시그마 표기와 수열: Σ를 펼쳤다 다시 접기

지난 글까지 다룬 수는 하나씩 떨어져 있었습니다. 이 글부터는 수를 줄지어 세웁니다.

줄이 길어지면 적는 일이 문제가 됩니다. 1부터 100까지 더하라는 말을 점 세 개로 얼버무리지 않고 정확히 적으려면 기호가 하나 필요합니다. 그 기호가 $\Sigma$ 이고, 이 글의 절반은 그것을 펼쳤다 다시 접는 연습입니다.

순서가 정해진 수의 나열

$3,\ 7,\ 11,\ 15,\ 19,\ \ldots$ 처럼 순서가 정해진 수의 나열 을 수열이라고 합니다. 하나하나를 항이라 하고, 몇 번째인지를 아래에 작게 붙여 $a_1, a_2, a_3, \ldots$ 으로 적습니다. 이 작은 숫자를 첨자라고 하고 $a_3$ 은 "에이 삼"이라고 읽습니다.

위 수열이면 $a_1=3$, $a_2=7$, $a_5=19$ 입니다. $a_n$ 은 곱셈이 아닙니다 — $n$ 번째 항을 가리키는 이름 하나입니다.

수열을 남에게 넘겨주는 방법은 둘입니다.

• 일반항 — $n$ 을 넣으면 곧바로 $n$ 번째 항이 나오는 식입니다. 위 수열은 $a_n = 4n-1$ 입니다.
• 점화식 — 앞 항으로 다음 항을 만드는 식입니다. 위 수열은 $a_1=3$, $a_{n+1}=a_n+4$ 입니다.

일반항은 $a_{100}$ 을 바로 주지만 점화식은 100번을 굴려야 합니다. 대신 점화식은 규칙 자체를 그대로 적은 것이라 세우기가 쉽습니다.

정의역이 자연수인 함수

수열은 새로운 종류의 대상이 아닙니다. 19번 글에서 세운 함수를 좁게 쓴 것입니다.

함수는 넣는 값 하나에 나오는 값 하나가 대응하는 규칙 이었습니다. 수열에서 넣는 값은 「몇 번째인가」이고 나오는 값은 「그 자리의 수」입니다.

$a_n = 4n-1 \quad \longleftrightarrow \quad f(x) = 4x-1$

두 식은 같은 규칙을 적은 것이고, 다른 것은 넣을 수 있는 값의 범위 하나뿐입니다. $f$ 에는 $x=2.5$ 도 넣을 수 있지만 $a_n$ 에는 $n=2.5$ 를 넣지 않습니다. 2.5번째 항이라는 것은 없습니다.

그래서 수열은 정의역이 자연수인 함수 입니다. 함수 이야기가 그대로 따라옵니다 — 표기 $a_n$ 은 $f(n)$ 의 다른 옷이고, 그래프를 그리면 이어진 곡선이 아니라 떨어진 점들 이 됩니다.

첨자를 어디서부터 세나

지금까지 첫 항을 $a_1$ 로 적었습니다. $a_0$ 부터 세는 관례도 있습니다.

관례	첫 항	일반항
1부터	$a_1 = 3$	$a_n = 4n-1$
0부터	$a_0 = 3$	$a_n = 4n+3$

같은 수열인데 일반항의 식이 달라집니다. 자리를 세는 눈금이 한 칸 밀렸으니 식도 한 칸 밀려야 합니다. 자리를 0부터 세는 관례는 프로그래밍에서도 그대로 쓰는 것이라 익숙한 분도 있을 텐데, 수학 쪽 글에서는 1부터 세는 쪽이 더 흔합니다.

어느 쪽이든 상관없지만 한 글 안에서 섞으면 안 됩니다. 이 글은 끝까지 1부터 셉니다. 남의 식을 가져다 쓸 때는 그 식이 몇부터 세는 관례인지를 먼저 봅니다 — 여기서 어긋나면 계산은 다 맞는데 답이 한 칸씩 밀립니다.

유한수열과 무한수열

항이 몇 개인지에 따라 이름이 갈립니다.

• 유한수열 — 항이 유한 개에서 끝납니다. $3, 7, 11, 15$ 는 네 항짜리입니다.
• 무한수열 — 항이 끝없이 이어집니다. $3, 7, 11, 15, 19, \ldots$ 처럼 점 세 개를 붙여 적습니다.

이 글에서 더하는 것은 전부 유한수열 입니다. 끝이 있어야 마지막 항까지 세어 더할 수 있기 때문입니다. 무한수열을 통째로 더하는 일은 마지막 절에서 물음만 남겨 둡니다.

