함수란 무엇인가: 입력 하나에 출력 하나, 그리고 그것을 그림으로 보기

지난 글까지는 식 하나를 붙들고 모양을 고쳐 적었습니다. 이번에는 다루는 것이 바뀝니다.

$y = 2x + 1$

이 식은 고쳐 적을 것이 없습니다. 대신 $x$ 를 넣으면 $y$ 가 나오는 장치로 읽습니다. 1을 넣으면 3이, 2를 넣으면 5가, $-4$ 를 넣으면 $-7$ 이 나옵니다.

지금까지 식은 참인지 거짓인지를 따지는 대상이었습니다. 이제부터는 넣고 꺼내는 대상입니다. 이 시선 하나가 바뀌면 그다음에 오는 것들 — 그래프, 변형, 기울기, 넓이 — 이 전부 같은 장치를 다른 각도에서 보는 일이 됩니다.

함수

입력 하나에 출력 하나

함수는 입력을 하나 받아 출력을 하나 내놓는 대응입니다. 조건은 딱 하나입니다.

같은 입력에 대해 출력이 언제나 같은 하나로 정해진다.

"각 사람에게 그 사람의 키를 대응한다"는 함수입니다. 한 사람의 키는 하나입니다. "각 사람에게 그 사람의 형제를 대응한다"는 함수가 아닙니다. 형제가 둘인 사람에게 무엇을 내놓을지 정해지지 않습니다.

출력이 겹치는 것은 상관없습니다. 키가 같은 사람이 여럿이어도 함수입니다. 막히는 것은 언제나 입력 쪽입니다.

조건을 어기는 방식도 두 가지입니다. 하나는 방금 본 것처럼 출력이 둘 이상인 경우이고, 다른 하나는 출력이 아예 없는 경우입니다. "각 사람에게 그 사람의 자녀를 대응한다"는 자녀가 없는 사람에서 막힙니다. 이런 입력은 아예 빼고 생각하는데, 그 정리를 다음 절에서 이름 붙여 다룹니다.

같은 함수를 주는 네 가지 방법

함수 하나를 남에게 건네는 방법이 넷입니다. 말, 표, 식, 그래프입니다.

주는 방법	$y=2x+1$ 을 이렇게 준다
말	두 배 하고 1을 더한다
표	$x$ 가 0, 1, 2일 때 $y$ 가 1, 3, 5
식	$y = 2x+1$
그래프	원점 위 1을 지나고 오른쪽으로 비스듬히 오르는 직선

넷이 같은 것을 말합니다. 어느 쪽으로 주어졌든 나머지 셋으로 옮길 수 있어야 하고, 실제로 이 글 뒤쪽 연습이 그 옮기기입니다. 다만 표는 언제나 일부만 담습니다. 표 한 장으로는 그 사이와 바깥에서 어떻게 되는지 알 수 없어서, 표만 주면 함수가 하나로 정해지지 않습니다.

입력이 둘 이상인 대응도 함수라고 부릅니다. "가로와 세로를 받아 넓이를 내놓는다"는 입력이 둘이고 출력이 하나입니다. 출력이 수 하나가 아니라 짝일 수도 있습니다. 이 글에서는 입력 하나, 출력 하나인 것만 다루지만, 조건은 어느 쪽이든 같습니다 — 같은 입력에 언제나 같은 것이 나오면 됩니다.

f(x) 표기

함수에 이름을 붙여 이렇게 적습니다.

$f(x) = 3x + 1$

"에프 엑스는 삼 엑스 더하기 일" 이라고 읽습니다. $f$ 가 장치의 이름이고, 괄호 안이 넣는 값입니다.

$f(x)$ 는 $f$ 와 $x$ 의 곱이 아닙니다. 2번 글에서 $2(x+1)$ 의 괄호를 곱으로 읽었는데, 여기서는 아닙니다. 앞에 있는 것이 수가 아니라 함수 이름이면 곱이 아니라 넣는다는 뜻입니다.

넣어 봅니다. $x$ 자리에 그 값을 그대로 놓습니다.

