부등식과 부호: 음수를 곱하면 왜 방향이 뒤집히는가

지난 글에서 $2x + 3 = 11$ 을 풀어 $x=4$ 하나를 얻었습니다. 이번에는 그 자리에 부등호를 놓습니다.

$2x + 3 < 11$

$x=4$ 는 이제 답이 아닙니다. $x=3$ 도, $x=0$ 도, $x=-100$ 도 참입니다. 답이 하나가 아니라 덩어리로 나오는 것이 부등식의 첫 번째 차이입니다.

부등호 넷

9번 글에서 소리는 이미 줬습니다. 여기서는 답을 적을 때 실제로 걸리는 세 자리만 짚고 갑니다.

이상·이하·초과·미만

기호	읽는 법	우리말 이름	경계
$a < b$	a는 b보다 작다	미만	포함하지 않는다
$a > b$	a는 b보다 크다	초과	포함하지 않는다
$a \le b$	a는 b보다 작거나 같다	이하	포함한다
$a \ge b$	a는 b보다 크거나 같다	이상	포함한다

기호 밑에 줄이 붙으면 경계를 포함합니다. 우리말 이름도 둘씩 짝입니다 — 이상과 이하가 경계를 포함하는 쪽이고, 초과와 미만이 포함하지 않는 쪽입니다. 시험 문제도 안내문도 기호 대신 이 이름으로 적는 일이 더 많으니, "18세 이상"은 18을 넣고 "18세 미만"은 18을 빼고 읽습니다. 경계 한 칸 차이라 사소해 보이지만, 답을 구간으로 적을 때 맞고 틀림을 가르는 것은 대개 이 한 칸입니다.

같지 않다

$a \ne b$ 는 부등호가 아닙니다. 두 수가 다르다고만 말할 뿐 어느 쪽이 큰지를 말하지 않기 때문입니다. 부등호 넷은 전부 두 수의 순서에 대한 주장인데, $\ne$ 는 순서에 대해 아무 말도 하지 않습니다.

해를 적어 보면 차이가 눈에 들어옵니다. $x \ne 3$ 을 만족하는 수는 수직선에서 3 하나만 파낸 나머지 전부입니다. 한 덩어리가 아니라 3의 왼쪽과 오른쪽 두 덩어리로 갈리지요. 그래서 이 조건은 구간 하나로 적히지 않고, 아래에서 볼 합집합 기호를 빌려야 적힙니다.

겹쳐 적은 부등호

$a < x \le b$

한 줄에 부등호가 둘 있습니다. 이것은 주장 둘을 겹쳐 적은 것입니다 — $a < x$ 이면서 동시에 $x \le b$ 라는 말이지요. 읽을 때는 가운데 $x$ 를 기준으로 왼쪽 반과 오른쪽 반으로 잘라 두 번 읽으면 됩니다. 왼쪽 경계는 빈 점이고 오른쪽 경계는 찬 점입니다.

겹쳐 적으려면 조건이 하나 있습니다. 두 부등호의 방향이 같아야 합니다. $a < x > b$ 처럼 방향이 엇갈리면 $x$ 가 양쪽 모두보다 크다는 뜻이 되는데, 이때는 $a$ 와 $b$ 중 어느 쪽이 큰지에 따라 답이 달라져서 한 줄이 한 구간을 가리키지 못합니다. 방향이 엇갈리는 조건은 겹쳐 적지 않고 두 줄로 나눠 적습니다.

구간으로 나오는 해

$2x + 3 < 11$ 의 해는 $x < 4$ 입니다. 이것을 수직선에 칠하면 눈에 들어옵니다.

경계에 찍는 점이 두 가지입니다. 속이 찬 점은 그 값을 포함하고, 빈 점은 포함하지 않습니다. $\le$ 와 $\ge$ 는 찬 점, $<$ 와 $>$ 는 빈 점입니다.

같은 것을 기호로 짧게 적는 방법도 있습니다.

부등식	구간 기호
$a \le x \le b$	$[a, b]$
$a < x < b$	$(a, b)$
$x \le b$	$(-\infty, b]$
$x > a$	$(a, \infty)$

대괄호가 찬 점, 둥근 괄호가 빈 점입니다. $\infty$ 쪽은 늘 둥근 괄호입니다. 무한대는 값이 아니라 방향이라 포함할 것 자체가 없습니다.

조건으로 적는 집합

같은 해를 적는 세 번째 표기가 있습니다.

$\{\, x \mid x < 4 \,\}$

중괄호는 모아 놓은 것을, 가운데 세로선은 "그러한"을 뜻합니다. 통째로 읽으면 "$x < 4$ 를 만족하는 $x$ 를 다 모은 것"입니다. 이렇게 조건을 적어 모임을 나타내는 방식을 조건제시법이라고 부릅니다.

