극한: 한없이 다가간다는 말을 표로 확인하기

지난 글은 수를 줄지어 세우고 유한하게 더했습니다. 줄을 한없이 늘이면 어떻게 될까요.

"한없이 다가간다"는 말은 일상어처럼 들리지만 계산에 쓰려면 뜻이 분명해야 합니다. 대학 과정은 이것을 엄밀하게 정의하지만, 이 글은 그 대신 수치 표 하나만 도구로 씁니다. 값을 몇 개 넣어 보고 어디에 붙는지 눈으로 확인한 다음, 식의 모양을 바꾸는 계산으로 그 값을 확정합니다.

이 규약을 여기서 세우고 뒤따르는 미적분 글들이 그대로 따릅니다. 그러니 표를 채우는 습관을 여기서 들여 둡니다.

수열의 극한

표로 보는 수렴

가장 단순한 것부터 봅니다. $\dfrac1n$ 에 $n$ 을 키워 가며 넣습니다.

$n$	1	10	100	1000	10000
$\dfrac1n$	1	0.1	0.01	0.001	0.0001

값이 0에 붙습니다. 0이 되는 것이 아니라 0에 붙습니다 — 어느 $n$ 에서도 $\dfrac1n$ 은 0이 아니지만, 0과의 차이를 원하는 만큼 작게 만들 수 있습니다. 차이를 0.001보다 작게 하고 싶으면 $n$ 을 1000보다 크게 잡으면 되고, 0.000001보다 작게 하고 싶으면 1000000보다 크게 잡으면 됩니다. 아무리 작은 차이를 요구해도 그보다 작게 만드는 $n$ 이 있다는 것, 이것이 "붙는다"의 뜻입니다.

이렇게 한없이 진행할 때 값이 붙는 곳을 극한이라 하고, 이렇게 적습니다.

$\lim_{n\to\infty}\frac1n = 0$

"$n$ 이 한없이 커질 때 $\dfrac1n$ 의 극한은 0이다"라고 읽습니다. $\lim$ 은 limit의 앞 세 글자이고, 아래에 적힌 $n\to\infty$ 가 어떻게 진행하는지를 말합니다. $\infty$ 는 무한대라고 읽는데, 수가 아니라 한없이 커진다는 상태의 이름입니다. 그래서 $n$ 에 $\infty$ 를 "넣는" 일은 없고, 넣을 수 있는 것은 언제나 10·100·1000 같은 진짜 수입니다.

하나 더 채워 봅니다. $\dfrac{n+1}{n}$ 입니다.

$n$	1	10	100	1000
$\dfrac{n+1}{n}$	2	1.1	1.01	1.001

1에 붙는 것 같습니다. 표로 짐작한 것을 이제 계산으로 확정합니다. 분수를 둘로 쪼갭니다.

$\frac{n+1}{n} = \frac{n}{n}+\frac1n$

$\frac{n}{n}+\frac1n = 1+\frac1n$

앞쪽은 언제나 1이고 뒤쪽 $\dfrac1n$ 은 방금 0으로 간다는 것을 봤습니다. 그러니 합은 1에 붙습니다.

$\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n} = 1+0 = 1$

표가 답을 찾아 주고 계산이 그것을 확정합니다. 이 글 전체가 이 두 걸음을 되풀이합니다.

수렴·발산·진동

한없이 진행했을 때 일어나는 일은 세 갈래뿐입니다. 어떤 값 하나에 붙으면 수렴한다고 하고, 그 붙는 값이 곧 극한입니다. 앞의 $\dfrac1n$ 은 0으로, $\dfrac{n+1}{n}$ 은 1로 수렴합니다.

값이 한없이 커지거나 한없이 작아지면 발산한다고 합니다. $n^2$ 은 1, 100, 10000, 1000000으로 끝없이 커지므로 $\infty$ 로 발산합니다. 이때 극한은 수가 아니므로 "극한이 없다"고 하거나 $\lim\limits_{n\to\infty}n^2=\infty$ 로 적어 어느 쪽으로 발산하는지를 밝힙니다.

붙지도 않고 한쪽으로 가지도 않은 채 여러 값 사이를 오가면 진동한다고 합니다. $(-1)^n$ 은 $-1, 1, -1, 1, \ldots$ 을 되풀이하므로 어느 한 값에도 붙지 않고 극한이 없습니다.

갈래	한없이 진행하면	예
수렴	값 하나에 붙는다	$\dfrac1n\to 0$
발산	한없이 커지거나 작아진다	$n^2\to\infty$
진동	붙지도 한쪽으로 가지도 않는다	$(-1)^n$

부호가 바뀌는 수열

그렇다면 부호가 번갈아 바뀌는 수열은 전부 진동일까요. $\dfrac{(-1)^n}{n}$ 을 채워 봅니다.

