이차함수와 포물선: 꼭짓점, 근, 그리고 판별식

지난 글까지 3단계에서 곡선을 여럿 그렸습니다. 이 글은 그중 하나를 골라 자세히 들여다봅니다.

이차함수는 식만 보고 그림을 말할 수 있는 몇 안 되는 함수입니다. 꼭짓점이 어디인지, 어느 쪽으로 볼록한지, $x$ 축과 몇 번 만나는지가 전부 계수 셋에 적혀 있습니다.

a가 정하는 두 가지

가장 단순한 꼴부터 봅니다. $y = ax^2$ 은 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이고, $a$ 하나가 두 가지를 정합니다.

$a$	모양
$a>0$	아래로 볼록한 그릇. 꼭짓점이 가장 낮은 자리
$a<0$	위로 볼록한 그릇. 꼭짓점이 가장 높은 자리
$\|a\|$ 가 크다	폭이 좁고 가파르다
$\|a\|$ 가 작다	폭이 넓고 완만하다

$a$ 는 20번 글의 세로 확대와 뒤집기 그대로입니다. 새로운 것이 없습니다.

폭을 정하는 계산

「폭이 좁다」를 눈대중이 아니라 수로 말할 수 있습니다. 같은 높이에 닿는 자리를 재면 됩니다.

$y = ax^2$ 이 높이 $h$ 에 닿는 자리는 $ax^2 = h$ 에서 $x = \pm\sqrt{\dfrac{h}{a}}$ 입니다. $y=x^2$ 은 $\sqrt h$ 이고 $y = ax^2$ 은 그것을 $\sqrt a$ 로 나눈 자리이니, 폭은 $\sqrt a$ 분의 1이 됩니다.

$h=4$ 로 확인합니다. $y=x^2$ 은 $x=2$ 에서 닿고, $y=2x^2$ 은 $x = \dfrac{2}{\sqrt2} \approx 1.41$, $y=\dfrac12 x^2$ 은 $x = 2\sqrt2 \approx 2.83$ 입니다. 위 그림의 점 셋이 그 자리입니다.

여기서 자주 어긋나는 짐작이 하나 있습니다. $a$ 를 2배 하면 폭이 절반이 될 것 같지만 실제로는 $\sqrt2$ 분의 1, 곧 약 0.71배입니다. 폭을 정확히 절반으로 줄이려면 $a$ 를 4배 해야 합니다.

a가 0인 자리

표에는 $a>0$ 과 $a<0$ 만 있고 $a=0$ 이 없습니다. 넣어 보면 이유가 보입니다.

$y = 0 \times x^2 + bx + c = bx + c$

$x^2$ 항이 통째로 사라져 일차함수가 됩니다. 포물선이 한없이 넓어지다가 직선이 되는 것이 아니라 이차함수라는 범주에서 아예 빠져나갑니다. 꼭짓점도 대칭축도 판별식도, 이 글이 하는 이야기가 전부 $a \ne 0$ 을 깔고 있습니다.

그래서 계수에 문자가 든 문제에서 「이차함수 $y=(k-1)x^2+2x+3$」이라고 적혀 있으면 $k \ne 1$ 이 이미 주어진 조건입니다. 구한 답에 $k=1$ 이 섞여 있으면 그것만 빼야 합니다.

완전제곱과 꼭짓점

$y = x^2 - 6x + 5$ 는 꼭짓점이 어디일까요. 이 꼴로는 보이지 않습니다. 18번 글의 완전제곱 만들기를 그대로 씁니다.

$x^2 - 6x + 5 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$

$x$ 의 계수 $-6$ 의 절반인 $-3$ 을 제곱해 9를 만들어 넣고, 넣은 만큼 다시 뺐습니다.

$y = (x-3)^2 - 4$ 는 $y=x^2$ 을 오른쪽으로 3, 아래로 4 옮긴 것입니다. 꼭짓점이 $(3,-4)$ 라는 말이 식에 그대로 적혀 있습니다.

일반형으로 한 번 더 합니다.

$y = ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$

꼭짓점의 $x$ 좌표는 $-\dfrac{b}{2a}$ 이고, 그 자리를 지나는 세로선 $x = -\dfrac{b}{2a}$ 이 대칭축입니다. 포물선은 이 선을 접었을 때 정확히 겹칩니다.

