일차방정식과 이항: 등식의 성질 넷으로 x만 남기기

지난 글의 끝에서 두 식을 나란히 놓고 봤습니다. $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ 은 무엇을 넣어도 참이고, $2x + 1 = 7$ 은 $x=3$ 일 때만 참이었습니다.

뒤쪽 같은 등식에서 그 값을 찾아내는 것이 이 글입니다. 찾는 방법은 넣어 보기가 아니라 식을 한 줄씩 고쳐 쓰는 것이고, 고쳐 쓸 때 쓰는 도구는 넷뿐입니다.

해와 등식의 성질

해

$2x + 1 = 7$

$x$ 에 아무 수나 넣어 봅니다. $x=1$ 이면 왼쪽이 3이라 거짓, $x=2$ 면 5라 거짓, $x=3$ 이면 7이라 참입니다.

이렇게 등식을 참으로 만드는 값을 그 방정식의 해라고 하고, 해를 모두 찾는 일을 푼다고 합니다. 이 식처럼 미지수가 하나이고 그 미지수가 제곱 없이 한 번 곱해진 꼴로만 나오는 방정식을 일차방정식이라고 합니다. $x^2$ 이나 $\frac{1}{x}$ 이 섞이면 일차가 아닙니다.

여기서 오해가 하나 생깁니다. 푼다는 것이 값을 하나씩 넣어 보는 일 같지만 그렇지 않습니다. 넣어 보기로는 $x = \frac{17}{6}$ 같은 해를 영영 못 찾고, 찾았다 해도 다른 해가 더 없는지 알 수 없습니다.

푼다는 것은 등식을 $x = \square$ 꼴로 옷을 갈아입히는 일입니다. 옷을 갈아입히는 동안 해가 바뀌지 않게만 하면, 마지막 줄에 답이 그냥 적혀 있습니다.

등식의 성질 넷

옷을 갈아입혀도 해가 안 바뀌게 하는 방법이 딱 넷입니다. 이 넷을 등식의 성질이라고 부릅니다.

등호는 양팔 저울입니다. 양쪽에 똑같이 해 주는 동안에는 기울지 않습니다.

하는 일	적으면
양변에 같은 수를 더한다	$a=b$ 이면 $a+c=b+c$
양변에서 같은 수를 뺀다	$a=b$ 이면 $a-c=b-c$
양변에 같은 수를 곱한다	$a=b$ 이면 $ac=bc$
양변을 0이 아닌 수로 나눈다	$a=b$ 이면 $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$

마지막 줄의 단서가 중요합니다. 0으로는 나눌 수 없습니다. 11번 글에서 본 이유 그대로입니다.

이 넷이 전부입니다. 앞으로 나올 어떤 풀이도 이 넷을 번갈아 쓴 것입니다.

되돌릴 수 있는 조작

그런데 저울 그림만으로는 한 가지가 설명되지 않습니다. 양변에 똑같이 해 주면 참인 등식이 참으로 남는 것은 알겠는데, 거꾸로 새 식의 해가 원래 식의 해이기도 하다는 보장은 어디서 옵니까?

답은 네 조작이 모두 되돌릴 수 있다는 데 있습니다. 3을 더했으면 3을 빼서 원래 식으로 돌아가고, 2를 곱했으면 2로 나눠 돌아갑니다. $2x = 4$ 와 $x = 2$ 는 양변을 2로 나누는 조작과 2를 곱하는 조작으로 서로 오갑니다. 한쪽에서 참인 값은 다른 쪽에서도 참이므로 두 식의 해가 정확히 같습니다. 해가 안 바뀌는 진짜 이유가 이것입니다 — 한 방향으로만 가는 조작이 하나도 없습니다.

이 눈으로 보면 넷째 성질의 단서가 왜 "0이 아닌 수"인지가 반대쪽에서도 보입니다. 양변에 0을 곱하는 것은 셋째 성질로 허락되는 것 같지만 되돌릴 수가 없습니다. $2x = 4$ 의 양변에 0을 곱하면 이렇게 됩니다.

