삼각비와 단위원: 각을 좌표로 적는 법

지난 글은 좌표평면에서 길이와 방향을 쟀습니다. 그런데 각을 한 번도 재지 않았습니다. 방향을 기울기로만 말했기 때문입니다.

이 글은 각을 재는 도구를 세우고, 그 각을 다시 좌표로 적습니다. 끝에 가서는 각 하나와 거리 하나만으로 올라가 보지 않은 나무의 높이를 구합니다.

삼각비

변의 비

직각삼각형 하나를 놓고 한 예각 $\theta$ 를 고릅니다. 세 변에 이름을 붙입니다 — 직각의 맞은편이 빗변, $\theta$ 의 맞은편이 높이, 나머지가 밑변입니다.

높이를 빗변으로 나눈 값을 $\sin\theta$, 밑변을 빗변으로 나눈 값을 $\cos\theta$, 높이를 밑변으로 나눈 값을 $\tan\theta$ 로 적습니다. 이 세 값을 삼각비라고 합니다. 직각삼각형에서 두 변의 길이를 나눈 값이고, 어느 두 변을 골랐느냐에 따라 이름이 사인·코사인·탄젠트 셋으로 갈립니다.

여기서 물어야 할 것이 하나 있습니다. 삼각형을 크게 그리면 값이 달라지지 않을까요.

달라지지 않습니다. 8번 글에서 세운 사실 때문입니다 — 각이 같은 두 직각삼각형은 닮음이고, 닮으면 대응변의 비가 같습니다. 빗변이 2인 삼각형과 20인 삼각형은 변의 길이가 열 배씩 다르지만, 나눈 값에서는 그 열 배가 위아래로 한 번씩 들어가 지워집니다.

그래서 이 세 값은 삼각형의 크기와 무관하게 각 하나에만 달려 있습니다. 각을 넣으면 값이 하나 나오니 함수입니다.

특수각

30°·45°·60°의 값은 외우기 전에 한 번 직접 구해 봅니다. 이 세 각처럼 자와 피타고라스 정리만으로 값을 정확히 구할 수 있는 각을 특수각이라 부릅니다.

먼저 한 변이 2인 정삼각형을 반으로 자릅니다. 밑변은 1이 되고 꼭대기의 각은 30°, 밑변 쪽 각은 60°, 빗변은 여전히 2입니다. 남은 높이는 7번 글의 정리로 구합니다.

$1^2 + h^2 = 2^2 \;\to\; h = \sqrt{3}$

다음으로 한 변이 1인 정사각형을 대각선으로 자릅니다. 두 변이 1이고 각은 둘 다 45°이며, 빗변은 $\sqrt{1+1}=\sqrt2$ 입니다. 두 삼각형에서 필요한 변을 골라 나누면 표가 채워집니다.

$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
30°	$\frac12$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{1}{\sqrt3}$
45°	$\frac{1}{\sqrt2}$	$\frac{1}{\sqrt2}$	$1$
60°	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac12$	$\sqrt3$

탄젠트 열은 따로 외울 필요가 없습니다. 높이를 밑변으로 나눈 값은 분자와 분모를 둘 다 빗변으로 나눠도 그대로이므로, 사인을 코사인으로 나눈 값과 같습니다.

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

60°에서 확인하면 $\frac{\sqrt3}{2} \div \frac12 = \sqrt3$ 으로 표의 값이 나옵니다. 외울 것이 세 열에서 두 열로 줍니다.

여각

표를 세로로 보면 30°와 60°의 값이 서로 뒤바뀌어 있습니다. 우연이 아닙니다. 직각삼각형의 두 예각은 합이 90°이고, 같은 삼각형을 반대쪽 각에서 보면 높이와 밑변이 맞바뀝니다. 한쪽 각에서 높이였던 변이 다른 쪽 각에서는 밑변이 됩니다.

합해서 90°가 되는 두 각을 서로의 여각이라 합니다. 여각의 사인은 원래 각의 코사인입니다.

$\sin(90° - \theta) = \cos\theta, \qquad \cos(90° - \theta) = \sin\theta$

코사인의 「코」가 바로 이 여각에서 왔습니다. 코사인은 여각의 사인이라는 뜻입니다. 45°는 자기 자신이 여각이라 사인과 코사인이 같습니다.