세 가지 꼴

같은 이차식을 세 가지 모양으로 적을 수 있고, 모양마다 바로 읽히는 것이 다릅니다.

꼴	적는 법	바로 읽히는 것
일반형	$y=ax^2+bx+c$	$x=0$ 일 때의 값 $c$
표준형	$y=a(x-p)^2+q$	꼭짓점 $(p,\,q)$
인수분해형	$y=a(x-\alpha)(x-\beta)$	$x$ 축과 만나는 자리 $\alpha$, $\beta$

셋은 같은 식입니다. 괄호를 풀면 뒤의 둘이 일반형이 되고, 완전제곱을 하면 일반형이 표준형이 됩니다. 인수분해형만 늘 만들 수 있는 것은 아닙니다 — $x$ 축과 만나지 않는 포물선에는 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 없습니다.

무엇을 묻느냐가 어느 꼴로 고쳐 쓸지를 정합니다. 꼭짓점을 물으면 완전제곱을 하고, $x$ 축과 만나는 자리를 물으면 인수분해를 합니다. 식을 보자마자 고치지 말고 물음을 먼저 읽으세요.

최댓값과 최솟값

꼭짓점을 읽는 것이 곧 최솟값과 최댓값을 읽는 것입니다. 아래로 볼록하면 꼭짓점의 $y$ 좌표가 최솟값이고 최댓값은 없습니다. 위로 볼록하면 반대입니다. 따로 세울 개념이 아닙니다.

다만 $x$ 의 범위가 구간으로 제한되면 이야기가 달라집니다. $y=(x-3)^2-4$ 를 $0 \le x \le 1$ 에서만 본다면 꼭짓점 $x=3$ 이 구간 밖이므로 답은 끝점에서 나옵니다. $x=0$ 에서 5이고 $x=1$ 에서 0이므로 최댓값 5, 최솟값 0입니다.

정리하면 확인할 것이 둘입니다. 꼭짓점이 구간 안에 있는가, 그리고 양 끝점의 값은 얼마인가. 꼭짓점이 안에 있으면 그것과 두 끝점 셋을 견주고, 밖에 있으면 두 끝점만 견줍니다.

점 셋으로 정해지는 계수

반대 방향도 됩니다. 그래프가 지나는 점을 알면 계수를 거꾸로 정할 수 있습니다.

$y=ax^2+bx+c$ 에는 정할 것이 셋이므로 점도 셋 필요합니다. 점 하나를 넣을 때마다 식이 하나 생기기 때문입니다. $(0,1)$, $(1,0)$, $(2,3)$ 을 지난다고 해 봅니다.

• $(0,1)$ 을 넣으면 $c=1$
• $(1,0)$ 을 넣으면 $a+b+c=0$ 이므로 $a+b=-1$
• $(2,3)$ 을 넣으면 $4a+2b+c=3$ 이므로 $2a+b=1$

아래 둘을 빼면 $a=2$ 이고, 되돌려 넣으면 $b=-3$ 입니다. 답은 $y=2x^2-3x+1$ 이고, 세 점을 다시 넣어 보면 1, 0, 3이 나와 맞습니다.

꼭짓점을 알고 있으면 점이 둘만 있어도 됩니다. 표준형 $y=a(x-p)^2+q$ 에서 $p$ 와 $q$ 가 이미 채워지므로 남은 것이 $a$ 하나뿐이기 때문입니다.

이차방정식 푸는 두 길

$y=0$ 인 자리를 찾는 일이 곧 이차방정식을 푸는 일입니다. 방법이 둘 있습니다.

하나 — 인수분해. 15번 글에서 한 일입니다.

$x^2 - 5x + 6 = 0 \;\to\; (x-2)(x-3)=0 \;\to\; x=2 \text{ 또는 } x=3$

곱이 0이면 둘 중 하나는 0이어야 합니다. 빠르지만 깔끔한 정수 근이 있을 때만 됩니다.

둘 — 완전제곱. 인수분해가 안 될 때도 언제나 됩니다.

