좌표평면과 직선: 거리, 기울기, 그리고 원

19번 글은 좌표평면을 함수를 그리는 종이 로 썼습니다. 점을 찍고 이어 곡선을 만드는 데까지였습니다.

이 글은 좌표평면 자체를 무대로 씁니다. 도형을 올려놓고 길이를 재고 방향을 재는 일을 합니다. 새로 배울 도구는 없습니다. 피타고라스 정리 하나와, 식을 옮겨 적는 손놀림이 전부입니다. 그 둘만으로 거리·중점·기울기·직선의 식·점과 직선 사이 거리·원의 방정식이 차례로 나옵니다.

두 점 사이 거리와 중점

$A(1,2)$ 와 $B(5,5)$ 사이의 거리를 재 봅니다. 자를 대는 대신 직각삼각형을 하나 그립니다.

$A$ 에서 오른쪽으로 가고 $B$ 에서 아래로 내려오면 $(5,2)$ 에서 만납니다. 이 세 점이 직각삼각형을 이루고, 두 변의 길이가 곧 좌표의 차 입니다.

가로 변은 $5-1=4$, 세로 변은 $5-2=3$ 입니다. 7번 글의 정리를 그대로 씁니다.

$\overline{AB} = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5$

문자로 적으면 이렇습니다.

$\overline{AB} = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$

새로 증명할 것이 없습니다. 피타고라스 정리를 좌표에 얹어 적은 것뿐입니다. 그리고 어느 점을 먼저 적을지 고민하지 않아도 됩니다 — $x_1-x_2$ 로 적든 $x_2-x_1$ 로 적든 제곱한 뒤에는 같은 수가 되기 때문입니다. 부호가 반대인 두 수는 제곱이 같습니다.

내분점과 중점

선분 $AB$ 를 $m:n$ 으로 나누는 점, 곧 $A$ 쪽 토막과 $B$ 쪽 토막의 길이 비가 $m:n$ 이 되는 선분 안쪽의 점을 내분점 이라고 합니다. 선분 '안에서 나눈' 점이라는 뜻입니다.

가로 방향만 따로 봅니다. $A$ 의 $x$ 좌표에서 출발해, 전체 차이 $x_2-x_1$ 중에서 $\dfrac{m}{m+n}$ 만큼만 갑니다.

$x = x_1 + \frac{m}{m+n}(x_2-x_1) = \frac{nx_1+mx_2}{m+n}$

세로도 똑같이 하면 됩니다. 두 방향을 따로 계산해 나란히 적는 것이 좌표평면에서 하는 거의 모든 일의 방식입니다.

$P = \left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n}, \; \frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)$

중점은 이 식에서 $m=n=1$ 인 자리 입니다. 넣어 보면 분모가 2가 되고 분자는 두 좌표의 합이 됩니다.

$M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \; \frac{y_1+y_2}{2}\right)$

각 좌표의 평균입니다. $A(1,2)$ 와 $B(5,5)$ 의 중점은 $(3, 3.5)$ 입니다. 같은 두 점을 $1:3$ 으로 나누는 점은 $\left(\dfrac{3\cdot 1+1\cdot 5}{4}, \; \dfrac{3\cdot 2+1\cdot 5}{4}\right) = (2, 2.75)$ 이고, 비가 말하는 대로 $A$ 에 더 가깝습니다.

분자에서 $m$ 과 $n$ 이 엇갈려 붙는 것이 이 식에서 가장 자주 틀리는 자리입니다. $A$ 쪽 비인 $m$ 이 $x_2$ 에 붙습니다. 외우지 말고 한 번 확인하고 넘어가면 됩니다 — $m$ 을 키우면 점이 $B$ 쪽으로 가야 하는데, $m$ 이 $x_2$ 에 붙어 있어야 실제로 그렇게 움직입니다.

세 점으로 하는 삼각형 판정

거리 공식은 재는 도구이므로, 세 번 쓰면 세 점이 만드는 삼각형의 모양을 판정할 수 있습니다.

$P(0,0)$, $Q(4,0)$, $R(2,4)$ 를 잡고 세 변의 제곱 을 구합니다.

$\overline{PQ}^2 = 16, \quad \overline{QR}^2 = 4+16=20, \quad \overline{PR}^2 = 4+16=20$

뒤의 둘이 같으므로 $\overline{QR} = \overline{PR}$ 이고, 두 변의 길이가 같은 이등변삼각형 입니다.

직각인지도 같은 값들로 봅니다. 피타고라스 정리는 가장 긴 변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱합과 같을 때 직각이라고 말합니다. 가장 큰 값 20과 나머지의 합 $16+20=36$ 은 다르므로 직각이 아닙니다.

$P(0,0)$, $Q(4,0)$, $R(4,3)$ 이라면 제곱이 각각 16, 9, 25이고 $25=16+9$ 이므로 직각삼각형입니다.