$n$	1	2	3	4	5	10	100
$\dfrac{(-1)^n}{n}$	−1	0.5	−0.333	0.25	−0.2	0.1	0.01

부호는 $(-1)^n$ 처럼 번갈아 바뀝니다. 그런데 부호를 뗀 크기는 $\dfrac1n$ 과 똑같아서 1, 0.5, 0.333, 0.25로 줄어듭니다. 0과의 차이가 곧 이 크기이므로, 차이를 원하는 만큼 작게 만들 수 있습니다. 앞에서 세운 "붙는다"의 뜻에 그대로 맞으니 0으로 수렴합니다.

그림으로 보면 이유가 더 분명합니다. 점들은 위 곡선 $\dfrac1n$ 과 아래 곡선 $-\dfrac1n$ 사이를 오가는데, 두 곡선 자체가 둘 다 0으로 오므라듭니다. 오가는 폭이 줄어드니 오가는 것이 있어도 결국 0에 붙습니다.

$(-1)^n$ 이 진동인 까닭은 부호가 바뀌어서가 아니라 크기가 줄지 않아서입니다. 그 수열은 0과의 차이가 언제나 1이고, 1과의 차이는 홀수 번째마다 2로 돌아옵니다. 어느 값을 골라도 차이가 작아지지 않습니다. 수렴을 가르는 것은 부호의 모양이 아니라 붙을 값과의 차이가 0으로 가느냐입니다.

e의 표

21번 글에서 $e$ 를 세울 때 이 표를 만들었습니다.

$n$	10	100	1000	10000
$\left(1+\dfrac1n\right)^n$	2.593742	2.704814	2.716924	2.718146

그때는 "한 값에 가까워지므로 그것을 $e$ 라 부르자"고 했습니다. 지금 보면 그 표가 방금 세운 수렴의 한 예입니다. 새로 정의할 것은 없고 기호만 갈아 끼우면 됩니다.

$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n = e$

이 표는 괄호 안이 1로 가까워지는 힘과 거듭제곱의 횟수가 늘어나는 힘이 맞서다가 2.718 근처에서 균형을 잡는 모양입니다. 괄호 안만 보고 "1의 거듭제곱이니 1"이라고 하거나, 횟수만 보고 "한없이 곱하니 한없이 커진다"고 하면 둘 다 틀립니다. 한쪽만 보고 답을 내면 안 되는 이런 자리는 뒤의 부정형에서 다시 만납니다.

등비수열의 극한

네 갈래

지난 글의 등비수열을 한없이 늘이면 무슨 일이 생기는지 봅니다. 공비 $r$ 만 다른 넷을 나란히 놓습니다.

$r$	$r^1$	$r^2$	$r^3$	$r^{10}$	결과
$0.5$	0.5	0.25	0.125	0.00098	$0$ 으로 수렴
$1$	1	1	1	1	$1$ 로 수렴
$2$	2	4	8	1024	발산
$-1$	−1	1	−1	1	진동

$r=0.5$ 는 곱할 때마다 반이 됩니다. $0.5^{10}$ 은 $\dfrac{1}{1024}$ 이라 약 0.00098이고, 곱할수록 0에 더 붙습니다. $r=2$ 는 곱할 때마다 두 배가 되어 끝없이 커집니다. $r=1$ 은 아무리 곱해도 1 그대로입니다.

음수 쪽은 부호를 떼고 보면 됩니다. $r=-0.5$ 면 $-0.5, 0.25, -0.125$ 로 부호가 바뀌지만 크기는 $0.5^n$ 이라, 앞 절의 $\dfrac{(-1)^n}{n}$ 과 같은 이유로 0에 붙습니다. $r=-1$ 은 크기가 1에 멈춰 진동하고, $r=-2$ 는 $-2, 4, -8, 16$ 처럼 부호가 바뀌며 크기까지 커져 역시 어느 값에도 붙지 않습니다. 정리하면 이렇습니다.

$\lim_{n\to\infty} r^n = \begin{cases} 0 & (\lvert r\rvert<1) \\ 1 & (r=1) \\ \text{발산} & (r>1) \\ \text{진동} & (r\le -1)\end{cases}$

$\lvert r\rvert$ 는 $r$ 의 부호를 뗀 크기, 곧 절댓값입니다. 부호를 떼고 1보다 작을 때만 0에 붙습니다. 이 결과 하나를 29번 · 등비급수가 그대로 받아 씁니다.

0에 붙는 빠르기

"1보다 작은 수를 거듭 곱하면 조금씩 깎여 나간다"는 말만으로는 걱정이 하나 남습니다. $0.999$ 처럼 1에 아주 가까우면 한 번에 0.1%씩만 깎이는데, 그러다 어느 양수에 멈춰 버리지는 않을까요. 22번 글의 로그로 확인합니다.

