증명 읽는 법: 정의·정리·따름정리와 '따라서'의 정체

지금까지 45편을 오는 동안 "이것은 증명 없이 결과로 받습니다"라고 적고 넘어간 자리가 여럿 있었습니다. $\sqrt{2}$ 가 무리수라는 것, $|a + b| \le |a| + |b|$ 라는 것이 그랬습니다.

이 글은 그 자리들을 되짚습니다. 다만 목표는 증명을 쓰는 것이 아니라 읽는 것입니다. 남의 풀이를 펴 놓고 "여기서 왜 이 줄이 나왔지"에서 멈추지 않는 것이 여기서 얻을 것입니다. 새 계산은 없고 앞에서 이미 쓴 것들을 재료로 씁니다.

수학 문서의 여섯 낱말

증명이 있는 글은 문장마다 무게가 다르고, 그 무게를 알려 주는 것이 문장 앞에 붙는 낱말입니다.

보조정리와 따름정리는 크기가 아니라 자리가 이름을 정합니다 — 앞에 나와 재료가 되면 보조정리, 뒤에 나와 결과를 한 번 더 쓰면 따름정리입니다.

증명이 끝나는 자리에는 $\blacksquare$ 나 $\square$ 를 찍거나 Q.E.D. 라고 적습니다. "여기까지가 증명"이라는 표시일 뿐 다른 뜻은 없습니다.

한 문장에서 가정과 결론을 가른다

증명을 읽기 전에 할 일은 무엇을 주었고 무엇을 보여야 하는지를 가르는 것입니다.

모든 자연수 $n$ 에 대하여, $n$ 이 3의 배수이면 $n^2$ 도 3의 배수이다.

• 범위: 모든 자연수 $n$
• 가정: $n$ 이 3의 배수이다
• 결론: $n^2$ 이 3의 배수이다

가정과 결론을 잇는 "이면"을 기호로 $P \Rightarrow Q$ 라고 적습니다. 읽는 법은 9번 · 수식 기호 읽기에서 이미 정해 두었습니다.

"$\cdots$ 라고 하자." 새로운 사실을 주장하는 문장이 아닙니다. 앞으로 부를 이름을 정하거나 가정을 무대에 올려놓는 문장입니다. "$n = 3k$ 인 정수 $k$ 가 있다고 하자"는 아무것도 증명하지 않고 이름 $k$ 만 세웁니다.

"$\cdots$ 임을 보이면 충분하다." 이것은 목표를 바꾸는 문장입니다. 원래 보여야 할 것보다 쉬운 다른 것을 보이면 원래 것이 따라 나올 때 씁니다. 이 문장을 만나면 머릿속의 목표를 그 자리에서 갈아 끼워야 합니다.

역·이·대우 — 넷 가운데 둘만 함께 움직인다

$P \Rightarrow Q$ 하나에서 문장 셋이 더 만들어집니다.

$\lnot P$ 는 "$P$ 가 아니다"입니다. 위 넷 가운데 원 명제와 대우는 참이고, 역과 이는 거짓입니다 — 둘 다 반례가 $n = 6$ 으로 같습니다.

원 명제와 대우는 언제나 함께 참이거나 함께 거짓입니다. 같은 내용을 방향만 바꿔 적은 것이기 때문이고, 이 사실 하나가 뒤에 나올 대우 증명의 근거 전부입니다. 반대로 역과 이는 원 명제와 아무 관계가 없습니다.

$P \Leftrightarrow Q$ 는 $P \Rightarrow Q$ 와 $Q \Rightarrow P$ 를 한꺼번에 적은 것이라 증명이 두 번 필요합니다.

반례 하나로 끝나는 문장과 그렇지 않은 문장

"모든 $\cdots$ 이다" 꼴은 어긋나는 것 하나만 찾으면 거짓이 됩니다. 그 하나를 반례라고 합니다. "모든 소수는 홀수이다"는 $2$ 하나로 끝납니다.

"어떤 $\cdots$ 가 존재한다" 꼴은 다릅니다. 하나를 찾으면 참이 되고, 거짓임을 보이려면 전부 안 된다는 것을 보여야 합니다. 그래서 이 꼴은 반례로 깰 수 없습니다. 어느 쪽 꼴인지 먼저 보는 것이 증명을 읽을 때의 첫 갈림길입니다.