등차수열과 등비수열

등차수열은 이웃한 두 항의 차가 늘 같은 수열입니다. 그 차를 공차라 하고 $d$ 로 적습니다. $3, 7, 11, 15$ 는 $d=4$ 입니다. 손으로 펼쳐 봅니다.

$a_1 = 3,\quad a_2 = 3+4,\quad a_3 = 3+4+4,\quad a_4 = 3+4+4+4$

$a_4$ 에서 4가 세 번 더해졌습니다. $n$ 번째 항에서는 $n-1$ 번입니다.

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$a_5 = 3 + 4\times 4 = 19$ 이고, 위에서 세어 본 값과 같습니다.

등비수열은 이웃한 두 항의 비가 늘 같은 수열입니다. 그 비를 공비라 하고 $r$ 로 적습니다. $2, 6, 18, 54$ 는 $r=3$ 입니다.

$a_1 = 2,\quad a_2 = 2\times 3,\quad a_3 = 2\times 3\times 3,\quad a_4 = 2\times 3^3$

여기서도 곱해진 횟수가 $n-1$ 입니다. 13번 글의 거듭제곱으로 접으면

$a_n = a_1 r^{n-1}$

확인하면 $a_4 = 2\times 3^3 = 54$ 입니다.

직선 위의 점과 곡선 위의 점

앞 소절에서 수열을 함수로 읽었으니 좌표평면에 찍어 볼 수 있습니다. 가로가 $n$, 세로가 $a_n$ 입니다.

$3, 7, 11, 15$ 는 한 직선 위에 나란히 놓입니다. 일반항이 $4n-1$ 이라 24번 글의 $y=mx+b$ 꼴 그대로이고, 공차 4가 곧 기울기입니다.

$2, 6, 18, 54$ 는 점이 위로 휘며 벌어집니다. 일반항이 $2 \cdot 3^{\,n-1}$ 이라 21번 글의 지수함수 꼴이고, 한 칸 갈 때마다 값이 3배가 됩니다.

공차는 한 칸에 얼마나 더하는가이고 공비는 한 칸에 몇 배가 되는가입니다. 더하기를 되풀이하면 직선이 나오고 곱하기를 되풀이하면 휘는 곡선이 나온다 — 이 대비는 등차와 등비가 갈리는 자리마다 되돌아옵니다.

공비가 음수일 때

공비가 양수라고 정해 둔 적은 없습니다. $r$ 이 음수면 부호가 한 항마다 번갈아 붙습니다.

$1,\ -2,\ 4,\ -8,\ 16,\ -32,\ \ldots$

$a_1=1$, $r=-2$ 인 등비수열입니다. 일반항은 $a_n = (-2)^{n-1}$ 이고, 13번 글에서 본 대로 지수가 짝수면 양수, 홀수면 음수가 되어 부호가 오갑니다.

$|r|$ 이 1보다 작으면 크기가 줄면서 부호만 오갑니다.

$1,\ -\frac12,\ \frac14,\ -\frac18,\ \ldots$

부호를 빼고 크기만 보면 $|r|$ 배씩 커지거나 작아지는 것은 그대로입니다. 그래서 등비수열이 커지는지 작아지는지를 볼 때는 $r$ 이 아니라 $|r|$ 을 봅니다. 이 구별은 29번 · 등비급수에서 다시 필요해집니다.

어느 쪽인지 가려내기

수만 몇 개 주어졌을 때 등차인지 등비인지 가리는 방법은 손으로 두 번 해 보는 것입니다.

$5,\ 10,\ 20,\ 40$

첫째, 이웃한 항의 차 를 적습니다. $5, 10, 20$ 으로 일정하지 않으니 등차가 아닙니다.

둘째, 이웃한 항의 비 를 적습니다. $2, 2, 2$ 로 일정하니 등비이고 $r=2$ 입니다.

$5, 10, 15, 20$ 이라면 차가 $5,5,5$ 로 일정해 등차이고, 비는 $2, 1.5, \frac43$ 으로 일정하지 않습니다.

둘 다 아닌 수열이 훨씬 많습니다. $1, 4, 9, 16$ 은 차가 $3,5,7$ 이고 비가 $4, 2.25, \frac{16}{9}$ 이라 어느 쪽도 아닙니다. 등차와 등비는 흔해서 이름이 붙은 두 갈래일 뿐이지 수열 전체를 나누는 분류가 아닙니다.