제곱한 값끼리만 견주면 되므로 근호를 한 번도 벗기지 않았습니다. 거리를 그대로 쓰지 않고 거리의 제곱으로 두고 다루는 이 습관은 이 트랙 내내 되돌아옵니다. 근호가 든 수는 비교도 계산도 번거롭기 때문입니다.

원점까지의 거리

한쪽 점이 원점이면 식이 짧아집니다. $x_2=0$, $y_2=0$ 을 넣습니다.

$\overline{OP} = \sqrt{x^2+y^2}$

좌표를 각각 제곱해 더한 뒤 근호를 씌운 값 입니다. $(3,4)$ 는 5, $(5,12)$ 는 13, $(1,1)$ 은 $\sqrt2$ 입니다.

이 꼴은 좌표가 셋, 넷, 그 이상으로 늘어나도 그대로 이어집니다. $(x,y,z)$ 라면 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 이고, 좌표가 몇 개든 '전부 제곱해 더하고 근호'입니다. 뒤의 트랙에서 이 값에 노름 이라는 이름이 붙습니다. 여기서는 이름 없이, 원점에서 얼마나 떨어져 있는가로만 읽습니다.

기울기

같은 직각삼각형을 다르게 읽으면 다른 값이 나옵니다. 두 변을 더하는 대신 나눕니다.

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$\Delta$ 는 '얼마나 변했는가'를 적는 기호입니다. $\Delta y$ 는 $y$ 의 변화량, $\Delta x$ 는 $x$ 의 변화량입니다.

$A(1,2)$ 와 $B(5,5)$ 에서는 $m = \dfrac{3}{4}$ 입니다. 가로로 4 가는 동안 세로로 3 오릅니다. 가로로 1만 가면 $\dfrac34$ 만큼 오릅니다.

기울기는 이 트랙에서 여기가 처음 입니다. 뜻은 한 줄이지만 뒤로 오래 갑니다 — 30번 · 평균변화율과 할선이 이 정의를 그대로 곡선으로 가져갑니다.

부호가 방향을 말합니다. 양수면 오른쪽으로 오르고, 음수면 내리고, 0이면 가로선입니다.

기울기가 있으면 세 점이 한 줄 위에 있는지 한눈에 판정됩니다. $(0,0)$, $(2,1)$, $(6,3)$ 은 앞의 둘로 잰 기울기가 $\dfrac12$ 이고 뒤의 둘로 잰 기울기도 $\dfrac{2}{4}=\dfrac12$ 이라 한 직선 위에 있습니다.

두 점의 순서

기울기를 잴 때 어느 점을 먼저 적어야 하는지 헷갈리는 자리가 있습니다. 답은 상관없다 입니다.

$A(1,2)$ 와 $B(5,5)$ 를 뒤집어 재 봅니다.

$\frac{2-5}{1-5} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$

분자와 분모의 부호가 함께 뒤집혀서 몫은 그대로입니다. 거리에서는 제곱이 부호를 지웠고, 여기서는 나눗셈이 지웁니다.

다만 분자와 분모에서 같은 점을 먼저 적어야 합니다. $\dfrac{y_2-y_1}{x_1-x_2}$ 처럼 한쪽만 뒤집으면 부호가 반대인 값이 나오고, 오르는 직선을 내리는 직선으로 읽게 됩니다. 순서는 자유지만 위아래가 같아야 한다 — 이것이 규칙의 전부입니다.

기울기와 각

기울기 1인 직선은 가로로 1 갈 때 세로로 1 오릅니다. 가로 변과 세로 변의 길이가 같은 직각삼각형이므로 45도 입니다.

그렇다면 기울기 2는 90도일까요. 아닙니다. 두 배로 올라가지만 각은 두 배가 되지 않습니다. 기울기 2인 직선은 약 63.4도이고, 60도인 직선의 기울기는 약 1.73입니다.

각 $\theta$ 와 기울기 $m$ 을 잇는 값은 따로 있습니다. 각이 정해지면 직각삼각형의 세로 변과 가로 변의 비가 정해지는데, 그 비가 곧 기울기입니다. 이 비에 이름을 붙이고 값을 재는 도구를 세우는 것이 바로 다음 글이고, 거기서 이 값은 $\tan\theta$ 라는 이름을 얻습니다.

지금 필요한 감각은 하나입니다 — 기울기는 각이 아니라 비율입니다. 기울기가 두 배가 되어도 각은 두 배가 되지 않고, 기울기가 아주 커져도 각은 90도를 넘지 못합니다. 세로선에서 기울기가 없어지는 것도 같은 이야기입니다.

경사도

도로 표지판의 「경사도 8%」는 각이 아닙니다. 기울기를 백분율로 적은 것 입니다.

$8\% = \frac{8}{100} = 0.08$

수평으로 100m 가는 동안 8m 오른다는 뜻입니다. 각으로 바꾸면 약 4.6도라 생각보다 완만합니다. 표지판이 각 대신 이 값을 쓰는 이유는 재기가 쉽기 때문입니다 — 수평 거리와 높이만 있으면 나오고, 각을 재려면 도구가 하나 더 필요합니다.