값의 범위

직각삼각형에서는 빗변이 가장 깁니다. 피타고라스 정리에서 빗변의 제곱이 다른 두 변의 제곱을 더한 것이니, 어느 한 변의 제곱보다 클 수밖에 없습니다.

그래서 빗변으로 나누는 사인과 코사인은 예각에서 언제나 0과 1 사이에 있습니다. 분자가 분모보다 작기 때문입니다.

탄젠트만 그 제한이 없습니다. 높이를 밑변으로 나누는데, 둘 중 어느 쪽이 더 긴지 정해져 있지 않습니다. 45°에서 1이고 60°에서 $\sqrt3$ 이며, 빗변을 그대로 두고 각을 90°에 다가가게 하면 밑변이 한없이 짧아져 값이 끝없이 커집니다.

단위원

원 위의 좌표

지금까지의 정의에는 한계가 있습니다. 직각삼각형의 예각으로만 말했으니 90°보다 큰 각은 뜻이 없습니다. 무대를 원으로 옮기면 그 한계가 사라집니다.

지난 글의 원 중에서 중심이 원점이고 반지름이 1인 것을 씁니다. 이 원을 단위원이라 하고, 방정식은 $x^2+y^2=1$ 입니다.

양의 $x$ 축에서 출발해 반시계 방향으로 $\theta$ 만큼 돈 자리의 점을 $P$ 라 합니다. $\theta$ 가 예각이면 $P$ 에서 $x$ 축에 내린 수선이 빗변 1인 직각삼각형을 만들고, 그 밑변이 $\cos\theta$, 높이가 $\sin\theta$ 입니다. 빗변이 1이니 나눗셈이 사라지고 변의 길이가 곧 삼각비입니다. 즉 $P$ 의 좌표가 그대로 $(\cos\theta, \sin\theta)$ 입니다.

이제 이 좌표를 정의로 삼습니다. 그러면 각에 제한이 없어집니다. 점을 90°보다 더 돌려도, 반대로 돌려도, 한 바퀴를 넘겨 돌려도 점은 어딘가에 있고 좌표가 있습니다. 음의 각은 시계 방향으로 돈 것이고, 390°는 한 바퀴를 돌고 30° 더 간 것이라 30°와 같은 자리입니다. 한 바퀴마다 같은 값이 되풀이됩니다.

앞 절에서 사인과 코사인이 0과 1 사이였던 것도 여기서 넓어집니다. 원 위의 점은 좌표가 $-1$ 보다 작거나 1보다 클 수 없으니, 어느 각에서든 두 값은 $-1$ 과 1 사이에 있습니다. 공식으로 외울 것이 아니라 반지름이 1이라는 말을 다시 한 것입니다.

사분면과 부호

$\theta = 120°$ 면 점이 제2사분면에 있고 좌표가 $\left(-\frac12, \frac{\sqrt3}{2}\right)$ 입니다. 60°일 때의 좌표에서 $x$ 만 부호가 바뀐 꼴입니다. 120°의 점과 60°의 점은 $y$ 축을 사이에 두고 마주 보기 때문입니다.

이때 60°처럼 점과 $x$ 축 사이에 끼인 예각을 기준각이라 합니다. 값의 크기는 기준각에서 오고 부호는 사분면에서 옵니다. 그래서 90°를 넘는 각의 값은 세 걸음으로 읽습니다.

1. 점이 어느 사분면에 있는지 본다.
2. 점과 $x$ 축 사이의 예각, 곧 기준각을 구한다.
3. 기준각의 값을 가져와 그 사분면의 좌표 부호를 붙인다.

사분면마다 어느 값이 양수인지 표로 외우는 방법도 있지만, 셋째 걸음은 점의 위치에서 바로 읽힙니다. 제3사분면의 점은 왼쪽 아래에 있으니 $x$ 도 $y$ 도 음수이고, 그래서 사인도 코사인도 음수입니다. 탄젠트는 둘을 나눈 것이라 음수끼리 나눠 양수가 됩니다.

제곱의 합

$P$ 가 원 위의 점이므로 원의 방정식이 그대로 성립합니다.