점화식 굴리기

점화식이 낯설면 손으로 몇 번 굴리는 것이 가장 빠릅니다. $a_1=1$, $a_{n+1}=2a_n+1$ 을 다섯 항까지 굴려 봅니다.

$a_2 = 2\times 1+1 = 3$

$a_3 = 2\times 3+1 = 7$

$a_4 = 2\times 7+1 = 15$

$a_5 = 2\times 15+1 = 31$

$1, 3, 7, 15, 31$ 이 나왔습니다. 눈에 띄는 것이 있습니다 — 전부 2의 거듭제곱보다 1 작습니다. 실제로 $a_n = 2^n - 1$ 입니다. 점화식에서 일반항을 찾아내는 일반적인 방법은 여기서 다루지 않습니다. 굴려서 값을 얻는 것까지가 이 글의 몫입니다.

앞의 두 항으로 정해지는 점화식

앞 항 하나만 쓰라는 법은 없습니다. 둘을 쓰는 점화식 이 있습니다.

$a_1 = 1,\quad a_2 = 1,\quad a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$

바로 앞 항과 그 앞 항을 더합니다. 여덟 항까지 굴려 봅니다.

$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21$

$2=1+1$, $3=1+2$, $5=2+3$, $8=3+5$, $13=5+8$, $21=8+13$ 입니다. 이 수열을 피보나치 수열 이라고 합니다.

앞의 것을 둘 쓰므로 출발값도 둘이 필요합니다. $a_1$ 만 주면 $a_3$ 을 만들 수가 없습니다. 일반적으로 앞의 $m$ 개를 쓰는 점화식은 출발값이 $m$ 개 있어야 합니다.

이 수열은 등차도 등비도 아닙니다. 차가 $0,1,1,2,3,5,8$ 이고 비가 $1, 2, 1.5, 1.667, 1.6, 1.625, 1.615$ 로 어느 쪽도 일정하지 않습니다. 다만 비가 한 값 근처에서 흔들리며 좁혀지는 것 은 눈에 띕니다. 그 값이 무엇인지 말하려면 28번 글의 도구가 필요합니다.

굴려도 안 변하는 값

$a_{n+1} = 2a_n+1$ 을 다시 봅니다. 출발값을 1이 아니라 다른 수로 두면 어떻게 될까요.

$a_1 = 5$ 로 굴리면 $11, 23, 47$ 로 더 빨리 커집니다. $a_1 = 0$ 이면 $1, 3, 7$ 입니다. 그런데 굴려도 값이 안 변하는 출발값 이 하나 있습니다.

굴려도 같으려면 $a_{n+1}$ 과 $a_n$ 이 같은 값이어야 하므로, 그 값을 $a$ 라 두고 식에 넣습니다.

$a = 2a+1$

풀면 $a = -1$ 입니다. 확인해 봅니다. $a_1 = -1$ 이면 $a_2 = 2\times(-1)+1 = -1$ 이고, 몇 번을 굴려도 $-1$ 입니다.

이렇게 굴려도 제자리인 값을 고정점 이라고 합니다. 이 하나를 알면 다른 출발값의 움직임도 읽힙니다 — $-1$ 보다 큰 데서 출발하면 위로 달아나고, 작은 데서 출발하면 아래로 달아납니다. $a_1=-2$ 로 굴려 보면 $-3, -5, -9$ 로 실제로 그렇습니다.

Σ 표기의 해부

이제 본론입니다. $a_1$ 부터 $a_n$ 까지 더한 값을 이렇게 적습니다.

$\sum_{k=1}^{n} a_k$

9번 글이 이 기호의 이름과 발음을 표로 주었습니다. 여기서 세울 것은 이것이 무슨 계산인가 하나입니다.

소리 내어 읽으면 이렇습니다.

$k$ 가 1부터 $n$ 까지 갈 동안, $a_k$ 를 전부 더하라.

아래에 적힌 $k=1$ 이 출발, 위에 적힌 $n$ 이 도착, 오른쪽에 적힌 $a_k$ 가 더할 것입니다. $k$ 를 1부터 하나씩 올리며 $a_k$ 를 적어 나열하고 사이에 +를 끼우면 끝입니다. 새로운 계산이 아니라 긴 덧셈을 짧게 적은 표기입니다.

펼치는 연습을 합니다.

