자는 통째로 괄호에 넣고 시작합니다.

$\frac{2x+1}{x+2} - \frac{x-3}{x+2} = \frac{(2x+1) - (x-3)}{x+2} = \frac{2x+1-x+3}{x+2} = \frac{x+4}{x+2}$

괄호를 치지 않고 $2x+1-x-3$ 이라 적으면 $x-2$ 가 되어 답이 어긋납니다. 부호가 분자의 모든 항에 걸린다는 것을 괄호가 대신 기억해 줍니다.

검산은 값을 넣어 보면 됩니다. $x=1$ 이면 왼쪽은 $\dfrac{3}{3} - \dfrac{-2}{3} = \dfrac{5}{3}$ 이고 오른쪽은 $\dfrac{5}{3}$ 입니다.

나눗셈과 역수

유리식의 나눗셈도 11번 글의 분수와 같습니다. 뒤집어 곱합니다. 다만 순서가 중요합니다.

$\frac{x^2-1}{x+2} \div \frac{x-1}{x^2-4} = \frac{x^2-1}{x+2} \times \frac{x^2-4}{x-1}$

여기서 곱해 버리면 안 됩니다. 전부 인수분해한 뒤에 지웁니다.

$= \frac{(x+1)(x-1)}{x+2} \times \frac{(x+2)(x-2)}{x-1} = (x+1)(x-2)$

$x-1$ 과 $x+2$ 가 위아래에서 만나 지워졌습니다. 곱한 다음 전개했다면 사차식 둘이 남아 지울 것이 하나도 안 보였을 것입니다. 역수로 바꾸고, 묶고, 지우고, 그다음에 필요하면 편다 — 이 순서를 지키면 유리식 계산은 대부분 짧아집니다.

번분수

번분수 는 분수 안에 분수가 든 것입니다. 위와 아래를 각각 한 덩어리로 정리한 뒤 나눗셈을 곱셈으로 바꾸면 끝납니다.

$\frac{\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}}{a-b} = \frac{\dfrac{b-a}{ab}}{a-b} = \frac{b-a}{ab(a-b)} = -\frac{1}{ab}$

층을 하나씩 정리하는 대신 속 분수의 분모를 위아래에 통째로 곱해 버리는 길도 있습니다. 위 식이라면 $ab$ 를 곱합니다.

$\frac{\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}}{a-b} = \frac{\left(\dfrac1a - \dfrac1b\right) \cdot ab}{(a-b) \cdot ab} = \frac{b-a}{ab(a-b)} = -\frac{1}{ab}$

분자에서 $\dfrac1a \cdot ab = b$ 이고 $\dfrac1b \cdot ab = a$ 라 한 줄에 속 분수가 사라졌습니다. 같은 것을 위아래에 곱하는 것은 값을 바꾸지 않으므로 어느 길로 가도 됩니다. 층이 여럿이면 이쪽이 짧습니다.

부분분수

부분분수 는 반대 방향입니다. 하나짜리 분수를 둘로 쪼갭니다. 어떻게 쪼개지는지는 계수를 문자로 두고 맞춰 봅니다.

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$

오른쪽을 통분합니다.

$\frac{A(x+1) + Bx}{x(x+1)} = \frac{(A+B)x + A}{x(x+1)}$

분모가 이미 같으니 분자가 1과 같아야 합니다. $x$ 짜리 항이 없어야 하므로 $A+B=0$ 이고, 상수항이 1이어야 하므로 $A=1$ 입니다. 따라서 $B=-1$ 입니다.

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$

오른쪽을 도로 통분하면 왼쪽으로 돌아옵니다. 문자를 두고 계수를 맞추는 이 방식은 쪼갤 모양이 복잡해져도 그대로 통합니다.

쪼개는 것이 왜 이득인지는 여러 개를 더해 볼 때 드러납니다.

$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5}$

네 항을 각각 쪼갭니다.

$\left(1 - \frac12\right) + \left(\frac12 - \frac13\right) + \left(\frac13 - \frac14\right) + \left(\frac14 - \frac15\right)$

$-\dfrac12$ 과 $+\dfrac12$ 이 만나 지워지고, $-\dfrac13$ 과 $+\dfrac13$ 이 지워집니다. 안쪽이 전부 지워지고 양 끝만 남습니다.