$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$

새 공식이 아니라 $x^2+y^2=1$ 을 다시 적은 것입니다. 쓰임은 값 하나를 알 때 다른 하나를 구하는 것입니다. 다만 제곱을 풀면 양수와 음수 두 답이 나오고, 그중 무엇을 고를지는 식이 알려 주지 않습니다. 부호를 정하는 것은 사분면입니다.

$\sin\theta = \frac45$ 이고 $\theta$ 가 제2사분면의 각이라 하면 $\cos^2\theta = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$ 이므로 $\cos\theta$ 는 $\frac35$ 이거나 $-\frac35$ 입니다. 제2사분면의 점은 $y$ 축 왼쪽에 있으니 $-\frac35$ 를 고릅니다.

탄젠트는 원점과 $P$ 를 잇는 직선의 기울기이기도 합니다. 지난 글에서 기울기를 $y$ 의 변화를 $x$ 의 변화로 나눈 것으로 정했는데, 원점에서 $P$ 까지 가면 그 값이 $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 입니다.

라디안

호의 길이

각을 재는 방법이 하나 더 있습니다. 도는 원을 360등분한 것인데, 360이라는 수에 특별한 이유가 없습니다.

호의 길이로 재면 어떨까요. 반지름 1인 원에서 잘라낸 호의 길이가 그대로 각의 크기가 되도록 정합니다. 이 단위가 라디안입니다. 반지름 1인 원의 둘레는 $2\pi$ 이므로 한 바퀴가 $2\pi$ 라디안입니다.

도	30°	45°	60°	90°	180°	360°
라디안	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$2\pi$

환산은 180°가 $\pi$ 라는 것 하나만 기억하면 됩니다. 도를 라디안으로 바꾸려면 $\frac{\pi}{180}$ 을 곱하고, 거꾸로는 $\frac{180}{\pi}$ 를 곱합니다. 라디안은 길이를 길이로 나눈 수라 단위를 적지 않는 것이 보통이고, 각 자리에 그냥 2나 0.1이 적혀 있으면 라디안입니다.

부채꼴

라디안이 편한 이유가 바로 나옵니다. 6번 글에서 원의 둘레가 $2\pi r$, 넓이가 $\pi r^2$ 임을 세웠습니다. 부채꼴은 그 일부이므로 한 바퀴에 대한 비율만큼 가져갑니다. 중심각이 $\theta$ 라디안이면 비율이 $\frac{\theta}{2\pi}$ 입니다.

$\text{호의 길이} = 2\pi r \times \frac{\theta}{2\pi} = r\theta$

$\text{부채꼴 넓이} = \pi r^2 \times \frac{\theta}{2\pi} = \frac12 r^2 \theta$

둘 다 $\pi$ 가 지워집니다. 도로 쟀다면 $\frac{\theta}{360}$ 이 남아 식이 지저분해집니다. 반지름 6, 중심각 $\frac{\pi}{3}$ 인 부채꼴이면 호의 길이는 $6 \times \frac{\pi}{3} = 2\pi$ 이고 넓이는 $\frac12 \times 36 \times \frac{\pi}{3} = 6\pi$ 입니다.

작은 각의 근사

라디안이 편한 자리가 하나 더 있습니다. 각이 작으면 사인 값이 각 자신과 거의 같습니다.

위의 라디안 그림에서 각을 아주 작게 좁혀 봅니다. 호의 길이는 라디안의 정의대로 $\theta$ 이고, 사인은 점에서 $x$ 축까지 내린 높이입니다. 각이 작을수록 호가 거의 곧은 선이 되어 높이와 겹칩니다.

$\theta$	0.5	0.2	0.1	0.01
$\sin\theta$	0.4794	0.1987	0.0998	0.0099998

0.1에서 벌써 0.0998입니다. 오차가 0.2%도 안 되고, 각을 10분의 1로 줄이면 비율 오차는 100분의 1로 줄어듭니다. 그래서 작은 각에서는 $\sin\theta \approx \theta$ 로 적습니다.

같은 근사를 도로 적으면 지저분해집니다. 1°는 $\frac{\pi}{180}$ 라디안이라 $\sin 1°$ 는 1이 아니라 약 0.01745입니다. 도로 잰 각 $x$ 에 대해서는 $\sin x \approx \frac{\pi}{180}x$ 가 되고, 그 군더더기 $\frac{\pi}{180}$ 이 식마다 따라붙습니다. 라디안으로 재면 그 수가 1이 됩니다.