$\sum_{k=1}^{4} k^2 = 1^2+2^2+3^2+4^2 = 1+4+9+16 = 30$

$\sum_{k=1}^{5} (2k+1) = 3+5+7+9+11 = 35$

$\sum_{k=2}^{4} \frac{1}{k} = \frac12+\frac13+\frac14 = \frac{13}{12}$

거꾸로 접는 연습도 합니다. $1+3+5+7+9$ 를 보면 홀수 다섯 개이고 $k$ 번째 홀수가 $2k-1$ 이므로

$1+3+5+7+9 = \sum_{k=1}^{5}(2k-1)$

접을 때 확인할 것은 둘입니다 — $k$ 에 출발값을 넣으면 첫 항이 나오는가, 도착값을 넣으면 마지막 항이 나오는가. $k=1$ 에서 $1$, $k=5$ 에서 $9$ 이니 맞습니다.

범위가 좁을 때

출발값과 도착값이 가까우면 어떻게 되는지 정해 두어야 합니다. 규약은 표기를 그대로 읽은 것뿐입니다.

위끝과 아래끝이 같으면 항이 하나입니다.

$\sum_{k=3}^{3} k^2 = 3^2 = 9$

$k$ 가 3에서 출발해 3에서 끝나므로 3 한 번만 돕니다.

위끝이 아래끝보다 작으면 항이 하나도 없고, 그 값은 0입니다.

$\sum_{k=5}^{4} k^2 = 0$

$k=5$ 에서 출발해 4까지 가라고 했는데 이미 지나쳤으므로 한 번도 돌지 않습니다. 아무것도 더하지 않은 값이라 빈 합 이라 하고 0으로 둡니다.

0이 자연스러운 이유가 있습니다. 뒤에서 볼 「구간 쪼개기」가 $m=n$ 인 자리에서도 성립하려면 이 값이 0이어야 합니다. 더한 것이 없을 때 0으로 두는 것은 덧셈에서 아무것도 안 한 상태 이기 때문입니다.

자리마다 곱해 더하기

Σ 안에 들어가는 것이 한 수열이어야 할 이유는 없습니다. 두 줄의 수를 자리마다 곱해 더하는 계산 이 자주 나오는데, 이것도 Σ 한 줄입니다.

$a = (2,\ 5,\ 3), \qquad b = (4,\ 1,\ 6)$

자리마다 곱해 더합니다.

$2\times 4 + 5\times 1 + 3\times 6 = 8+5+18 = 31$

접으면 이렇게 됩니다.

$\sum_{k=1}^{3} a_k b_k$

첨자 $k$ 가 두 줄을 동시에 훑습니다. 첫 자리끼리, 둘째 자리끼리, 셋째 자리끼리 곱해 더하라는 지시입니다. 줄의 길이가 다르면 이 식은 성립하지 않습니다 — 짝이 없는 자리가 생기기 때문입니다.

이중 시그마

Σ 안에 Σ가 또 들어갈 수 있습니다. 표의 칸을 훑는 것 으로 읽으면 됩니다.

$\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3} ij$

안쪽부터 계산합니다. $i$ 를 고정하고 $j$ 를 1부터 3까지 돌립니다.

$i=1: \quad 1\cdot1 + 1\cdot2 + 1\cdot3 = 6$

$i=2: \quad 2\cdot1 + 2\cdot2 + 2\cdot3 = 12$

바깥에서 이 둘을 더해 18입니다.

표로 그리면 가로 세 칸, 세로 두 칸짜리 표이고 각 칸에 $ij$ 가 적혀 있습니다. 안쪽 Σ가 한 줄을 훑고 바깥 Σ가 줄을 바꿉니다. 표의 모든 칸을 빠짐없이 한 번씩 더한 값이 18이라는 뜻입니다.

접힌 채로 쓰는 규칙

펼치지 않고도 손댈 수 있는 규칙이 있습니다. 전부 덧셈에서 이미 알던 것을 접힌 표기로 옮긴 것뿐입니다.

첫째, 첨자의 이름은 아무래도 좋습니다.

$\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{i=1}^{n} a_i$

$k$ 는 1부터 $n$ 까지 훑고 사라지는 임시 이름이라 더미 첨자라고 합니다. 바깥에는 그 값이 남지 않으므로 이름을 바꿔도 결과가 같습니다.

둘째, 모든 항에 공통으로 곱해진 수는 밖으로 나옵니다.

$\sum_{k=1}^{n} c\,a_k = c\sum_{k=1}^{n} a_k$

14번 글에서 $ca_1+ca_2+ca_3 = c(a_1+a_2+a_3)$ 으로 묶던 것입니다.

셋째, 더하는 것이 둘이면 따로 더해도 됩니다.

