등비급수: 무한히 더해도 값이 유한한 이유와 1/(1−r)

지난 글에서 한없이 진행할 때 값이 어디에 붙는지를 표로 확인했습니다. 이제 그 도구를 덧셈에 씁니다.

$\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\cdots$ 처럼 항이 끝없이 이어지는 덧셈에 값이 있을 수 있을까요. 무한히 더하는데 값이 유한하다는 말은 처음 들으면 모순처럼 들립니다. 이 글은 그 말이 왜 모순이 아닌지를 표 한 장으로 답하고, 값을 구하는 공식을 세웁니다.

부분합이 만드는 수열

먼저 뜻을 분명히 합니다. 수열 $a_1, a_2, a_3, \ldots$ 을 죽 더해 나가는 것을 급수라고 합니다. 그런데 무한히 많은 항을 한꺼번에 더할 방법은 없습니다. 그래서 앞에서부터 $n$ 항까지만 더한 값 을 만듭니다.

$S_n = a_1+a_2+\cdots+a_n$

이것을 부분합 이라고 합니다. 부분합은 $n$ 마다 하나씩 정해지므로 그 자체가 또 하나의 수열입니다. 그러면 지난 글의 도구를 그대로 쓸 수 있습니다.

무한급수의 값이란 부분합 수열의 극한입니다.

새 개념이 아니라 이미 세운 것을 한 번 더 쓴 것입니다. 처음의 예로 표를 채웁니다.

$n$	1	2	3	4	5	10
$S_n$	0.5	0.75	0.875	0.9375	0.96875	0.9990234375

항을 더할 때마다 남은 자리의 절반씩만 채웁니다. 그래서 1을 넘지 못하고, 동시에 1과의 차이가 계속 반으로 줄어듭니다. 이것이 "무한히 더해도 값이 유한하다"의 전부입니다 — 모순이 아니라 더하는 것이 충분히 빨리 작아진다 는 말입니다.

$\frac12+\frac14+\frac18+\cdots = \lim_{n\to\infty}S_n = 1$

커지면서 못 넘는다

값이 있다고 말할 수 있는 근거를 조금 더 또렷이 적어 둡니다. 두 가지가 동시에 성립합니다.

첫째, 부분합은 늘 커집니다. 더하는 항이 전부 양수이므로 $S_{n+1} = S_n + a_{n+1} > S_n$ 입니다. 한 번도 내려가지 않습니다.

둘째, 부분합은 1을 넘지 못합니다. 정사각형을 채우는 그림이 그것을 보여 줍니다. 남은 빈 자리의 절반만 채우므로 아무리 채워도 빈 자리가 남습니다.

이 둘이 함께 성립하면 값이 있습니다. 한쪽으로만 가는데 벽에 막혀 있으면 어딘가에 붙을 수밖에 없기 때문입니다. 계속 커지지만 1을 넘지 못하니, 1이거나 1보다 작은 어떤 값에 다가갑니다.

거꾸로 말하면 이 둘 중 하나만 깨져도 이야기가 달라집니다. 벽이 없으면 한없이 커지고, 오르내리면 한 값에 붙지 못합니다. 뒤에서 두 경우를 다 봅니다.

참값과 부분합의 차

$n$ 항까지 더한 것은 참값이 아닙니다. 얼마나 모자라는지를 이름 붙여 둡니다.

$R_n = S - S_n$

참값에서 부분합을 뺀 것을 오차 라고 합니다. $S=1$ 인 위 급수에서 표를 다시 읽으면 이렇습니다.

$n$	1	2	3	4	5
$S_n$	0.5	0.75	0.875	0.9375	0.96875
$R_n$	0.5	0.25	0.125	0.0625	0.03125

오차가 한 항마다 반으로 줄어듭니다. 급수의 값이 있다는 말은 오차가 0으로 간다는 말과 같습니다. 값을 구하는 일과 오차를 재는 일이 같은 일이라, 이 글에서는 둘을 나란히 다룹니다.

오차가 마지막 항과 같은 자리

이 급수에는 눈에 띄는 것이 하나 더 있습니다. 위 표의 두 줄을 견줘 봅니다.

$R_1 = 0.5 = a_1, \qquad R_2 = 0.25 = a_2, \qquad R_3 = 0.125 = a_3$

오차가 마지막으로 더한 항과 정확히 같습니다.