셋 중 무엇을 쓸지는 취향이 아니라 자리가 정합니다. 계산을 이어 갈 때는 부등식 꼴이 편하고, 답만 짧게 적을 때는 구간 기호가 편하고, 아래에서처럼 모임끼리 겹치거나 합칠 때는 집합 꼴이 편합니다. 셋이 같은 것을 가리킨다는 점만 붙들고 있으면 됩니다.

교집합과 합집합

모임 둘을 놓고 물을 수 있는 것이 둘입니다. 양쪽에 다 든 것만 모으거나, 한쪽에라도 든 것을 다 모으거나입니다. 앞을 교집합 $\cap$, 뒤를 합집합 $\cup$ 이라고 합니다.

말	기호	수직선에서
그리고	$\cap$	둘 다 칠해진 데
또는	$\cup$	한 번이라도 칠해진 데

앞 절에서 본 $x \ne 3$ 은 이 기호로 적힙니다.

$(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$

"3보다 작은 것을 다 모으고, 3보다 큰 것도 다 모으고, 3만 빼 둔 것"입니다. 파낸 점 하나 때문에 구간이 둘로 갈렸다는 사실이 기호에 그대로 드러납니다.

한 점만 남거나 아무것도 안 남거나

구간이 늘 넓게 퍼져 있는 것은 아닙니다. $x \le 3$ 과 $x \ge 3$ 을 동시에 만족하는 수를 찾으면 3 하나만 남습니다. 구간 기호로는 $[3, 3]$ 이고, 사실상 방정식의 답과 같은 모양이 된 것이지요. 부등식의 해가 값 하나로 좁아지는 자리는 이렇게 양쪽 경계가 맞붙을 때뿐입니다.

반대로 하나도 안 남을 수도 있습니다. $x < 1$ 과 $x > 5$ 를 동시에 만족하는 수는 없습니다. 이럴 때 "해가 없다"고 적거나, 아무것도 없는 모임을 뜻하는 $\varnothing$ 으로 적습니다. 해가 없다는 것도 답입니다 — 빈칸으로 두지 말고 그렇게 적어야 푼 것이 됩니다.

방향이 뒤집히는 한 자리

등식의 성질 넷을 그대로 가져옵니다. 셋은 아무 일도 없습니다.

$a < b \;\Longrightarrow\; a + c < b + c$

$a < b \;\Longrightarrow\; a - c < b - c$

$a < b, \; c > 0 \;\Longrightarrow\; ac < bc$

더하기와 빼기는 두 수를 나란히 같은 만큼 옮기는 일이라 순서가 안 바뀝니다. 양수를 곱하는 것도 둘을 같은 배율로 늘리는 일이라 그렇습니다.

문제는 음수입니다.

$2 < 5$ 의 양변에 $-1$ 을 곱해 봅니다. $-2$ 와 $-5$ 가 되는데, 수직선에서 $-5$ 는 $-2$ 보다 왼쪽입니다. 10번 글의 "왼쪽에 있는 수가 작다"를 그대로 읽으면 $-2 > -5$ 입니다.

$a < b, \; c < 0 \;\Longrightarrow\; ac > bc$

음수를 곱하는 것은 수직선을 0을 기준으로 통째로 뒤집는 일입니다. 뒤집으면 왼쪽에 있던 것이 오른쪽으로 갑니다. 나누는 것도 같습니다 — 음수로 나누는 것은 음수인 역수를 곱하는 것이니까요.

$-2x > 6$

양변을 $-2$ 로 나눕니다. 음수로 나눴으니 방향을 돌립니다.

$x < -3$

확인해 봅니다. $x=-4$ 를 넣으면 $-2 \times (-4) = 8$ 이고 8은 6보다 큽니다. 맞습니다. 방향을 안 돌려 $x > -3$ 이라 적었다면 $x=0$ 이 답에 들어가는데, $0 > 6$ 은 거짓입니다.

역수를 취해도 뒤집힌다

방향이 뒤집히는 자리가 하나 더 있습니다. 두 수가 둘 다 양수일 때 역수를 취하면 순서가 반대가 됩니다.

$2 < 5 \quad \to \quad \frac{1}{2} > \frac{1}{5}$

$0.5$ 와 $0.2$ 이니 맞습니다. 이유는 어렵지 않습니다. 같은 1을 더 큰 수로 쪼개면 한 조각이 더 작아지니까요.

둘 다 양수라는 조건이 붙는 이유는 부호가 다르면 이 말이 깨지기 때문입니다. $-2 < 5$ 의 역수는 $-0.5$ 와 $0.2$ 인데, $-0.5 < 0.2$ 라 순서가 그대로입니다. 음수는 역수를 취해도 여전히 음수라 0의 왼쪽에 남고, 양수는 여전히 0의 오른쪽에 남기 때문입니다.