철도의 「25‰」도 같은 읽기입니다. 천분율이므로 기울기 0.025이고, 1km 가는 동안 25m 오릅니다.

직선을 적는 세 꼴

같은 직선을 세 가지 꼴로 적습니다. 상황에 따라 편한 것이 다릅니다.

꼴	적는 법	편한 때
기울기와 절편	$y = mx + b$	그래프를 그릴 때
점과 기울기	$y - y_1 = m(x - x_1)$	지나는 점 하나를 알 때
일반형	$ax + by + c = 0$	모든 직선을 한 꼴로 다룰 때

기울기 2이고 $(1,3)$ 을 지나는 직선은 둘째 꼴로 $y-3 = 2(x-1)$ 이고, 정리하면 $y = 2x+1$ 이고, 옮겨 적으면 $2x - y + 1 = 0$ 입니다. 셋은 같은 직선입니다.

셋째 꼴이 따로 필요한 이유가 있습니다. 세로선에는 기울기가 없습니다. $x=3$ 은 $\Delta x = 0$ 이라 나눌 수가 없어 첫째·둘째 꼴로 적히지 않습니다. 일반형에서는 $b=0$ 인 경우일 뿐이라 예외가 사라집니다.

두 점에서 직선 세우기

문제로 가장 흔하게 주어지는 것은 기울기가 아니라 두 점 입니다. 그때는 순서가 정해져 있습니다.

$(1,2)$ 와 $(4,11)$ 을 지나는 직선을 세워 봅니다.

첫째, 기울기를 먼저 구합니다.

$m = \frac{11-2}{4-1} = \frac{9}{3} = 3$

둘째, 두 점 중 아무 쪽이나 골라 점-기울기꼴에 넣습니다.

$y - 2 = 3(x-1)$

셋째, 필요하면 정리합니다. $y = 3x - 1$ 입니다.

둘째 걸음에서 다른 점을 골라도 결과가 같은지 확인해 두면 마음이 놓입니다. $y - 11 = 3(x-4)$ 를 풀면 $y = 3x - 12 + 11 = 3x-1$ 로 같습니다. 어느 점을 골라도 같은 직선이 나옵니다 — 두 점이 모두 그 직선 위에 있기 때문입니다.

절편으로 적는 꼴

$x$ 절편과 $y$ 절편만 아는 경우에는 넷째 꼴이 따로 있습니다. $x$ 절편이 $a$, $y$ 절편이 $b$ 인 직선입니다.

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

확인은 대입으로 합니다. $(a, 0)$ 을 넣으면 $\dfrac{a}{a}+0 = 1$ 이고, $(0,b)$ 를 넣으면 $0+\dfrac{b}{b}=1$ 입니다. 두 점을 모두 지나므로 그 직선이 맞습니다.

$x$ 절편 3, $y$ 절편 2인 직선은 $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=1$ 이고, 양변에 6을 곱하면 $2x+3y=6$ 입니다.

이 꼴은 절편 두 개가 식에 그대로 보인다 는 것이 장점입니다. 대신 절편이 0인 직선, 곧 원점을 지나는 직선에는 쓸 수 없습니다. 분모가 0이 되기 때문입니다.

일반형의 표기

일반형에는 다른 셋에 없는 성질이 하나 있습니다. 같은 직선을 적는 방법이 하나가 아닙니다.

$3x+4y-12=0$ 의 양변에 2를 곱하면 $6x+8y-24=0$ 입니다. 좌변이 0이었으니 몇 배를 해도 0이고, 따라서 두 식을 만족하는 점의 모임이 완전히 같습니다. 같은 직선입니다.

$y=mx+b$ 꼴에서는 이런 일이 없습니다. 기울기와 절편이 정해지면 식이 하나로 정해집니다. 일반형은 $(a,b,c)$ 세 수를 쓰는데 직선을 정하는 데는 두 개면 충분해서, 남는 한 자유도가 '상수배해도 같다'로 나타납니다.

이 성질은 두 식이 같은 직선인지 판정할 때 씁니다. 계수의 비가 전부 같으면 같은 직선 입니다.

$\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{-24}{-12} = 2$

앞의 두 비만 같고 마지막이 다르면 기울기만 같은 것이므로 평행한 다른 직선 입니다. $3x+4y-12=0$ 과 $6x+8y-10=0$ 이 그렇습니다.

평행과 수직 조건

평행은 쉽습니다. 기울기가 같으면 평행입니다. 오르는 정도가 같으니 영원히 만나지 않습니다.

수직 조건은 유도합니다. 원점을 지나는 두 직선 $y=m_1x$ 와 $y=m_2x$ 가 서로 수직이라고 해 봅시다. $x=1$ 인 자리에서 각각 점 $A(1, m_1)$ 과 $B(1, m_2)$ 를 잡으면 삼각형 $OAB$ 가 원점에서 직각입니다.