$f(2) = 3 \times 2 + 1 = 7$

$f(-1) = 3 \times (-1) + 1 = -2$

$f(0) = 1$

이름이 꼭 $f$ 일 필요는 없습니다. 한 글에서 함수를 둘 이상 다루면 $g$, $h$ 처럼 이어서 붙이고, 넣는 값의 이름도 $x$ 가 아니어도 됩니다. $f(t) = 3t+1$ 은 위와 같은 함수입니다. 이름은 자리를 가리키는 표시일 뿐이라, $f(\square) = 3\square + 1$ 이라 적고 네모 자리에 무엇이든 넣는다고 읽어도 틀리지 않습니다.

식을 아예 안 쓰고 대응만 적는 표기도 있습니다.

$x \mapsto 3x+1$

"$x$ 를 $3x+1$ 로 보낸다"고 읽습니다. 화살표의 꼬리가 넣는 값, 머리가 나오는 값입니다. 이름을 붙일 필요가 없을 때 씁니다.

함수를 함수에 넣기

함수에서 나온 값을 다른 함수에 다시 넣을 수 있습니다. $f(x) = 3x+1$ 과 $g(x) = x^2$ 으로 해 봅니다.

$f(g(2)) = f(4) = 13$

$g(f(2)) = g(7) = 49$

순서를 바꾸면 값이 달라집니다. 안쪽부터 계산한다는 것이 규칙의 전부입니다. $f(g(2))$ 는 2를 먼저 $g$ 에 넣어 4를 얻고, 그 4를 $f$ 에 넣습니다.

$x$ 를 그대로 둔 채로 적어 보면 두 식이 다르다는 것이 더 분명합니다.

$f(g(x)) = 3x^2 + 1, \qquad g(f(x)) = (3x+1)^2 = 9x^2 + 6x + 1$

이렇게 이어 붙인 것을 합성함수 라 합니다. 장치 둘을 호스로 연결한 것이고, 연결 순서가 곧 계산 순서입니다.

정의역·공역·치역

세 이름

넣을 수 있는 값이 늘 모든 수인 것은 아닙니다.

$g(x) = \frac{1}{x}$

$x=0$ 은 넣을 수 없습니다. 0으로 나눌 수 없으니까요. 이렇게 넣을 수 있는 값을 모은 것을 정의역이라고 합니다. $g$ 의 정의역은 0을 뺀 모든 수입니다.

$h(x) = \sqrt{x}$

이번에는 음수를 넣을 수 없습니다. 13번 글에서 제곱해서 음수가 되는 수는 없다고 했습니다. 정의역은 $x \ge 0$ 입니다.

실제로 나오는 값을 모은 것은 치역입니다. $h(x)=\sqrt{x}$ 의 치역은 $y \ge 0$ 입니다. 나올 수 있다고 미리 잡아 둔 범위는 공역 이라 부르는데, 치역은 그 안에 들어 있습니다.

이름	무엇을 모은 것인가
정의역	넣을 수 있는 값
공역	나올 수 있다고 잡아 둔 범위
치역	실제로 나오는 값

공역과 치역을 갈라 두는 것이 처음에는 군더더기로 보입니다. 쓰임은 이렇습니다. 공역은 "이 함수는 수를 내놓는다"처럼 미리 선언하는 범위라 함수를 적을 때 정해지고, 치역은 실제로 값을 다 구해 봐야 압니다. $y=x^2$ 의 공역을 모든 실수로 잡아도 치역은 $y \ge 0$ 입니다. 잡아 둔 자리가 다 차지 않은 것이고, 그래도 틀린 것은 아닙니다.

식이 아니라 문제가 자르는 정의역

정의역을 자르는 것이 식뿐인 것은 아닙니다. 문제 자체가 자르는 자리가 더 흔합니다.

한 사람당 3,000원인 입장권의 값을 $y = 3000x$ 라 적었다면, 식으로는 $x$ 에 $-2$ 도 $1.5$ 도 넣을 수 있습니다. 그런데 사람 수는 0 이상의 정수라 정의역은 $0, 1, 2, \ldots$ 입니다. 그래프도 직선이 아니라 그 직선 위에 찍힌 점들입니다.

정의역은 함수의 일부입니다. 식이 같아도 넣을 수 있는 값이 다르면 다른 함수입니다. $y=x^2$ 을 모든 실수에서 생각한 것과 $x \ge 0$ 에서만 생각한 것은 다른 함수이고, 그래프도 한쪽은 U자 전체이고 다른 쪽은 오른쪽 절반뿐입니다. 뒤에서 이 차이가 중요해지는 자리가 옵니다 — 오른쪽 절반만 남기면 세로선뿐 아니라 가로선도 한 번씩만 만나게 되고, 그때 비로소 거꾸로 돌릴 수 있습니다.