$a > 0, \; b > 0 \;\text{일 때}\quad a < b \;\Longleftrightarrow\; \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

더할 수는 있고 뺄 수는 없다

부등식 둘을 놓고 변끼리 더하는 것은 언제나 됩니다.

$a < b, \; c < d \;\Longrightarrow\; a + c < b + d$

$1 < 2$ 와 $3 < 10$ 을 더하면 $4 < 12$ 로 참입니다.

그런데 같은 방식으로 빼면 깨집니다. 위의 둘을 변끼리 빼 보면 $1 - 3 < 2 - 10$, 즉 $-2 < -8$ 인데 이것은 거짓입니다. 빼기는 뒤쪽 부등식을 거꾸로 쓰는 일이라 방향이 어긋나기 때문입니다.

빼야 한다면 뒤쪽을 먼저 뒤집어 놓고 더합니다. $3 < 10$ 은 $-10 < -3$ 과 같은 말이므로, 이것을 $1 < 2$ 와 더하면 $-9 < -1$ 이고 참입니다.

곱하기는 음이 아닐 때만

곱하기도 조건이 붙습니다. 네 수가 모두 0 이상이면 변끼리 곱해도 됩니다.

$0 \le a < b, \; 0 \le c < d \;\Longrightarrow\; ac < bd$

음수가 하나라도 끼면 무너집니다. $-5 < 1$ 과 $-4 < 1$ 을 변끼리 곱하면 왼쪽은 $20$, 오른쪽은 $1$ 이라 $20 < 1$ 이라는 거짓이 나옵니다. 음수 둘을 곱하면 양수가 되면서 크기가 되레 커지기 때문입니다.

정리하면 부등식끼리 안심하고 할 수 있는 연산은 더하기 하나뿐이고, 곱하기는 부호를 확인한 뒤에, 빼기와 나누기는 뒤집어 고쳐 놓은 뒤에 합니다.

일차부등식과 연립

절차는 지난 글의 다섯 걸음 그대로입니다. 마지막에 음수로 나누는지만 살피면 됩니다.

$\frac{2x - 1}{3} \ge x - 2$

양변에 3을 곱합니다. 3은 양수이므로 방향은 그대로입니다.

$2x - 1 \ge 3x - 6$

$x$ 를 왼쪽으로, 수를 오른쪽으로 이항합니다.

$-x \ge -5$

양변을 $-1$ 로 나눕니다. 여기서 돌립니다.

$x \le 5$

연립은 부등식 둘을 동시에 만족하는 $x$ 를 찾는 것입니다.

$3x - 1 > 5 \quad \text{그리고} \quad x + 2 \le 7$

각각 따로 풉니다. 앞은 $3x > 6$ 이므로 $x > 2$, 뒤는 $x \le 5$ 입니다. 이제 수직선 하나에 둘을 나란히 칠하고 둘 다 칠해진 구간을 읽습니다.

$2 < x \le 5 \quad \to \quad (2, 5]$

왼쪽 경계는 빈 점, 오른쪽은 찬 점입니다. 두 부등식의 부등호를 각각 그대로 가져옵니다.

겹치는 데가 없으면 해가 없습니다. $x > 5$ 와 $x < 1$ 을 함께 만족하는 수는 없습니다.

분모에 미지수가 있으면

$\frac{1}{x} > 2$

양변에 $x$ 를 곱하고 싶지만 $x$ 의 부호를 모르므로 그대로는 못 곱합니다. 방향을 돌려야 할지 말지를 정할 수가 없으니까요. 이럴 때는 부호로 경우를 갈라 각각 풀고 마지막에 합칩니다.

$x > 0$ 인 경우입니다. 양수를 곱하니 방향은 그대로입니다.

$1 > 2x \quad \to \quad x < \frac{1}{2}$

가정한 $x > 0$ 과 겹치면 $0 < x < \dfrac{1}{2}$ 입니다.

$x < 0$ 인 경우입니다. 음수를 곱하니 방향을 돌립니다.

$1 < 2x \quad \to \quad x > \frac{1}{2}$

가정한 $x < 0$ 과 겹치는 데가 없으므로 이쪽에서는 나오는 답이 없습니다.

두 경우를 합치면 $0 < x < \dfrac{1}{2}$ 입니다. $x = \dfrac{1}{4}$ 을 넣으면 $4 > 2$ 로 참이고, $x = -1$ 을 넣으면 $-1 > 2$ 로 거짓이라 답에 안 들어가는 것이 맞습니다. 만약 부호를 안 따지고 그냥 곱해 $x < \dfrac{1}{2}$ 이라고 적었다면 음수가 통째로 답에 섞여 들어왔을 것입니다.

「또는」으로 묶이면 합집합

지금까지의 연립은 전부 "그리고"였습니다. "또는"으로 묶이면 읽는 법이 반대가 됩니다 — 겹치는 데가 아니라 한 번이라도 칠해진 데를 다 읽습니다.