$x^2 - 6x + 4 = 0 \;\to\; (x-3)^2 - 9 + 4 = 0 \;\to\; (x-3)^2 = 5$

$x-3 = \pm\sqrt{5}$ 이므로 $x = 3 \pm\sqrt{5}$ 입니다. 제곱을 벗길 때 부호가 둘이라는 것만 조심하면 됩니다.

근의 공식

둘째 방법을 $ax^2+bx+c=0$ 에 그대로 적용합니다. 숫자 자리에 문자가 앉았을 뿐 절차는 같습니다.

$a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0$

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$

양변에 제곱근을 씌우고 이항합니다.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

근의 공식은 외우는 것이 아니라 완전제곱을 한 번 한 결과 입니다. 잊었으면 그 자리에서 다시 만들면 됩니다.

인수분해가 되는 자리

인수분해는 빠르지만 늘 되는 것은 아닙니다. 언제 되는지는 근의 공식이 이미 알려 주고 있습니다 — 근호가 벗겨져야 근이 정수나 분수로 떨어지기 때문입니다.

계수가 정수인 $ax^2+bx+c=0$ 은 $b^2-4ac$ 가 완전제곱수, 곧 어떤 정수를 제곱한 수일 때만 유리수 범위에서 인수분해됩니다.

$x^2-5x+6$ 은 $25-24=1$ 이고 1은 $1^2$ 이므로 됩니다. $x^2-6x+4$ 는 $36-16=20$ 인데 20은 어떤 정수의 제곱도 아니므로 안 됩니다. 앞에서 이 식을 완전제곱으로 푼 것이 그래서였습니다. 인수분해할 두 수를 한참 찾기 전에 이 값을 먼저 재 보면 시간을 아낍니다.

제곱근으로 바로 벗기기

$x$ 의 일차항이 없으면 완전제곱을 만들 것도 없습니다. $x^2=k$ 꼴로 두고 제곱근을 바로 씌우면 끝입니다.

$2x^2 - 18 = 0 \;\to\; x^2 = 9 \;\to\; x = \pm 3$

괄호째 제곱된 꼴도 마찬가지입니다.

$(x-3)^2 = 5 \;\to\; x-3 = \pm\sqrt5 \;\to\; x = 3 \pm\sqrt5$

완전제곱으로 푸는 것은 결국 이 꼴을 만들어 내려는 것입니다. 둘이 다른 방법이 아니라 앞에 한 걸음이 더 붙어 있을 뿐입니다. $k$ 가 음수이면 제곱해서 음수가 되는 실수가 없으므로 근이 없습니다.

구한 근은 소수로 어림해 한 번 확인하세요. $\sqrt5 \approx 2.24$ 이므로 $3 \pm\sqrt5$ 는 대략 0.76과 5.24입니다. 그림에서 곡선이 $x$ 축을 뚫는 두 자리와 견주면 부호를 뒤집는 실수가 바로 걸립니다.

판별식이 세는 것

공식에서 근호 안에 든 것에 이름을 붙입니다. 이 값을 판별식이라고 하고 $D$ 로 적습니다.

$D = b^2 - 4ac$

이 값의 부호가 곧 답의 개수입니다. 음수면 제곱근을 씌울 수 없어 실수 근이 없고, 0이면 $\pm$ 가 의미를 잃어 근이 하나이고, 양수면 둘입니다.

세 곡선은 꼭짓점의 높이만 다릅니다. 그릇을 위로 들어 올리면 어느 순간 $x$ 축에서 발이 떨어지고, 그 순간이 $D=0$ 입니다.

$D<0$ 일 때 근이 아예 없는 것인지, 우리가 아직 모르는 수가 있는 것인지는 26번 · 복소수와 오일러가 답합니다. 지금은 실수 범위에서 없다고만 적습니다.

꼭짓점의 높이

「그릇을 들어 올린다」는 말과 「$D$ 를 줄인다」는 말은 사실 같은 말입니다. 완전제곱으로 고친 꼴을 다시 봅니다.

$y = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$

꼭짓점의 $y$ 좌표는 $c - \dfrac{b^2}{4a}$ 이고, 통분하면 이렇게 됩니다.

$\frac{4ac-b^2}{4a} = -\frac{D}{4a}$

$a>0$ 일 때 꼭짓점이 $x$ 축 아래에 있으려면 이 값이 음수여야 하고, 그러려면 $D>0$ 이어야 합니다. 판별식은 새로 들여온 값이 아니라 꼭짓점의 높이를 $-4a$ 배 한 것입니다. 그림에서 그릇을 들어 올린 것이 식에서는 $D$ 가 줄어든 것입니다.