그래프에서 치역 읽기

치역을 식으로 따지는 것보다 그래프에서 읽는 편이 빠릅니다. 곡선 전체를 $y$ 축 쪽으로 눌러 그림자를 내려 보면 그 그림자가 치역입니다.

$y=x^2$ 의 U자를 왼쪽으로 눌러 보면 $y$ 축의 0 위쪽이 전부 덮이고 아래쪽은 비어 있습니다. 치역이 $y \ge 0$ 입니다. $y=1/x$ 은 위쪽 가지가 0 위를, 아래쪽 가지가 0 아래를 덮는데 0 자체는 어느 쪽도 안 덮습니다. 치역이 0을 뺀 모든 수입니다.

같은 방법을 가로로 하면 정의역이 나옵니다. 곡선을 $x$ 축 쪽으로 눌러 덮이는 구간이 넣을 수 있는 값입니다. $y=\sqrt{x}$ 를 아래로 누르면 0 오른쪽만 덮입니다.

넣기 전과 나온 뒤

f(x+1) 과 f(x)+1

$f(x) = 3x + 1$ 로 확인합니다. 괄호 안에 든 것이 $x$ 자리에 통째로 들어갑니다.

$f(x+1) = 3(x+1) + 1 = 3x + 4$

이번에는 함수의 값이 나온 뒤에 1을 더합니다.

$f(x) + 1 = (3x+1) + 1 = 3x + 2$

$3x+4$ 와 $3x+2$ 는 다릅니다. 하나는 넣기 전에 손대고 하나는 나온 뒤에 손댑니다. 순서가 결과를 바꿉니다.

$f(2x)$ 도 같은 방식입니다. $x$ 자리에 $2x$ 를 넣어 $3(2x)+1 = 6x+1$ 입니다. $2f(x) = 6x+2$ 와 다릅니다.

더하기를 지키는 함수는 드물다

$f(a+b)$ 와 $f(a)+f(b)$ 가 같아지는 함수는 생각보다 적습니다. 수로 확인해 보면 곧바로 갈립니다.

함수	$f(4+9)$	$f(4)+f(9)$
$\sqrt{x}$	$\sqrt{13} \approx 3.606$	$2 + 3 = 5$
$x^2$	$169$	$16 + 81 = 97$
$\dfrac{1}{x}$	$\dfrac{1}{13} \approx 0.077$	$0.25 + 0.111 = 0.361$
$2x$	$26$	$8 + 18 = 26$

마지막 줄만 같습니다. 그리고 우연이 아닙니다. $f(x)=cx$ 꼴이면 $c(a+b) = ca+cb$ 가 분배법칙 그대로라 언제나 같고, 그렇지 않은 함수는 대체로 어긋납니다. 더하기를 그대로 통과시키는 함수는 정비례뿐입니다.

$\sqrt{a+b} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$ 나 $(a+b)^2 = a^2+b^2$ 처럼 적는 실수가 자주 나오는데, 위 표가 그 실수를 한 줄로 막아 줍니다. 헷갈릴 때는 4와 9처럼 계산하기 쉬운 수를 넣어 양쪽을 재 보면 됩니다.

가로 방향과 세로 방향

지금까지 본 것을 한 문장으로 묶으면 이렇습니다. 넣기 전에 손대는 것은 가로 방향이고, 나온 뒤에 손대는 것은 세로 방향입니다.

어디에 손대나	식	그래프에서
넣기 전	$f(x+1)$, $f(2x)$	가로로 옮기거나 늘인다
나온 뒤	$f(x)+1$, $2f(x)$	세로로 옮기거나 늘인다

다음 글이 이 표 하나를 펼쳐 놓은 것입니다. 지금은 두 자리가 다르다는 것과, 어느 쪽인지 가리는 법 — 괄호 안이면 넣기 전, 괄호 밖이면 나온 뒤 — 만 챙기면 됩니다.

좌표평면과 세로선 판정

사분면과 부호

입력과 출력이 짝을 이루므로 수 하나를 적는 수직선으로는 부족합니다. 수직선 둘을 직각으로 겹칩니다.