$x + 1 < 2 \quad \text{또는} \quad 2x \ge 8$

앞은 $x < 1$, 뒤는 $x \ge 4$ 입니다. 겹치는 데는 없지만 "또는"이므로 둘 다 답입니다.

$(-\infty, 1) \cup [4, \infty)$

구간이 둘로 떨어져 있어도 아무 문제가 없습니다. 답을 한 덩어리로 적으려 하지 말고, 떨어진 채로 합집합 기호로 이어 적으면 됩니다.

세 부등식이 겹치는 구간

셋 이상이어도 방법은 같습니다. 한 수직선에 차례로 칠하고 전부 칠해진 데를 읽습니다.

$x > -1, \quad x \le 6, \quad x < 4$

첫째가 왼쪽 끝을 $-1$ 로 자릅니다. 오른쪽 끝을 자르는 것은 둘째와 셋째 둘인데, $x < 4$ 가 $x \le 6$ 보다 더 바짝 자르므로 둘째는 아무 일도 하지 않습니다. 남는 것은 이것입니다.

$-1 < x < 4$

조건이 늘어도 구간은 늘 좁아지기만 합니다. 그래서 가장 바짝 자르는 조건 둘만 찾으면 나머지는 읽고 넘어가도 됩니다.

거리로 읽는 절댓값 부등식

10번 글에서 $|a - b|$ 가 두 수 사이의 거리라고 했습니다. 그 문장 하나로 절댓값 부등식이 풀립니다.

$|x - 3| < 2$

"$x$ 가 3에서 거리 2보다 가깝다"로 읽습니다. 수직선에서 3을 중심으로 양쪽 2칸씩이므로 1과 5 사이입니다.

$1 < x < 5$

일반형으로 적으면 이렇습니다.

$|x - c| < r \;\Longleftrightarrow\; c - r < x < c + r$

부등호가 반대면 바깥쪽이 됩니다.

$|x - c| > r \;\Longleftrightarrow\; x < c - r \;\text{또는}\; x > c + r$

가깝다는 한 덩어리, 멀다는 두 덩어리입니다. 그림을 한 번 그려 두면 부호를 헷갈릴 일이 없습니다.

안에 계수가 붙으면

$|2x - 6| < 4$

이대로는 $|x - c|$ 꼴이 아니라 거리로 읽을 수가 없습니다. 안에서 계수를 묶어 냅니다.

$|2(x - 3)| < 4$

절댓값은 곱을 따로 떼어 낼 수 있습니다. $|2| = 2$ 이므로 이렇게 됩니다.

$2\,|x - 3| < 4$

이제 양변을 2로 나누면 $|x - 3| < 2$ 이고, 앞에서 푼 것과 같은 식이 되어 $1 < x < 5$ 입니다. 계수를 묶어 내는 순간 중심이 $x$ 의 계수가 아니라 $3$ 이라는 것이 드러납니다 — 여기서 6을 중심으로 착각하는 실수가 가장 잦습니다.

경우를 갈라 풀어도 같다

거리로 읽는 것이 빠르지만, 절댓값의 정의를 그대로 써서 경우를 갈라도 같은 답이 나옵니다. 확인해 두면 안심하고 빠른 쪽을 쓸 수 있습니다.

$x \ge 3$ 인 경우입니다. 안이 0 이상이므로 절댓값이 그냥 벗겨집니다.

$x - 3 < 2 \quad \to \quad x < 5$

가정과 겹치면 $3 \le x < 5$ 입니다.

$x < 3$ 인 경우입니다. 안이 음수이므로 부호를 바꿔 벗깁니다.

$-(x - 3) < 2 \quad \to \quad x > 1$

가정과 겹치면 $1 < x < 3$ 입니다.

둘을 합치면 $1 < x < 5$ 로 같습니다. 경우를 가르는 길은 언제나 통하지만 줄이 두 배로 길어지므로, 중심과 반지름이 보이는 식이면 거리로 읽는 편이 낫습니다.

거리가 두 점 사이의 거리일 때

이 꼴이 편한 진짜 이유는 "거리"라는 말이 수직선 바깥에서도 통하기 때문입니다. 평면에서 두 점 사이의 거리를 $d(P, C)$ 라고 적으면 같은 모양의 조건을 그대로 쓸 수 있습니다.

$d(P, C) < r$

수직선에서는 이것이 한 구간이었지만, 평면에서는 중심 $C$ 에서 반지름 $r$ 안쪽의 원이 됩니다. 조건의 모양은 그대로이고 무대만 바뀐 것이지요. 그래서 절댓값 부등식을 "절댓값 벗기는 규칙"으로 외우는 것보다 "가깝다는 조건"으로 읽어 두는 편이 나중까지 오래 갑니다.

제곱이 만드는 가짜 해

근호가 든 부등식을 만나면 제곱해 없애고 싶어집니다. 그런데 제곱은 아무 때나 되는 조작이 아닙니다.