우연이 아닙니다. $S_n = 1 - \left(\dfrac12\right)^n$ 이므로 $R_n = \left(\dfrac12\right)^n$ 이고, 이 급수의 $n$ 번째 항이 바로 그 값입니다.

그림으로 보면 더 분명합니다. $n$ 번째 조각을 채운 뒤 남은 빈 자리는 방금 채운 조각과 크기가 같습니다. 반씩 채웠으니 남은 것도 방금 채운 것만 하기 때문입니다.

모든 등비급수가 이렇지는 않습니다. 공비가 $\dfrac12$ 일 때만 이렇게 딱 맞아떨어집니다. 일반적인 오차 식은 뒤에서 세웁니다.

어긋나게 빼기

이제 등비수열을 더합니다. 첫째항 $a$, 공비 $r$ 인 등비수열의 $n$ 항까지의 합입니다.

$S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}$

이 식을 그대로 접을 방법이 있습니다. 양변에 $r$ 을 곱해 봅니다.

$rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + ar^{n}$

두 식을 나란히 놓으면 가운데가 통째로 겹칩니다. 앞의 식에서 뒤의 식을 빼면 겹치는 것이 전부 지워집니다.

$S_n - rS_n = a - ar^{n}$

왼쪽을 묶습니다.

$S_n(1-r) = a(1-r^{n})$

$r\ne 1$ 이면 양변을 $1-r$ 로 나눌 수 있습니다.

$S_n = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}$

확인해 봅니다. $a=\dfrac12$, $r=\dfrac12$, $n=4$ 를 넣으면

$S_4 = \frac{\frac12\left(1-\frac{1}{16}\right)}{\frac12} = 1-\frac{1}{16} = \frac{15}{16} = 0.9375$

위 표의 네 번째 칸과 같습니다.

공비가 1보다 클 때

이 공식은 $r$ 이 커도 그대로 씁니다. 무한히 더할 수 없을 뿐이지 유한한 $n$ 항까지의 합은 언제나 있습니다.

$a=1$, $r=2$ 를 넣어 봅니다.

$S_n = \frac{1(1-2^{n})}{1-2} = \frac{1-2^n}{-1} = 2^n - 1$

분자와 분모가 모두 음수라 부호가 상쇄됩니다. 값을 세어 보면 $S_1=1$, $S_2=3$, $S_3=7$, $S_4=15$ 입니다.

27번 글에서 점화식 $a_{n+1}=2a_n+1$ 을 굴려 얻은 $1, 3, 7, 15, 31$ 과 같은 줄입니다. 그때는 굴려서 얻고 일반항을 눈으로 짐작했는데, 지금은 공식으로 곧장 나옵니다. 그 점화식이 「앞 것을 두 배 하고 1을 더한다」였고, 그것이 곧 $1+2+4+\cdots$ 를 한 항씩 늘려 가는 일이었기 때문입니다.

$r$ 이 1보다 크면 $n$ 이 커질수록 $S_n$ 도 한없이 커집니다. 그래서 무한히 더한 값은 없습니다.

같은 수법을 한 번 더

한 칸 어긋나게 놓고 빼는 이 수법은 등비급수에만 쓰는 것이 아닙니다. 항에 $k$ 가 곱해진 급수에도 같은 손놀림이 통합니다.

$T = 1 + 2r + 3r^2 + 4r^3 + \cdots$

계수가 $1, 2, 3, 4$ 로 늘어납니다. 양변에 $r$ 을 곱해 한 칸 어긋나게 놓습니다.

$rT = r + 2r^2 + 3r^3 + \cdots$

빼면 계수가 한 칸씩 상쇄되어 전부 1이 됩니다.

$T - rT = 1 + r + r^2 + r^3 + \cdots$

오른쪽은 우리가 아는 등비급수입니다. $|r|<1$ 이면 값이 $\dfrac{1}{1-r}$ 이므로

$T(1-r) = \frac{1}{1-r} \quad \Rightarrow \quad T = \frac{1}{(1-r)^2}$

$r=\dfrac12$ 로 확인합니다. 공식은 $\dfrac{1}{(1/2)^2} = 4$ 를 줍니다. 손으로 다섯 항을 더해 보면

$1 + 1 + 0.75 + 0.5 + 0.3125 = 3.5625$

4로 가고 있습니다. 한 번 익힌 손놀림이 다른 급수에도 그대로 간다 는 것이 이 절의 요점입니다.