거리 공식으로 세 변의 제곱을 적습니다. 앞 절에서 근호를 벗기지 않고 제곱으로 둔 이유가 여기서 드러납니다.

$\overline{OA}^2 = 1 + m_1^2, \quad \overline{OB}^2 = 1 + m_2^2, \quad \overline{AB}^2 = (m_1-m_2)^2$

피타고라스 정리를 씁니다.

$(1+m_1^2) + (1+m_2^2) = m_1^2 - 2m_1m_2 + m_2^2$

양쪽에서 $m_1^2$ 과 $m_2^2$ 이 지워지고 $2 = -2m_1m_2$ 만 남습니다.

$m_1 m_2 = -1$

수직인 두 직선의 기울기는 곱이 $-1$ 입니다. 기울기 2인 직선에 수직인 직선의 기울기는 $-\dfrac12$ 입니다.

뒤집고 부호를 바꾸는 손놀림

곱이 $-1$ 이라는 말은 손으로는 분수를 뒤집고 부호를 바꾼다 로 옵니다.

원래 기울기	수직인 기울기
$2$	$-\dfrac12$
$-\dfrac34$	$\dfrac43$
$1$	$-1$
$-5$	$\dfrac15$

두 걸음을 한꺼번에 하지 말고 따로 하면 덜 틀립니다. $-\dfrac34$ 을 뒤집어 $-\dfrac43$ 을 얻고, 부호를 바꿔 $\dfrac43$ 입니다.

기울기 0인 가로선의 수직은 이 표로 나오지 않습니다. 뒤집을 수가 없기 때문입니다. 가로선에 수직인 것은 세로선이고, 세로선에는 기울기가 없다는 앞 절의 이야기가 여기서 다시 걸립니다. 곱이 $-1$ 이라는 조건은 두 직선 모두 기울기를 가질 때만 쓸 수 있습니다.

계수쌍으로 읽는 수직 조건

일반형끼리도 수직을 판정할 수 있고, 이 꼴이 예외가 없어 더 낫습니다.

$a_1x+b_1y+c_1=0$ 의 기울기는 $-\dfrac{a_1}{b_1}$ 입니다. $b_1y = -a_1x-c_1$ 로 옮겨 적으면 바로 보입니다. 두 직선의 기울기 곱을 적습니다.

$\left(-\frac{a_1}{b_1}\right)\left(-\frac{a_2}{b_2}\right) = \frac{a_1a_2}{b_1b_2} = -1$

양변에 $b_1b_2$ 를 곱해 분모를 없앱니다.

$a_1a_2 + b_1b_2 = 0$

계수를 앞끼리 뒤끼리 곱해 더한 값이 0이면 수직 입니다. $3x+4y-12=0$ 과 $4x-3y+1=0$ 은 $3\cdot4 + 4\cdot(-3) = 0$ 이라 수직입니다.

이 꼴에는 세로선도 걸립니다. $x-2=0$ 과 $y-5=0$ 은 계수쌍이 $(1,0)$ 과 $(0,1)$ 이고 $1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0$ 이라 수직입니다. 기울기로는 한쪽을 적을 수조차 없었던 경우입니다.

수직이등분선

두 조건을 한 번에 쓰는 자리가 있습니다. 수직이등분선 은 선분을 수직으로 자르면서 그 중점을 지나는 직선입니다.

$A(1,2)$ 와 $B(5,5)$ 의 수직이등분선을 세워 봅니다.

첫째, 중점을 구합니다. $M(3, 3.5)$ 입니다.

둘째, 선분의 기울기를 구합니다. $\dfrac34$ 입니다.

셋째, 수직인 기울기로 바꿉니다. 뒤집고 부호를 바꿔 $-\dfrac43$ 입니다.

넷째, 점-기울기꼴에 넣습니다.

$y - 3.5 = -\frac43(x-3)$

이 직선 위의 점은 $A$ 와 $B$ 에서 같은 거리에 있습니다. 거리 공식으로 확인해 보면 그렇습니다 — 예를 들어 이 직선 위의 점 $(0, 7.5)$ 에서 $A$ 까지는 $\sqrt{1+30.25}$ 이고 $B$ 까지는 $\sqrt{25+6.25}$ 로, 둘 다 $\sqrt{31.25}$ 입니다.

두 점에서 같은 거리에 있는 점을 전부 모으면 직선이 된다 는 사실이 이 계산 뒤에 있습니다. 다음 절에서 「한 점에서 같은 거리」를 모으면 원이 나오는데, 두 점으로 바꾸면 직선이 나오는 셈입니다.

점과 직선 사이 거리

점 $P(x_0, y_0)$ 에서 직선 $ax+by+c=0$ 까지의 거리를 구합니다. 여기서 '거리'는 가장 가까운 거리, 곧 점에서 직선에 수직으로 내린 선분의 길이입니다. 그 선분이 직선과 만나는 점을 수선의 발 이라 하고 $H$ 로 적습니다.