증명 뼈대 여섯

읽게 될 증명의 모양은 거의 여섯 안에 듭니다.

첫째, 직접 증명. 가정에서 출발해 결론까지 곧장 갑니다. 짝수 둘의 합이 짝수임을 보이려면 $a = 2m$, $b = 2n$ 으로 놓고 $a + b = 2(m + n)$ 이라고 적으면 끝입니다.

둘째, 대우 증명. $P \Rightarrow Q$ 대신 $\lnot Q \Rightarrow \lnot P$ 를 보입니다. "$n^2$ 이 짝수이면 $n$ 도 짝수이다"는 직접 하려면 막히는데, 대우 "$n$ 이 홀수이면 $n^2$ 도 홀수이다"는 $n = 2k+1$ 을 제곱해 $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ 로 곧 끝납니다.

셋째, 귀류법은 결론이 거짓이라 가정하고 모순을 만듭니다. 넷째, 경우 나누기는 빠짐없이 나눈 경우에서 각각 확인합니다. 다섯째, 수학적 귀납법은 첫 번째를 확인하고 하나가 되면 다음도 된다는 것을 보입니다. 여섯째, 구성적 증명은 "있다"를 보이려고 실제로 하나 만들어 보입니다.

뒤의 넷은 앞에서 결과만 받아 쓴 문장으로 하나씩 되짚습니다.

귀류법 — √2 는 무리수다

10번 · 수의 종류와 수직선에서 $\sqrt{2}$ 를 두 정수의 비로 적을 수 없다고 적고 증명은 여기로 미뤘습니다.

1단계. 보이려는 것의 반대를 가정합니다 — $\sqrt{2}$ 가 유리수라고 하자. 그러면 정수 $p$ 와 $q$ 가 있어

$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$

2단계. 양변을 제곱하고 분모를 넘깁니다.

$2 = \frac{p^2}{q^2} \quad \Rightarrow \quad p^2 = 2q^2$

3단계. 양쪽을 소인수분해해 2가 몇 번 들어 있는지만 셉니다. 5번 · 약수와 배수·소인수분해에서 소인수분해는 순서를 빼면 한 가지뿐이라고 했으니 한 수에 든 2의 개수는 하나로 정해집니다.

4단계. 왼쪽 $p^2$ 에 든 2의 개수는 $p$ 에 든 개수의 두 배라 짝수입니다. 오른쪽 $2q^2$ 은 $q^2$ 에 든 짝수 개에 2가 하나 더 붙으니 홀수입니다.

5단계. 그런데 $p^2$ 과 $2q^2$ 은 같은 수입니다. 한 수에 든 2의 개수가 짝수이면서 홀수라고 나왔으니 소인수분해가 한 가지뿐이라는 성질에 어긋납니다. 어긋난 곳은 계산이 아니라 1단계의 가정이므로 $\sqrt{2}$ 는 유리수가 아닙니다. $\blacksquare$

경우 나누기 — |a+b| ≤ |a|+|b|

17번 · 부등식과 부호에서 이름만 적고 지나간 삼각부등식을 부호로 경우를 나눠 봅니다.

경우 1 — 둘 다 0 이상. $|a + b| = a + b = |a| + |b|$ 로 등호입니다.

경우 2 — 둘 다 0 이하. $a + b$ 도 0 이하라 $|a + b| = -(a+b) = (-a) + (-b) = |a| + |b|$ 로 역시 등호입니다.

경우 3 — 부호가 서로 다르다. 일반성을 잃지 않고 $a \ge 0 > b$ 라고 하자. $b$ 가 음수이므로 $a + b < a$ 이고, $a$ 가 0 이상이므로 $a + b \ge b$ 입니다. 즉 $a + b$ 는 수직선에서 $b$ 와 $a$ 사이에 있습니다. 0에서 그 두 끝까지의 거리가 각각 $|a|$ 와 $|b|$ 이므로 $|a+b|$ 는 큰 쪽을 넘지 못하고, 큰 쪽은 다시 합 $|a| + |b|$ 를 넘지 못합니다.