$\sum_{k=1}^{n} (a_k+b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k$

넷째, 첨자를 옮겨 적을 수 있습니다. $\sum_{k=1}^{n} a_{k+1}$ 은 $a_2$ 부터 $a_{n+1}$ 까지를 더한 것이므로

$\sum_{k=1}^{n} a_{k+1} = \sum_{j=2}^{n+1} a_j$

곱셈은 쪼개지지 않는다

여기 없는 것 하나를 못 박아 둡니다. 곱셈은 이렇게 쪼개지지 않습니다.

$\sum_{k=1}^{n} a_k b_k \ \ne\ \left(\sum_{k=1}^{n} a_k\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k\right)$

$n=2$ 로 세어 보면 왼쪽은 $a_1b_1+a_2b_2$, 오른쪽은 거기에 $a_1b_2+a_2b_1$ 이 더 붙습니다. 틀린 곳을 찾는 가장 빠른 방법은 작은 $n$ 으로 펼쳐 보는 것입니다.

앞 절의 자리마다 곱해 더하는 계산이 바로 왼쪽이었습니다. $(2,5,3)$ 과 $(4,1,6)$ 으로 확인하면 왼쪽은 31이고 오른쪽은 $10 \times 11 = 110$ 입니다.

첫 항이나 끝 항 떼어 내기

다섯째 손놀림이 있습니다. 양 끝의 항 하나를 떼어 내고 범위를 한 칸 좁히는 것 입니다.

$\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + \sum_{k=2}^{n} a_k$

$\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n-1} a_k + a_n$

당연해 보이지만 쓰임이 있습니다. 두 Σ의 범위가 한 칸씩 어긋나 있을 때, 한쪽에서 항을 떼어 범위를 맞추면 나머지가 통째로 지워집니다.

$\sum_{k=1}^{n} a_{k} - \sum_{k=2}^{n} a_{k} = a_1$

앞의 것에서 첫 항을 떼면 뒤의 것과 범위가 같아지고, 같은 것끼리 빼면 0이 되어 $a_1$ 만 남습니다. 범위를 맞춰 놓고 지운다 — 다음 절의 망원합이 이 손놀림을 크게 쓰는 자리입니다.

구간 쪼개기와 순서 바꾸기

긴 구간은 둘로 자를 수 있습니다.

$\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{m} a_k + \sum_{k=m+1}^{n} a_k$

$m$ 은 1과 $n$ 사이의 아무 수입니다. 앞쪽이 $m$ 에서 끝나고 뒤쪽이 $m+1$ 에서 시작하므로 겹치지도 빠지지도 않습니다. $m=n$ 으로 두면 뒤쪽이 $\sum_{k=n+1}^{n}$ 이 되어 빈 합 0이고, 앞에서 빈 합을 0으로 정해 둔 덕에 이 자리에서도 식이 그대로 성립합니다.

이중 시그마에서는 더하는 순서를 바꿔도 됩니다.

$\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3} ij = \sum_{j=1}^{3}\sum_{i=1}^{2} ij$

바꿔서 계산해 봅니다. 안쪽이 $i$ 를 훑으므로 $j(1+2) = 3j$ 이고, 바깥에서 $j$ 를 1부터 3까지 더하면 $3(1+2+3) = 18$ 입니다. 앞에서 얻은 값과 같습니다.

표로 읽으면 이유가 보입니다. 줄을 따라 더하고 나서 그 결과를 더하든, 칸을 따라 더하고 나서 더하든 모든 칸을 한 번씩 더한 것은 같습니다. 다만 범위가 서로에게 걸려 있으면 — 예를 들어 안쪽 범위에 바깥 첨자가 들어 있으면 — 순서를 바꿀 때 범위도 함께 고쳐야 합니다.

세 합 공식과 짝짓기

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n, \qquad \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

첫 번째는 1을 $n$ 번 더한 것이니 그대로 $n$ 입니다. 두 번째를 직접 유도합니다.

$1+2+3+\cdots+100$ 을 앞뒤로 짝지어 봅니다.