먼저 그 수직 방향이 무엇인지 알아야 합니다.

직선 위의 두 점 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ 는 각각 방정식을 만족하므로 빼면 $a(x_1-x_2) + b(y_1-y_2) = 0$ 입니다. 여기서 직선의 기울기가 $-\dfrac{a}{b}$ 임이 나오고, 방향 $(a,b)$ 가 갖는 기울기는 $\dfrac{b}{a}$ 입니다. 두 기울기의 곱이 $-1$ 이므로 방금 세운 조건에 따라 $(a,b)$ 는 직선에 수직입니다.

이 방향을 법선 이라 합니다. 계수쌍이 곧 직선의 수직 방향을 가리키고 있었습니다.

이제 거리를 구합니다. $P$ 는 $H$ 에서 법선 방향으로 얼마쯤 간 자리이므로 $P = H + t(a,b)$ 로 적을 수 있고, 거리는 $|t|\sqrt{a^2+b^2}$ 입니다. $P$ 의 좌표를 직선의 좌변에 넣어 봅니다.

$ax_0+by_0+c = a(x_H + ta) + b(y_H + tb) + c = (ax_H+by_H+c) + t(a^2+b^2)$

$H$ 는 직선 위의 점이라 첫 괄호가 0입니다. 따라서 $t = \dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$ 이고, 거리는 이렇게 됩니다.

$d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$3x+4y-12=0$ 과 점 $P(4,4)$ 로 확인합니다. $\dfrac{|12+16-12|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{16}{5} = 3.2$ 입니다.

계수를 미리 나눠 두기

같은 직선에 여러 점을 넣어 볼 때는 분모를 매번 계산하는 것이 성가십니다. 그럴 때는 식 전체를 $\sqrt{a^2+b^2}$ 로 미리 나눠 둡니다.

$3x+4y-12=0$ 은 $\sqrt{9+16}=5$ 이므로 5로 나눕니다.

$\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y - \frac{12}{5} = 0$

앞 절에서 본 대로 상수배해도 같은 직선이므로 이 식은 원래 직선 그대로입니다. 그런데 이제 계수쌍의 제곱합이 $\left(\dfrac35\right)^2+\left(\dfrac45\right)^2 = \dfrac{9+16}{25} = 1$ 이라 분모가 1이 됩니다. 좌변에 점을 넣은 값이 그대로 거리 가 됩니다.

$P(4,4)$ 를 넣으면 $\dfrac{12}{5}+\dfrac{16}{5}-\dfrac{12}{5} = \dfrac{16}{5}=3.2$ 로 위와 같습니다. $R(1,1)$ 을 넣으면 $\dfrac35+\dfrac45-\dfrac{12}{5} = -1$ 입니다.

절댓값을 씌우지 않았으므로 부호가 남아 있습니다. 이렇게 부호를 달고 나오는 값을 부호 있는 거리 라고 부릅니다. 크기는 거리이고 부호는 어느 쪽인지를 말합니다.

같은 직선의 두 표기

거리 공식이 상수배에 흔들리지 않는지 확인해 둘 필요가 있습니다. 흔들린다면 같은 직선에 두 개의 거리가 생기는 셈이라 공식이 성립하지 않습니다.

$P(4,4)$ 에서 $6x+8y-24=0$ 까지의 거리를 재 봅니다.

$d = \frac{|24+32-24|}{\sqrt{36+64}} = \frac{32}{10} = 3.2$

같습니다. 분자가 2배가 되었지만 분모의 $\sqrt{a^2+b^2}$ 도 2배가 되어 위아래가 함께 커졌기 때문 입니다. 기울기에서 분자와 분모의 부호가 함께 뒤집혔던 것과 같은 종류의 상쇄입니다.

나란한 두 직선 사이의 거리

평행한 두 직선 사이의 거리는 한쪽에서 점 하나를 아무거나 골라 다른 직선까지 재면 됩니다. 두 직선이 나란하므로 어느 점을 골라도 같은 값이 나옵니다.

$3x+4y-12=0$ 과 $3x+4y+8=0$ 사이의 거리를 구해 봅니다.

첫째, 앞 직선 위의 점을 하나 찾습니다. $y=0$ 을 넣으면 $3x=12$ 이므로 $(4,0)$ 입니다.

둘째, 그 점에서 뒤 직선까지 잽니다.

$d = \frac{|12+0+8|}{\sqrt{9+16}} = \frac{20}{5} = 4$

다른 점으로 확인해 봅니다. $x=0$ 을 넣으면 $4y=12$ 이므로 $(0,3)$ 이고, $\dfrac{|0+12+8|}{5} = 4$ 로 같습니다.