$0.999^n$ 이 처음으로 $0.001$ 보다 작아지는 $n$ 을 찾습니다. 양변에 상용로그를 씌웁니다. 로그는 큰 수에 큰 값을 주므로 부등호 방향은 그대로입니다.

$0.999^n < 0.001$

$n\log_{10}0.999 < \log_{10}0.001$

$\log_{10}0.999 \approx -0.000434512$ 이고 $\log_{10}0.001 = -3$ 입니다.

$n\times(-0.000434512) < -3$

음수로 나누면 부등호가 뒤집힙니다.

$n > \frac{-3}{-0.000434512} \approx 6904.3$

그러니 $n=6905$ 부터입니다. 실제로 $0.999^{6904}\approx 0.0010003$ 이고 $0.999^{6905}\approx 0.0009993$ 입니다. 같은 일을 $0.5$ 로 하면 $0.5^{9}\approx 0.00195$, $0.5^{10}\approx 0.00098$ 이라 열 번이면 됩니다.

같은 계산이 멈추지 않는다는 것도 보여 줍니다. 0.001 대신 0.000001을 요구하면 오른쪽이 $-6$ 이 되어 $n$ 이 약 13809를 넘으면 되고, 요구를 아무리 작게 해도 그에 맞는 $n$ 이 나옵니다. $n\log_{10}0.999$ 는 $n$ 이 커지는 만큼 한없이 작아지기 때문입니다.

둘 다 극한은 0입니다. 다만 $0.5^n$ 은 금방 붙고 $0.999^n$ 은 오래 걸려 붙습니다. 극한은 결국 어디에 붙느냐만 말하고, 얼마나 빨리 붙는지는 말하지 않습니다.

표의 한계

거꾸로 1보다 아주 조금 큰 $r$ 은 어떨까요. $1.000001^n$ 을 채워 봅니다.

$n$	1	10	100	1000
$1.000001^n$	1.000001	약 1.00001	약 1.0001	약 1.001

이 표만 보면 1 근처에 머무는 것처럼 보입니다. 그런데 공비가 1보다 크므로 위의 네 갈래 중 발산입니다. 더 가 보면 $n=1000000$ 에서 약 2.718, $n=10000000$ 에서 약 22026이 됩니다. 넷째 칸까지 채운 표로는 이것이 안 보입니다.

그래서 이 글의 규약은 두 걸음입니다. 표는 짐작이고, 확정은 계산입니다. 표가 가리킨 값을 식으로 확인하지 못했으면 아직 답이 아닙니다.

$1.000001^{1000000}$ 이 $e$ 에 가까운 것은 우연이 아닙니다. 위 $e$ 의 표에서 $n$ 을 1000000으로 잡은 것과 같은 식이기 때문입니다. 그런데 $e$ 의 표는 $n$ 이 커질 때 괄호 안도 함께 1로 다가갔고, 여기서는 괄호 안이 1.000001로 붙박여 있습니다. 식이 비슷해 보여도 무엇이 움직이는지가 다르면 극한이 전혀 다릅니다.

함수의 극한

좌극한과 우극한

수열은 $n=1,2,3,\ldots$ 으로 한 방향으로만 갔습니다. 함수는 $x$ 가 어떤 값 $a$ 로 다가가는데, 다가가는 길이 왼쪽과 오른쪽 둘입니다.

$x$ 가 $a$ 보다 작은 쪽에서 다가갈 때 값이 붙는 곳을 좌극한이라 하고 $\lim\limits_{x\to a^-}f(x)$ 로 적습니다. 큰 쪽에서 다가갈 때 붙는 곳은 우극한이라 하고 $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)$ 로 적습니다. 오른쪽 위의 작은 $-$ 와 $+$ 가 어느 쪽에서 오는지를 말합니다.

둘이 같을 때만 극한이 있다고 하고, 그 같은 값을 $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ 로 적습니다. 다른 길로 갔더니 다른 데 닿았다면 "다가가는 곳"이 하나로 정해지지 않은 것입니다.

왼쪽 그림은 $x<0$ 에서 1, $x\ge 0$ 에서 2인 계단 모양입니다. 표로 채우면 $x=-0.1, -0.01, -0.001$ 에서 전부 1이고 $x=0.001, 0.01, 0.1$ 에서 전부 2입니다. 좌극한은 1, 우극한은 2이므로 $x\to 0$ 에서 극한이 없습니다.

극한과 함숫값

오른쪽 그림은 더 중요한 것을 보여 줍니다. 극한은 $f(a)$ 와 아무 상관이 없습니다. $x=1$ 을 뺀 자리에서 $f(x)=x+1$ 이고 $f(1)=4$ 로 따로 정해 두었다고 합시다.

$x$	0.9	0.99	1.01	1.1
$f(x)$	1.9	1.99	2.01	2.1

양쪽에서 2에 붙습니다. 표의 어느 칸에도 $x=1$ 이 없다는 것을 보세요. 극한을 구할 때는 다가가는 자리의 값을 쓰지 않으므로, $f(1)$ 이 4이든 100이든 정의되지 않았든 극한은 2입니다.