$0 \times 2x = 0 \times 4$

$0 = 0$

이 줄은 $x$ 가 무엇이든 참입니다. 해가 2 하나이던 식이 모든 수를 해로 갖는 식으로 바뀌었습니다. 돌아가려면 0으로 나눠야 하는데 그것은 금지이므로 길이 끊깁니다. 그래서 푸는 동안에는 0을 곱하는 일도 하지 않습니다. 0으로 나누지 말라는 규칙과 0을 곱하지 말라는 규칙은 같은 규칙의 앞뒤입니다.

되돌릴 수 없는 조작이 하나 더 있습니다. 양변을 제곱하는 것입니다. $x = 3$ 의 양변을 제곱하면 $x^2 = 9$ 인데, 이 식은 $x = -3$ 도 참으로 만듭니다. $(-3)^2 = 9$ 이기 때문입니다. 원래 식에 없던 해가 생긴 것입니다. 이렇게 조작 중에 끼어든 가짜 해를 무연근이라고 부르는데, 근호가 든 방정식을 풀 때 다시 만납니다. 지금은 넷 밖의 조작을 쓰면 해가 늘 수 있다는 것만 기억하면 됩니다.

푸는 절차 다섯 걸음

이항

$2x + 3 = 11$ 을 풉니다. 왼쪽에 $x$ 만 남기고 싶으니 $+3$ 을 없애야 합니다. 양변에서 3을 뺍니다.

$2x + 3 - 3 = 11 - 3$

$2x = 8$

양변을 2로 나눕니다.

$x = 4$

이제 가운데 줄을 빼고 첫 줄과 셋째 줄만 놓고 봅니다.

$2x + 3 = 11 \;\to\; 2x = 11 - 3$

왼쪽의 $+3$ 이 오른쪽에서 $-3$ 으로 나타났습니다. 이렇게 한 변의 항을 부호를 바꿔 다른 변으로 옮기는 것을 이항이라고 합니다.

"넘기면 부호가 바뀐다"는 규칙은 외울 것이 아닙니다. 지금 한 일은 양변에서 3을 뺀 것뿐이고, 부호가 바뀐 것처럼 보이는 이유도 뺐기 때문입니다. 이항은 등식의 성질 넷 중 앞의 둘을 줄여 적은 이름일 뿐입니다.

3번 글의 "한 줄에 한 조작"이 여기서 처음 값을 합니다. 이항을 두 개씩 한꺼번에 하면 부호를 놓치고, 놓친 자리를 나중에 찾을 수 없습니다.

다섯 걸음

순서를 고정해 두면 생각할 것이 없어집니다.

걸음	하는 일
1	괄호를 푼다
2	분모의 최소공배수를 양변에 곱해 분수를 없앤다
3	양쪽에서 각각 동류항을 정리한다
4	미지수를 한쪽으로, 수를 반대쪽으로 이항한다
5	미지수의 계수로 양변을 나눈다

분수가 섞인 것으로 다섯 걸음을 끝까지 밟아 봅니다.

$\frac{x-1}{2} + \frac{x}{3} = 3$

분모가 2와 3이므로 최소공배수는 6입니다. 양변에 6을 곱합니다. 이때 오른쪽의 3에도 반드시 곱해야 합니다. 가장 자주 새는 자리입니다.

$6 \times \frac{x-1}{2} + 6 \times \frac{x}{3} = 6 \times 3$

$3(x-1) + 2x = 18$

괄호를 풉니다.

$3x - 3 + 2x = 18$

왼쪽의 동류항을 정리합니다.

$5x - 3 = 18$

$-3$ 을 이항합니다.

$5x = 21$

계수 5로 나눕니다.

$x = \frac{21}{5}$

걸음의 차례가 1번 괄호 풀기로 시작하는데 이 예에서는 분모 없애기를 먼저 했습니다. 분자 $x-1$ 이 사실은 괄호에 싸여 있는 것이라, 분모를 없애는 순간 괄호가 드러났고 그때 풀었습니다. 괄호가 처음부터 겉에 보이면 1번부터, 분수 속에 숨어 있으면 2번을 하고 나서 1번을 합니다. 순서표는 빠뜨리지 않으려고 있는 것이지 한 칸도 못 바꾸는 규칙이 아닙니다.