네 갈래로 갈리는 근

부호 셋으로 개수를 셌는데, 양수 쪽을 한 번 더 가르면 근의 모양까지 나옵니다.

$D$	실수 근	근의 모양
완전제곱수	둘	유리수 — 인수분해로도 풀린다
양수이고 완전제곱수가 아님	둘	근호가 남는 무리수
$0$	하나	$-\dfrac{b}{2a}$ — 꼭짓점이 곧 근이다
음수	없음	실수 범위에 없다

$D=0$ 인 근을 중근이라고 부릅니다. $(x-3)^2=0$ 처럼 같은 근이 두 번 겹친 것으로 보는 관례라, 「근이 하나」가 아니라 「겹친 근 하나」로 셉니다. 이때 곡선은 $x$ 축을 뚫지 않고 스치기만 합니다.

계수에 문자가 든 식

$D$ 는 조건으로도 쓰입니다. 계수에 문자가 있으면 그 문자의 범위를 $D$ 가 정합니다.

$x^2+4x+k=0$ 이 서로 다른 두 실수 근을 갖는 $k$ 를 구해 봅니다. $D = 16-4k > 0$ 이므로 $k<4$ 입니다.

묻는 문장이 한 글자만 달라도 부등호가 달라집니다. 그냥 「실수 근을 갖는다」면 $D \ge 0$ 이라 $k \le 4$ 이고, 「중근을 갖는다」면 $D=0$ 이라 $k=4$ 하나입니다. 「서로 다른」과 「중근」이라는 말을 흘려 읽지 마세요.

근과 계수의 관계

두 근을 $\alpha$, $\beta$ 라 하고 공식에 넣어 더해 봅니다. 근호가 서로 지워집니다.

$\alpha+\beta = \frac{(-b+\sqrt{D}) + (-b-\sqrt{D})}{2a} = -\frac{b}{a}$

곱하면 합차 공식으로 근호가 사라집니다.

$\alpha\beta = \frac{b^2 - D}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2-4ac)}{4a^2} = \frac{c}{a}$

$2x^2-7x+3=0$ 으로 확인합니다. 두 근은 3과 $\dfrac12$ 이고, 합은 $\dfrac72 = -\dfrac{-7}{2}$, 곱은 $\dfrac32$ 입니다. 맞습니다. 근을 구한 뒤 이 둘로 검산하는 습관 을 들이면 계산 실수가 거의 걸러집니다.

거꾸로도 씁니다. 합이 4이고 곱이 $-5$ 인 두 수를 근으로 갖는 이차식은 $x^2 - 4x - 5$ 입니다. 합에는 부호를 바꿔 넣고 곱은 그대로 넣습니다.

근을 구하지 않고 계산하기

합과 곱만 알아도 답이 나오는 식들이 있습니다. 두 근의 제곱의 합이 그렇습니다.

$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$

$x^2-5x+2=0$ 에서 합은 5이고 곱은 2이므로 $25-4=21$ 입니다. 근이 $\dfrac{5\pm\sqrt{17}}{2}$ 라 직접 제곱해 더하면 지저분한데 여기서는 한 줄입니다.

같은 방식으로 역수의 합도 나옵니다.

$\frac1\alpha+\frac1\beta = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = -\frac{b}{c}$

두 근의 차도 구할 수 있습니다. $(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta = \dfrac{D}{a^2}$ 이므로, 두 근이 얼마나 벌어져 있는지가 곧 판별식입니다. $D$ 가 0에 가까울수록 두 근이 붙어 있고, 0이 되는 순간 겹칩니다.

부호로 두 근 읽기

합과 곱의 부호만으로 두 근의 부호를 말할 수 있습니다. 근을 구할 필요가 없습니다.

곱	합	두 근
양수	양수	둘 다 양수
양수	음수	둘 다 음수
음수	볼 것 없음	부호가 서로 다르다

곱이 음수이면 한쪽이 음수라는 뜻이니 합은 볼 것도 없습니다. 곱이 양수이면 둘의 부호가 같고, 어느 쪽인지는 합이 말해 줍니다.