$1 - \frac15 = \frac45$

항이 넷이든 백이든 남는 것은 처음과 끝 둘뿐입니다. 이렇게 접히는 합에 이름이 붙어 있고 규칙적으로 다루는 자리는 27번 · 수열과 시그마입니다. 여기서는 쪼개는 조작이 어디에 쓰이는지만 봐 둡니다.

켤레와 유리화

$\sqrt{5}+\sqrt{3}$ 에 부호만 바꾼 $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ 을 켤레라고 합니다. 둘을 곱하면 15번 글의 $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ 이 작동해 근호가 사라집니다.

$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = 5 - 3 = 2$

분모의 근호를 없애려면 분모와 분자에 켤레를 함께 곱합니다. 같은 것을 위아래에 곱했으므로 값은 그대로입니다.

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$

맨 처음의 그 줄입니다. 가운데 한 줄이 생략돼 있었을 뿐입니다.

정수 항의 켤레

켤레는 근호끼리일 때만 쓰는 것이 아닙니다. 부호만 바꾼 짝이면 됩니다.

$\frac{1}{\sqrt{6}-2} = \frac{\sqrt{6}+2}{(\sqrt6-2)(\sqrt6+2)} = \frac{\sqrt{6}+2}{6-4} = \frac{\sqrt{6}+2}{2}$

$(\sqrt6)^2 = 6$ 이고 $2^2=4$ 라 분모가 정수 2가 되었습니다. 값을 어림해 보면 $\sqrt6 \approx 2.449$ 이므로 왼쪽은 $\dfrac{1}{0.449} \approx 2.227$ 이고 오른쪽은 $\dfrac{4.449}{2} \approx 2.225$ 로 맞습니다.

분자의 유리화

근호를 없애야 하는 쪽이 늘 분모인 것은 아닙니다.

$\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$

이 식은 $x$ 가 0에 가까워질수록 분자도 분모도 함께 0에 가까워져서, 값이 어디로 가는지 모양만 보고는 알 수 없습니다. 이번에는 분자의 켤레 $\sqrt{x+1}+1$ 을 위아래에 곱합니다.

$\frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$

분자에서 근호가 사라지면서 $x$ 가 나타났고, 그것이 분모의 $x$ 와 지워졌습니다. 남은 식은 $x=0$ 에서도 뜻이 있어 값이 $\dfrac12$ 입니다. 문제가 되던 자리가 조작 하나로 없어졌습니다. 이 손놀림은 28번 · 극한에서 그대로 다시 씁니다.

자릿수 손실

$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$ 를 $x = 100000000$ 에서 계산해 봅니다. 두 근호값이 소수점 아래까지 거의 같은 큰 수라, 손으로 여덟 자리까지만 적어 두고 빼면 앞자리가 전부 지워지고 믿을 수 있는 자리가 하나도 안 남습니다.

같은 식을 켤레로 고쳐 봅니다. 분모가 1이라고 보고 위아래에 $\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$ 를 곱합니다.

$\sqrt{x+1}-\sqrt{x} = \frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$

이제 큰 수를 빼는 자리가 아예 없습니다. 분모가 대략 $20000$ 이므로 값은 $0.00005$ 쯤입니다. 같은 값을 두 모양으로 적을 수 있을 때, 큰 수끼리 빼는 모양은 피합니다. 뒤에서 어림값을 다룰 때 이 자리가 다시 나옵니다.

완전제곱

$x^2 + 8x + 3$ 처럼 늘어놓은 이차식을 $(x+p)^2 + q$ 꼴로 고치는 조작입니다.

한 변이 $x$ 인 정사각형에 폭 4짜리 띠를 오른쪽과 아래에 하나씩 붙이면 $x^2 + 4x + 4x = x^2 + 8x$ 입니다. 그런데 오른쪽 아래 모서리 한 칸이 비어 있습니다. 그 칸이 $4 \times 4 = 16$ 입니다.

