두 변수 함수와 등고선: z=f(x,y)를 곡면·등고선·단면으로 보기

지금까지 다룬 함수는 전부 입력 하나에 출력 하나였습니다. $y = f(x)$ 처럼요.

이번에는 입력을 둘로 늘립니다. $z = f(x, y)$ 는 평면 위 각 점 $(x, y)$ 에 하나의 높이 $z$ 를 얹은 것입니다. 예를 들어

$z = x^2 + y^2$

는 원점에서 0이고 원점에서 멀어질수록 커지는 함수입니다. $(1, 0)$ 에서는 1, $(0, 2)$ 에서는 4, $(3, 4)$ 에서는 25입니다.

같은 함수를 보는 세 언어

두 변수 함수를 눈에 익히는 방법이 셋 있습니다. 세 방법이 모두 같은 함수를 다른 언어로 그린 것입니다.

곡면

$x$·$y$ 평면 위에 각 점의 높이 $z$ 를 얹으면 종이 위로 튀어 오르는 면이 그려집니다. 이것을 곡면이라고 합니다. $z = x^2 + y^2$ 는 그릇처럼 생긴 면이 됩니다.

가장 그대로인 그림이지만 흠이 둘 있습니다. 종이에 그리려면 3차원을 2차원에 눌러 그려야 해서 뒤쪽이 앞쪽에 가리고, 보는 각도를 조금만 바꿔도 인상이 달라집니다. 두 함수를 나란히 놓고 견주기가 특히 어렵습니다.

등고선

같은 높이가 되는 점들을 잇는 선을 그립니다. 지도의 등고선과 같은 얼개이고, 이름도 그대로 등고선입니다. $z = 1$ 이 되는 점은 $x^2 + y^2 = 1$ 을 만족하는 점들이니 반지름 1인 원이고, $z = 4$ 는 반지름 2인 원입니다.

등고선이 촘촘한 곳이 가파르고 멀리 떨어진 곳이 완만합니다. 그런데 이 읽기는 높이를 고른 간격으로 잡았을 때만 맞습니다. $z = 1, 2, 3, 4$ 로 그리면 선 사이 간격이 곧 기울기를 말해 주지만, 같은 함수를 $z = 1, 10, 100$ 으로 그리면 원래 완만한 자리가 촘촘해 보입니다. 지도의 등고선에 "100미터마다"처럼 간격이 반드시 적혀 있는 것이 그래서입니다.

단면

한 변수를 상수로 고정하면 나머지 하나로만 움직이는 1변수 함수가 남습니다. 이렇게 잘라 낸 그림이 단면입니다. $z = x^2 + y^2$ 에서 $y = 0$ 을 고정하면 $z = x^2$ 이라는 23번 · 이차함수와 포물선의 포물선이 나오고, $x = 0$ 을 고정해도 $z = y^2$ 로 같은 포물선입니다.

$y = 0$ 이 아닌 자리에서 잘라도 됩니다. $y = 1$ 로 고정하면

$z = x^2 + 1$

이 되어 아까 그 포물선이 위로 1만큼 올라갑니다. 일반적으로 $y = c$ 에서 자르면 $z = x^2 + c^2$ 이라 모양은 그대로이고 높이만 $c^2$ 만큼 올라갑니다. 그릇을 어느 자리에서 세로로 잘라도 단면이 같은 포물선인 것이 그릇의 대칭을 보여 줍니다.

색으로 칠한 높이

넷째 방법도 있습니다. 등고선 대신 높이를 색으로 칠하는 것입니다. 낮은 곳은 짙은 색, 높은 곳은 밝은 색으로 평면 전체를 칠하면 지형의 얼개가 한눈에 들어옵니다.

다만 색만으로는 정확한 값을 읽을 수 없습니다. 이 그림에는 색과 높이의 대응을 보여 주는 색 눈금이 반드시 함께 붙어야 하고, 눈금이 없으면 "여기가 저기보다 높다" 말고는 아무것도 말할 수 없습니다. 그래서 색칠과 등고선을 겹쳐 그리는 그림이 흔합니다 — 색이 전체 인상을 주고 등고선이 정확한 값을 줍니다.