$x^2-7x+12=0$ 은 곱이 12이고 합이 7이라 둘 다 양수입니다. 실제로 근은 3과 4입니다. 이 판정은 $D \ge 0$ 일 때만 뜻이 있습니다 — 실수 근이 없으면 부호를 말할 대상 자체가 없습니다.

삼차로 넓히면

같은 얼개가 차수를 올려도 이어집니다. $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 의 세 근에 대해 합은 $-\dfrac{b}{a}$, 세 근을 다 곱한 값은 $-\dfrac{d}{a}$ 이고, 가운데에 두 개씩 곱해 더한 값이 하나 더 끼어듭니다.

이름만 짚고 넘어갑니다. 차수가 얼마든 계수가 근들의 합·곱과 이런 꼴로 이어져 있고, 이 트랙에서 실제로 쓰는 것은 이차까지입니다.

이차부등식과 그래프 읽기

$x^2-6x+5>0$ 을 풀어 봅니다. 부호 규칙을 외울 필요가 없습니다. 앞에서 그린 그림을 그대로 씁니다.

「$y$ 값이 0보다 크다」는 곧 「곡선이 $x$ 축보다 위에 있다」 입니다. 그 곡선은 $x=1$ 과 $x=5$ 에서 $x$ 축과 만나고 아래로 볼록하므로, 위에 있는 구간은 두 근의 바깥쪽입니다.

$x < 1 \quad \text{또는} \quad x > 5$

부등호가 반대면 안쪽입니다. $x^2-6x+5<0$ 의 답은 $1<x<5$ 입니다.

부등식	아래로 볼록한 포물선에서
$>0$	두 근의 바깥쪽
$<0$	두 근의 사이

17번 글에서 세운 조작 위에 그림 한 장을 얹은 것뿐입니다. 앞의 계수가 음수면 양변에 $-1$ 을 곱해 부등호를 뒤집고 아래로 볼록한 꼴로 만든 뒤 읽습니다.

해가 전부이거나 없는 자리

한 걸음 더 나갑니다. 「모든 $x$ 에서 $ax^2+bx+c \ge 0$」 은 무슨 조건일까요.

곡선이 단 한 자리에서도 $x$ 축 아래로 내려가면 안 된다는 말입니다. 그러려면 두 가지가 함께 필요합니다.

• $a>0$ — 위로 열린 그릇이어야 합니다. 아래로 열려 있으면 양 끝이 한없이 내려갑니다.
• $D \le 0$ — $x$ 축을 뚫고 지나가면 안 됩니다. 닿는 것까지는 괜찮습니다.

$x^2+2x+3$ 으로 확인합니다. $a=1>0$ 이고 $D = 4-12 = -8 <0$ 이므로 어떤 $x$ 를 넣어도 값이 양수입니다. 완전제곱으로 고치면 $(x+1)^2+2$ 라 눈으로도 보입니다.

$a>0$ 으로 고정하고 나면 $D$ 와 부등호가 만드는 경우가 표 하나에 다 들어갑니다.

$a>0$ 일 때	$D>0$	$D=0$	$D<0$
$>0$	두 근의 바깥	한 점을 뺀 모든 실수	모든 실수
$\ge 0$	두 근의 바깥과 근	모든 실수	모든 실수
$<0$	두 근의 사이	해가 없다	해가 없다
$\le 0$	두 근의 사이와 근	한 점뿐	해가 없다

표를 외울 것은 없습니다. 그릇이 $x$ 축에 어떻게 놓여 있는지를 머리에 그리고 어느 쪽을 묻는지 읽으면 그 자리에서 나옵니다. 부등호가 $>0$ 으로 엄격하면 닿는 것도 안 되므로 $D<0$ 이어야 한다는 것이 표의 둘째 열에 그대로 적혀 있습니다.

두 부등식을 겹쳐 읽기

두 이차부등식을 함께 만족하는 구간은 각각 푼 뒤 수직선 위에 겹쳐 그려 읽습니다.

$x^2-x-6<0$ 과 $x^2-4x+3>0$ 을 함께 봅니다. 앞의 것은 근이 $-2$ 와 3이고 사이이므로 $-2<x<3$ 이고, 뒤의 것은 근이 1과 3이고 바깥이므로 $x<1$ 또는 $x>3$ 입니다.