$1+100 = 101,\quad 2+99=101,\quad 3+98=101,\quad \ldots,\quad 50+51=101$

모든 짝의 합이 같습니다. 앞에서 하나 올라간 만큼 뒤에서 하나 내려오기 때문입니다. 짝은 $100 \div 2 = 50$ 개이므로

$1+2+\cdots+100 = 50 \times 101 = 5050$

$n$ 개로 똑같이 하면 짝의 합이 $n+1$, 짝의 수가 $\dfrac{n}{2}$ 이므로 $\dfrac{n(n+1)}{2}$ 입니다. 등차수열이면 짝의 합이 $a_1+a_n$ 이므로 같은 방식으로

$S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$

세 번째 공식($\sum k^2$)은 결과만 씁니다. 이런 식의 증명은 수학적 귀납법을 쓰는데, 그것은 46번 · 증명 읽는 법의 몫입니다.

이제 앞의 규칙들과 세 공식을 함께 써 봅니다.

$\sum_{k=1}^{10} (k^2-3k) = \sum_{k=1}^{10} k^2 - 3\sum_{k=1}^{10} k$

$= \frac{10\times 11\times 21}{6} - 3\times\frac{10\times 11}{2} = 385 - 165 = 220$

열 항을 하나씩 더하지 않고 끝났습니다. 접힌 채로 다루는 것의 값이 여기 있습니다.

망원합

짝짓기 말고 접는 방법이 하나 더 있습니다. 이웃한 두 항의 차를 더하면 양 끝만 남습니다.

$\sum_{k=1}^{n} (a_{k+1}-a_k) = a_{n+1}-a_1$

$n=4$ 로 펼쳐 보면 바로 보입니다.

$(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+(a_5-a_4)$

$a_2$ 가 더해졌다가 빠지고, $a_3$ 도 그렇고, $a_4$ 도 그렇습니다. 가운데가 전부 지워지고 $a_5-a_1$ 만 남습니다.

접었다 폈다 하는 망원경처럼 가운데가 접혀 사라진다고 해서 이것을 망원합 이라고 부릅니다.

바로 써 봅니다. $a_k = k^2$ 으로 두면

$\sum_{k=1}^{n}\left[(k+1)^2-k^2\right] = (n+1)^2 - 1$

왼쪽 괄호 안을 전개하면 $2k+1$ 이므로 $\sum(2k+1) = 2\sum k + n$ 입니다. 이것을 오른쪽과 같다고 놓으면

$2\sum_{k=1}^{n} k + n = n^2+2n \quad \Rightarrow \quad \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n^2+n}{2}$

짝짓기로 얻은 것과 같은 공식이 나왔습니다. 같은 결과에 이르는 길이 둘 이고, 망원합 쪽은 $\sum k^2$ 이나 그 위로도 같은 방식으로 이어집니다.

부분분수로 접기

망원합이 가장 잘 드러나는 자리는 분수입니다.

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$

$n=3$ 이면 $\dfrac12+\dfrac16+\dfrac1{12}$ 인데 통분해서 더하면 $\dfrac34$ 입니다. 항이 많아지면 통분이 감당이 안 됩니다.

여기서 한 항을 두 분수의 차 로 쪼갭니다.

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

확인은 오른쪽을 통분해 보면 됩니다. $\dfrac{(k+1)-k}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k(k+1)}$ 로 맞습니다. 이렇게 한 분수를 여러 분수의 합이나 차로 쪼개는 것을 부분분수 라고 합니다.

이제 펼치면 망원합입니다.

$\left(\frac11-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)$

가운데가 전부 지워지고 양 끝만 남습니다.

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

$n=3$ 을 넣으면 $\dfrac34$ 로 위에서 통분해 얻은 값과 같습니다. $n$ 이 아무리 커도 계산은 이 한 줄 입니다.

세제곱의 합

세제곱을 더한 값에는 눈에 띄는 모양이 있습니다.

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2$

세제곱을 더한 것이 그냥 더한 것의 제곱 이라는 말입니다. $n=4$ 로 확인합니다.

$1^3+2^3+3^3+4^3 = 1+8+27+64 = 100$

$(1+2+3+4)^2 = 10^2 = 100$

같습니다. $n=5$ 로 한 번 더 해 보면 왼쪽이 $100+125=225$ 이고 오른쪽이 $15^2=225$ 입니다.

앞의 공식을 넣어 적으면 이렇게 됩니다.

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

이 모양이 왜 성립하는지는 여기서 증명하지 않습니다. 다만 몇 개로 확인해 보는 일 은 늘 해 두는 편이 좋습니다 — 공식을 잘못 외웠는지가 $n=3$ 이나 $n=4$ 한 번으로 드러납니다.

Π와 남겨 두는 물음

같은 자리에 곱셈을 넣은 기호도 있습니다. $\prod$ 라고 적고 곱기호라고 읽습니다.