$x^2 + 8x + 3 = x^2 + 8x + 16 - 16 + 3 = (x+4)^2 - 13$

16을 더했으니 그만큼 도로 뺐습니다. 값은 그대로이고 모양만 바뀌었습니다.

절차는 두 줄입니다. 가운데 항의 계수를 반으로 나눠 괄호 안에 넣고, 그 제곱을 뺍니다.

$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4}$

이렇게 고쳐 두면 공짜로 따라오는 것이 하나 있습니다. 제곱은 0 이상이므로 $(x+4)^2 - 13$ 은 $-13$ 보다 작아질 수 없습니다. $x=-4$ 에서 최솟값 $-13$ 입니다. 늘어놓은 모양으로는 안 보이던 것이 보입니다.

상수항과 계수

상수항이 아예 없어도 절차가 달라지지 않습니다. 뺄 제곱만 그대로 뺍니다.

$x^2 + 5x = \left(x+\frac52\right)^2 - \frac{25}{4}$

계수가 홀수라 반으로 나눈 값이 분수가 되었을 뿐입니다. $x=-\dfrac52$ 에서 최솟값 $-\dfrac{25}{4}$ 입니다.

$x^2$ 앞에 계수가 붙으면 먼저 묶어 냅니다.

$3x^2 - 12x + 5 = 3(x^2 - 4x) + 5 = 3\left[(x-2)^2 - 4\right] + 5 = 3(x-2)^2 - 7$

괄호 밖으로 나올 때 묶어 낸 3이 다시 곱해진다는 것만 지키면 됩니다. $3 \times (-4) = -12$ 이고 $-12+5 = -7$ 입니다.

음수 계수와 최댓값

계수가 음수일 때가 부호를 가장 많이 틀리는 자리입니다. $-1$ 을 묶어 내면 괄호 안의 부호가 전부 뒤집힙니다.

$-x^2 + 6x - 5 = -(x^2 - 6x) - 5 = -\left[(x-3)^2 - 9\right] - 5 = -(x-3)^2 + 4$

$-x^2+6x$ 에서 $-1$ 을 빼내니 $x^2-6x$ 가 되었고, 대괄호를 풀 때 $-9$ 가 $+9$ 로 돌아와 $9-5=4$ 가 남았습니다.

이번에는 최댓값이 읽힙니다. $(x-3)^2$ 이 0 이상이므로 $-(x-3)^2$ 은 0 이하이고, 전체는 4를 넘지 못합니다. $x=3$ 에서 최댓값 4 입니다. 앞 계수의 부호가 최솟값과 최댓값을 가릅니다.

두 문자의 완전제곱

문자가 둘이어도 각각 따로 완전제곱을 만들면 됩니다. 서로 섞이지 않으니 두 번 하면 끝입니다.

$x^2+y^2+2x-4y = (x^2+2x) + (y^2-4y) = \left[(x+1)^2-1\right] + \left[(y-2)^2-4\right]$

$= (x+1)^2 + (y-2)^2 - 5$

이 값이 0이 되는 자리를 찾으면 $(x+1)^2+(y-2)^2 = 5$ 입니다. 두 제곱의 합이 일정한 이 모양이 점 $(-1, 2)$ 에서 거리가 $\sqrt5$ 인 점들의 자취 — 곧 원을 적는 식입니다. 24번 · 좌표평면과 직선에서 이 모양을 정면으로 다룹니다. 여기서는 늘어놓은 식을 완전제곱 둘로 고치는 순간 그 정체가 드러난다는 것까지만 봅니다.

치환과 되돌리기

같은 덩어리가 여러 번 나오면 문자 하나로 바꿔 식을 줄입니다.

$(x^2+1)^2 - 5(x^2+1) + 6$

$x^2+1$ 을 $t$ 라 놓습니다.

$t^2 - 5t + 6 = (t-2)(t-3)$

이제 $t$ 를 도로 돌려놓습니다. 되돌리는 것을 잊는 것이 이 조작의 유일한 함정입니다.