수직선에 두 줄을 그어 겹치는 데만 남기면 $-2<x<1$ 입니다. $x>3$ 쪽은 앞의 조건에 걸려 사라집니다.

겹치는 구간이 아예 없으면 해가 없는 것이고, 그것도 답입니다. 억지로 하나를 고르지 마세요. 그리고 끝점의 등호를 빠뜨리기 쉬우니 $<$ 는 속이 빈 점으로, $\le$ 는 속이 찬 점으로 수직선에 구별해 찍어 두면 실수가 줍니다.

최댓값을 묻는 문장제

꼭짓점을 읽는 일이 곧 최댓값을 읽는 일이라는 것이 문장제에서 그대로 쓰입니다.

길이 20 m짜리 끈으로 직사각형을 만들 때 넓이가 가장 큰 모양을 찾아봅니다. 가로를 $x$ 라 하면 둘레가 20이므로 세로는 $10-x$ 이고, 넓이는 이렇게 됩니다.

$S = x(10-x) = -x^2+10x$

$a=-1<0$ 이라 위로 볼록하고 꼭짓점에서 최댓값입니다. 대칭축은 $x = -\dfrac{10}{2\times(-1)} = 5$ 이므로 가로가 5 m일 때, 곧 정사각형일 때 넓이가 25 m²로 가장 큽니다.

답을 구한 뒤 $x$ 의 범위를 확인하는 것을 빠뜨리지 마세요. 가로는 0보다 크고 10보다 작아야 하는데 5는 그 안에 있으니 괜찮습니다. 만약 꼭짓점이 범위 밖으로 나갔다면 앞에서 본 대로 답은 끝점에서 나옵니다.

연습 문제

연습 1 — 표준형과 꼭짓점 다섯 문제

각 식을 $y=a(x-p)^2+q$ 꼴로 고치고 꼭짓점과 최댓값 또는 최솟값을 말하세요.

1. $y = 2x^2 - 8x + 5$

   $2(x^2-4x)+5 = 2\{(x-2)^2-4\}+5 = 2(x-2)^2-3$. 꼭짓점 $(2,-3)$, 최솟값 $-3$.
2. $y = x^2 + 4x + 1$

   $(x+2)^2-4+1 = (x+2)^2-3$. 꼭짓점 $(-2,-3)$, 최솟값 $-3$.
3. $y = -x^2 + 4x + 1$

   $-(x^2-4x)+1 = -\{(x-2)^2-4\}+1 = -(x-2)^2+5$. 위로 볼록하므로 꼭짓점 $(2,5)$ 에서 최댓값 5입니다.
4. $y = 3x^2 - 6x + 1$

   $3(x^2-2x)+1 = 3\{(x-1)^2-1\}+1 = 3(x-1)^2-2$. 꼭짓점 $(1,-2)$, 최솟값 $-2$.
5. $y = x^2 + x$

   $\left(x+\dfrac12\right)^2-\dfrac14$. 꼭짓점 $\left(-\dfrac12, -\dfrac14\right)$, 최솟값 $-\dfrac14$.

연습 2 — 근의 공식과 검산 다섯 문제

1부터 4번은 근을 구한 뒤 합과 곱으로 검산까지 하세요.

1. $x^2 - 5x + 2 = 0$

   $D = 25-8 = 17$ 이므로 $x = \dfrac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$. 합은 5이고 $-\dfrac{b}{a}=5$, 곱은 $\dfrac{25-17}{4}=2$ 이고 $\dfrac{c}{a}=2$ 라 맞습니다.
2. $2x^2 + 3x - 1 = 0$

   $D = 9+8 = 17$ 이므로 $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$. 합은 $-\dfrac32$, 곱은 $\dfrac{9-17}{16} = -\dfrac12$ 로 $\dfrac{c}{a}$ 와 같습니다.
3. $x^2 - 2x - 4 = 0$

   $D = 4+16 = 20$ 이므로 $x = \dfrac{2 \pm 2\sqrt5}{2} = 1 \pm \sqrt5$. 합은 2, 곱은 $1-5=-4$ 로 맞습니다.
4. $x^2 + 6x + 4 = 0$

   $D = 36-16 = 20$ 이므로 $x = -3 \pm \sqrt5$. 합은 $-6$, 곱은 $9-5=4$ 로 맞습니다.
5. 두 근의 합이 7이고 곱이 10인 이차식을 $x^2+bx+c$ 꼴로 쓰세요.