$-5 < 2$

참입니다. 양변을 제곱하면 $25 < 4$ 로 거짓이 됩니다. 음수가 끼면 제곱이 순서를 지키지 않습니다.

$a \ge 0, \; b \ge 0$ 일 때만 $a < b \Longleftrightarrow a^2 < b^2$ 입니다. 양변이 모두 음이 아닌 것을 확인한 뒤에 제곱합니다.

확인 없이 제곱하면 원래 식이 참이 아닌 값이 답에 섞여 들어옵니다. 이런 것을 가짜 해라고 부릅니다. 막는 방법은 하나입니다 — 구한 값을 원래 식에 도로 넣어 봅니다. 지난 글의 검산 습관이 여기서 한 번 더 값을 합니다.

제곱하기 전에 적어 두는 조건

근호가 든 부등식은 제곱부터 하지 않고 조건을 먼저 적어 둡니다. 순서가 정해져 있습니다.

1. 근호 안이 0 이상이라는 조건을 적는다.
2. 양변이 모두 음이 아닌지 확인한다.
3. 그다음에 제곱한다.
4. 나온 해를 1·2의 조건과 겹친다.

3번부터 시작하면 1과 2가 걸러 주었을 값이 그대로 답에 남습니다. 조건을 나중에 확인하는 것과 미리 적어 두는 것은 다릅니다 — 나중에는 무엇을 확인해야 하는지를 이미 잊은 뒤이기 때문입니다.

근호가 든 부등식 한 예

$\sqrt{x + 2} < x$

위의 순서대로 갑니다. 먼저 근호 안이 0 이상이어야 하므로 $x + 2 \ge 0$, 즉 $x \ge -2$ 입니다.

다음은 양변의 부호입니다. 왼쪽은 근호라 늘 0 이상인데, 그보다 큰 오른쪽은 반드시 양수여야 합니다. 그래서 $x > 0$ 이 따라 나옵니다. 이 조건은 원래 식을 보기만 해도 나오는 것이지 제곱해서 얻는 것이 아닙니다.

이제 제곱합니다. 양변이 모두 음이 아니므로 순서가 지켜집니다.

$x + 2 < x^2$

$x^2 - x - 2 > 0$

$(x - 2)(x + 1) > 0$

두 수의 곱이 양수인 것은 둘 다 양수이거나 둘 다 음수일 때입니다. 앞은 $x > 2$, 뒤는 $x < -1$ 이므로 이 식의 해는 $x < -1$ 또는 $x > 2$ 입니다.

마지막으로 앞에서 적어 둔 조건과 겹칩니다. $x > 0$ 이었으므로 $x < -1$ 쪽은 통째로 버려집니다.

$x > 2$

확인해 봅니다. $x = 3$ 이면 왼쪽이 $\sqrt{5}$ 로 약 $2.24$ 이고 오른쪽이 3이라 참입니다. 경계인 $x = 2$ 는 왼쪽이 $\sqrt{4} = 2$ 라 $2 < 2$ 가 거짓이므로 빠지는 것이 맞습니다. 버린 $x = -1.5$ 를 넣으면 근호 안이 $0.5$ 라 왼쪽은 양수인데 오른쪽이 음수라 거짓입니다.

늘 수도 줄 수도 있다

가짜 해라고 하면 답이 늘어나는 것만 떠올리기 쉬운데, 제곱은 양쪽으로 다 어긋납니다.

$-x > 3$ 의 해는 $x < -3$ 입니다. 그런데 양변을 제곱한 $x^2 > 9$ 의 해는 $x < -3$ 또는 $x > 3$ 이라 답이 늘었습니다.

$x - 3 < 1$ 의 해는 $x < 4$ 입니다. 양변을 제곱한 $(x-3)^2 < 1$ 의 해는 $2 < x < 4$ 라 답이 줄었습니다.

그래서 "제곱하면 가짜 해가 생긴다"는 말은 절반만 맞습니다. 정확히는 양변의 부호를 확인하지 않고 제곱하면 해집합이 원래와 달라진다이고, 어느 쪽으로 달라지는지는 부호가 정합니다.

부등식을 세우는 밑천

부등식을 푸는 것 말고 없는 부등식을 만들어 내는 일도 자주 합니다. 밑천은 사실상 하나입니다.

$(\text{실수})^2 \ge 0$

제곱은 음수가 될 수 없습니다. 등호는 안이 0일 때만 성립합니다. 여기서 출발해 원하는 모양으로 옮겨 갑니다.

$a > 0, b > 0$ 일 때 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$ 에서 시작합니다. 전개합니다.

$a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$

$2\sqrt{ab}$ 를 이항합니다.

$a + b \ge 2\sqrt{ab}$

산술-기하 평균 부등식입니다. 등호는 $\sqrt{a} = \sqrt{b}$ 일 때, 즉 $a = b$ 일 때만 성립합니다.