$(x^2+1-2)(x^2+1-3) = (x^2-1)(x^2-2) = (x+1)(x-1)(x^2-2)$

복이차식

$x^4 - 5x^2 + 4$ 처럼 짝수 차수만 있는 사차식을 복이차식이라 합니다. $t = x^2$ 으로 놓으면 그대로 이차식이 됩니다.

$t^2 - 5t + 4 = (t-1)(t-4)$

되돌리면 $(x^2-1)(x^2-4)$ 이고, 둘 다 제곱의 차라 한 번 더 묶입니다.

$(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)$

이 식이 0이 되는 $x$ 는 $\pm1$ 과 $\pm2$ 로 넷입니다. 사차식을 그대로 놓고 근을 찾으려면 막막하지만, 치환 한 번으로 아는 모양이 되었습니다.

대칭식

$x$ 와 $\dfrac1x$ 가 짝을 이뤄 나오는 식에서는 그 합을 통째로 문자 하나로 놓습니다. $t = x + \dfrac1x$ 라 두고 양변을 제곱합니다.

$t^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac1x + \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$

가운데 항이 $2$ 로 딱 떨어지는 것이 이 치환이 되는 이유입니다. 옮기면 이렇게 됩니다.

$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$

$x + \dfrac1x = 3$ 이라면 $x$ 를 구하지 않고도 $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 9-2 = 7$ 입니다. 묻는 값이 덩어리로만 되어 있으면 $x$ 자체는 끝까지 구하지 않아도 됩니다.

치환의 범위

치환에는 되돌리기 말고 함정이 하나 더 있습니다. $t$ 가 아무 값이나 되는 것이 아닙니다.

$x^4 - 3x^2 - 4 = 0$

$t=x^2$ 으로 놓으면 $t^2-3t-4=0$ 이고 $(t-4)(t+1)=0$ 이라 $t=4$ 또는 $t=-1$ 입니다. 그런데 $t$ 는 $x^2$ 이므로 0보다 작을 수 없습니다.

$t = x^2 \ \ \Rightarrow\ \ t \ge 0$

$t=-1$ 은 되돌릴 $x$ 가 없으니 버립니다. $t=4$ 에서 $x = \pm 2$ 만 답입니다. 문자를 바꿔 놓을 때는 그 문자가 다닐 수 있는 범위도 함께 적어 둡니다. $t=x^2+1$ 로 놓았다면 $t \ge 1$ 이고, 그 범위 밖의 답은 같은 이유로 버립니다.

전개·묶기와 줄 복원

같은 식을 두 방향으로 고칠 수 있을 때 어느 쪽으로 갈지는 무엇을 하려는가가 정합니다.

하려는 일	가는 방향
값을 넣어 계산한다	전개
동류항을 합쳐 정리한다	전개
약분해서 지운다	묶기
0이 되는 자리를 찾는다	묶기
최솟값·최댓값을 읽는다	묶기(완전제곱)

$x^2 - 9 = 0$ 을 풀 때 전개할 것이 없으니 묶습니다. $(x+3)(x-3)=0$ 이 되고, 곱이 0이면 둘 중 하나가 0이므로 $x=3$ 또는 $x=-3$ 입니다. 늘어놓은 채로는 이 결론이 안 나옵니다.

호너의 방법

표의 첫 줄에는 예외가 하나 있습니다. 값을 넣어 계산할 때도 묶어 두는 편이 곱셈이 적습니다.

$x^3 + 2x^2 + 3x + 4 = ((x+2)x + 3)x + 4$

오른쪽은 안쪽 괄호부터 차례로 계산합니다. $x=2$ 라면 $(2+2)=4$, $4 \times 2 = 8$, $8+3=11$, $11 \times 2 = 22$, $22+4=26$ 입니다. 왼쪽으로 계산해도 $8+8+6+4=26$ 으로 같습니다.

곱셈 횟수를 세어 봅니다. 계수를 일반으로 두고 $ax^3+bx^2+cx+d$ 를 그대로 계산하면 $a \cdot x \cdot x \cdot x$ 에 곱이 셋, $b \cdot x \cdot x$ 에 둘, $c \cdot x$ 에 하나로 모두 여섯 번입니다. 묶은 모양 $((ax+b)x+c)x+d$ 는 $x$ 를 곱하는 세 번뿐입니다.