   합에는 부호를 바꿔 넣고 곱은 그대로 넣으므로 $x^2 - 7x + 10$ 입니다. 인수분해하면 $(x-2)(x-5)$ 이고 근이 2와 5라 맞습니다.

연습 3 — 이차부등식 다섯 문제

1. $x^2 - x - 6 > 0$

   $(x-3)(x+2)=0$ 에서 근이 $-2$ 와 3입니다. 아래로 볼록하고 0보다 크므로 바깥쪽입니다. $x<-2$ 또는 $x>3$.
2. $x^2 - 5x + 4 \le 0$

   근이 1과 4이고 0보다 작거나 같으므로 사이입니다. $1 \le x \le 4$.
3. $2x^2 - 5x + 2 < 0$

   $(2x-1)(x-2)=0$ 에서 근이 $\dfrac12$ 과 2입니다. $\dfrac12 < x < 2$.
4. $-x^2 + 2x + 3 \ge 0$

   양변에 $-1$ 을 곱하면 부등호가 뒤집혀 $x^2-2x-3 \le 0$ 입니다. 근이 $-1$ 과 3이므로 $-1 \le x \le 3$.
5. $x^2 + 2x + 5 > 0$

   $D = 4-20 = -16 <0$ 이고 $a=1>0$ 이라 곡선이 $x$ 축 위에만 있습니다. 모든 실수가 답입니다.

연습 4 — 조건을 만족하는 계수 두 문제

1. 모든 실수 $x$ 에 대해 $x^2+2kx+9>0$ 이 성립하는 $k$ 의 범위

   $a=1>0$ 은 이미 만족하므로 $D<0$ 이면 됩니다. $D = (2k)^2 - 36 = 4k^2-36 < 0$ 에서 $k^2 < 9$ 이고, 따라서 $-3 < k < 3$ 입니다.
2. $x^2 - 6x + m = 0$ 이 중근을 갖도록 하는 $m$ 과 그때의 근

   중근이므로 $D = 36-4m = 0$ 에서 $m=9$ 입니다. 그때 식은 $(x-3)^2=0$ 이라 근은 3이고, 대칭축 $-\dfrac{b}{2a}=3$ 과 같은 자리입니다.

정리

• $a$ 의 부호가 볼록한 방향을, 크기가 폭을 정합니다. 같은 높이에 닿는 자리가 $\sqrt a$ 분의 1이 되고, $a=0$ 이면 이차함수가 아닙니다.
• 완전제곱으로 고치면 꼭짓점이 식에 적혀 있습니다. 일반형에서는 $x = -\dfrac{b}{2a}$ 가 대칭축입니다.
• 일반형·표준형·인수분해형은 같은 식이고, 무엇을 묻느냐가 어느 꼴로 고칠지를 정합니다.
• 꼭짓점을 읽는 것이 곧 최댓값·최솟값을 읽는 것입니다. 구간이 제한되면 끝점도 확인합니다.
• 이차방정식은 인수분해로 풀거나 완전제곱으로 풉니다. 근의 공식은 완전제곱을 문자로 한 번 한 결과 입니다.
• $D=b^2-4ac$ 의 부호가 $x$ 축과 만나는 횟수이고, 그 값은 꼭짓점의 높이를 $-4a$ 배 한 것입니다. 완전제곱수이면 인수분해로도 풀립니다.
• $\alpha+\beta = -\dfrac{b}{a}$, $\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$ 로 근을 구하지 않고 합과 곱을 말하고, 구한 근을 검산합니다.
• 이차부등식은 곡선이 $x$ 축의 어느 쪽에 있는가로 읽습니다. 모든 $x$ 에서 $\ge 0$ 이려면 $a>0$ 이고 $D \le 0$ 이어야 합니다.

여기까지는 그림을 함수의 도구로 썼습니다. 다음 글은 좌표평면 자체를 무대로 삼아 거리와 기울기를 재고, 직선과 원을 식으로 적습니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