이름만 적어 두고 지나가는 것이 둘 있습니다. 하나는 삼각부등식 $|a + b| \le |a| + |b|$ 로, 부호로 경우를 나눠 확인하는 것은 46번 · 증명 읽는 법의 예제 자리입니다. 다른 하나는 곱과 몫의 부호표 인데, 초급에서 이차부등식을 푸는 자리는 23번 · 이차함수와 포물선 하나이고 그 글은 부호표가 아니라 그래프로 읽습니다.

두 식의 차의 부호

$A$ 와 $B$ 중 어느 쪽이 큰지 모를 때 가장 먼저 해 보는 것은 차를 만들어 부호를 보는 것입니다. $A - B \ge 0$ 이면 $A \ge B$ 이니까요. 부등식 문제가 통째로 "어떤 식의 부호를 판정하는 문제"로 바뀝니다.

$a^2 + b^2$ 과 $2ab$ 중 어느 쪽이 큰지 봅시다. 차를 만듭니다.

$a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 \ge 0$

제곱이라 0 이상이므로 언제나 $a^2 + b^2 \ge 2ab$ 입니다. 등호는 $a = b$ 일 때입니다. 위의 산술-기하 평균과 사실상 같은 부등식인데, 근호를 안 쓰고도 나왔다는 점이 다릅니다. 이 수단이 좋은 이유는 다음에 무엇을 할지가 늘 정해져 있다는 것입니다 — 차를 만들고, 인수분해하거나 제곱 꼴로 묶고, 부호를 읽습니다.

합이 일정하면 곱은 언제 가장 큰가

둘레가 20인 직사각형을 여러 개 그려 봅니다. 가로와 세로를 $a$, $b$ 라 하면 $a + b = 10$ 으로 고정이고, 넓이 $ab$ 는 모양에 따라 달라집니다.

$1 \times 9 = 9$, $3 \times 7 = 21$, $5 \times 5 = 25$. 정사각형에 가까워질수록 넓이가 큽니다. 이것이 우연이 아니라는 것을 위의 부등식이 말해 줍니다. $a + b \ge 2\sqrt{ab}$ 에 $a + b = 10$ 을 넣으면 이렇게 됩니다.

$10 \ge 2\sqrt{ab} \quad \to \quad \sqrt{ab} \le 5 \quad \to \quad ab \le 25$

넓이는 25를 넘을 수 없고, 등호는 $a = b = 5$ 일 때입니다. 합이 정해져 있으면 두 수가 같을 때 곱이 가장 크다 — 이 한 문장이 산술-기하 평균 부등식의 쓸모 절반입니다. 거꾸로 곱이 정해져 있으면 두 수가 같을 때 합이 가장 작고, 그쪽은 아래 연습에서 확인합니다.

등호 자리를 못 찾으면

부등식을 세웠으면 등호가 성립하는 자리를 반드시 함께 찾습니다. 못 찾았다면 그 부등식이 아직 덜 조여졌다는 신호이기 때문입니다.

$a > 0$ 일 때 $a + \dfrac{1}{a} \ge 1$ 은 참입니다. 그런데 등호가 성립하는 $a$ 가 없습니다. 왼쪽이 1이 되는 $a$ 는 존재하지 않으니까요. 이것은 부등식이 틀렸다는 뜻이 아니라 바닥이 1보다 위에 있다는 뜻입니다. 실제로 진짜 바닥은 2이고, 그때 $a = 1$ 에서 등호가 성립합니다.

그래서 부등식을 세울 때의 점검표는 두 줄입니다. 부등호가 언제나 성립하는가, 그리고 등호가 실제로 성립하는 자리가 있는가. 앞만 확인하면 참이긴 하나 쓸모가 얕은 부등식이 나옵니다.

연습 문제

답은 구간으로 적고, 경계가 찬 점인지 빈 점인지까지 함께 정하세요.