$\lim_{x\to 1}f(x) = 2,\qquad f(1)=4$

극한은 다가가는 동안의 이야기이지 도착점에서 무슨 일이 있는지는 묻지 않습니다. 이 구별이 뒤의 부정형 계산 전부를 떠받칩니다 — 다가가는 동안에는 $x\ne a$ 이므로, $x=a$ 에서라면 못 하는 조작을 할 수 있습니다.

무한대로 가는 x

$x\to\infty$ 는 $x$ 가 한없이 커지는 것이라 다가가는 길이 하나뿐입니다. 무한대보다 큰 쪽은 없으므로 좌우를 나누지 않고, 수열에서 $n\to\infty$ 로 본 것과 같은 방식으로 표를 채웁니다. 예를 들어 $x=10, 100, 1000$ 에서 $\dfrac1x$ 는 0.1, 0.01, 0.001이라 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac1x=0$ 입니다. 수열과 다른 점은 $x$ 가 자연수만이 아니라 그 사이의 모든 수를 지나며 커진다는 것뿐입니다.

같은 $\dfrac1x$ 를 이번에는 $x\to 0$ 에서 봅니다.

$x$	−0.1	−0.01	−0.001	0.001	0.01	0.1
$\dfrac1x$	−10	−100	−1000	1000	100	10

오른쪽에서 다가가면 값이 한없이 커지고, 왼쪽에서 다가가면 한없이 작아집니다. 계단 함수는 좌극한과 우극한이 각각 수로 있는데 둘이 달랐습니다. 여기는 한쪽의 극한조차 수로 정해지지 않습니다. 둘 다 극한이 없다는 결론은 같지만 까닭이 다르고, 뒤의 연속 절에서 이 둘은 끊기는 모양도 다르게 그려집니다.

극한의 사칙연산

극한끼리는 사칙연산이 그대로 통합니다. 유도할 것이 없어 결과만 적어 둡니다. 아래에서 $\lim f$ 와 $\lim g$ 가 둘 다 수로 있다고 봅니다.

식	값
$\lim (f+g)$	$\lim f + \lim g$
$\lim (f-g)$	$\lim f - \lim g$
$\lim (cf)$	$c\lim f$
$\lim (fg)$	$(\lim f)(\lim g)$
$\lim \dfrac{f}{g}$	$\dfrac{\lim f}{\lim g}$ (단 $\lim g \ne 0$)

앞에서 $\dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac1n$ 의 극한을 $1+0$ 으로 계산한 것이 첫 줄을 쓴 것입니다. 이 표는 "각각의 극한이 수로 있을 때"라는 조건을 달고 있다는 것을 기억해 둡니다. 그 조건이 깨지는 자리가 다음 절입니다.

부정형

부정형의 네 꼴

위 표의 마지막 줄에 단서가 붙어 있습니다. 분모의 극한이 0이면 못 씁니다. 분자도 0으로 가면 모양이 $\dfrac00$ 이 되는데, 이처럼 각 부분의 극한만 보고는 전체의 값이 정해지지 않는 꼴을 부정형이라고 합니다. "정해지지 않았다"는 뜻입니다. 자주 나오는 꼴은 넷이고, 같은 꼴에서 답이 제각각 나온다는 것이 핵심입니다.

꼴	생기는 자리	같은 꼴, 다른 답
$\dfrac00$	분자·분모가 둘 다 0으로	$x\to0$ 에서 $\dfrac{x}{x}\to 1$, $\dfrac{x^2}{x}\to 0$
$\dfrac{\infty}{\infty}$	분자·분모가 둘 다 커짐	$x\to\infty$ 에서 $\dfrac{2x}{x}\to 2$, $\dfrac{x^2}{x}\to\infty$
$\infty-\infty$	커지는 둘의 차	$x\to\infty$ 에서 $(x+1)-x\to 1$, $2x-x\to\infty$
$0\cdot\infty$	0으로 가는 것과 커지는 것의 곱	$x\to\infty$ 에서 $\dfrac1x\cdot x\to 1$, $\dfrac{1}{x^2}\cdot x\to 0$

$\dfrac{x^2}{x}$ 는 약분하면 $x$ 라 0으로 가고, $\dfrac{1}{x^2}\cdot x$ 는 $\dfrac1x$ 라 0으로 갑니다. 꼴은 같아도 속을 들여다보면 다른 식입니다. 그래서 부정형을 만나면 방침이 하나입니다 — 값을 넣기 전에 식을 바꿉니다. 쓰는 도구는 전부 18번 글에 있고, 아래 세 소절이 그 도구를 하나씩 씁니다. $0\cdot\infty$ 는 따로 도구가 없습니다. 곱을 분수로 고쳐 쓰면 앞의 두 꼴 가운데 하나가 됩니다.