망원합과 같은 얼개

가운데가 지워지는 이 모양을 27번 글에서 이미 만났습니다. 망원합 이 그것이었습니다.

$\sum_{k=1}^{n}(b_{k+1}-b_k) = b_{n+1}-b_1$

이웃한 두 항의 차를 더하면 가운데가 짝지어 지워지고 양 끝만 남습니다. 지금 한 일도 같습니다 — $S_n$ 과 $rS_n$ 을 한 칸 어긋나게 놓았더니 $ar, ar^2, \ldots, ar^{n-1}$ 이 위아래로 짝을 지어 지워지고 $a$ 와 $ar^n$ 만 남았습니다.

두 줄을 어긋나게 놓아 짝을 만들고 지운다 — 접힌 합을 손으로 여는 방법 중 이것이 가장 자주 쓰입니다.

수렴 조건

공식 $S_n = \dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$ 에서 $n$ 에 달린 것은 $r^{n}$ 하나뿐입니다. 그러니 지난 글이 정리한 $r^n$ 의 거동을 그대로 넣으면 됩니다.

$\lvert r\rvert<1$ 이면 $r^{n}\to 0$ 이므로

$S = \lim_{n\to\infty}S_n = \frac{a(1-0)}{1-r} = \frac{a}{1-r}$

$\lvert r\rvert\ge 1$ 이면 $r^{n}$ 이 0으로 가지 않으므로 부분합도 한 값에 붙지 않습니다 — 발산하거나 진동합니다. 다만 $r=1$ 은 위 공식 자체를 못 쓰는데, 그때는 $S_n = na$ 라 $a\ne 0$ 이면 그냥 한없이 커집니다.

무한등비급수는 $\lvert r\rvert<1$ 일 때만 값이 있고, 그 값은 $\dfrac{a}{1-r}$ 입니다.

r = −1 인 자리

$\lvert r\rvert\ge 1$ 이 전부 「한없이 커진다」는 아닙니다. $r=-1$ 이 그렇습니다.

$a=1$, $r=-1$ 이면 항이 $1, -1, 1, -1, \ldots$ 이고 부분합은 이렇게 됩니다.

$S_1=1,\quad S_2=0,\quad S_3=1,\quad S_4=0,\quad \ldots$

$1$ 과 $0$ 을 영원히 오갑니다. 커지지도 않고 한 값에 붙지도 않습니다. 이런 것을 진동한다고 합니다.

앞 절에서 「한쪽으로만 가는데 벽에 막혀 있으면 어딘가에 붙는다」고 했는데, 여기는 벽은 있지만 한쪽으로만 가지 않습니다. 두 조건 중 하나가 깨진 자리입니다.

공식에 억지로 $r=-1$ 을 넣으면 $\dfrac{1}{1-(-1)} = \dfrac12$ 이 나옵니다. 부분합이 한 번도 갖지 않은 값입니다. 조건을 확인하지 않고 공식만 쓰면 이런 답이 나오므로, $\lvert r\rvert<1$ 을 먼저 보는 습관이 필요합니다.

몇 항이면 충분한가

오차 식을 일반적으로 세워 둡니다. $S$ 에서 $S_n$ 을 뺍니다.

$R_n = \frac{a}{1-r} - \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a\,r^{n}}{1-r}$

이 식이 있으면 「소수 몇째 자리까지 맞추려면 몇 항을 더해야 하는가」에 답할 수 있습니다.

$a=1$, $r=0.9$ 로 해 봅니다. 참값은 $\dfrac{1}{0.1}=10$ 이고 오차는 $R_n = \dfrac{0.9^n}{0.1} = 10 \times 0.9^n$ 입니다. 오차를 $0.01$ 아래로 내리려면

$10 \times 0.9^n < 0.01 \quad \Rightarrow \quad 0.9^n < 0.001$

22번 글의 로그로 양변을 내립니다. $n \log 0.9 < \log 0.001$ 인데 $\log 0.9$ 가 음수라 부등호가 뒤집힙니다.

$n > \frac{-3}{-0.0458} = 65.6$

예순여섯 항 이 필요합니다. 같은 계산을 $r=\dfrac12$ 로 하면 $R_n = 2\times\left(\dfrac12\right)^n$ 이고 $0.01$ 아래로 내리는 데 여덟 항 이면 됩니다.