가로가 $x$ 축, 세로가 $y$ 축이고, 둘이 만나는 자리가 원점입니다. 짝 $(x, y)$ 하나가 평면의 점 하나입니다. 가로가 먼저, 세로가 나중입니다 — $(2, 3)$ 과 $(3, 2)$ 는 다른 점입니다.

$f(x)=3x+1$ 에서 $f(2)=7$ 이었으니 점 $(2, 7)$ 을 찍습니다. 이런 점을 전부 모은 것이 그 함수의 그래프입니다.

두 축이 평면을 넷으로 가릅니다. 오른쪽 위부터 시계 반대 방향으로 1사분면·2사분면·3사분면·4사분면이라 부르고, 칸마다 부호가 정해집니다.

사분면	$x$	$y$
1	$+$	$+$
2	$-$	$+$
3	$-$	$-$
4	$+$	$-$

축 위의 점은 어느 사분면에도 들지 않습니다. $(3, 0)$ 은 $x$ 축 위이고 $(0, -2)$ 는 $y$ 축 위입니다. 부호를 물어보는 문제에서 "0은 양수도 음수도 아니다"가 걸리는 자리가 여기입니다.

눈금을 다르게 잡으면

같은 함수라도 축의 눈금을 어떻게 잡느냐에 따라 전혀 다르게 보입니다. $y=2x$ 를 가로세로 한 칸을 똑같이 1로 잡고 그리면 비스듬한 직선이지만, 세로 한 칸을 10으로 잡으면 거의 가로선처럼 눕습니다.

그래서 그래프를 볼 때는 곡선의 모양보다 축의 눈금을 먼저 봐야 합니다. 가팔라 보인다는 말도 완만해 보인다는 말도 눈금을 정한 다음에야 뜻이 있습니다. 표를 채워 점을 찍을 때 가로세로 눈금을 같게 잡는 습관을 들이면 이 착각이 줄어듭니다.

세로선 판정

그래프만 보고도 함수인지 아닌지 가릴 수 있습니다.

세로선은 "$x$ 를 이 값으로 고정했다"는 뜻입니다. 그 선이 곡선을 두 번 만나면 같은 입력에 출력이 둘이라는 말이므로 함수가 아닙니다.

원은 함수가 아닙니다. 가로로 아무 데나 세로선을 그으면 위아래로 두 번 만납니다. 포물선은 함수입니다. 어디에 그어도 한 번만 만납니다.

세로선이 곡선을 한 번도 안 만나는 자리도 읽을 거리입니다. 그 $x$ 는 정의역 밖이라는 뜻입니다. $y=\sqrt{x}$ 에서 $x=-1$ 에 세로선을 그으면 아무것도 안 만나고, 그것이 곧 음수를 넣을 수 없다는 말입니다.

가로선 판정

가로로 그어 보면 다른 것이 읽힙니다. 가로선 $y=k$ 는 "출력이 $k$ 인 입력이 몇 개인가"를 묻습니다.

$y=x^2$ 에 $y=4$ 를 그으면 $x=2$ 와 $x=-2$ 두 곳에서 만납니다. 출력 4를 보고 입력을 되짚으려 해도 하나로 정해지지 않는다는 뜻입니다. 반면 $y=2x+1$ 은 어느 높이에 그어도 한 번만 만나서 되짚기가 하나로 정해집니다.

가로선이 어디서나 많아야 한 번 만나는 함수만 거꾸로 돌릴 수 있습니다. 그 되돌린 것에 이름을 붙이는 일은 뒤에 나옵니다 — 22번 · 로그가 그 첫 예입니다.

곡선 그리기

표를 채워 점을 찍고 잇기

그래프를 그리는 방법은 하나입니다. 표를 만들어 값을 계산하고, 점을 찍고, 잇습니다. $y=x^2$ 으로 해 봅니다.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

다섯 점을 찍고 부드럽게 이으면 아래로 볼록한 U자가 나옵니다.

점을 몇 개 찍을지는 곡선이 꺾이거나 끊기는 자리가 있는지에 달렸습니다. 직선은 두 점이면 끝나고, U자는 꼭짓점 좌우로 두 점씩 있어야 모양이 섭니다. 표가 듬성하면 있지도 않은 매끄러움을 그려 넣게 되므로, 수상한 자리 — 분모가 0이 되는 곳, 근호 안이 0이 되는 곳, 절댓값 기호 안이 0이 되는 곳 — 근처는 촘촘히 찍습니다.