이렇게 안쪽부터 묶어 차례로 계산하는 방식을 호너의 방법 이라고 합니다. 차수가 높아질수록 차이가 벌어져서, $n$ 차식이면 곱셈이 $n$ 번으로 끝납니다.

유도 도중의 줄

표가 갈라 주지 못하는 자리도 있습니다. 유도의 한가운데에서는 무엇을 하려는지가 아직 안 정해져 있기 때문입니다.

$\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}$

지울 것이 보이니 묶은 채로 두는 것이 맞습니다. 그런데 이 줄이 더 긴 계산의 도중이고, 다음 줄에서 값을 대입할 예정이라면 전개해 두는 편이 나을 수도 있습니다. 한 줄만 보고 정할 수 없습니다.

이럴 때는 다음 줄에서 무엇을 할지 먼저 정하고 돌아옵니다. 정해지지 않았으면 묶은 모양으로 두는 편이 안전합니다. 묶은 것은 언제든 펼 수 있지만, 펴 놓은 것을 다시 묶으려면 찾기를 한 번 더 해야 하기 때문입니다.

조작의 이름

이 글의 본론입니다. 두 줄이 나란히 있고 사이가 비어 있을 때, 무엇이 달라졌는지부터 봅니다.

달라진 것	한 일
항의 수가 늘었다	전개했거나 통분했다
항의 수가 줄었다	묶었거나 약분했다
근호가 사라졌다	켤레를 곱했다
$(\square)^2 + \square$ 모양이 됐다	완전제곱을 만들었다
없던 문자가 생겼다	치환했다
양변에 같은 것이 붙었다	등식의 성질을 썼다

3번 글에서 자기 풀이의 각 줄에 무슨 조작을 했는지 이름을 붙이는 습관을 들였습니다. 여기서는 그 습관을 남이 쓴 유도에 적용합니다. 달라진 것을 보고 조작의 이름을 붙이면, 그 조작을 직접 해 보는 것으로 빈 줄이 채워집니다.

한 번 해 봅니다.

$\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b$

항의 수가 줄었으니 묶었거나 약분했습니다. 분자를 묶어 보면 $(a+b)(a-b)$ 이고, 분모와 같은 $a-b$ 가 있으니 지운 것입니다. 빈 줄은 이렇습니다.

$\frac{a^2-b^2}{a-b} = \frac{(a+b)(a-b)}{a-b} = a+b$

$a \neq b$ 라는 단서도 함께 복원됩니다.

두 걸음짜리 등호

건너뛴 걸음이 늘 하나인 것은 아닙니다. 이 글을 연 그 줄을 다시 봅니다.

$\frac{1}{\sqrt5+\sqrt3} = \frac{\sqrt5-\sqrt3}{2}$

여기에는 조작이 둘 들어 있습니다. 켤레를 위아래에 곱한 것과 분모 $(\sqrt5+\sqrt3)(\sqrt5-\sqrt3)$ 을 계산해 2로 적은 것입니다. 그래서 복원하면 줄이 셋이 됩니다.

$\frac{1}{\sqrt5+\sqrt3} = \frac{\sqrt5-\sqrt3}{(\sqrt5+\sqrt3)(\sqrt5-\sqrt3)} = \frac{\sqrt5-\sqrt3}{5-3} = \frac{\sqrt5-\sqrt3}{2}$

한 줄에 조작 하나가 되도록 펴는 것이 복원의 기준입니다. 조작 이름을 두 개 이상 붙여야 하는 줄이 있으면 아직 덜 편 것입니다.

대입 검산

붙인 이름이 틀릴 수도 있습니다. 그때 가르는 방법은 하나입니다. 양쪽에 같은 수를 넣어 값을 비교합니다.