여덟과 예순여섯입니다. 공비가 0.9와 0.5로 그리 멀지 않은데 필요한 항의 수는 여덟 배가 넘습니다.

크기만 보면 되는 이유

조건이 $r<1$ 이 아니라 $\lvert r\rvert<1$ 인 것에는 이유가 있습니다.

$r^n$ 이 0으로 가는지는 그 크기가 0으로 가는지 로 정해집니다. $\lvert r^n \rvert = \lvert r \rvert^n$ 이므로, 크기가 1보다 작은 수를 거듭 곱하면 크기가 0으로 갑니다. 부호는 그때 함께 붙어 다닐 뿐 크기에 관여하지 않습니다.

$r=-\dfrac12$ 로 확인합니다.

$-\frac12,\ \frac14,\ -\frac18,\ \frac1{16},\ \ldots$

부호는 오가지만 크기는 $\dfrac12, \dfrac14, \dfrac18$ 로 줄기만 합니다. 그러니 0으로 갑니다.

$r=-2$ 라면 크기가 $2, 4, 8$ 로 커지므로 0으로 가지 않습니다. 부호는 다가가는 방향을 정하고 크기는 다가가는지 아닌지를 정합니다. 이 갈래를 섞지 않는 것이 조건을 절댓값으로 적은 이유입니다.

다가가는 속도와 방향

첫째항을 1로 고정하고 공비만 바꿔 가며 부분합을 직접 계산합니다.

$r$	$S_1$	$S_2$	$S_3$	$S_4$	$S_5$	$\dfrac{1}{1-r}$
$\dfrac12$	1	1.5	1.75	1.875	1.9375	2
$\dfrac13$	1	1.3333	1.4444	1.4815	1.4938	1.5
$0.9$	1	1.9	2.71	3.439	4.0951	10
$-\dfrac12$	1	0.5	0.75	0.625	0.6875	0.6667

한 줄씩 손으로 세어 봅니다. $r=\dfrac13$ 이면 항이 $1,\ \dfrac13,\ \dfrac19,\ \dfrac1{27}$ 이므로 $S_3 = 1+0.3333+0.1111 = 1.4444$ 이고, 공식은 $\dfrac{1}{1-1/3}=\dfrac{3}{2}$ 입니다. 표의 값이 그쪽으로 가고 있습니다.

오차가 줄어드는 비율

오차 식 $R_n = \dfrac{a\,r^n}{1-r}$ 에서 이웃한 두 오차의 비를 봅니다.

$\frac{R_{n+1}}{R_n} = \frac{a\,r^{n+1}/(1-r)}{a\,r^{n}/(1-r)} = r$

오차가 한 항마다 정확히 $r$ 배가 됩니다. 크기로만 말하면 $\lvert r \rvert$ 배씩 줄어듭니다.

이렇게 오차가 한 걸음마다 일정한 비율로 줄어드는 것을 선형수렴 이라고 합니다. 이름에 「선형」이 붙었지만 오차가 직선으로 줄어든다는 뜻은 아닙니다 — 줄어드는 비율이 일정하다 는 뜻입니다.

일정한 비율로 줄어드는 것은 곧 등비수열이므로, 오차 자체가 또 하나의 등비수열입니다. 그래서 한 자리를 더 맞추는 데 드는 항의 수가 늘 같습니다. $r=\dfrac12$ 이면 서너 항마다 한 자리씩 늘고, $r=0.9$ 이면 스물두 항마다 한 자리입니다.

여덟 항과 예순여섯 항

앞에서 얻은 두 숫자를 그림으로 견줍니다. 세로 눈금을 한 칸에 열 배씩 벌어지게 잡으면 두 오차가 각각 직선 으로 내려갑니다.

직선이 되는 이유가 앞 소절에 있습니다. 오차가 한 항마다 일정한 비율로 곱해지므로, 눈금을 곱셈으로 잡으면 일정한 간격으로 내려앉습니다. 두 직선의 기울기가 곧 두 공비이고, 기울기 차이가 그대로 여덟 항과 예순여섯 항의 차이입니다.

이 그림이 답하는 물음은 하나입니다 — 공비가 0.5에서 0.9로 겨우 0.4 올랐는데 왜 항이 여덟 배 넘게 필요한가. 한 항마다 곱해지는 값이 0.5와 0.9이고, 곱셈은 조금만 달라도 여러 번 되풀이하면 크게 벌어지기 때문입니다.