여섯 곡선의 개형

앞으로 계속 소재가 되는 곡선이 다섯입니다. 직접 표를 채워 한 번씩 그려 보세요. 다음 글부터는 이 다섯을 "이미 그려 본 곡선"으로 놓고 그것을 옮기고 늘이고 뒤집습니다.

곡선	표를 채우다 만나는 것	기억할 점 둘
$y=x$	넣은 값이 그대로 나온다. 원점을 지나는 비스듬한 직선	$(0,0)$, $(1,1)$
$y=x^2$	음수를 넣어도 값이 양수라 $y$ 축을 사이에 두고 좌우가 같다	$(0,0)$, $(2,4)$
$y=\frac{1}{x}$	$x=0$ 칸이 비어 있다. 0에 가까울수록 값이 커진다	$(1,1)$, $(2,0.5)$
$y=\sqrt{x}$	음수 칸이 통째로 비어 있다. 오른쪽 절반만 있다	$(0,0)$, $(4,2)$
$y=\vert x \vert$	원점에서 꺾인다. 부드럽게 이으면 안 되는 유일한 자리	$(-1,1)$, $(1,1)$

오른쪽 칸은 개형을 세우는 요령입니다. 곡선마다 지나는 점 둘만 외워 두면 나머지는 그 사이를 잇는 일이라, 표를 다 채우지 않고도 모양을 떠올릴 수 있습니다.

여기에 하나를 더해 여섯으로 두면 좋습니다. $y=2$ 입니다. 무엇을 넣어도 2가 나오는 상수함수 이고, 그래프는 높이 2인 가로선입니다. 출력이 죄다 겹치지만 입력 쪽은 멀쩡하므로 어엿한 함수입니다. 반대로 $x=2$ 는 세로선인데, 세로선 판정에 그대로 걸려 함수가 아닙니다. 가로선과 세로선이 이렇게 갈리는 것이 "막히는 것은 언제나 입력 쪽"이라는 말의 가장 짧은 예입니다.

표에서 비어 있는 칸이 곧 정의역의 구멍입니다. $y=1/x$ 의 $x=0$ 칸을 채우려다 못 채우는 경험이 "정의역은 함수의 일부"라는 말을 손으로 알게 해 줍니다.

여섯의 정의역과 치역을 한 표에 모으면 이렇습니다.

곡선	정의역	치역
$y=x$	모든 수	모든 수
$y=x^2$	모든 수	$y \ge 0$
$y=\frac{1}{x}$	$x \neq 0$	$y \neq 0$
$y=\sqrt{x}$	$x \ge 0$	$y \ge 0$
$y=\vert x \vert$	모든 수	$y \ge 0$
$y=2$	모든 수	$y = 2$ 하나

증가와 감소

그래프를 왼쪽에서 오른쪽으로 훑으며 봅니다. 올라가면 증가, 내려가면 감소입니다.

$y=x^2$ 은 $x<0$ 에서 감소하다가 $x>0$ 에서 증가합니다. 한 함수가 구간마다 다를 수 있으므로 어디에서 증가하는가를 함께 말해야 합니다.

$y=x$ 는 모든 구간에서 증가하고, $y=\sqrt{x}$ 도 정의역 전체에서 증가합니다. $y=1/x$ 은 $x>0$ 에서도 $x<0$ 에서도 감소합니다.

$y=1/x$ 에서 조심할 것이 하나 있습니다. 두 구간 각각에서 감소하지만 "모든 곳에서 감소한다"고 말하면 틀립니다. $x=-1$ 에서 값이 $-1$ 이고 $x=1$ 에서 값이 1이라, 왼쪽에서 오른쪽으로 갔는데 값이 올라갔습니다. 구간이 끊겨 있으면 구간마다 따로 말해야 합니다.

조각별로 정의된 함수

한 식으로 안 되면 구간을 나눠 각각 적습니다.

$f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x < 0) \\ x^2 & (x \ge 0) \end{cases}$

$f(-3)$ 은 $-3 < 0$ 이므로 위쪽 식을 써서 $-1$ 입니다. $f(2)$ 는 아래쪽 식을 써서 4입니다.