$\frac{x^2+2x}{x} = x+2$

"약분했다"고 보고 $x$ 를 지워 봤더니 $x+2$ 가 나옵니다. $x=2$ 를 넣으면 왼쪽은 $\dfrac{8}{2}=4$ 이고 오른쪽도 $4$ 라 맞습니다. 만약 분자를 $x(x+2)$ 로 묶지 않고 $x$ 만 지워 $x^2+2$ 라고 적었다면 $x=2$ 에서 $6$ 이 되어 어긋납니다. 한 번 대입해 보면 그 자리에서 갈립니다.

값이 맞았다고 조작 이름까지 맞은 것은 아니지만, 틀린 이름은 거의 언제나 값에서 걸립니다. 대입 한 번이 가장 싼 검사입니다.

복원의 기준

「쉽게 알 수 있듯이」로 넘어간 줄을 만나면 어디까지 파고들지 정해야 합니다. 기준은 이렇습니다.

그 줄에 무슨 조작을 했는지 이름을 붙여 말할 수 있으면 멈춥니다. "통분하고 약분했다"까지 말할 수 있으면 손으로 다시 적어 볼 필요가 없습니다. 이름이 안 붙으면 위의 표로 돌아가 달라진 것을 세고, 조작 하나짜리 줄이 될 때까지 펍니다.

모든 줄을 다 펴려고 하면 유도를 못 읽습니다. 목적은 남의 계산을 검사하는 것이 아니라 논지를 따라가는 것이고, 막히는 줄만 펴면 됩니다.

연습 문제

빈 줄을 채우는 연습이므로 머릿속으로 건너뛰지 말고 한 줄씩 적으세요.

연습 1 — 전개와 묶기

1. $(a+b)^3$ 을 전개하세요.

   $(a+b)^2(a+b) = (a^2+2ab+b^2)(a+b)$ 를 전개하면 $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
2. 1번의 결과를 다시 $(a+b)^3$ 으로 묶으세요. 무엇을 보고 알아봤는지도 적으세요.

   첫 항이 $a^3$, 끝 항이 $b^3$, 가운데 두 항의 계수가 3과 3이고 문자가 $a^2b$, $ab^2$ 로 한 칸씩 옮겨 갑니다. 이 모양이면 $(a+b)^3$ 입니다.
3. $a^2 + b^2$ 을 $a+b$ 와 $ab$ 만으로 다시 적으세요.

   $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ 이므로 $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.
4. $a^3 + b^3$ 을 $a+b$ 와 $ab$ 만으로 다시 적으세요.

   1번에서 $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$ 이므로 $a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

연습 2 — 통분·약분·유리화

1. $\dfrac{1}{2x} + \dfrac{1}{3x}$

   분모를 $6x$ 로 맞추면 $\dfrac{3}{6x} + \dfrac{2}{6x} = \dfrac{5}{6x}$.
2. $\dfrac{x}{x+1} - \dfrac{1}{x+1}$

   분모가 이미 같으므로 $\dfrac{x-1}{x+1}$.
3. $\dfrac{x^2-4}{x+2}$

   분자를 묶으면 $\dfrac{(x+2)(x-2)}{x+2} = x-2$. 단 $x \neq -2$.
4. $\dfrac{x^2+5x+6}{x^2-4}$

   $\dfrac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-2)} = \dfrac{x+3}{x-2}$. 단 $x \neq -2$.
5. $\dfrac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$

   켤레 $\sqrt7+\sqrt5$ 를 위아래에 곱하면 분모가 $7-5=2$ 이므로 $\sqrt7+\sqrt5$.
6. $\dfrac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$

   켤레 $\sqrt6-\sqrt3$ 을 곱하면 분모가 $6-3=3$ 이므로 $\sqrt6-\sqrt3$.
7. $\dfrac{1}{x^2-x} + \dfrac{1}{x^2-1}$

   분모를 묶으면 $x(x-1)$ 과 $(x+1)(x-1)$ 이라 최소공통분모가 $x(x-1)(x+1)$ 입니다. $\dfrac{(x+1) + x}{x(x-1)(x+1)} = \dfrac{2x+1}{x(x-1)(x+1)}$.
8. $\dfrac{3x-1}{x-2} - \dfrac{x+5}{x-2}$

   빼는 분자를 괄호에 넣습니다. $\dfrac{(3x-1)-(x+5)}{x-2} = \dfrac{2x-6}{x-2} = \dfrac{2(x-3)}{x-2}$.
9. $\dfrac{x^2-9}{x+1} \div \dfrac{x+3}{x^2-1}$

   역수를 곱하고 전부 묶습니다. $\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+1} \times \dfrac{(x+1)(x-1)}{x+3} = (x-3)(x-1)$.