위아래로 오가며 다가가기

표의 네 줄에서 배울 것이 각각 다릅니다.

• $r=0.9$ 는 다가가는 속도가 느립니다. 다섯 항까지 가도 4.1인데 답은 10입니다. 공비가 1에 가까울수록 오래 걸립니다.
• $r=-\dfrac12$ 은 위아래로 오가며 다가갑니다. 부호가 번갈아 붙으니 답을 지나쳤다 돌아오기를 되풀이합니다.
• 나머지 둘은 아래에서 곧장 올라갑니다.

가운데 줄을 조금 더 봅니다. $1, 0.5, 0.75, 0.625, 0.6875$ 는 답인 $\dfrac23 \approx 0.6667$ 을 사이에 두고 번갈아 서 있습니다.

여기에는 덤이 하나 있습니다. 답이 이웃한 두 부분합 사이에 반드시 있습니다. $0.625$ 와 $0.6875$ 사이라는 것을 두 값만 보고도 말할 수 있고, 그러면 오차가 그 둘의 차인 $0.0625$ 보다 작다는 것도 압니다. 한쪽에서만 다가가는 경우에는 이런 말을 할 수 없습니다 — 위에 벽이 있다는 것만 알지 얼마나 가까운지는 따로 재야 합니다.

0.999…와 순환소수

이제 오래된 물음 하나를 정리합니다. $0.999\ldots$ 는 1보다 조금 작은 수가 아닐까요.

이 소수를 자리마다 쪼개 봅니다.

$0.999\ldots = 0.9+0.09+0.009+\cdots$

첫째항이 $0.9$ 이고 다음 항마다 $0.1$ 배씩 되는 등비급수입니다. $\lvert 0.1\rvert<1$ 이므로 값이 있고,

$S = \frac{0.9}{1-0.1} = \frac{0.9}{0.9} = 1$

$0.999\ldots$ 는 1에 가까운 수가 아니라 1을 적는 또 하나의 방법입니다. "$0.999\ldots$ 는 1보다 작다"는 느낌은 유한하게 끊어 본 부분합 $0.9,\ 0.99,\ 0.999$ 를 떠올린 것입니다. 그것들은 확실히 1보다 작지만, 급수의 값은 그 부분합들의 극한입니다.

세 배 해서 닿는 같은 결론

급수를 쓰지 않고도 같은 곳에 닿는 길이 있습니다. 누구나 아는 나눗셈 하나에서 출발합니다.

$\frac13 = 0.333\ldots$

양변에 3을 곱합니다.

$1 = 0.999\ldots$

왼쪽은 $\dfrac33=1$ 이고 오른쪽은 각 자리의 3이 9가 된 것입니다. 한 줄로 끝납니다.

이 길이 짧기는 하지만 앞의 길만 못한 데가 있습니다. $\dfrac13$ 이 $0.333\ldots$ 이라는 것 자체가 이미 무한소수를 인정하고 들어가는 말이라, 「무한히 이어지는 소수가 정확히 어떤 수를 가리키는가」라는 원래 물음을 그대로 남겨 둡니다. 급수로 푸는 쪽은 그 물음에 부분합의 극한 이라고 답한 뒤에 값을 구합니다.

유한소수도 표기가 둘이다

$0.999\ldots = 1$ 이 특별한 예외는 아닙니다. 끝나는 소수는 전부 표기가 둘입니다.

$0.5 = 0.4999\ldots$

확인해 봅니다. $0.4999\ldots$ 는 $0.4$ 에 $0.09+0.009+\cdots$ 를 더한 것이고, 뒤쪽은 첫째항 $0.09$, 공비 $0.1$ 인 등비급수라 $\dfrac{0.09}{0.9}=0.1$ 입니다. 합이 $0.5$ 입니다.

짧은 표기	긴 표기
$1$	$0.999\ldots$
$0.5$	$0.4999\ldots$
$2.7$	$2.6999\ldots$

마지막 자리를 하나 줄이고 뒤에 9를 무한히 붙이면 같은 수가 됩니다. 그래서 소수 표기는 수와 일대일로 대응하지 않습니다. 보통은 짧은 쪽을 쓰기로 약속해 두어 이 겹침이 눈에 띄지 않을 뿐입니다.