어느 칸을 쓸지 먼저 정하고 그 다음에 계산합니다. 그래프는 구간마다 따로 그려 이어 붙이면 되고, 경계에서 이어지지 않고 끊어질 수도 있습니다. 여기서는 $x=0$ 근처에서 왼쪽이 2로 다가가는데 오른쪽은 0이라 끊어져 있습니다.

끊긴 것과 꺾인 것은 다릅니다. 끊긴 자리는 경계에서 양쪽 값이 아예 다른 곳이고, 꺾인 자리는 값은 이어지는데 기울기만 바뀌는 곳입니다. $y = |x|$ 도 사실 조각별 함수인데 이쪽은 꺾이기만 합니다.

$|x| = \begin{cases} -x & (x < 0) \\ x & (x \ge 0) \end{cases}$

원점에서 꺾이는 이유가 여기 있습니다. 왼쪽은 기울기가 $-1$ 인 직선이고 오른쪽은 $+1$ 인 직선인데, $x=0$ 에서 양쪽 값이 둘 다 0이라 끊기지는 않습니다.

조각별로 적을 때 조건을 잘못 두면 함수가 아니게 됩니다. 두 칸의 조건이 겹치면 — 위를 $x \le 0$, 아래를 $x \ge 0$ 으로 두면 — $x=0$ 에서 값이 둘이 되어 입력 쪽이 막힙니다. 반대로 비면 그 자리가 정의역 밖이 됩니다. 조건 줄을 쓰고 나서 경계값이 어느 칸에 정확히 한 번 들어가는지를 확인하는 것이 마지막 점검입니다.

연습 문제

3번 묶음은 모눈종이나 빈 종이에 실제로 그려 보세요. 표만 채우고 넘어가면 이 글의 절반을 건너뛰는 것입니다.

연습 1 — 대입 여덟 문제

$f(x) = 2x - 3$, $g(x) = x^2 + 1$ 입니다.

1. $f(0)$

   $2 \times 0 - 3 = -3$.
2. $f(4)$

   $8 - 3 = 5$.
3. $f(-2)$

   $-4 - 3 = -7$.
4. $g(3)$

   $9 + 1 = 10$.
5. $g(-3)$

   $(-3)^2 = 9$ 이므로 $10$. 4번과 같습니다. 출력이 겹쳐도 함수입니다.
6. $f(x+1)$

   $x$ 자리에 $x+1$ 을 통째로 넣습니다. $2(x+1) - 3 = 2x - 1$.
7. $f(x) + 1$

   값이 나온 뒤에 더합니다. $(2x-3)+1 = 2x - 2$. 6번과 다릅니다.
8. $g(2a)$

   $(2a)^2 + 1 = 4a^2 + 1$. $2 \times a^2$ 이 아니라 2도 함께 제곱됩니다.

연습 2 — 정의역 찾기 네 문제

1. $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$

   분모가 0이 되면 안 되므로 $x \neq 2$ 인 모든 수.
2. $f(x) = \sqrt{x-5}$

   근호 안이 0 이상이어야 하므로 $x \ge 5$.
3. $f(x) = \dfrac{x}{x^2-9}$

   분모를 묶으면 $(x+3)(x-3)$ 이므로 $x \neq 3$ 이고 $x \neq -3$.
4. $f(x) = \sqrt{4-x}$

   $4-x \ge 0$ 이므로 $x \le 4$.

연습 3 — 표를 채우고 그려 보기 네 문제

1. $y = x^2 - 2$ 를 $x = -2, -1, 0, 1, 2$ 에서

   차례로 $2, -1, -2, -1, 2$. $y=x^2$ 을 아래로 2만큼 내린 모양입니다.
2. $y = \dfrac{2}{x}$ 를 $x = -2, -1, 1, 2$ 에서

   차례로 $-1, -2, 2, 1$. $x=0$ 은 넣을 수 없어 표에 칸이 없고, 그래프도 두 조각으로 갈립니다.
3. $y = |x| - 1$ 을 $x = -2, -1, 0, 1, 2$ 에서

   차례로 $1, 0, -1, 0, 1$. 원점 대신 $(0, -1)$ 에서 꺾입니다.
4. $y = \sqrt{x+1}$ 을 $x = -1, 0, 3, 8$ 에서

   차례로 $0, 1, 2, 3$. 근호 안이 0 이상이어야 하므로 정의역은 $x \ge -1$ 이고, 그래프는 $(-1, 0)$ 에서 시작합니다.