연습 1 — 일차·연립부등식 스무 문제

1. $x + 3 > 7$

   $x > 4$.
2. $x - 5 \le 2$

   $x \le 7$.
3. $3x < 12$

   양변을 3으로 나눕니다. $x < 4$.
4. $-5x > 20$

   음수로 나누므로 방향을 돌립니다. $x < -4$.
5. $-x \ge 4$

   $x \le -4$.
6. $2x + 1 \le 9$

   $2x \le 8$, $x \le 4$.
7. $5 - 3x > 14$

   $-3x > 9$ 이고 음수로 나누므로 $x < -3$.
8. $4x - 3 \ge x + 6$

   $3x \ge 9$, $x \ge 3$.
9. $2(x - 1) < x + 5$

   $2x - 2 < x + 5$, $x < 7$.
10. $3(x + 2) \ge 5x - 4$

    $3x + 6 \ge 5x - 4$, $-2x \ge -10$, 방향을 돌려 $x \le 5$.
11. $\dfrac{x}{2} + 1 > 4$

    $\dfrac{x}{2} > 3$, $x > 6$.
12. $\dfrac{x - 1}{3} \le 2$

    양변에 3을 곱하면 $x - 1 \le 6$, $x \le 7$.
13. $\dfrac{x}{2} - \dfrac{x}{3} < 1$

    양변에 6을 곱하면 $3x - 2x < 6$, $x < 6$.
14. $-\dfrac{x + 2}{4} \ge 1$

    양변에 $-4$ 를 곱하면 방향이 돌아 $x + 2 \le -4$, $x \le -6$.
15. $x > 1$ 이고 $x < 5$

    겹치는 구간은 $1 < x < 5$, 즉 $(1, 5)$.
16. $x \ge -2$ 이고 $x \le 3$

    $-2 \le x \le 3$, 즉 $[-2, 3]$.
17. $2x + 1 > 5$ 이고 $x - 3 < 1$

    각각 $x > 2$ 와 $x < 4$ 이므로 $2 < x < 4$.
18. $3x \le 9$ 이고 $-x < 1$

    각각 $x \le 3$ 과 $x > -1$ 이므로 $-1 < x \le 3$.
19. $x + 4 > 2$ 이고 $2x \ge 10$

    각각 $x > -2$ 와 $x \ge 5$ 입니다. 뒤쪽이 앞쪽에 통째로 들어가므로 $x \ge 5$.
20. $x < -2$ 이고 $x > 4$

    수직선에서 겹치는 데가 없습니다. 해가 없습니다.

연습 2 — 「또는」과 세 겹 다섯 문제

답을 구간 기호로 적고, 떨어진 구간이면 $\cup$ 으로 이어 적으세요.

1. $x \le 0$ 또는 $x > 3$

   겹치는 데가 없어도 둘 다 답입니다. $(-\infty, 0] \cup (3, \infty)$.
2. $2x < 2$ 또는 $x - 1 \ge 4$

   각각 $x < 1$ 과 $x \ge 5$ 이므로 $(-\infty, 1) \cup [5, \infty)$.
3. $x > 0$ 또는 $x > 2$

   뒤쪽이 앞쪽에 통째로 들어갑니다. 합집합이므로 넓은 쪽이 남아 $(0, \infty)$.
4. $x \ge -3$ 이고 $x < 8$ 이고 $x \le 2$

   오른쪽을 가장 바짝 자르는 것은 $x \le 2$ 입니다. $[-3, 2]$.
5. $x > 1$ 이고 $x > 4$ 이고 $x < 3$

   왼쪽 끝은 더 바짝 자르는 $x > 4$ 가 정하는데 오른쪽 끝이 3이라 겹치는 데가 없습니다. 해가 없습니다.

연습 3 — 분모에 미지수가 있는 것 둘

부호로 경우를 가르고, 각 경우의 가정과 겹친 뒤 합치세요.

1. $\dfrac{1}{x} < 3$

   $x > 0$ 이면 $1 < 3x$ 이므로 $x > \dfrac{1}{3}$ 이고, 가정과 겹쳐 $x > \dfrac{1}{3}$ 입니다. $x < 0$ 이면 방향이 돌아 $1 > 3x$, 즉 $x < \dfrac{1}{3}$ 인데 가정과 겹치면 $x < 0$ 전체입니다. 합치면 $x < 0$ 또는 $x > \dfrac{1}{3}$.
2. $\dfrac{2}{x} \ge 1$

   $x > 0$ 이면 $2 \ge x$ 이므로 겹쳐서 $0 < x \le 2$ 입니다. $x < 0$ 이면 방향이 돌아 $2 \le x$ 인데 가정과 겹치는 데가 없습니다. 답은 $0 < x \le 2$.

연습 4 — 절댓값 부등식 다섯 문제

1. $|x| < 3$

   0에서 거리가 3보다 가까운 수이므로 $-3 < x < 3$.
2. $|x| \ge 2$

   0에서 거리가 2 이상이므로 $x \le -2$ 또는 $x \ge 2$.
3. $|x - 1| < 4$

   1에서 거리가 4보다 가까우므로 $-3 < x < 5$.
4. $|x + 2| \le 5$

   $|x - (-2)| \le 5$ 이므로 $-2$ 에서 거리가 5 이하, $-7 \le x \le 3$.
5. $|3x + 6| \le 9$

   안을 3으로 묶으면 $3|x + 2| \le 9$, 즉 $|x + 2| \le 3$ 입니다. $-2$ 에서 거리가 3 이하이므로 $-5 \le x \le 1$.

연습 5 — 제곱이 만드는 가짜 해 셋

각 문제에서 두 식의 해를 따로 구한 뒤 나란히 놓고 비교하세요.