순환마디가 뒤에서 시작할 때

12번 글에서 순환하는 소수를 분수로 바꾸는 절차를 익혔습니다. 그때는 왜 그렇게 되는지 말하지 않고 방법만 썼습니다. 그 정체가 등비급수입니다.

$0.4747\ldots$ 을 두 자리씩 끊어 봅니다.

$0.4747\ldots = 0.47 + 0.0047 + 0.000047 + \cdots$

첫째항 $0.47$, 공비 $0.01$ 인 등비급수입니다.

$S = \frac{0.47}{1-0.01} = \frac{0.47}{0.99} = \frac{47}{99}$

순환마디가 두 자리라 분모에 9가 둘 서는 이유가 여기 있습니다 — $1-0.01 = 0.99$ 이기 때문입니다. 한 자리면 $\dfrac{a}{0.9}$ 이라 9가 하나, 세 자리면 999입니다.

순환이 첫 자리부터 시작하지 않으면 한 걸음이 더 필요합니다. $0.1666\ldots$ 처럼 6만 되풀이되는 경우입니다.

첫째, 순환하지 않는 앞 조각을 떼어 냅니다.

$0.1666\ldots = 0.1 + 0.0666\ldots$

둘째, 남은 것만 등비급수로 봅니다. $0.06+0.006+0.0006+\cdots$ 은 첫째항 $0.06$, 공비 $0.1$ 이므로

$\frac{0.06}{0.9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$

셋째, 떼어 둔 것을 다시 더합니다.

$\frac{1}{10}+\frac{1}{15} = \frac{3}{30}+\frac{2}{30} = \frac{1}{6}$

앞 조각과 순환 조각을 갈라 따로 다루고 마지막에 합친다 — 순환마디가 어디서 시작하든 이 세 걸음이면 됩니다.

조화급수의 반례

여기까지 보면 이런 짐작이 듭니다 — 더하는 항이 0으로 가면 합도 유한하지 않을까. 아닙니다. 반례가 하나 있습니다.

$1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\cdots$

이것을 조화급수라고 합니다. 항 $\dfrac1n$ 은 분명히 0으로 갑니다. 그런데 합은 한없이 커집니다. 항을 2의 거듭제곱 단위로 묶으면 보입니다.

$\frac13+\frac14 > \frac14+\frac14 = \frac12$

$\frac15+\frac16+\frac17+\frac18 > 4\times\frac18 = \frac12$

$\frac19+\cdots+\frac1{16} > 8\times\frac1{16} = \frac12$

묶음마다 안의 항을 그 묶음의 마지막 값으로 낮춰 잡아도 합이 $\dfrac12$ 을 넘습니다. 묶음은 얼마든지 더 만들 수 있으니 $\dfrac12$ 을 한없이 더하는 셈이고, 그러면 한없이 커집니다.

$1+\frac12+\frac13+\cdots = \infty$

백만 항을 더해도 14

「한없이 커진다」는 말이 「빨리 커진다」는 뜻은 아닙니다. 조화급수는 믿기 어려울 만큼 느리게 커집니다.

항의 수	부분합
10	약 2.93
100	약 5.19
1,000	약 7.49
1,000,000	약 14.39

백만 항을 더해도 15가 안 됩니다. 위의 묶음 논법이 그대로 이유를 줍니다 — $\dfrac12$ 을 한 번 더 벌려면 묶음의 크기를 두 배로 키워야 하므로, 값을 $\dfrac12$ 올리는 데 드는 항의 수가 매번 두 배가 됩니다.

그러니 100을 넘기려면 항이 얼마나 필요한지 짐작이 갑니다. 계산해 보면 대략 $10^{43}$ 개입니다. 한없이 커지지만 아무도 그 커짐을 다 볼 수는 없습니다.

이 대비를 잘 봐 두어야 합니다. 「값이 있는가」와 「손으로 다룰 만한가」는 다른 물음입니다. 조화급수는 값이 없는데도 백만 항까지는 14 근처에서 얌전해 보이고, $r=0.9$ 인 등비급수는 값이 있는데도 예순여섯 항이 필요했습니다.

지수 하나 차이

분모의 지수를 하나만 올리면 결과가 뒤집힙니다.

$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$

이것은 값이 있습니다. 부분합을 세어 보면 1, 1.25, 1.361, 1.424, 1.464로 오르다가 1.645 근처에서 멎습니다.