세 경우가 모든 부호 조합을 덮었으므로 증명이 끝납니다. 등호는 두 수의 부호가 같을 때만 성립합니다. $\blacksquare$

수학적 귀납법 — 1+2+⋯+n = n(n+1)/2

27번 · 시그마 표기와 수열에서 앞뒤로 짝지어 얻은 공식입니다. 같은 것을 다른 뼈대로 다시 세웁니다.

출발. $n = 1$ 일 때 좌변은 $1$, 우변은 $\dfrac{1 \cdot 2}{2} = 1$ 이라 참입니다.

이음. $n = k$ 에서 참이라고 하자. 즉 $1 + 2 + \cdots + k = \dfrac{k(k+1)}{2}$ 입니다. 양변에 $k+1$ 을 더합니다.

$1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$

오른쪽을 $k+1$ 로 묶습니다.

$\frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = (k+1)\left(\frac{k}{2} + 1\right) = (k+1) \cdot \frac{k+2}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

이것은 원래 공식의 $n$ 자리에 $k+1$ 을 넣은 꼴입니다. 출발이 되고 이음이 되므로 모든 자연수에서 참입니다. $\blacksquare$

구성적 증명 — 등비급수의 합

29번 · 등비급수의 $\dfrac{a}{1-r}$ 이 어디서 왔는지를 봅니다. 첫째항이 1인 부분합을 놓고

$S_n = 1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1}$

양변에 $r$ 을 곱합니다.

$rS_n = r + r^2 + \cdots + r^{n-1} + r^n$

두 줄을 빼면 가운데 항이 전부 지워집니다.

$S_n - rS_n = 1 - r^n \quad \Rightarrow \quad S_n = \frac{1 - r^n}{1 - r}$

$|r| < 1$ 이면 $n$ 이 커질 때 $r^n$ 이 0으로 가므로 부분합의 극한이 $\dfrac{1}{1-r}$ 입니다. 존재를 주장만 한 것이 아니라 식을 손에 쥐여 준 것이 구성적 증명입니다.

관용구 넷

자주 나오지만 아무도 설명해 주지 않는 말이 넷 있습니다.

긴 증명은 끝에서 거꾸로 읽는다

한 쪽을 넘는 증명을 첫 줄부터 읽으면 "이 줄이 왜 필요한가"를 알 수 없어 금방 지칩니다. 마지막 줄부터 읽는 편이 낫습니다. 결론을 확인하고 바로 위 줄을 보며 "이것이 있으면 결론이 나오는가"를 묻습니다. 그렇다면 그 줄이 새 목표가 되고 다시 그 위로 올라갑니다. 이미 아는 자리에 닿으면 방향을 돌려 내려옵니다. 그러면 뜬금없어 보이던 줄들이 전부 "무엇을 위해" 있는지 붙어서 보입니다.

연습 문제

연습 1 — 문서를 읽어 내기

1. 어떤 절이 "보조정리 3"으로 시작해 "정리 4"로 끝납니다. 보조정리 3이 그 자리에 있는 까닭을 한 줄로 적으세요.

   정리 4의 증명에서 쓸 재료를 미리 떼어 증명해 둔 것입니다. 정리보다 앞이 보조정리의 자리입니다.
2. "모든 정수 $n$ 에 대하여, $n$ 이 6의 배수이면 $n$ 은 3의 배수이다"에서 범위·가정·결론을 각각 적으세요.

   범위는 모든 정수 $n$, 가정은 $n$ 이 6의 배수이다, 결론은 $n$ 이 3의 배수이다.
3. "$x > 2$ 라고 하자"와 "$x > 2$ 임을 보이면 충분하다"가 증명 안에서 하는 일을 각각 한 줄로 적으세요.

   앞은 조건을 무대에 올려 전제로 삼는 문장이고, 뒤는 지금까지의 목표를 $x > 2$ 로 갈아 끼우는 문장입니다.

연습 2 — 역·이·대우와 반례

1. "$n$ 이 9의 배수이면 $n$ 은 3의 배수이다"의 역·이·대우를 각각 문장으로 적으세요.