네 함수의 등고선

네 모양

이 언어들 중 등고선이 가장 실용적입니다. 종이 위에 그릴 수 있고, 여러 함수를 나란히 놓고 견주기 쉽습니다.

첫째, 그릇 $z = x^2 + y^2$ 입니다. 등고선이 원점을 가운데 둔 동심원입니다. $z = 1$ 이 반지름 1인 원, $z = 2$ 가 반지름 $\sqrt{2}$, $z = 4$ 가 반지름 2 — 높이가 두 배가 될 때마다 반지름은 $\sqrt{2}$ 배씩 늘어납니다. 원점에서 어느 방향으로 나가도 대칭입니다.

둘째, 안장 $z = x^2 - y^2$ 입니다. $x^2 - y^2 = k$ 는 24번에서 다룬 좌표평면 위의 쌍곡선입니다 — $k > 0$ 이면 좌우로 열리고, $k < 0$ 이면 위아래로 열립니다. $x$ 방향으로는 올라가고 $y$ 방향으로는 내려가는 이 모양이 안장이고, 원점을 지나는 두 대각선 $y = \pm x$ 는 $z = 0$ 인 자리입니다.

셋째, 골짜기 $z = x^2 + 10y^2$ 입니다. 등고선이 원이 아니라 가로로 긴 타원입니다. $z = 1$ 이 되려면 $x = 1$ 이면 $y = 0$ 이어야 하지만 $y = 1/\sqrt{10} \approx 0.316$ 이면 $x = 0$ 으로 충분합니다 — $y$ 는 조금만 움직여도 같은 높이가 됩니다. 이 늘어진 정도가 계수 비 $1 : 10$ 에서 옵니다.

넷째, 봉우리 $z = \exp\!\left(-\dfrac{x^2 + y^2}{2}\right)$ 입니다. 이번에는 원점이 가장 높은 자리($z = 1$)이고 밖으로 갈수록 낮아집니다. $z = c$ 를 풀면 $x^2 + y^2 = -2 \ln c$ 이므로 등고선은 원인데, $c$ 가 작을수록 원이 큽니다 — 낮은 높이가 원점에서 멀리 그려집니다.

나란한 직선 무리

등고선이 언제나 곡선인 것은 아닙니다. 가장 단순한 예가 $z = 2x + 3y$ 입니다. $2x + 3y = k$ 를 $y$ 에 대해 풀면

$y = -\frac{2}{3}x + \frac{k}{3}$

이라, 기울기가 모두 $-2/3$ 로 같고 세로 절편만 다른 나란한 직선 무리가 됩니다. $k$ 를 고른 간격으로 잡으면 직선 사이 간격도 고르고, 이것은 이 함수의 기울기가 어디서나 같다는 뜻입니다. 곡면으로 보면 기울어진 평면입니다.

겹치지 않는 선들

등고선을 그릴 때 알아 두면 좋은 성질이 하나 있습니다. 서로 다른 높이의 등고선은 절대 만나지 않습니다.

이유는 함수의 정의 그 자체입니다. 함수는 한 입력에 하나의 출력을 주기로 한 약속이므로, 한 점 $(x, y)$ 에 높이가 둘일 수 없습니다. 만약 $z = 3$ 인 선과 $z = 5$ 인 선이 어떤 점에서 만난다면 그 점의 높이가 3이면서 5여야 하니 모순입니다.

안장의 $z = 0$ 짜리 등고선이 원점에서 $\times$ 모양으로 교차하는 것은 이 성질에 어긋나지 않습니다. 만나는 두 선이 같은 높이이기 때문입니다.

두 축으로 자른 단면

네 함수를 단면으로도 견주면 등고선이 왜 그 모양인지가 한 겹 더 드러납니다.

그릇과 봉우리는 두 단면이 완전히 겹칩니다 — 그래서 등고선이 원입니다. 안장은 한쪽이 위로 열리고 다른 쪽이 아래로 열려 갈라지고, 골짜기는 두 단면이 모두 위로 열리지만 한쪽이 훨씬 가파릅니다. 등고선이 원이냐 타원이냐 쌍곡선이냐를 가르는 것이 바로 이 두 단면의 차이입니다.

편미분

정의

두 변수 함수의 변화율은 어떻게 잴까요. 한 방향씩 나눠서 잽니다. 다른 변수를 상수로 고정한 뒤 하나에 대해서만 미분하는 것을 편미분이라 하고 $\partial$ 을 붙여 적습니다.