간단한 벽 하나를 세울 수 있습니다. 둘째 항부터는 $\dfrac{1}{n^2} < \dfrac{1}{n(n-1)}$ 인데, 오른쪽은 27번 글에서 부분분수로 쪼개 접었던 그 꼴입니다.

$\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$

더하면 망원합이라 가운데가 지워지고 1보다 작은 값이 남습니다. 그러니 전체가 2를 넘지 못합니다. 커지면서 벽에 막혀 있으니 값이 있습니다 — 이 글 첫 절의 논법 그대로입니다.

급수	결과
$\sum \dfrac1n$	값이 없다
$\sum \dfrac1{n^2}$	값이 있다

지수가 1이냐 2냐 하나로 갈립니다. 이 경계 위에서 정확히 어디까지가 값이 있는 쪽인지는 이 과정에서 다루지 않습니다.

0으로 가는 것과 빨리 가는 것

정리하면 이렇습니다.

항이 0으로 가는 것은 필요할 뿐 충분하지 않습니다. 0으로 가지 않으면 값이 없는 것은 분명합니다 — 매번 같은 크기를 더하니 한없이 커집니다. 하지만 0으로 간다고 값이 있는 것은 아닙니다.

갈림길은 얼마나 빨리 작아지는가 입니다.

항	줄어드는 방식	결과
$\dfrac{1}{2^n}$	한 항마다 곱해서 절반	값이 있다
$\dfrac{1}{n^2}$	자리의 제곱만큼	값이 있다
$\dfrac{1}{n}$	자리만큼	값이 없다

곱해서 줄어드는 것이 가장 빠르고, 그다음이 제곱, 그다음이 그냥 $n$ 입니다. 조화급수는 그 선 아래에 있습니다.

수렴을 판정하는 일반적인 방법들은 이 과정에서 다루지 않습니다. 초급이 값을 구할 수 있는 급수는 등비급수 하나입니다. 등비가 아닌 급수를 다루는 도구는 35번 · 테일러 첫걸음에서 다시 만납니다.

연습 문제

연습 1 — 유한합 네 문제

1. $1+2+4+\cdots+2^9$ (열 항)

   $a=1$, $r=2$, $n=10$ 이므로 $\dfrac{1(1-2^{10})}{1-2} = \dfrac{-1023}{-1} = 1023$ 입니다.
2. $3+\dfrac32+\dfrac34+\dfrac38$ (네 항)

   $a=3$, $r=\dfrac12$, $n=4$ 이므로 $\dfrac{3\left(1-\frac1{16}\right)}{\frac12} = 3\times\dfrac{15}{16}\times 2 = \dfrac{45}{8}$ 입니다.
3. $2+6+18+54+162$

   $a=2$, $r=3$, $n=5$ 이므로 $\dfrac{2(1-243)}{1-3} = \dfrac{-484}{-2} = 242$ 입니다.
4. $1-3+9-27+81-243$

   $a=1$, $r=-3$, $n=6$ 이므로 $\dfrac{1\left(1-(-3)^6\right)}{1-(-3)} = \dfrac{1-729}{4} = -182$ 입니다.

연습 2 — 무한등비급수 다섯 문제

1. $1+\dfrac14+\dfrac1{16}+\cdots$

   $r=\dfrac14$ 이라 $\lvert r\rvert<1$ 입니다. $\dfrac{1}{1-\frac14} = \dfrac43$ 입니다.
2. $6-3+\dfrac32-\cdots$

   $a=6$, $r=-\dfrac12$ 입니다. $\dfrac{6}{1+\frac12} = \dfrac{6}{\frac32} = 4$ 입니다.
3. $5+\dfrac53+\dfrac59+\cdots$

   $a=5$, $r=\dfrac13$ 입니다. $\dfrac{5}{1-\frac13} = \dfrac{5}{\frac23} = \dfrac{15}{2}$ 입니다.
4. $2+4+8+\cdots$

   $r=2$ 라 $\lvert r\rvert\ge 1$ 입니다. 부분합이 한없이 커지므로 값이 없습니다.
5. $3-3+3-3+\cdots$

   $r=-1$ 이라 값이 없습니다. 부분합이 $3, 0, 3, 0$ 으로 진동합니다. 공식에 넣으면 $\dfrac32$ 이 나오지만 부분합이 한 번도 갖지 않는 값입니다.