약분

$\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$

그냥 넣으면 $\dfrac00$ 입니다. 표로 먼저 봅니다.

$x$	0.9	0.99	1.01	1.1
값	1.9	1.99	2.01	2.1

2에 붙습니다. 이제 확정합니다. 분자를 인수분해합니다.

$x^2-1=(x-1)(x+1)$

$x$ 는 1로 다가갈 뿐 1이 아니므로 $x-1\ne 0$ 이고, 그래서 위아래의 $x-1$ 을 지울 수 있습니다. 앞 절에서 본 "다가가는 동안에는 $x\ne a$" 가 바로 여기서 쓰입니다.

$\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$

$\lim_{x\to 1}(x+1) = 1+1 = 2$

약분한 뒤의 $x+1$ 은 $x=1$ 에서도 멀쩡한 식이라 그냥 넣으면 됩니다. 이 함수의 표가 극한과 함숫값 소절 $f(x)$ 의 표와 칸마다 같은 것도 우연이 아닙니다. 둘 다 $x=1$ 만 빼면 $x+1$ 인 함수입니다.

유리화

$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$

역시 $\dfrac00$ 입니다. 이번에는 인수분해할 거리가 안 보입니다. 걸림돌은 분자의 근호이므로, 근호 앞의 부호만 바꾼 짝 $\sqrt{x+1}+1$ 을 위아래에 곱합니다. 이렇게 근호를 없애려고 짝을 곱하는 조작을 유리화라고 합니다. $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ 이 근호를 제곱으로 바꿔 없애 줍니다.

$(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1) = (x+1)-1 = x$

$\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$

이제 $x=0$ 을 넣을 수 있습니다.

$\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac12$

유리화는 $\infty-\infty$ 에서도 씁니다. $\sqrt{n^2+n}-n$ 을 봅니다. $\sqrt{n^2}$ 이 $n$ 이니 $\sqrt{n^2+n}$ 도 $n$ 과 비슷하고, 그러면 차는 0으로 갈 것 같습니다. 표를 채웁니다.

$n$	1	10	100	1000
$\sqrt{n^2+n}-n$	0.414	0.488	0.4988	0.49988

0이 아니라 0.5에 붙습니다. 짐작이 틀렸고 표가 그것을 잡았습니다. 이제 확정합니다. 짝 $\sqrt{n^2+n}+n$ 을 곱하고 나눕니다.

$(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n) = (n^2+n)-n^2 = n$

$\sqrt{n^2+n}-n = \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}$

$\infty-\infty$ 가 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 로 바뀌었습니다. 위아래를 $n$ 으로 나눕니다. $n$ 이 양수이므로 근호 안으로 들어가면 $n^2$ 으로 나누는 것이 됩니다.

$\frac{\sqrt{n^2+n}}{n} = \sqrt{\frac{n^2+n}{n^2}} = \sqrt{1+\frac1n}$

$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}$

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1} = \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac12$

같은 유리화가 한 번은 $x\to 0$ 의 $\dfrac00$ 을, 한 번은 $n\to\infty$ 의 $\infty-\infty$ 를 풀었습니다. 도구는 꼴이 아니라 걸림돌에 맞춰 고릅니다. 걸림돌이 근호의 차이면 유리화입니다.

최고차항과 성장 속도

$x\to\infty$ 에서는 분자도 분모도 커지는 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 꼴이 자주 나옵니다.

$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x}{x^2-5}$

다항식에서 차수가 가장 높은 항을 최고차항이라 합니다. 분자의 최고차항은 $3x^2$, 분모의 것은 $x^2$ 입니다. $x$ 가 크면 최고차항이 나머지를 압도합니다 — $x=1000$ 이면 $3x^2$ 은 3000000이고 $2x$ 는 2000이라, 뒤쪽은 앞쪽의 0.07%도 안 됩니다. 그래서 분자·분모를 둘 중 높은 쪽인 $x^2$ 으로 나눕니다.

$\frac{3x^2+2x}{x^2-5} = \frac{3+\dfrac2x}{1-\dfrac{5}{x^2}}$

$\lim_{x\to\infty}\frac{3+\dfrac2x}{1-\dfrac{5}{x^2}} = \frac{3+0}{1-0} = 3$

$\dfrac2x$ 와 $\dfrac{5}{x^2}$ 이 0으로 가는 것은 $\dfrac1x\to 0$ 에서 나옵니다. 답 3은 최고차항의 계수끼리 나눈 $\dfrac31$ 과 같습니다.

$0\cdot\infty$ 도 여기로 옵니다. $x\to\infty$ 에서 $x\cdot\dfrac{1}{2x+1}$ 은 앞쪽이 커지고 뒤쪽이 0으로 가는 곱입니다. 분수 하나로 고칩니다.