극한으로 적으면 1변수 때와 똑같은 모양입니다.

$\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h,\ b) - f(a,\ b)}{h}$

두 번째 자리에 $b$ 가 그대로 박혀 있는 것이 전부입니다. $y$ 는 건드리지 않고 $x$ 만 $h$ 만큼 밀었습니다. 그러니까 편미분은 $y = b$ 로 잘라 낸 단면 위에서 하는 보통의 미분입니다.

계산 자체는 새로울 것이 없습니다. 32번 · 도함수 계산 규칙을 그대로 씁니다 — 다른 변수를 상수 문자로 취급하면 됩니다. $f(x, y) = x^2 + y^2$ 의 두 편도함수는

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y$

$x$ 로 미분할 때는 $y^2$ 이 상수라 사라지고, $y$ 로 미분할 때는 $x^2$ 이 사라집니다.

네 함수의 편도함수를 표로 정리합니다.

함수	$\partial f / \partial x$	$\partial f / \partial y$
$x^2 + y^2$	$2x$	$2y$
$x^2 - y^2$	$2x$	$-2y$
$x^2 + 10y^2$	$2x$	$20y$
$\exp(-(x^2+y^2)/2)$	$-x \cdot \exp(-(x^2+y^2)/2)$	$-y \cdot \exp(-(x^2+y^2)/2)$

네 번째는 합성함수라 32번의 연쇄법칙을 써서 안쪽 $-(x^2+y^2)/2$ 를 $x$ 로 미분한 $-x$ 를 지수함수의 도함수 뒤에 곱한 결과입니다.

라운드 디

기호를 갈라 쓰는 데도 뜻이 있습니다. 변수가 하나뿐일 때는 $dy/dx$ 처럼 곧은 $d$ 를 쓰고, 둘 이상일 때는 $\partial$ 을 씁니다. 이 기호는 라운드 디라고 읽습니다.

굳이 다른 글자를 쓰는 까닭은 무엇을 고정했는지 밝히기 위해서입니다. $dz/dx$ 라고만 적으면 $y$ 도 따라 움직이는지 아닌지 알 수 없습니다. $\partial z/\partial x$ 라고 적으면 "$y$ 는 붙잡아 두었다"는 말이 기호 안에 들어 있습니다. 세로로 세운 표기 $f_x$, $f_y$ 도 같은 뜻으로 자주 쓰입니다.

둘 다 0인 세 자리

네 함수 가운데 셋은 원점에서 두 편도함수가 모두 0입니다. 그릇은 $(2x, 2y)$ 가 $(0,0)$, 안장은 $(2x, -2y)$ 가 $(0,0)$, 봉우리도 앞의 표대로 원래 함수 값에 $-x$ 와 $-y$ 를 곱한 꼴이라 원점에서 $(0,0)$ 입니다.

그런데 셋의 모양은 전혀 다릅니다.

함수	원점의 두 편도함수	원점은 무엇인가
그릇	$0,\ 0$	가장 낮은 자리
안장	$0,\ 0$	최소도 최대도 아닌 자리
봉우리	$0,\ 0$	가장 높은 자리

두 편도함수가 0이라는 것만으로는 무엇인지 갈리지 않습니다. 안장의 원점은 $x$ 축을 따라 걸으면 올라가고 $y$ 축을 따라 걸으면 내려가는 자리라, 어느 쪽으로도 최소나 최대가 아닙니다. 1변수에서 도함수가 0인 점이 극대일 수도 극소일 수도 변곡점일 수도 있었던 것과 같은 사정이고, 변수가 둘이 되면서 갈래가 하나 더 늘었습니다.

이차 편도함수

갈래를 가르려면 한 번 더 미분해야 합니다. $\partial f/\partial x$ 를 다시 $x$ 로 미분한 것을 $\partial^2 f/\partial x^2$ 으로 적습니다. 그릇은 $2x$ 를 다시 미분해 $2$, 안장은 $y$ 쪽이 $-2y$ 를 미분해 $-2$ 입니다. 부호가 갈리는 자리가 여기입니다 — 둘 다 양수면 그릇, 둘 다 음수면 봉우리, 부호가 엇갈리면 안장입니다.