소수 계수

계수가 소수일 때도 2번 걸음과 같은 생각을 합니다. 분수를 없앨 때 최소공배수를 곱했듯, 소수는 10이나 100을 곱해 정수로 만듭니다.

$0.3x + 0.5 = 1.4$

소수점 아래가 모두 한 자리이므로 양변에 10을 곱합니다. 분수 때처럼 오른쪽에도, 그리고 왼쪽의 모든 항에 곱해야 합니다. $0.3x$ 에만 곱하고 $0.5$ 를 그대로 두는 것이 여기서 새는 자리입니다.

$10 \times 0.3x + 10 \times 0.5 = 10 \times 1.4$

$3x + 5 = 14$

이제 익숙한 모양입니다. 5를 이항하고 3으로 나눕니다.

$3x = 9$

$x = 3$

원래 식에 넣으면 $0.3 \times 3 + 0.5 = 0.9 + 0.5 = 1.4$ 로 맞습니다. 소수점 아래 자릿수가 서로 다르면 가장 긴 쪽에 맞춥니다. $0.25$ 가 섞여 있으면 두 자리이므로 100을 곱합니다.

분수와 소수가 한 식에 섞이면 소수를 분수로 먼저 고칩니다.

$0.25x + \frac{x}{3} = 7$

여기에 100을 먼저 곱하면 $25x + \frac{100x}{3} = 700$ 이 되어 분수가 그대로 남고, 수만 커집니다. 대신 $0.25 = \frac{1}{4}$ 로 고치면 분수 하나짜리 문제가 됩니다.

$\frac{x}{4} + \frac{x}{3} = 7$

4와 3의 최소공배수 12를 양변에 곱합니다.

$3x + 4x = 84$

$7x = 84$

$x = 12$

넣어 보면 $0.25 \times 12 = 3$ 이고 $\frac{12}{3} = 4$ 라 합이 7입니다. 소수를 분수로 고치는 쪽이 늘 가능한 이유는 소수가 원래 분모가 10, 100인 분수이기 때문입니다. 반대로 $\frac{1}{3}$ 은 끝나는 소수로 못 고치므로, 섞였을 때는 분수 쪽으로 모으는 것이 한 방향으로만 통하는 길입니다.

검산

구한 값을 원래 식에 도로 넣어 참인지 확인하는 일을 검산이라고 합니다. 정리한 식이 아니라 처음 식에 넣습니다. 중간에 틀렸으면 정리한 식에서는 안 잡힙니다.

$\frac{\frac{21}{5}-1}{2} + \frac{\frac{21}{5}}{3} = \frac{\frac{16}{5}}{2} + \frac{7}{5} = \frac{8}{5} + \frac{7}{5} = \frac{15}{5} = 3$

오른쪽이 3이었으니 맞습니다. 답이 지저분할수록 검산이 값을 합니다.

검산이 틀렸다고 나오면 처음부터 다시 풀기 전에 어디서 새었는지를 좁힙니다. 같은 식을 풀다 6을 오른쪽에 안 곱한 풀이가 있다고 합시다.

$3(x-1) + 2x = 3$

$5x - 3 = 3$

$x = \frac{6}{5}$

원래 식에 넣으면 $\frac{1}{10} + \frac{4}{10} = \frac{1}{2}$ 이 나와 3이 아닙니다. 이제 이 값을 맨 아래 줄부터 한 줄씩 거꾸로 넣어 봅니다. $5x - 3 = 3$ 에 넣으면 $6 - 3 = 3$ 이라 참이고, $3(x-1) + 2x = 3$ 에 넣어도 $\frac{3}{5} + \frac{12}{5} = 3$ 이라 참입니다. 원래 식에서만 거짓입니다.

참인 줄과 거짓인 줄의 경계가 새는 자리입니다. 모든 줄이 되돌릴 수 있는 조작으로 이어졌다면 해가 같아야 하므로, 넣은 값이 한 줄에서는 참이고 바로 위 줄에서는 거짓이면 그 사이의 조작이 틀린 것입니다. 이 경우 원래 식에서 둘째 줄로 가는 자리, 곧 6을 곱한 자리입니다. 이항 하나를 되돌려 보는 것도 같은 방법입니다 — 아래 줄에서 옮긴 항을 원래 자리로 돌려 적었을 때 위 줄과 같지 않으면 그 이항이 틀렸습니다.