$\prod_{k=1}^{4} k = 1\times 2\times 3\times 4 = 24$

읽는 법도 성질도 $\Sigma$ 와 나란합니다 — 첨자를 훑으며 이번에는 곱합니다. 위끝과 아래끝의 규약도 같은데, 하나만 다릅니다. 빈 곱은 0이 아니라 1입니다. 곱셈에서 아무것도 안 한 상태가 1이기 때문입니다.

로그를 씌우면 Σ가 된다

$\prod$ 와 $\Sigma$ 는 남남이 아닙니다. 22번 글의 로그가 둘을 잇습니다.

로그의 성질은 곱을 합으로 내린다 는 것이었습니다.

$\log(ab) = \log a + \log b$

이것을 여러 개로 늘리면 곱기호가 시그마로 바뀝니다.

$\log\left(\prod_{k=1}^{n} a_k\right) = \sum_{k=1}^{n} \log a_k$

쓸모가 있습니다. 1보다 작은 수를 여럿 곱하면 값이 아주 빨리 0에 가까워져 손으로도 계산기로도 다루기 어려워집니다. $0.9$ 를 백 번 곱하면 약 $0.0000266$ 입니다.

로그를 씌우면 곱이 합이 되어 다루기 쉬운 크기로 내려옵니다. $\log 0.9 \approx -0.0458$ 이므로 백 번이면 $-4.58$ 이고, 이 값 하나로 원래 수가 $10^{-4.58}$ 쯤이라는 것을 읽습니다. 곱을 합으로 바꿔 놓고 다루다가 필요할 때 되돌리는 이 방식은 아주 작은 수를 여럿 곱하는 자리마다 되풀이됩니다.

n!과 2ⁿ

$\prod_{k=1}^{n} k$ 에는 이름과 짧은 표기가 있습니다. $n$ 팩토리얼 이라 하고 $n!$ 로 적습니다.

$5! = 1\times2\times3\times4\times5 = 120$

얼마나 빨리 커지는지 $2^n$ 과 나란히 놓고 봅니다.

$n$	$n!$	$2^n$	큰 쪽
1	1	2	$2^n$
2	2	4	$2^n$
3	6	8	$2^n$
4	24	16	$n!$
5	120	32	$n!$
10	3,628,800	1,024	$n!$

$n=4$ 에서 뒤집힌 뒤로는 격차가 벌어지기만 합니다. 이유는 곱하는 수에 있습니다 — $2^n$ 은 한 칸 갈 때마다 늘 2를 곱하는데, $n!$ 은 한 칸 갈 때마다 점점 큰 수를 곱합니다. 열째 칸에서는 2와 10을 곱하는 차이입니다.

무한으로 가는 자리

지금까지 더한 항은 언제나 유한했습니다. 도착값 $n$ 자리에 $\infty$ 를 적으면 어떻게 될까요.

$\sum_{k=1}^{\infty} a_k$

「끝까지 더하라」인데 끝이 없습니다. 그런데도 값이 있는 경우가 있습니다. $\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\cdots$ 은 아무리 더해도 1을 넘지 않고 1에 다가갑니다.

무한히 더해도 값이 있는지 는 29번 · 등비급수의 몫이고, 그 전에 「한없이 진행하면 어디에 붙는가」를 다루는 것이 다음 글입니다.

연습 문제

연습 1 — 수열 여섯 문제

1. $5, 9, 13, 17, \ldots$ 의 일반항과 20번째 항

   이웃한 차가 4로 일정하므로 $a_n = 5+(n-1)\times 4 = 4n+1$ 입니다. $a_{20} = 81$.
2. $3, 6, 12, 24, \ldots$ 의 일반항과 7번째 항

   이웃한 비가 2로 일정하므로 $a_n = 3\times 2^{\,n-1}$ 입니다. $a_7 = 3\times 64 = 192$.
3. $a_1=2$, $a_{n+1}=3a_n-1$ 을 다섯 항까지

   $2,\ 5,\ 14,\ 41,\ 122$ 입니다. $3\times 2-1=5$, $3\times 5-1=14$, $3\times 14-1=41$, $3\times 41-1=122$.
4. $a_n = n^2+1$ 의 처음 네 항

   $2,\ 5,\ 10,\ 17$ 입니다.
5. $2, -6, 18, -54, \ldots$ 는 등차입니까 등비입니까. 일반항도 적으세요.