$x$ 로 미분한 뒤 $y$ 로 미분하는 섞인 것도 있습니다. $f = x^2 + 10y^2$ 에서

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x \ \longrightarrow\ \frac{\partial}{\partial y}(2x) = 0$

이고, 순서를 바꿔 $20y$ 를 $x$ 로 미분해도 0입니다. 이것은 우연이 아닙니다 — 미분 순서를 바꿔도 결과가 같습니다. 함수가 어지간히 매끄러우면 언제나 성립하는 성질이고, 덕분에 섞인 이차 편도함수를 계산할 때 편한 순서를 골라 써도 됩니다.

두 편도함수를 하나로 묶어 벡터로 다루는 방법은 중급 32번의 것이라 이 글은 두 개를 따로따로 계산하는 데까지만 갑니다.

이중적분

기둥을 더하는 리만합

33번 · 정적분에서 1변수 함수 아래의 넓이를 잘게 나눠 더했습니다. 두 변수 함수의 자연스러운 대응물은 부피입니다 — $z = f(x, y)$ 가 $xy$ 평면 위에 얹은 지붕과 그 아래 바닥 사이의 공간이 부피입니다.

정의도 같은 방식으로 세웁니다. 바닥 직사각형을 격자로 잘게 잘라 칸마다 그 칸 위의 함숫값 하나를 높이로 삼으면, 칸 넓이 × 높이가 작은 기둥의 부피입니다. 이 기둥들을 전부 더한 것을 리만합이라 하고, 격자를 한없이 잘게 만들었을 때 리만합이 다가가는 값이 이중적분입니다. 1변수에서 직사각형을 더해 넓이를 정의한 것과 한 층만 다릅니다.

순서를 바꿔도 같은 값

실제 계산은 격자를 세는 것이 아니라 방금 다룬 단면을 두 번 쓰는 것입니다. $x$ 를 하나 고정하면 $z = f(x, y)$ 는 $y$ 만의 1변수 함수가 됩니다. 이 함수를 $y$ 로 적분한 값이 그 $x$ 에서의 세로 단면 넓이입니다. 이 넓이를 다시 $x$ 축을 따라 더하면 전체 부피가 됩니다.

기호로 적으면 이렇습니다.

$\iint_R f(x, y)\, dx\, dy = \int_a^b \left[ \int_c^d f(x, y)\, dy \right] dx$

안쪽 대괄호가 세로 단면의 넓이, 바깥쪽 적분이 그 넓이들의 합입니다. 직사각형 구간 위에서는 순서를 바꿔도 같은 값이 나옵니다 — 언제 그래도 되는지의 정확한 조건은 이 트랙 밖의 이야기라 여기서는 결과만 씁니다.

두 예로 확인합니다.

예 1 — $f(x, y) = xy$, $R = [0, 1] \times [0, 2]$. 먼저 $x$ 를 상수로 두고 $y$ 로 적분합니다.

$\int_0^2 xy\, dy = x \int_0^2 y\, dy = x \cdot \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^2 = x \cdot 2 = 2x$

이제 이것을 $x$ 로 다시 적분합니다.

$\int_0^1 2x\, dx = \left[x^2\right]_0^1 = 1$

순서를 바꿔 봅니다 — 먼저 $y$ 를 상수로 두고 $x$ 로 적분한 뒤 $y$ 로.

$\int_0^1 xy\, dx = y \cdot \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{y}{2}, \qquad \int_0^2 \frac{y}{2}\, dy = \left[\frac{y^2}{4}\right]_0^2 = 1$

같은 값 1이 나왔습니다.

예 2 — $f(x, y) = x + y$, $R = [0, 1] \times [0, 1]$.

$\int_0^1 \left[ \int_0^1 (x + y)\, dy \right] dx = \int_0^1 \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_0^1 dx = \int_0^1 \left( x + \frac{1}{2} \right) dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

순서를 바꾸면

$\int_0^1 \left[ \int_0^1 (x + y)\, dx \right] dy = \int_0^1 \left[ \frac{x^2}{2} + xy \right]_0^1 dy = \int_0^1 \left( \frac{1}{2} + y \right) dy = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

두 번 다 같은 값입니다.