연습 3 — 완전제곱과 최댓값

1. $x^2 + 6x + 5$

   $(x+3)^2 - 9 + 5 = (x+3)^2 - 4$. $x=-3$ 에서 최솟값 $-4$.
2. $x^2 - 4x + 7$

   $(x-2)^2 - 4 + 7 = (x-2)^2 + 3$. $x=2$ 에서 최솟값 3.
3. $x^2 + x$

   계수 1을 반으로 나눈 $\dfrac{1}{2}$ 이 들어갑니다. $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4}$. $x=-\dfrac{1}{2}$ 에서 최솟값 $-\dfrac{1}{4}$.
4. $2x^2 - 8x + 1$

   2를 묶어 내면 $2(x^2-4x)+1 = 2\left[(x-2)^2-4\right]+1 = 2(x-2)^2 - 7$. $x=2$ 에서 최솟값 $-7$.
5. $-x^2 + 4x + 1$

   $-1$ 을 묶어 내면 $-(x^2-4x)+1 = -\left[(x-2)^2-4\right]+1 = -(x-2)^2+5$. $x=2$ 에서 최댓값 5입니다.
6. $x^2+y^2-6x+8y$

   각각 따로 합니다. $(x-3)^2-9 + (y+4)^2-16 = (x-3)^2+(y+4)^2-25$. 이 값이 0이면 $(3, -4)$ 에서 거리가 5인 점들입니다.

연습 4 — 치환

1. $x^4 - 10x^2 + 9$ 를 인수분해하세요.

   $t=x^2$ 으로 놓으면 $t^2-10t+9 = (t-1)(t-9)$ 이므로 $(x^2-1)(x^2-9) = (x+1)(x-1)(x+3)(x-3)$.
2. $x^4 - x^2 - 12 = 0$ 의 실수 해를 구하세요.

   $t=x^2$ 이면 $(t-4)(t+3)=0$ 이라 $t=4$ 또는 $t=-3$ 입니다. $t=x^2 \ge 0$ 이므로 $t=-3$ 은 버리고 $x=\pm2$ 입니다.
3. $x + \dfrac1x = 4$ 일 때 $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ 을 구하세요.

   양변을 제곱하면 $x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = 16$ 이므로 $x^2+\dfrac{1}{x^2} = 14$.
4. $(x^2-2x)^2 - 2(x^2-2x) - 3$ 을 인수분해하세요.

   $t = x^2-2x$ 로 놓으면 $t^2-2t-3 = (t-3)(t+1)$ 입니다. 되돌리면 $(x^2-2x-3)(x^2-2x+1) = (x-3)(x+1)(x-1)^2$.

연습 5 — 번분수와 부분분수

1. $\dfrac{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}}{\dfrac{1}{xy}}$

   위아래에 $xy$ 를 곱하면 $\dfrac{y+x}{1} = x+y$.
2. $\dfrac{2}{x(x+2)}$ 를 두 분수의 차로 쪼개세요.

   $\dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x+2}$ 로 두고 통분하면 분자가 $(A+B)x + 2A$ 입니다. $A+B=0$ 이고 $2A=2$ 이므로 $A=1$, $B=-1$ 입니다. 답은 $\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+2}$.
3. $\dfrac{1}{1\cdot2} + \dfrac{1}{2\cdot3} + \dfrac{1}{3\cdot4} + \dfrac{1}{4\cdot5} + \dfrac{1}{5\cdot6}$

   각 항을 쪼개면 안쪽이 전부 지워지고 $1 - \dfrac16 = \dfrac56$ 만 남습니다.

연습 6 — 빈 줄 채우기

첫 줄과 마지막 줄만 있습니다. 사이에 무슨 조작을 했는지 이름을 붙이고, 그 조작을 실제로 해서 가운데 줄을 적으세요.