   이웃한 비가 $-3$ 으로 일정하므로 등비입니다. $a_n = 2\times(-3)^{\,n-1}$ 입니다.
6. $a_{n+1} = 5a_n - 8$ 의 고정점

   $a = 5a-8$ 을 풀면 $4a=8$ 이므로 $a=2$ 입니다. $a_1=2$ 로 굴리면 $5\times2-8=2$ 로 제자리입니다.

연습 2 — 펼치고 접기 여섯 문제

1. $\sum_{k=1}^{4}(3k-2)$ 를 펼쳐 값 구하기

   $1+4+7+10 = 22$ 입니다.
2. $2+4+6+8+10+12$ 를 $\Sigma$ 로 접기

   $k$ 번째 항이 $2k$ 이고 여섯 항이므로 $\sum_{k=1}^{6} 2k$ 입니다.
3. $\sum_{k=1}^{n} 5$

   5를 $n$ 번 더한 것이므로 $5n$ 입니다. 더하는 것에 $k$ 가 없어도 $k$ 는 $n$ 번 돕니다.
4. $\sum_{i=1}^{3} i^2$ 과 $\sum_{j=1}^{3} j^2$ 의 관계

   값이 같습니다. 첨자는 훑고 사라지는 더미 첨자라 이름이 결과에 남지 않습니다.
5. $\sum_{k=7}^{6} k^3$

   위끝이 아래끝보다 작아 한 번도 돌지 않습니다. 빈 합이므로 0입니다.
6. $\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{2} (i+j)$

   $i=1$ 에서 $2+3=5$, $i=2$ 에서 $3+4=7$, $i=3$ 에서 $4+5=9$ 이므로 합은 21입니다.

연습 3 — 공식 쓰기 여섯 문제

1. $\sum_{k=1}^{20} k$

   $\dfrac{20\times 21}{2} = 210$ 입니다.
2. $\sum_{k=1}^{8} k^2$

   $\dfrac{8\times 9\times 17}{6} = 204$ 입니다.
3. $\sum_{k=1}^{6} (2k+3)$

   $2\sum k + \sum 3 = 2\times\dfrac{6\times 7}{2} + 3\times 6 = 42+18 = 60$ 입니다. 펼쳐서 $5+7+9+11+13+15$ 를 더해도 같습니다.
4. $1+2+\cdots+200$

   $\dfrac{200\times 201}{2} = 20100$ 입니다.
5. $\sum_{k=1}^{6} k^3$

   $\left(\dfrac{6\times 7}{2}\right)^2 = 21^2 = 441$ 입니다.
6. $\sum_{k=1}^{9} \dfrac{1}{k(k+1)}$

   부분분수로 쪼개면 망원합이라 $1-\dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10}$ 입니다.

정리

• 수열은 순서가 정해진 수의 나열이고, $a_n$ 은 곱셈이 아니라 $n$ 번째 항의 이름입니다. 정의역이 자연수인 함수 라 그래프가 떨어진 점들로 나옵니다.
• 넘겨주는 방법이 둘입니다 — 일반항 은 $n$ 을 넣으면 바로 나오고, 점화식 은 앞 항으로 다음을 만듭니다. 앞의 것을 둘 쓰면 출발값도 둘이 필요합니다.
• 등차수열은 $a_n = a_1+(n-1)d$, 등비수열은 $a_n = a_1r^{\,n-1}$ 입니다. 점을 찍으면 등차는 직선 위에, 등비는 휘는 곡선 위에 놓입니다.
• $\sum_{k=1}^{n} a_k$ 는 "$k$ 가 1부터 $n$ 까지 갈 동안 $a_k$ 를 더하라"는 지시문입니다. 위끝이 아래끝보다 작으면 빈 합이라 0 입니다.
• 접힌 채로 쓸 수 있는 손놀림 — 더미 첨자 바꾸기, 상수 빼내기, 항별로 쪼개기, 첨자 옮겨 적기, 양 끝 항 떼어 내기, 구간 쪼개기 입니다. 곱셈은 쪼개지지 않습니다.
• $\sum 1 = n$, $\sum k = \dfrac{n(n+1)}{2}$, $\sum k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum k^3 = \left(\sum k\right)^2$ 입니다.
• 망원합 은 이웃한 두 항의 차를 더해 양 끝만 남기는 방식이고, 분수는 부분분수로 쪼개면 이 꼴이 됩니다.
• $\prod$ 는 같은 자리에 곱셈을 넣은 기호이고, 로그를 씌우면 $\Sigma$ 로 내려옵니다.

줄을 유한하게만 세웠습니다. 다음 글은 줄을 한없이 늘였을 때 값이 어디로 가는지를 표로 확인합니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