곱으로 갈리는 함수

예 1에서 한 가지가 눈에 띕니다. $x$ 가 안쪽 적분 밖으로 통째로 빠져나갔습니다. 이것은 $f(x,y) = xy$ 가 $x$ 만의 함수와 $y$ 만의 함수의 곱이기 때문입니다. 일반적으로 $f(x, y) = g(x)\,h(y)$ 꼴이면

$\iint_R g(x)h(y)\, dx\, dy = \left(\int_a^b g(x)\,dx\right)\left(\int_c^d h(y)\,dy\right)$

이라 두 번의 1변수 적분을 따로 계산해 곱하기만 하면 됩니다. 예 1을 이렇게 풀면 $\int_0^1 x\,dx = 1/2$ 과 $\int_0^2 y\,dy = 2$ 를 곱해 곧바로 1입니다.

예 2의 $x + y$ 는 이렇게 갈라지지 않습니다. 합은 곱이 아니라서 밖으로 빼낼 수가 없고, 그래서 안쪽 적분을 정직하게 끝까지 계산해야 했습니다.

평균 높이

부피를 밑넓이로 나누면 뜻이 하나 더 생깁니다. 그 구간에서 함수의 평균 높이입니다.

예 1은 부피가 1이고 밑넓이가 $1 \times 2 = 2$ 이므로 평균 높이가 $1/2$ 입니다. 지붕의 높낮이를 다 눌러 평평하게 고르면 높이 $0.5$ 짜리 상자가 되고, 그 상자의 부피가 원래 부피와 같다는 읽기입니다. 1변수에서 정적분을 구간 길이로 나눈 것이 평균값이었던 것과 정확히 같은 얼개입니다.

그림이 끝나는 자리

등위면

두 변수까지는 종이 위에 그림이 됩니다. 세 변수부터는 그림이 안 됩니다 — $w = f(x, y, z)$ 는 각 3차원 점에 하나의 수를 얹은 것인데, 우리가 볼 수 있는 것은 3차원까지라 그 위에 얹은 수를 그릴 자리가 없습니다.

그래도 등고선에 해당하는 것은 남습니다. $w = c$ 가 되는 점들을 모으면 등위면이라는 3차원 공간 안의 면이 됩니다. 예를 들어 $w = x^2 + y^2 + z^2$ 의 $w = 1$ 은 반지름 1인 구입니다. 등고선이 선이었던 자리에 면이 들어선 것이고, 차원이 하나 오르면 경계도 하나 오릅니다.

두 축만 흔드는 단면

변수가 넷을 넘어가면 등위면도 못 그립니다. 그때 실제로 쓰는 방법은 두 변수만 남기고 나머지를 붙잡아 두는 것입니다. 변수 다섯 중 셋을 지금 값에 고정해 놓고 남은 둘로만 등고선을 그리면, 그 단면 안에서는 이 글의 그림이 그대로 돌아옵니다.

물론 고르는 두 축에 따라 전혀 다른 그림이 나오고, 고정해 둔 값이 달라지면 또 다른 그림이 나옵니다. 여러 장을 그려 놓고 견주는 수밖에 없다는 점이 두 변수 때와의 진짜 차이입니다.

계산과 눈의 갈림

계산은 변수가 몇이든 그대로 확장됩니다. 편미분은 변수마다 하나씩 생겨 다섯 개가 되고, 적분은 삼중·사중으로 늘어날 뿐 얼개가 같습니다. 정의가 전부 극한과 합으로 적혀 있어서 그림에 기대는 부분이 없기 때문입니다.

갈리는 것은 눈으로 고르는 일입니다. 두 변수까지는 그림을 보고 "저기가 낮겠다"를 짐작할 수 있었지만, 변수가 많아지면 그 짐작이 사라지고 편도함수의 부호와 이차 편도함수만 남습니다. 앞으로 "지형"·"등고선"·"단면" 같은 말이 그림 없이 은유로만 쓰이는 자리가 많아지는데, 그 은유의 원본이 이 글의 네 그림입니다.

연습 문제

연습 1 — 값과 등고선

1. $f(x, y) = x^2 + y^2$ 에 대해 $f(1, 2)$, $f(-1, 3)$, $f(0, 0)$ 을 각각 구하세요.