$x\cdot\frac{1}{2x+1} = \frac{x}{2x+1}$

$\frac{x}{2x+1} = \frac{1}{2+\dfrac1x}$

$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2+\dfrac1x} = \frac{1}{2+0} = \frac12$

최고차항으로 나누는 요령은 "누가 더 빨리 커지는가"를 묻는 것입니다. 다항식끼리는 차수가 그것을 정했습니다. 로그·거듭제곱·지수가 섞이면 큰 수 몇 개로 직접 재어 봅니다.

$x$	$\log_2 x$	$x^2$	$2^x$
10	약 3.3	100	1024
100	약 6.6	10000	약 $1.3\times 10^{30}$
1000	약 10.0	1000000	약 $10^{301}$

$x$ 가 100배가 되는 동안 로그는 3 남짓 늘고, 제곱은 10000배가 되고, 지수는 10의 30제곱 규모에서 10의 301제곱 규모로 뜁니다. 로그 < 다항 < 지수 순서입니다. 그래서 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^2}{2^x}=0$ 입니다 — 분모가 비교할 수 없이 빨리 커지기 때문입니다. 반대로 $\dfrac{2^x}{x^2}$ 은 $\infty$ 로 발산하고, $\dfrac{\log_2 x}{x}$ 는 분모가 이겨 0으로 갑니다. $\dfrac{\infty}{\infty}$ 꼴을 보면 먼저 이 서열로 누가 이기는지 가늠하고, 가능하면 식으로 확정합니다.

연속

연속의 세 조건

마지막으로 극한과 함숫값을 붙여 봅니다. 어떤 점 $a$ 에서 극한과 함숫값이 같으면 그 점에서 연속이라고 합니다.

$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$

이 한 줄에 세 가지가 들어 있습니다.

1. $f(a)$ 가 정의돼 있어야 합니다.
2. $x\to a$ 의 극한이 수로 있어야 합니다. 곧 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.
3. 그 극한이 $f(a)$ 와 같아야 합니다.

하나라도 어긋나면 그 자리가 끊깁니다. 극한과 함숫값 소절의 $f$ 는 $x=1$ 에서 1번과 2번을 지키지만(값 4가 있고 극한 2가 있습니다) 3번에서 걸립니다. 극한과 함숫값을 따로 생각하던 앞의 구별이 여기서 연속을 가르는 잣대가 됩니다.

끊기는 세 모양

모양	어긋난 것	예
구멍	$f(a)$ 가 없거나 극한과 다르다	$\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 의 $x=1$
점프	좌극한과 우극한이 다르다	계단 함수의 $x=0$
치솟음	극한이 유한한 값이 아니다	$\dfrac1x$ 의 $x=0$

구멍은 극한이 멀쩡히 있는데 그 점 하나만 비었거나 엉뚱한 곳에 찍힌 모양입니다. $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 은 $x=1$ 에서 분모가 0이라 값이 없고, 극한은 약분 소절에서 구한 2입니다. 그 점에 값을 2로 채워 넣으면 구멍이 메워집니다. 점프와 치솟음은 그렇게 메울 수 없습니다. 점프는 양쪽이 서로 다른 값에 붙어 채울 값 하나를 고를 수가 없고, 치솟음은 무한대 소절의 $\dfrac1x$ 처럼 붙을 수 자체가 없습니다.

19번 글에서 그린 다항함수는 어디서도 끊기지 않습니다. "연필을 떼지 않고 그릴 수 있다"는 감각이 위 식과 같은 말입니다.

연속함수의 결합

어떤 함수가 연속인지 매번 세 조건을 따질 필요는 없습니다. 결과만 적어 둡니다. 연속인 두 함수를 더하고, 빼고, 곱한 것은 연속입니다. 나눈 것은 분모가 0이 아닌 자리에서 연속입니다. 한 함수의 값을 다른 함수에 넣어 만든 것도 연속입니다.

상수와 $x$ 는 어디서나 연속이므로, 이 둘을 곱하고 더해 만드는 다항함수는 어디서나 연속입니다. 다항식을 다항식으로 나눈 함수는 분모가 0인 자리만 빼고 연속입니다. 21번 글의 지수함수와 22번 글의 로그함수도 정의된 범위에서 끊김 없이 그려졌고, 연속입니다.

이것이 계산에서 뜻하는 바는 간단합니다. 연속인 점에서는 극한이 곧 함숫값이라, 그냥 넣으면 끝입니다.

$\lim_{x\to 2}(x^2+3x) = 2^2+3\times 2 = 4+6 = 10$

앞의 부정형이 전부 분모가 0이 되는 자리나 무한대에서만 생긴 것도 이 때문입니다. 연속이 깨지는 자리에서만 식을 손봐야 합니다.