삼각함수의 그래프

주기와 대칭

이제 $\theta$ 를 가로축에 놓고 $\sin\theta$ 를 세로축에 놓습니다. 단위원으로 정의를 넓혔으니 사인·코사인·탄젠트는 모든 실수에서 값을 내는 함수가 되었고, 이 셋을 묶어 삼각함수라 부릅니다. 원 위의 점을 천천히 돌리면서 높이를 옮겨 적으면 곡선이 하나 그려집니다.

0에서 출발해 $\frac{\pi}{2}$ 에서 1로 올라갔다가 $\pi$ 에서 0으로, $\frac{3\pi}{2}$ 에서 $-1$ 로 내려갔다가 $2\pi$ 에서 다시 0입니다. 한 바퀴가 끝나면 같은 자리로 돌아오므로 이 모양이 그대로 되풀이됩니다. 이 되풀이되는 폭을 주기라 하고, 사인과 코사인은 둘 다 $2\pi$ 입니다.

코사인 곡선은 모양이 같고 출발 자리만 다릅니다. 사인을 왼쪽으로 $\frac{\pi}{2}$ 옮기면 코사인이 됩니다. 여각에서 본 관계를 곡선으로 옮긴 것입니다.

20번 글에서 이름만 붙여 둔 대칭도 여기서 확인됩니다. $\cos(-\theta) = \cos\theta$ 이므로 코사인은 우함수이고, $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ 이므로 사인은 기함수입니다. 단위원에서 점을 반대로 돌리면 $x$ 좌표는 그대로이고 $y$ 좌표만 부호가 바뀌기 때문입니다.

진폭과 위상

변형 규칙도 20번 글 그대로입니다.

$y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$

자리	하는 일	이름
$A$	세로로 $A$ 배	진폭
$\omega$	가로로 $\frac{1}{\omega}$ 배	주기가 $\frac{2\pi}{\omega}$ 로
$\varphi$	좌우로 옮김	위상이동
$k$	위아래로 옮김	중심선

진폭은 중심선에서 가장 높은 곳까지의 거리입니다. $y = 2\sin(3x)$ 는 진폭이 2라 값이 $-2$ 와 2 사이를 오가고, 주기가 $\frac{2\pi}{3}$ 이라 원래보다 세 배 빨리 되풀이됩니다.

위상이동은 괄호를 묶어서 읽습니다. $\sin(2x - \pi)$ 는 $\pi$ 만큼이 아니라 $\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)$ 이므로 오른쪽으로 $\frac{\pi}{2}$ 입니다. 20번 글에서 괄호 안에 든 것이 예상과 반대로 움직인다고 했던 자리와 같은 함정입니다.

두 물결의 합

주기가 같은 두 물결을 더하면 어떻게 될까요. $\sin x + \cos x$ 를 특수각에서 계산해 봅니다.

$x$	0	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{3\pi}{4}$
$\sin x + \cos x$	1	$\sqrt2$	1	0

가장 높은 곳이 $\frac{\pi}{4}$ 에서 $\sqrt2$ 이고 $\frac{3\pi}{4}$ 에서 0을 지납니다. 진폭이 $\sqrt2$ 이고 왼쪽으로 $\frac{\pi}{4}$ 옮긴 사인 곡선이 정확히 그렇게 움직입니다.

$\sin x + \cos x = \sqrt2\,\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

주기가 같은 두 물결을 더하면 같은 주기의 물결 하나가 되고 진폭과 위상만 바뀝니다. 네 점에서 맞는 것만으로는 모든 $x$ 에서 같다고 할 수 없는데, 그 확인은 아래 덧셈정리가 한 줄로 끝냅니다.

탄젠트 곡선

탄젠트는 사인을 코사인으로 나눈 것이므로 코사인이 0인 자리에서 값이 없습니다. 단위원에서 코사인이 0이 되는 것은 점이 $y$ 축 위에 올라가는 두 자리, 곧 꼭대기와 바닥입니다. 거기서는 원점과 점을 잇는 직선이 수직이라 기울기가 정해지지 않습니다.