   역은 "$n$ 이 3의 배수이면 $n$ 은 9의 배수이다", 이는 "$n$ 이 9의 배수가 아니면 $n$ 은 3의 배수가 아니다", 대우는 "$n$ 이 3의 배수가 아니면 $n$ 은 9의 배수가 아니다"입니다.
2. 1번의 네 문장(원 명제 포함) 각각의 참·거짓을 가르고, 거짓인 것에는 반례를 하나씩 드세요.

   원 명제와 대우는 참입니다. 역과 이는 거짓이고 반례가 둘 다 $n = 6$ 입니다 — 3의 배수지만 9의 배수가 아닙니다.
3. "모든 자연수는 두 소수의 합이다"와 "어떤 자연수는 두 소수의 합이다" 가운데 반례 하나로 거짓임을 보일 수 있는 쪽을 고르고, 그 반례를 드세요.

   앞쪽입니다. 반례는 $1$ 입니다 — 가장 작은 소수가 2라 두 소수의 합은 4보다 작을 수 없습니다. 뒤 문장은 $5 = 2 + 3$ 하나로 이미 참이라 반례로 깰 수 없습니다.

연습 3 — 뼈대 고르기와 가짜 증명

1. "$n^2$ 이 3의 배수이면 $n$ 도 3의 배수이다"를 대우 증명으로 보이려 합니다. 무엇을 가정하고 무엇을 보이면 되는지 적고, 그때 경우를 몇 가지로 나누어야 하는지도 답하세요.

   $n$ 이 3의 배수가 아니라고 가정하고 $n^2$ 도 3의 배수가 아님을 보이면 됩니다. 3으로 나눈 나머지가 1인 경우와 2인 경우, 두 가지로 나눕니다.
2. $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2$ 을 수학적 귀납법으로 보이세요.

   $n=1$ 일 때 좌변은 $1$, 우변은 $1^2 = 1$ 이라 참입니다. $n=k$ 에서 참이라 하면 $1 + 3 + \cdots + (2k-1) = k^2$ 이고, 양변에 다음 항 $2k+1$ 을 더하면 $k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$ 입니다. 이것이 $n$ 자리에 $k+1$ 을 넣은 꼴이므로 모든 자연수에서 참입니다.
3. 아래는 $1 = 2$ 를 "증명"합니다. 틀린 줄을 번호로 답하고 왜 틀렸는지 한 줄로 적으세요. 시작은 $a = b$ 인 0이 아닌 두 수입니다. ① $a^2 = ab$ ② $a^2 - b^2 = ab - b^2$ ③ $(a-b)(a+b) = b(a-b)$ ④ $a + b = b$ ⑤ $2b = b$ ⑥ $2 = 1$

   ④입니다. ③에서 ④로 갈 때 양변을 $a - b$ 로 나눴는데 처음에 $a = b$ 라고 했으므로 $a - b = 0$ 입니다. 0으로 나누는 것은 허용되지 않습니다. 나머지 줄은 옳습니다 — ⑥도 양변을 $b$ 로 나누지만 $b \ne 0$ 이라 괜찮습니다.

정리

• 문서의 여섯 낱말이 문장의 무게와 자리를 알려 줍니다. 보조정리는 정리 앞, 따름정리는 정리 뒤입니다.
• 증명을 읽기 전에 범위·가정·결론을 가릅니다. "라고 하자"는 전제를 놓고, "보이면 충분하다"는 목표를 바꿉니다.
• 원 명제와 대우만 함께 움직입니다. $\Leftrightarrow$ 는 증명이 두 번 필요합니다.
• "모든" 꼴은 반례 하나로 끝나고, "어떤" 꼴은 반례로 깰 수 없습니다.
• 뼈대는 여섯입니다 — 직접·대우·귀류법·경우 나누기·귀납법·구성적. $\sqrt{2}$ 는 귀류법으로, 삼각부등식은 경우 나누기로, 합 공식은 귀납법으로, 등비급수의 합은 구성적으로 되짚었습니다.
• 긴 증명은 마지막 줄부터 거꾸로 읽습니다.

다음 글은 지금까지 손으로 낸 답들이 얼마나 정확한가를 다룹니다 — 자릿수와 오차의 언어입니다.

읽어주셔서 감사합니다. 😊