중간값 정리

연속에서 곧바로 나오는 결과를 하나만 이름과 함께 적어 둡니다. 양 끝 $a$ 와 $b$ 를 포함한 범위를 닫힌 구간이라 하고 $[a, b]$ 로 적는데, 닫힌 구간에서 연속인 함수는 $f(a)$ 와 $f(b)$ 사이의 모든 값을 적어도 한 번 지납니다. 이것을 중간값 정리라고 합니다. 증명은 이 과정에서 하지 않습니다. 연필을 떼지 않고 아래에서 위로 선을 그으면 그 사이 높이를 모두 지날 수밖에 없다는 감각이 그 내용입니다.

쓰임새는 방정식에 해가 있는지 확인하는 것입니다. $x^3-x-1=0$ 을 봅니다. 이 식은 인수분해로 풀리지 않지만, 해가 1과 2 사이에 있다는 것은 보일 수 있습니다. $f(x)=x^3-x-1$ 이라 두고 양 끝의 값을 계산합니다.

$f(1) = 1^3-1-1 = -1$

$f(2) = 2^3-2-1 = 8-3 = 5$

$f$ 는 다항함수라 $[1, 2]$ 에서 연속이고, $-1$ 과 $5$ 사이에 0이 있으므로 $f(x)=0$ 인 $x$ 가 1과 2 사이에 적어도 하나 있습니다.

가운데를 계속 찍으면 자리를 좁힐 수 있습니다.

$f(1.5) = 3.375-1.5-1 = 0.875$

$f(1.25) = 1.953125-1.25-1 = -0.296875$

$f(1.3) = 2.197-1.3-1 = -0.103$

$f(1.35) = 2.460375-1.35-1 = 0.110375$

부호가 바뀌는 두 수 사이에 해가 있으므로 1과 1.5 사이, 1.25와 1.5 사이, 1.3과 1.35 사이로 차례로 좁혀집니다. 해는 약 1.32입니다. 이 정리는 연속이라는 조건 없이는 성립하지 않습니다. $\dfrac1x$ 는 $x=-1$ 에서 $-1$, $x=1$ 에서 $1$ 인데 그 사이 어디에서도 0이 되지 않습니다. 가운데 $x=0$ 에서 치솟으며 끊겨 있기 때문입니다.

무한히 더한 값이 있는지는 다음 글이 다룹니다. 극한을 써서 접선의 기울기를 정의하는 일은 31번 · 도함수의 정의의 몫입니다. 수렴을 판정하는 일반적인 방법들은 이 과정에서 다루지 않습니다. 표로 보고 계산으로 확정하는 것이 초급이 쓰는 도구 전부입니다.

연습 문제

연습 1 — 수열의 극한 여섯 문제

1. $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n+1}{n}$

   $\dfrac{2n+1}{n} = 2+\dfrac1n$ 이고 뒤쪽이 0으로 가므로 2입니다.
2. $\lim\limits_{n\to\infty}(0.3)^n$

   $\lvert 0.3\rvert<1$ 이므로 0입니다.
3. $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2+1}{n}$

   $n+\dfrac1n$ 이므로 한없이 커집니다. 발산입니다.
4. $\lim\limits_{n\to\infty}(-3)^n$

   $r\le -1$ 이라 부호가 번갈아 바뀌며 크기도 커집니다. 진동이고 극한이 없습니다.
5. $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(-1)^n}{n^2}$

   부호는 번갈아 바뀌지만 크기가 $\dfrac{1}{n^2}$ 이라 1, 0.25, 0.111, … 로 0에 붙습니다. 0으로 수렴합니다.
6. $0.9^n$ 이 처음으로 $0.01$ 보다 작아지는 $n$

   $n\log_{10}0.9 < -2$ 이고 $\log_{10}0.9\approx -0.045757$ 이므로 $n > \dfrac{-2}{-0.045757}\approx 43.7$ 입니다. $n=44$ 입니다. 검산하면 $0.9^{43}\approx 0.0108$, $0.9^{44}\approx 0.0097$ 입니다.

연습 2 — 부정형 네 문제

1. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$

   분자를 $(x-2)(x+2)$ 로 인수분해해 약분하면 $x+2$ 이므로 4입니다.
2. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$

   $\sqrt{x+4}+2$ 를 위아래에 곱하면 $\dfrac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}$ 이므로 $\dfrac14$ 입니다.
3. $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{5x^2-x}{2x^2+3}$

   위아래를 $x^2$ 으로 나누면 $\dfrac{5-\frac1x}{2+\frac{3}{x^2}}$ 이므로 $\dfrac52$ 입니다.
4. $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2x+1}{x^2-1}$

   위아래를 $x^2$ 으로 나누면 $\dfrac{\frac2x+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}$ 이고 분자가 0으로 가므로 0입니다.