그래서 $x = \pm\frac{\pi}{2}, \pm\frac{3\pi}{2}, \ldots$ 에서 곡선이 끊기고, 그 자리에 다가갈수록 값이 한없이 커지거나 작아집니다. 곡선이 한없이 다가가지만 닿지 않는 이런 직선을 점근선이라 합니다. 탄젠트의 주기는 $\pi$ 이고, 곡선이 점근선 사이에서 아래에서 위로 끝없이 올라가는 모양이 되풀이됩니다.

높이와 넓이

올려본각

삼각비가 가장 먼저 쓰인 곳은 가서 잴 수 없는 길이를 재는 일이었습니다. 땅에 선 채로 나무 꼭대기를 올려다볼 때, 수평선과 시선이 이루는 각을 올려본각이라 합니다.

나무에서 20 m 떨어진 곳에서 꼭대기를 올려본각이 30°였다고 합니다. 나무의 밑동과 서 있는 자리와 꼭대기가 직각삼각형을 이루고, 우리가 아는 것은 밑변 20과 각 30°입니다. 구하는 높이는 각의 맞은편 변이니 탄젠트를 씁니다.

$\text{높이} = 20 \times \tan 30° = \frac{20}{\sqrt3} \approx 11.5$

나무는 약 11.5 m입니다. 한 번도 올라가지 않고 줄자로 20 m를 재고 각 하나를 잰 것으로 끝났습니다. 실제로는 눈이 땅에서 떨어져 있으니 눈높이를 마지막에 더합니다.

삼각형의 넓이

같은 생각으로 직각삼각형이 아닌 삼각형의 넓이도 구합니다. 두 변 $a$, $b$ 와 그 사이에 낀 각 $C$ 를 알면, 변 $b$ 끝에서 변 $a$ 에 내린 높이가 $b\sin C$ 입니다. 빗변이 $b$ 인 직각삼각형의 높이이기 때문입니다.

$\text{넓이} = \frac12 ab\sin C$

새 공식처럼 보이지만 밑변 × 높이 ÷ 2에 높이 자리를 채운 것뿐입니다. 두 변이 4와 6이고 낀 각이 30°면 $\frac12 \times 4 \times 6 \times \frac12 = 6$ 입니다. 높이를 따로 구해도 $6\sin 30° = 3$ 이라 $4 \times 3 \div 2 = 6$ 으로 같습니다. 낀 각이 90°면 사인이 1이라 직각삼각형의 넓이 공식으로 돌아갑니다.

덧셈정리

두 각의 합에 대한 값은 이렇게 됩니다. 이 두 식을 덧셈정리라 합니다.

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

요점은 괄호를 그냥 분배할 수 없다는 것입니다. 30°와 60°를 더하면 90°라 사인이 1인데, 두 사인을 따로 더하면 $\frac12 + \frac{\sqrt3}{2}$ 로 1보다 큽니다.

앞의 두 물결도 이것으로 확인됩니다. 45°에서는 사인과 코사인이 둘 다 $\frac{1}{\sqrt2}$ 이므로, 두 물결의 합의 오른쪽을 첫 식으로 풀면 $\sqrt2$ 가 지워지며 모든 $x$ 에서 $\sin x + \cos x$ 가 됩니다. 이 식이 왜 이런 꼴인지는 26번 · 복소수와 오일러가 곱셈 한 번을 전개해 증명하므로 여기서는 결과만 적어 둡니다.

연습 문제

연습 1 — 값 여섯 문제

1. $\sin 150°$

   제2사분면이고 기준각이 30°입니다. 제2사분면의 점은 위쪽에 있어 사인이 양수이므로 $\frac12$.
2. $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$

   $-\frac{\pi}{3}$ 은 $-60°$ 라 제4사분면입니다. 코사인은 거기서 양수이므로 $\frac12$. 코사인이 우함수라 $\cos 60°$ 와 같다고 봐도 됩니다.
3. $\cos 225°$

   제3사분면이고 기준각이 45°입니다. 코사인은 거기서 음수이므로 $-\frac{1}{\sqrt2}$.
4. $\sin\theta = \frac35$ 이고 $\theta$ 가 제2사분면의 각일 때 $\cos\theta$ 와 $\tan\theta$

   $\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ 이고 제2사분면에서 코사인은 음수이므로 $\cos\theta = -\frac45$. 탄젠트는 $\frac{3/5}{-4/5} = -\frac34$.
5. $\theta = 30°$ 일 때 $\sin(90° - \theta)$ 와 $\cos\theta$ 를 표에서 각각 찾아 비교

   $\sin 60° = \frac{\sqrt3}{2}$ 이고 $\cos 30° = \frac{\sqrt3}{2}$ 로 같습니다.
6. $\cos 20°$ 와 값이 같은 $\sin$ 의 예각

   여각인 70°입니다. $\cos 20° = \sin(90° - 20°) = \sin 70°$.