연습 4 — 함수인가 아닌가 네 문제

1. 각 사람에게 그 사람이 태어난 날을 대응한다.

   함수입니다. 한 사람이 태어난 날은 하나뿐입니다.
2. 각 날짜에 그 날 태어난 사람을 대응한다.

   함수가 아닙니다. 같은 날 태어난 사람이 여럿이면 어느 쪽인지 정해지지 않습니다.
3. 각 실수 $x$ 에 $x^2$ 을 대응한다.

   함수입니다. 제곱한 값은 하나로 정해집니다. $2$ 와 $-2$ 가 같은 4로 가는 것은 문제가 되지 않습니다.
4. 각 양수 $y$ 에 제곱해서 $y$ 가 되는 수를 대응한다.

   함수가 아닙니다. $4$ 에 대해 $2$ 와 $-2$ 둘이 나옵니다.

1번과 2번, 3번과 4번이 각각 방향만 뒤집은 짝입니다. 한쪽이 함수라고 반대쪽도 함수인 것은 아닙니다.

연습 5 — 이어 붙이기와 조각별 함수 네 문제

$p(x) = x + 3$, $q(x) = x^2$ 이고, $r$ 은 $x<1$ 에서 $2x$, $x \ge 1$ 에서 $x+4$ 입니다.

1. $p(q(2))$

   안쪽부터입니다. $q(2)=4$ 이고 $p(4)=7$.
2. $q(p(2))$

   $p(2)=5$ 이고 $q(5)=25$. 1번과 다릅니다.
3. $r(0)$ 과 $r(3)$

   $0<1$ 이므로 $r(0)=0$ 이고, $3 \ge 1$ 이므로 $r(3)=7$.
4. $r$ 의 그래프가 $x=1$ 에서 끊기는지 이어지는지

   끊깁니다. 왼쪽 식은 1에 다가가며 2로 가는데 오른쪽 식의 값은 5라 세 칸만큼 벌어져 있습니다.

정리

• 함수는 입력 하나에 출력 하나가 정해지는 대응입니다. 출력이 겹치는 것은 상관없습니다.
• 같은 함수를 말·표·식·그래프 네 가지로 줄 수 있고 서로 옮길 수 있습니다. 다만 표는 언제나 일부만 담습니다.
• $f(x)$ 의 괄호는 곱이 아니라 넣는다는 뜻입니다. 괄호 안의 것이 $x$ 자리에 통째로 들어갑니다. 함수를 함수에 넣은 $f(g(x))$ 는 안쪽부터 계산하고, 순서를 바꾸면 값이 달라집니다.
• 정의역은 넣을 수 있는 값, 치역은 실제로 나오는 값, 공역은 미리 잡아 둔 범위입니다. 정의역은 함수의 일부이고, 식이 아니라 문제가 자르는 자리가 더 흔합니다.
• $f(x+1)$ 과 $f(x)+1$ 은 다릅니다. 괄호 안이면 넣기 전이라 가로 방향, 괄호 밖이면 나온 뒤라 세로 방향입니다.
• $f(a+b)=f(a)+f(b)$ 를 지키는 함수는 정비례뿐입니다. $\sqrt{4+9} \neq \sqrt4+\sqrt9$ 를 수로 한 번 재 두면 됩니다.
• 그래프는 표를 채워 점을 찍고 잇는 것이고, 함수인지는 세로선을 그어 만나는 점의 개수로 가립니다. 가로선으로 그어 보면 거꾸로 돌릴 수 있는지가 읽힙니다.
• 곡선 여섯 $y=x$, $y=x^2$, $y=1/x$, $y=\sqrt{x}$, $y=|x|$, $y=2$ 는 손으로 한 번씩 그려 두세요. 지나는 점 둘씩만 외워 두면 개형이 섭니다.
• 조각별로 적을 때는 경계값이 어느 칸에 정확히 한 번 들어가는지 확인합니다. 겹치면 함수가 아니게 되고 비면 정의역에 구멍이 납니다.

다음 글에서는 이 여섯을 옮기고 늘이고 뒤집습니다. 곡선 하나를 그려 두면 그 변형은 전부 규칙 몇 개로 나옵니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