계수가 같은 꼴로 맞춰져 있을 때만 이 방법이 곧바로 됩니다. $6x+8y+16=0$ 처럼 배수로 적혀 있으면 점을 골라 넣는 것은 마찬가지지만, 분모도 그 식의 것으로 써야 합니다.

부호가 가르는 두 쪽

절댓값을 벗기면 부호가 남고, 그 부호가 직선의 어느 쪽에 있는지 를 답합니다.

$3x+4y-12=0$ 에 여러 점을 넣어 봅니다.

점	좌변의 값	부호
$P(4,4)$	$16$	양수
$R(1,1)$	$-5$	음수
$(0,0)$	$-12$	음수
$(4,0)$	$0$	0

$P$ 만 한쪽에 있고 $R$ 과 원점은 반대쪽에 있습니다. 값이 0인 점은 직선 위입니다.

직선 하나가 평면을 두 쪽으로 가르고, 좌변에 넣은 값의 부호가 어느 쪽인지 말해 줍니다. 점이 아무리 많아도 판정은 대입 한 번이고, 부호만 보면 되므로 거리를 다 계산할 필요도 없습니다.

여기서 부호와 크기를 한꺼번에 쓸 수도 있습니다. 앞에서 미리 나눠 둔 꼴을 쓰면 좌변의 값 하나가 '어느 쪽에 얼마나 떨어져'를 통째로 답합니다. 두 무리의 점을 가르는 선을 놓고 각 점이 선에서 얼마나 안전하게 떨어져 있는지 보는 일이 뒤의 트랙에서 이 값 위에 세워집니다.

원의 방정식

원은 한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임 입니다. 정의를 거리 공식으로 그대로 옮겨 적습니다.

중심 $(p,q)$, 반지름 $r$ 인 원 위의 점 $(x,y)$ 는 중심까지의 거리가 $r$ 이므로 이렇습니다.

$\sqrt{(x-p)^2+(y-q)^2} = r \quad \to \quad (x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2$

$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9$ 는 중심이 $(1,-2)$ 이고 반지름이 3입니다. 괄호 안의 부호가 반대로 읽히는 것은 20번 글의 평행이동과 같은 이유입니다.

풀어헤친 꼴 되돌리기

원의 방정식이 늘 정돈된 꼴로 주어지지는 않습니다. 괄호를 다 풀어 놓은 꼴로 오면 18번 글의 완전제곱으로 되돌립니다.

$x^2+y^2+2x-8y+8=0$

$x$ 끼리, $y$ 끼리 모아 각각 완전제곱을 만듭니다. 더한 만큼 오른쪽에도 더합니다.

$(x^2+2x+1) + (y^2-8y+16) = -8 + 1 + 16$

$(x+1)^2 + (y-4)^2 = 9$

중심 $(-1, 4)$, 반지름 3입니다.

오른쪽이 음수로 나오면 그런 원은 없습니다. 거리의 제곱이 음수일 수 없기 때문입니다. 0으로 나오면 반지름이 0이라 중심 한 점뿐입니다. 그래서 되돌린 뒤에는 오른쪽의 부호를 한 번 보고 넘어갑니다.

원의 꼴인지 아닌지도 이 자리에서 갈립니다. $x^2$ 과 $y^2$ 의 계수가 같아야 원이고, 다르면 다른 도형입니다. $2x^2+2y^2-4x=0$ 처럼 둘 다 2라면 양변을 2로 나눠 계수를 1로 맞춘 뒤에 완전제곱으로 갑니다.

원과 직선의 위치 관계

원과 직선이 만나는지 알려면 방정식을 연립해 풀 수도 있지만, 중심에서 직선까지의 거리 $d$ 와 반지름 $r$ 을 견주는 편이 훨씬 짧습니다. 앞 절의 공식을 그대로 씁니다.

견줌	만나는 횟수	이름
$d < r$	두 점	두 점에서 만난다
$d = r$	한 점	접한다
$d > r$	없음	만나지 않는다

중심 $(0,0)$, 반지름 3인 원과 직선 $3x+4y-10=0$ 으로 해 봅니다.

$d = \frac{|0+0-10|}{\sqrt{9+16}} = \frac{10}{5} = 2$

$2 < 3$ 이므로 두 점에서 만납니다. 같은 원에 $3x+4y-15=0$ 이라면 $d = \dfrac{15}{5}=3$ 이라 반지름과 같으므로 접합니다.

연립해서 이차방정식을 푸는 것보다 훨씬 적게 계산합니다. 만나는 점의 좌표까지 필요하면 연립해야 하지만, 만나는지 아닌지만 물었다면 거리 하나면 끝납니다.

접선

$d=r$ 인 자리, 곧 원과 한 점에서 만나는 직선을 접선 이라 하고 만나는 그 점을 접점이라 합니다.

접선에는 성질이 하나 있습니다. 접점에서 그은 반지름과 접선은 수직입니다. 중심에서 직선까지의 가장 가까운 거리가 반지름과 같다는 것이 $d=r$ 인데, 그 가장 가까운 자리로 가는 선분은 정의상 직선과 수직이었습니다. 그 선분이 곧 반지름입니다.