연습 3 — 오차와 항의 수 세 문제

1. $a=1$, $r=\dfrac14$ 인 무한등비급수의 값과 $R_3$

   값은 $\dfrac{1}{1-\frac14}=\dfrac43$ 입니다. $R_3 = \dfrac{(1/4)^3}{3/4} = \dfrac{1/64}{3/4} = \dfrac{1}{48}$ 입니다.
2. $a=1$, $r=\dfrac13$ 일 때 $R_{n+1}$ 은 $R_n$ 의 몇 배입니까.

   $\dfrac13$ 배입니다. 오차의 비는 공비와 같습니다.
3. $a=1$, $r=\dfrac12$ 인 급수에서 오차를 $0.001$ 아래로 내리려면 몇 항이 필요합니까.

   $R_n = 2\times\left(\dfrac12\right)^n = \left(\dfrac12\right)^{n-1}$ 입니다. $\left(\dfrac12\right)^{10} \approx 0.00098$ 이므로 $n-1=10$, 곧 열한 항입니다.

연습 4 — 순환소수 네 문제

1. $0.333\ldots$ 을 분수로

   $a=0.3$, $r=0.1$ 이므로 $\dfrac{0.3}{0.9}=\dfrac13$ 입니다.
2. $0.121212\ldots$ 를 분수로

   두 자리씩 끊으면 $a=0.12$, $r=0.01$ 이므로 $\dfrac{0.12}{0.99}=\dfrac{12}{99}=\dfrac{4}{33}$ 입니다.
3. $0.5222\ldots$ 를 분수로 (2만 되풀이)

   $0.5$ 를 떼어 놓고 나머지를 급수로 봅니다. $0.02+0.002+\cdots = \dfrac{0.02}{0.9}=\dfrac{1}{45}$ 이므로 합은 $\dfrac12+\dfrac1{45} = \dfrac{45}{90}+\dfrac{2}{90} = \dfrac{47}{90}$ 입니다.
4. $2.7$ 을 9가 되풀이되는 소수로 적으세요.

   $2.6999\ldots$ 입니다. 마지막 자리를 하나 줄이고 뒤에 9를 무한히 붙입니다.

정리

• 급수의 값은 부분합 수열의 극한 입니다. 무한히 더하는 새 연산이 아니라 지난 글의 극한을 한 번 더 쓴 것입니다.
• 값이 있다고 말하는 근거는 둘입니다 — 한쪽으로만 가고, 벽에 막혀 있습니다. 둘 중 하나만 깨져도 값이 없습니다.
• 참값과 부분합의 차 $R_n$ 이 오차이고, 값이 있다는 말은 오차가 0으로 간다는 말 과 같습니다.
• $S_n$ 에서 $rS_n$ 을 어긋나게 빼면 가운데가 지워져 $S_n = \dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$ 이 나옵니다. 이 수법은 망원합과 같은 얼개 이고 다른 급수에도 그대로 갑니다.
• $n$ 을 키우면 $r^{n}$ 만 남으므로, $\lvert r\rvert<1$ 일 때만 값이 있고 그 값은 $\dfrac{a}{1-r}$ 입니다. 조건이 절댓값인 것은 부호가 방향을, 크기가 다가가는지 아닌지를 정하기 때문입니다.
• 오차는 한 항마다 $r$ 배가 됩니다. 그래서 오차를 $0.01$ 아래로 내리는 데 $r=\dfrac12$ 은 여덟 항, $r=0.9$ 는 예순여섯 항이 듭니다.
• $0.999\ldots$ 는 1에 가까운 수가 아니라 1을 적는 또 하나의 방법 입니다. 끝나는 소수는 전부 표기가 둘입니다.
• 순환소수를 분수로 되돌리는 절차의 정체가 등비급수이고, 순환이 뒤에서 시작하면 앞 조각을 떼어 놓고 나중에 더합니다.
• 조화급수는 항이 0으로 가는데도 발산합니다 — 0으로 가는 것만으로는 모자라고 얼마나 빨리 가는지가 갈림길입니다. 분모의 지수를 1에서 2로 올리면 결과가 뒤집힙니다.

여기까지 극한을 덧셈에 썼습니다. 다음 글은 같은 극한을 나눗셈에 써서, 두 점 사이의 기울기를 한 점의 기울기로 좁혀 갑니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