1. $\dfrac{2}{x-1} - \dfrac{2}{x+1} \;=\; \dfrac{4}{x^2-1}$

   통분했습니다. $\dfrac{2(x+1) - 2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{2x+2-2x+2}{x^2-1} = \dfrac{4}{x^2-1}$.
2. $\dfrac{1}{\sqrt{6}-2} \;=\; \dfrac{\sqrt{6}+2}{2}$

   켤레 $\sqrt6+2$ 를 위아래에 곱했습니다. 분모가 $6-4=2$ 가 됩니다.
3. $x^2 - 6x + 11 \;=\; (x-3)^2 + 2$

   완전제곱을 만들었습니다. $x^2-6x+9-9+11$ 에서 앞 세 항이 $(x-3)^2$ 이고 남은 것이 2입니다.
4. $\dfrac{x^2-9}{x^2+x-6} \;=\; \dfrac{x-3}{x-2}$

   위아래를 인수분해하고 약분했습니다. $\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x+3)(x-2)}$ 에서 $x+3$ 을 지웠습니다. 단 $x \neq -3$.
5. $(a+b)^2 - (a-b)^2 \;=\; 4ab$

   둘 다 전개해 뺐습니다. $(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = 4ab$. 합차 공식으로 묶어 $\{(a+b)+(a-b)\}\{(a+b)-(a-b)\} = 2a \cdot 2b$ 로 가도 같습니다.
6. $\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x} \;=\; \dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}$

   분자의 켤레를 위아래에 곱했습니다. 분자가 $(x+4)-4 = x$ 가 되어 분모의 $x$ 와 지워집니다. 조작이 둘이므로 줄을 둘로 펴서 적습니다.

5번처럼 길이 둘 이상인 경우가 흔합니다. 유도를 쓴 사람이 어느 길로 갔는지 맞힐 필요는 없습니다. 같은 곳에 닿기만 하면 됩니다.

정리

• 이 글이 세운 조작은 넷입니다 — 통분과 약분, 켤레를 곱한 유리화, 완전제곱 만들기, 덩어리의 치환.
• 약분은 인수분해가 먼저이고, 지운 것이 0이 아니라는 단서를 함께 적습니다. 최소공통분모도 분모를 묶어 봐야 보입니다.
• 유리식의 뺄셈은 빼는 분자를 통째로 괄호에 넣고 시작하고, 나눗셈은 역수로 바꾼 뒤 묶어서 지우고 나서 폅니다.
• 번분수는 속 분모를 위아래에 곱해 한 번에 없애고, 부분분수는 계수를 문자로 두고 맞춥니다. 쪼개 두면 여럿을 더할 때 이웃 항이 지워집니다.
• 켤레는 분모뿐 아니라 분자 쪽에도 씁니다. 큰 수끼리 빼는 모양을 켤레로 고치면 자릿수가 날아가지 않습니다.
• 완전제곱은 가운데 항의 계수를 반으로 나눠 넣고 그 제곱을 뺍니다. 앞 계수가 양수면 최솟값이, 음수면 최댓값이 공짜로 따라옵니다. 문자가 둘이면 각각 따로 합니다.
• 치환은 되돌리는 것과 범위를 함께 옮기는 것 둘이 전부입니다. $t=x^2$ 이면 $t \ge 0$ 이라 음수 답은 버립니다.
• 전개할지 묶을지는 하려는 일이 정합니다. 값을 구하면 전개, 지우거나 0을 찾으면 묶기입니다. 다만 값을 넣을 때도 호너의 방법으로 묶어 두면 곱셈이 줄어듭니다.
• 생략된 줄은 무엇이 달라졌는지 보고 조작의 이름을 붙이면 채워집니다. 한 줄에 조작 하나가 될 때까지 펴고, 이름을 붙여 말할 수 있으면 거기서 멈춥니다.

다음 글부터는 다루는 대상이 바뀝니다. 지금까지는 식 하나를 고쳐 적었다면, 이제 입력과 출력이 짝지어진 함수를 다루고 그것을 그림으로 봅니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