이 성질 덕분에 접선을 세우는 일이 앞 절의 손놀림으로 내려옵니다. 중심 $(0,0)$, 반지름 5인 원 위의 점 $(3,4)$ 에서의 접선을 세워 봅니다.

첫째, 반지름의 기울기를 구합니다. $\dfrac{4-0}{3-0} = \dfrac43$ 입니다.

둘째, 수직인 기울기로 바꿉니다. 뒤집고 부호를 바꿔 $-\dfrac34$ 입니다.

셋째, 그 점을 지나는 직선을 적습니다.

$y - 4 = -\frac34(x-3)$

정리하면 $3x+4y=25$ 입니다. 중심에서 이 직선까지의 거리를 재면 $\dfrac{25}{5}=5$ 로 반지름과 같아, 접선이 맞습니다.

연습 문제

연습 1 — 거리와 중점 네 문제

1. $A(-1, 2)$ 와 $B(3, -1)$ 사이의 거리

   $\Delta x = 4$, $\Delta y = -3$ 이므로 $\sqrt{16+9}=5$.
2. $C(0,0)$ 과 $D(5, 12)$ 사이의 거리

   $\sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$.
3. $A(-1,2)$ 와 $B(3,-1)$ 의 중점

   각 좌표의 평균이므로 $\left(\dfrac{-1+3}{2}, \dfrac{2-1}{2}\right) = \left(1, \dfrac12\right)$.
4. $A(-1,2)$ 와 $B(3,-1)$ 을 $3:1$ 로 나누는 점

   $m=3$, $n=1$ 이므로 $\left(\dfrac{1\cdot(-1)+3\cdot 3}{4}, \dfrac{1\cdot 2+3\cdot(-1)}{4}\right) = \left(2, -\dfrac14\right)$. $B$ 쪽에 더 가깝게 나왔습니다.

연습 2 — 기울기 세 문제

1. $(1,3)$ 과 $(4,9)$ 를 지나는 직선의 기울기

   $\dfrac{9-3}{4-1} = \dfrac63 = 2$.
2. $(-2,5)$ 와 $(2,-3)$ 을 지나는 직선의 기울기

   $\dfrac{-3-5}{2-(-2)} = \dfrac{-8}{4} = -2$. 음수라 오른쪽으로 내려갑니다.
3. $(0,1)$, $(2,5)$, $(5,11)$ 은 한 직선 위에 있습니까?

   앞의 둘로 잰 기울기가 $\dfrac{4}{2}=2$ 이고 뒤의 둘로 잰 기울기도 $\dfrac{6}{3}=2$ 라 같습니다. 한 직선 위에 있습니다.

연습 3 — 직선의 식 다섯 문제

1. 기울기가 3이고 $(2,1)$ 을 지나는 직선

   $y-1 = 3(x-2)$ 이므로 $y = 3x-5$.
2. $(1,2)$ 와 $(3,8)$ 을 지나는 직선

   기울기가 $\dfrac{6}{2}=3$ 이므로 $y-2 = 3(x-1)$ 이고 정리하면 $y = 3x-1$.
3. $2x+3y-6=0$ 을 $y=mx+b$ 꼴로

   $3y = -2x+6$ 이므로 $y = -\dfrac23 x + 2$. 기울기 $-\dfrac23$, $y$ 절편 2입니다.
4. $(4,-1)$ 을 지나고 $y=2x+1$ 에 수직인 직선

   기울기의 곱이 $-1$ 이어야 하므로 $m = -\dfrac12$ 입니다. $y+1 = -\dfrac12(x-4)$ 이고 정리하면 $y = -\dfrac{x}{2}+1$.
5. $x$ 절편이 $-2$ 이고 $y$ 절편이 5인 직선을 일반형으로

   $\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{5}=1$ 이므로 양변에 10을 곱하면 $-5x+2y=10$ 이고, 옮겨 적으면 $5x-2y+10=0$.

연습 4 — 평행과 수직 세 문제

1. $2x-5y+1=0$ 과 $5x+2y-7=0$ 은 수직입니까?

   계수를 앞끼리 뒤끼리 곱해 더하면 $2\cdot 5 + (-5)\cdot 2 = 0$ 이라 수직입니다.
2. $4x+6y-9=0$ 과 $2x+3y+1=0$ 의 관계

   앞의 두 계수 비가 $\dfrac42=\dfrac63=2$ 인데 상수항 비는 $\dfrac{-9}{1}$ 라 다릅니다. 같은 직선이 아니라 평행한 두 직선입니다.
3. $A(0,1)$ 과 $B(6,5)$ 의 수직이등분선

   중점은 $(3,3)$ 이고 선분의 기울기는 $\dfrac{4}{6}=\dfrac23$ 입니다. 뒤집고 부호를 바꾸면 $-\dfrac32$ 이므로 $y-3 = -\dfrac32(x-3)$.