1. $\sqrt{x + 6} = x$ 를 양변 제곱해 풀고, 나온 값을 원래 식에 넣어 확인하세요.

   제곱하면 $x + 6 = x^2$, 즉 $x^2 - x - 6 = 0$ 이므로 $(x-3)(x+2)=0$ 에서 $x=3$ 과 $x=-2$ 가 나옵니다. 넣어 보면 $x=3$ 은 $\sqrt{9}=3$ 으로 참이지만 $x=-2$ 는 $\sqrt{4}=2$ 이고 오른쪽은 $-2$ 라 거짓입니다. $x=-2$ 가 가짜 해입니다.
2. $-x > 5$ 와 $x^2 > 25$

   앞은 $x < -5$, 뒤는 $x < -5$ 또는 $x > 5$ 입니다. $x=6$ 은 뒤만 만족합니다. 제곱하면서 답이 늘었습니다.
3. $x - 2 < 3$ 과 $(x - 2)^2 < 9$

   앞은 $x < 5$, 뒤는 $|x-2|<3$ 이므로 $-1 < x < 5$ 입니다. $x=-4$ 는 앞만 만족합니다. 이번에는 제곱하면서 답이 줄었습니다.

세 문제가 같은 것을 말합니다. 양변이 모두 음이 아닌지 확인하지 않고 제곱하면, 답이 늘 수도 줄 수도 있습니다.

연습 6 — 부등식 하나 세워 보기

1. $a > 0$ 일 때 $a + \dfrac{1}{a} \ge 2$ 임을 $\left(\sqrt{a} - \dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^2 \ge 0$ 에서 출발해 보이고, 등호가 성립하는 $a$ 를 구하세요.

   왼쪽을 전개하면 $a - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{a}} + \dfrac{1}{a} = a - 2 + \dfrac{1}{a}$ 입니다. 이것이 0 이상이므로 $-2$ 를 이항해 $a + \dfrac{1}{a} \ge 2$ 를 얻습니다. 등호는 괄호 안이 0일 때, 즉 $\sqrt{a} = \dfrac{1}{\sqrt{a}}$ 에서 $a = 1$ 일 때입니다.
2. 두 양수의 합이 14일 때 곱이 가장 큰 경우를 구하고, 그때의 곱을 적으세요.

   $a + b \ge 2\sqrt{ab}$ 에 $a + b = 14$ 를 넣으면 $14 \ge 2\sqrt{ab}$ 이므로 $\sqrt{ab} \le 7$, 즉 $ab \le 49$ 입니다. 등호는 $a = b$ 일 때이므로 $a = b = 7$ 이고 곱은 49입니다.
3. 두 양수의 곱이 36일 때 합이 가장 작은 경우를 구하고, 그때의 합을 적으세요.

   같은 부등식을 반대쪽으로 읽습니다. $ab = 36$ 을 넣으면 $a + b \ge 2\sqrt{36} = 12$ 이므로 합은 12보다 작아질 수 없습니다. 등호는 $a = b$ 일 때이므로 $a = b = 6$ 이고 합은 12입니다.

정리

• 부등식의 해는 값 하나가 아니라 구간입니다. 수직선에 칠하고 $[a,b]$ 나 $(a,b)$ 로 적거나, 조건제시법 $\{x \mid x < 4\}$ 로 적습니다.
• 성질은 등식과 같은데 음수를 곱하거나 나눌 때만 방향이 뒤집힙니다. 양수끼리 역수를 취할 때도 같은 일이 일어납니다.
• 부등식끼리 그냥 해도 되는 연산은 더하기뿐입니다. 빼기는 뒤쪽을 뒤집어 놓고 더하고, 곱하기는 네 수가 모두 0 이상일 때만 합니다.
• 연립은 "그리고"면 교집합, "또는"이면 합집합입니다. 조건이 셋 이상이면 가장 바짝 자르는 둘만 찾으면 됩니다.
• 분모에 미지수가 있으면 부호를 모르므로 그대로 곱하지 않고 경우를 가릅니다.
• 절댓값 부등식은 거리로 읽습니다 — 가까우면 한 덩어리, 멀면 두 덩어리입니다. 안에 계수가 붙으면 먼저 묶어 냅니다.
• 근호가 든 부등식은 근호 안의 조건과 양변의 부호를 먼저 적어 둔 뒤 제곱합니다. 안 그러면 해가 늘거나 줄어듭니다.
• 부등식을 만들 때의 밑천은 $(\text{실수})^2 \ge 0$ 하나이고, 두 식의 차의 부호를 보는 것이 그 첫 수단입니다. 등호 성립 조건을 못 찾으면 아직 덜 조인 것입니다.

다음 글에서는 여기까지 익힌 조작을 한데 묶습니다. 유도가 막히는 자리는 개념이 아니라 이 줄에서 저 줄로 어떻게 갔는가이고, 그 빈 줄을 채우는 훈련을 합니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