연습 3 — 좌우극한과 연속 다섯 문제

1. $f(x)=x+2\ (x<1)$, $f(x)=3x-1\ (x\ge 1)$ 일 때 $x=1$ 에서의 좌극한과 우극한

   좌극한은 $1+2=3$, 우극한은 $3\times 1-1=2$ 입니다. 둘이 달라 극한이 없습니다.
2. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\lvert x\rvert}{x}$

   $x>0$ 이면 $\dfrac{x}{x}=1$, $x<0$ 이면 $\dfrac{-x}{x}=-1$ 입니다. 우극한 1, 좌극한 −1이라 극한이 없습니다.
3. $g(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}\ (x\ne 3)$ 이고 $g(3)=5$ 일 때 $x=3$ 에서 연속인지

   약분하면 $x+3$ 이므로 극한은 6인데 함숫값은 5입니다. 둘이 달라 연속이 아니고, 구멍이 난 모양입니다.
4. $x^3+x-3=0$ 의 해가 1과 2 사이에 있는지

   $f(x)=x^3+x-3$ 이라 두면 $f(1)=1+1-3=-1$, $f(2)=8+2-3=7$ 입니다. 다항함수라 $[1, 2]$ 에서 연속이고 $-1$ 과 $7$ 사이에 0이 있으므로, 중간값 정리에 따라 해가 적어도 하나 있습니다.
5. $h(x)=\dfrac{1}{x-2}$ 는 $h(1)=-1$, $h(3)=1$ 이다. 1과 3 사이에 $h(x)=0$ 인 $x$ 가 있다고 말할 수 있는지

   말할 수 없습니다. $x=2$ 에서 분모가 0이라 $h$ 가 정의되지 않으므로 $[1, 3]$ 에서 연속이 아니고, 중간값 정리를 쓸 수 없습니다. 실제로 분자가 1이라 $h(x)$ 는 어디서도 0이 되지 않습니다.

연습 4 — 무한대끼리의 부정형 네 문제

1. $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+3n}-n\right)$

   짝을 곱하면 분자가 $(n^2+3n)-n^2=3n$ 이 되어 $\dfrac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}$ 입니다. 위아래를 $n$ 으로 나누면 $\dfrac{3}{\sqrt{1+\frac3n}+1}$ 이고 $\dfrac{3}{1+1}=\dfrac32$ 입니다.
2. $\lim\limits_{n\to\infty}\left(n-\sqrt{n^2-4n}\right)$

   짝 $n+\sqrt{n^2-4n}$ 을 곱하면 분자가 $n^2-(n^2-4n)=4n$ 이 되어 $\dfrac{4n}{n+\sqrt{n^2-4n}}$ 입니다. 위아래를 $n$ 으로 나누면 $\dfrac{4}{1+\sqrt{1-\frac4n}}$ 이고 $\dfrac{4}{1+1}=2$ 입니다.
3. $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt{4n^2+n}-2n\right)$

   짝을 곱하면 분자가 $(4n^2+n)-4n^2=n$ 이 되어 $\dfrac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n}$ 입니다. 위아래를 $n$ 으로 나누면 $\dfrac{1}{\sqrt{4+\frac1n}+2}$ 이고 $\dfrac{1}{2+2}=\dfrac14$ 입니다.
4. $\lim\limits_{x\to\infty}x\cdot\dfrac{3}{x+2}$

   분수 하나로 쓰면 $\dfrac{3x}{x+2}$ 이고, 위아래를 $x$ 로 나누면 $\dfrac{3}{1+\frac2x}$ 이므로 3입니다.

정리

• 이 과정에서 극한은 값을 넣어 표를 채워 보고 계산으로 확정하는 것입니다. 표는 짐작이고, $1.000001^n$ 처럼 표가 속이는 자리가 있습니다.
• 한없이 진행하면 수렴·발산·진동 셋 중 하나가 일어납니다. 수렴을 가르는 것은 붙을 값과의 차이가 0으로 가느냐입니다.
• $r^n$ 은 $\lvert r\rvert<1$ 이면 0, $r=1$ 이면 1, $r>1$ 이면 발산, $r\le-1$ 이면 진동입니다. 극한은 얼마나 빨리 붙는지는 말하지 않습니다.
• 함수의 극한은 좌극한과 우극한이 같을 때만 있다고 합니다. 그리고 극한은 $f(a)$ 와 무관합니다.
• 부정형 $\dfrac00$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\infty-\infty$, $0\cdot\infty$ 는 값을 넣기 전에 식을 바꿉니다 — 약분, 유리화, 최고차항으로 나누기 셋이고, 커지는 속도는 로그 < 다항 < 지수입니다.
• $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$ 이면 그 점에서 연속입니다. 끊기는 모양은 구멍·점프·치솟음 셋이고, 닫힌 구간에서 연속이면 중간값 정리로 해가 있는지 확인할 수 있습니다.

수를 한없이 더하면 어떻게 되는지는 아직 묻지 않았습니다. 다음 글이 그것을 부분합의 극한으로 바꿔 답합니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