연습 5 — 점과 직선 사이 거리 세 문제

1. 점 $(2,3)$ 과 직선 $3x+4y-5=0$ 사이의 거리

   $\dfrac{|6+12-5|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{13}{5} = 2.6$.
2. 점 $(3,1)$ 과 직선 $x-y+2=0$ 사이의 거리를 구하고, 이 점이 원점과 같은 쪽에 있는지 판정하세요.

   좌변에 넣으면 $3-1+2 = 4$ 이므로 거리는 $\dfrac{4}{\sqrt2} = 2\sqrt2$ 입니다. 원점을 넣으면 $0-0+2 = 2$ 로 역시 양수라 같은 쪽입니다.
3. 평행한 두 직선 $x-2y+3=0$ 과 $x-2y-7=0$ 사이의 거리

   앞 직선 위의 점으로 $(-3,0)$ 을 고릅니다. 뒤 직선까지의 거리는 $\dfrac{|-3-0-7|}{\sqrt{1+4}} = \dfrac{10}{\sqrt5} = 2\sqrt5$.

연습 6 — 원 다섯 문제

1. 중심이 $(2,-3)$ 이고 반지름이 4인 원의 방정식

   $(x-2)^2+(y+3)^2 = 16$.
2. $x^2+y^2-6x+4y-3=0$ 의 중심과 반지름

   $(x^2-6x+9)+(y^2+4y+4) = 3+9+4$ 이므로 $(x-3)^2+(y+2)^2 = 16$ 입니다. 중심 $(3,-2)$, 반지름 4.
3. 중심이 $(1,2)$ 이고 점 $(4,6)$ 을 지나는 원의 방정식

   반지름은 중심에서 그 점까지의 거리이므로 $\sqrt{9+16}=5$ 입니다. $(x-1)^2+(y-2)^2=25$.
4. 중심 $(1,-1)$, 반지름 2인 원과 직선 $4x-3y+1=0$ 은 몇 점에서 만납니까?

   중심에서 직선까지의 거리가 $\dfrac{|4+3+1|}{\sqrt{16+9}} = \dfrac85 = 1.6$ 입니다. $1.6 < 2$ 이므로 두 점에서 만납니다.
5. 중심 $(0,0)$, 반지름 $\sqrt{13}$ 인 원 위의 점 $(2,3)$ 에서의 접선

   반지름의 기울기가 $\dfrac32$ 이므로 접선의 기울기는 $-\dfrac23$ 입니다. $y-3 = -\dfrac23(x-2)$ 이고 정리하면 $2x+3y=13$.

정리

• 두 점 사이 거리 $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ 는 피타고라스 정리를 좌표에 얹은 것입니다. 근호를 벗기지 않고 제곱한 채로 견주면 삼각형의 모양까지 판정됩니다.
• 선분을 $m:n$ 으로 나누는 내분점은 $\left(\dfrac{nx_1+mx_2}{m+n}, \dfrac{ny_1+my_2}{m+n}\right)$ 이고, 중점은 $m=n=1$ 인 자리라 각 좌표의 평균입니다.
• 기울기 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 는 가로로 한 칸 갈 때 세로로 얼마나 오르는가 입니다. 각이 아니라 비율이라 기울기가 두 배여도 각은 두 배가 아닙니다.
• 직선은 $y=mx+b$, $y-y_1=m(x-x_1)$, $ax+by+c=0$ 셋으로 적고, 절편 둘을 알면 $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ 도 됩니다. 세로선은 기울기가 없어 일반형으로만 적힙니다.
• 일반형은 상수배해도 같은 직선 이라 표기가 하나가 아닙니다. 계수의 비가 전부 같으면 같은 직선이고, 앞의 둘만 같으면 평행입니다.
• 평행이면 기울기가 같고, 수직이면 기울기의 곱이 $-1$ 입니다. 일반형끼리는 $a_1a_2+b_1b_2=0$ 으로 판정하고 이쪽은 세로선에도 걸립니다.
• 점과 직선 사이 거리는 $\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 이고, 절댓값 안의 부호가 직선의 어느 쪽인지 답합니다. 계수를 미리 $\sqrt{a^2+b^2}$ 로 나눠 두면 대입값 하나가 부호 있는 거리가 됩니다.
• 계수쌍 $(a,b)$ 는 직선에 수직인 방향, 곧 법선입니다.
• 원의 방정식 $(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$ 은 거리 공식을 옮겨 적은 것입니다. 원과 직선이 만나는 횟수는 중심까지의 거리 $d$ 와 반지름 $r$ 을 견주면 연립하지 않고도 정해집니다.

이 글은 각도를 한 번도 재지 않았습니다. 방향을 기울기로만 말했기 때문입니다. 다음 글은 각을 재는 도구를 세우고, 그 각을 다시 좌표로 적습니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