연습 2 — 라디안과 그래프 세 문제

1. 135°를 라디안으로

   $135 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$.
2. 반지름이 3이고 중심각이 2라디안인 부채꼴의 호의 길이와 넓이

   호의 길이는 $3 \times 2 = 6$, 넓이는 $\frac12 \times 9 \times 2 = 9$ 입니다.
3. $y = 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) + 1$ 의 주기와 값의 범위

   주기는 $2\pi \div \frac12 = 4\pi$ 입니다. 진폭이 2이고 중심선이 $y=1$ 이므로 값은 $-1$ 부터 3까지입니다.

연습 3 — 높이와 넓이 다섯 문제

1. 건물에서 30 m 떨어진 곳에서 꼭대기를 올려본각이 60°일 때 건물의 높이

   $30 \times \tan 60° = 30\sqrt3 \approx 52.0$ 이므로 약 52 m입니다.
2. 탑에서 15 m 떨어진 곳에서 꼭대기를 올려본각이 45°일 때 탑의 높이

   $\tan 45° = 1$ 이라 높이가 떨어진 거리와 같은 15 m입니다.
3. 눈높이가 1.5 m인 사람이 나무에서 40 m 떨어져 꼭대기를 올려본각이 30°일 때 나무의 높이

   눈에서 꼭대기까지가 $40 \times \tan 30° = \frac{40}{\sqrt3} \approx 23.1$ m이고 눈높이를 더해 약 24.6 m입니다.
4. 두 변이 6과 8이고 낀 각이 45°인 삼각형의 넓이

   $\frac12 \times 6 \times 8 \times \frac{1}{\sqrt2} = 12\sqrt2 \approx 17.0$.
5. 두 변이 5와 5이고 낀 각이 120°인 삼각형의 넓이

   $\sin 120°$ 는 기준각 60°의 값 그대로 $\frac{\sqrt3}{2}$ 이므로 $\frac12 \times 25 \times \frac{\sqrt3}{2} = \frac{25\sqrt3}{4} \approx 10.8$.

정리

• 사인·코사인·탄젠트는 직각삼각형의 변의 비입니다. 닮음 덕분에 삼각형의 크기가 아니라 각 하나에만 달려 있습니다.
• 30°·45°·60°의 값은 정삼각형과 정사각형을 반으로 잘라 피타고라스 정리로 직접 구합니다. 탄젠트는 사인을 코사인으로 나눈 것이고, 여각의 사인은 코사인입니다.
• 반지름 1인 원 위에서 $\theta$ 만큼 돈 점의 좌표가 $(\cos\theta, \sin\theta)$ 입니다. 이것을 정의로 삼으면 각의 제한이 사라지고, 값의 크기는 기준각이, 부호는 사분면이 정합니다.
• 그 점이 원 위에 있다는 사실이 곧 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ 입니다.
• 라디안은 호의 길이로 각을 잽니다. 180°가 $\pi$ 이고, 호의 길이는 $r\theta$, 부채꼴 넓이는 $\frac12 r^2\theta$ 이며, 작은 각에서 $\sin\theta \approx \theta$ 입니다.
• 원을 한 바퀴 돌리면 주기 $2\pi$ 의 물결이 그려집니다. 진폭과 주기와 위상이동은 20번 글의 변형 규칙으로 읽고, 위상이동은 괄호를 묶어서 읽습니다.
• 올려본각과 떨어진 거리로 높이를 구하고, 두 변과 그 사이에 낀 각으로 삼각형의 넓이를 구합니다.

$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ 을 보면 두 수의 제곱의 합이 1이라는 말입니다. 다음 글은 이 짝을 하나의 수로 묶는 방법을 세우고, 그러면 각을 더하는 일이 곱하기 한 번으로 끝납니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