   $f(1, 2) = 1 + 4 = 5$, $f(-1, 3) = 1 + 9 = 10$, $f(0, 0) = 0$ 입니다.
2. $f(x, y) = x^2 - y^2$ 의 등고선 $f = 0$ 을 이루는 점들의 방정식을 적고, 좌표평면 위에 어떤 모양인지 한 문장으로 답하세요.

   $x^2 - y^2 = 0$ 은 $(x - y)(x + y) = 0$ 이므로 $y = x$ 또는 $y = -x$ 입니다. 원점에서 서로 수직으로 교차하는 두 직선입니다.
3. $f(x, y) = x^2 + 10y^2$ 의 등고선 $f = 10$ 을 이루는 점들의 방정식을 적고, 반지름이 아니라 반축 길이를 $x$·$y$ 방향 각각에 대해 답하세요.

   $x^2 + 10y^2 = 10$ 이므로 $\dfrac{x^2}{10} + y^2 = 1$ 입니다. $x$ 방향 반축 길이가 $\sqrt{10} \approx 3.16$, $y$ 방향 반축 길이가 1인 가로로 늘어진 타원입니다.
4. $f(x, y) = 4x + y$ 의 등고선 $f = 4$ 와 $f = 8$ 을 각각 $y = \cdots$ 꼴로 적고, 두 직선의 관계를 한 문장으로 답하세요.

   $y = -4x + 4$ 와 $y = -4x + 8$ 입니다. 기울기가 둘 다 $-4$ 이므로 나란한 두 직선이고, 세로 절편만 4만큼 차이 납니다.

연습 2 — 편도함수 계산

1. $f(x, y) = 3x^2 y + y^3$ 의 두 편도함수 $\partial f/\partial x$ 와 $\partial f/\partial y$ 를 구하세요.

   $x$ 로 미분할 때 $y^3$ 은 상수이므로 사라지고 $3x^2 y$ 만 남아 $\partial f/\partial x = 6xy$ 입니다. $y$ 로 미분할 때 $3x^2 y$ 는 $3x^2$ 이 상수라 $3x^2$ 이 남고, $y^3$ 의 도함수는 $3y^2$ 이라 $\partial f/\partial y = 3x^2 + 3y^2$ 입니다.
2. $f(x, y) = \sin(xy)$ 의 두 편도함수를 구하세요.

   연쇄법칙을 씁니다. $x$ 로 미분하면 안쪽 $xy$ 를 $x$ 로 미분한 것이 $y$ 이므로 $\partial f/\partial x = y \cos(xy)$ 이고, $y$ 로 미분하면 안쪽을 $y$ 로 미분한 것이 $x$ 이므로 $\partial f/\partial y = x \cos(xy)$ 입니다.
3. $f(x, y) = \exp(-(x^2 + y^2)/2)$ 의 두 편도함수를 구하고, 두 결과 모두 원래 함수에 무엇을 곱한 꼴인지 한 줄로 적으세요.

   안쪽 $-(x^2 + y^2)/2$ 를 $x$ 로 미분한 $-x$ 를 곱해 $\partial f/\partial x = -x \cdot \exp(-(x^2+y^2)/2)$. 같은 방식으로 $\partial f/\partial y = -y \cdot \exp(-(x^2+y^2)/2)$. 원래 함수 값에 각각 $-x$, $-y$ 를 곱한 꼴입니다 — 원점에서 두 편도함수가 모두 0이 되는 것이 여기서 옵니다.
4. $f(x, y) = x^3 y^2$ 을 $x$ 로 미분한 뒤 $y$ 로 미분한 것과, $y$ 로 미분한 뒤 $x$ 로 미분한 것을 각각 구해 견주세요.

   $\partial f/\partial x = 3x^2 y^2$ 이고 이것을 $y$ 로 미분하면 $6x^2 y$ 입니다. 거꾸로 $\partial f/\partial y = 2x^3 y$ 이고 이것을 $x$ 로 미분하면 $6x^2 y$ 입니다. 두 결과가 같습니다.

연습 3 — 이중적분과 순서 바꾸기

1. $R = [0, 1] \times [0, 3]$ 에서 $\iint_R x^2 y\, dx\, dy$ 를 계산하세요.

   $\int_0^3 \int_0^1 x^2 y\, dx\, dy = \int_0^3 y \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 dy = \int_0^3 \dfrac{y}{3}\, dy = \left[\dfrac{y^2}{6}\right]_0^3 = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$ 입니다.
2. 같은 문제를 순서를 바꿔 $\int_0^1 \int_0^3 x^2 y\, dy\, dx$ 로 계산해 같은 값이 나오는지 확인하세요.

   $\int_0^1 x^2 \left[\dfrac{y^2}{2}\right]_0^3 dx = \int_0^1 x^2 \cdot \dfrac{9}{2}\, dx = \dfrac{9}{2} \cdot \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{2}$ 입니다. 같은 값입니다.
3. $R = [0, 2] \times [0, 1]$ 에서 $\iint_R (2x + 3y)\, dx\, dy$ 를 계산하세요.

   $\int_0^1 \int_0^2 (2x + 3y)\, dx\, dy = \int_0^1 \left[x^2 + 3yx\right]_0^2 dy = \int_0^1 (4 + 6y)\, dy = \left[4y + 3y^2\right]_0^1 = 4 + 3 = 7$ 입니다.
4. $R = [0, 2] \times [0, 3]$ 에서 $\iint_R x y^2\, dx\, dy$ 를 두 개의 1변수 적분의 곱으로 갈라 계산하세요.

   $xy^2$ 은 $x$ 만의 함수와 $y$ 만의 함수의 곱이므로 $\left(\int_0^2 x\,dx\right)\left(\int_0^3 y^2\,dy\right) = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^2 \cdot \left[\dfrac{y^3}{3}\right]_0^3 = 2 \times 9 = 18$ 입니다.
5. 바로 위 문제의 구간에서 $f(x,y) = xy^2$ 의 평균 높이를 구하세요.

   밑넓이가 $2 \times 3 = 6$ 이므로 평균 높이는 $18 \div 6 = 3$ 입니다.

정리

• 두 변수 함수 $z = f(x, y)$ 는 평면 위 각 점에 하나의 높이를 얹은 것이고, 곡면·등고선·단면·색칠 네 방법으로 볼 수 있습니다. 등고선이 가장 실용적입니다. 다만 그 읽기는 높이를 고른 간격으로 잡았을 때만 맞습니다.
• 그릇($x^2 + y^2$, 동심원), 안장($x^2 - y^2$, 쌍곡선), 골짜기($x^2 + 10y^2$, 늘어진 타원), 봉우리($\exp(-(x^2+y^2)/2)$, 가운데가 가장 높은 원)는 각각 다른 모양의 등고선을 갖고, 그 차이는 두 축으로 자른 단면의 차이에서 옵니다. $2x + 3y$ 처럼 나란한 직선이 되는 것도 있습니다.
• 서로 다른 높이의 등고선은 만나지 않습니다. 한 점에 높이가 둘일 수 없기 때문입니다.
• 편미분은 다른 변수를 상수로 두고 하나로만 하는 보통의 미분이고, 32번의 도함수 계산 규칙을 그대로 씁니다. 기호를 $\partial$ 로 갈라 쓰는 것은 무엇을 고정했는지 밝히기 위해서입니다.
• 두 편도함수가 모두 0인 것만으로는 그릇인지 봉우리인지 안장인지 갈리지 않습니다. 이차 편도함수의 부호가 그것을 가릅니다. 섞인 이차 편도함수는 미분 순서를 바꿔도 같습니다.
• 두 변수 함수 아래의 부피가 이중적분이고, 이것은 1축 적분을 두 번 한 것입니다. 직사각형 구간에서는 순서를 바꿔도 같은 값이 나오고, $g(x)h(y)$ 꼴이면 두 적분의 곱으로 갈립니다. 부피를 밑넓이로 나누면 평균 높이입니다.
• 변수가 셋을 넘으면 그림이 안 됩니다. 등위면까지가 한계이고 그 위로는 두 축만 남긴 단면을 여러 장 그려 견줍니다. 계산은 그대로 확장되지만 눈으로 고르는 일이 사라집니다.

여기까지가 초급 트랙의 다변수 얼개입니다. 다음 글은 지금까지 여러 번 나온 "왜"라는 물음을 다루는 언어 자체 — 수학의 증명을 어떻게 읽는가 — 를 세웁니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