해의 세 갈래

해가 없는 방정식

일차방정식이라고 늘 답이 하나인 것은 아닙니다.

$2x + 3 = 2x + 7$

$2x$ 를 이항하면 왼쪽에서 미지수가 통째로 사라집니다.

$0 \cdot x = 4$

어떤 수를 0에 곱해도 4가 되지 않으므로 해가 없습니다. 식을 말로 읽어 보면 당연합니다. 같은 수 $2x$ 에 3을 더한 것과 7을 더한 것이 같을 수는 없습니다.

해가 무수한 방정식

$3(x + 1) = 3x + 3$

괄호를 풀면 $3x+3 = 3x+3$ 이고, 이항하면 이렇게 됩니다.

$0 \cdot x = 0$

이번에는 어떤 수를 넣어도 참입니다. 해가 무수히 많습니다. 1번 글에서 나눈 갈래로 보면 이 등식은 사실 항등식이었습니다.

미지수가 사라졌다고 당황하지 마세요. 남은 것이 거짓이면 해가 없고, 참이면 모든 수가 해입니다.

ax=b의 세 갈래

앞의 두 예와 이 글의 다른 모든 예는 다섯 걸음의 4번까지 가면 같은 모양이 됩니다. 미지수 항을 왼쪽에, 수를 오른쪽에 모으고 동류항을 정리하면 남는 것은 한 줄입니다.

$ax = b$

$a$ 는 미지수의 계수이고 $b$ 는 오른쪽에 모인 수입니다. 이제 5번 걸음, 곧 $a$ 로 나누기를 할 수 있느냐가 갈래를 정합니다.

• $a \neq 0$ 이면 양변을 $a$ 로 나눌 수 있어 해가 $x = \frac{b}{a}$ 하나입니다. $b$ 가 0이어도 마찬가지로, 그때 해는 $x = 0$ 입니다.
• $a = 0$ 이고 $b \neq 0$ 이면 식이 $0 = b$ 라는 거짓 문장이 되어 해가 없습니다.
• $a = 0$ 이고 $b = 0$ 이면 식이 $0 = 0$ 이라 모든 수가 해입니다.

앞 소절의 두 예가 이 표의 아래 두 줄입니다. $2x + 3 = 2x + 7$ 은 $a = 0$, $b = 4$ 로 둘째 줄이고, $3(x + 1) = 3x + 3$ 은 $a = 0$, $b = 0$ 으로 셋째 줄입니다. 이 글의 첫 예 $2x + 3 = 11$ 은 $2x = 8$ 이므로 $a = 2$, $b = 8$ 인 첫째 줄이고, 해는 $\frac{8}{2} = 4$ 입니다.

첫째 줄에서 $b = 0$ 인 경우를 셋째 줄과 헷갈리기 쉽습니다. $5x = 0$ 은 해가 없는 것도 모든 수인 것도 아니고, $x = 0$ 하나입니다. 갈래를 가르는 것은 $b$ 가 아니라 먼저 $a$ 입니다. $a$ 가 0이 아닌 동안에는 $b$ 가 무엇이든 해가 딱 하나이고, $a$ 가 0일 때만 $b$ 를 봅니다.

특정 문자에 대해 풀기

공식의 변형

문자가 여럿인 등식도 같은 도구로 다룹니다. 어느 문자를 남길지만 정하면 됩니다.

$S = \frac{1}{2}ah$

삼각형 넓이 공식입니다. 여기서 높이 $h$ 를 남기고 싶습니다. 양변에 2를 곱하고, 양변을 $a$ 로 나눕니다.

$2S = ah$

$h = \frac{2S}{a}$

$a$ 로 나눌 수 있는 것은 $a \neq 0$ 일 때입니다. 삼각형의 밑변이므로 문제없습니다. 넓이가 12이고 밑변이 6이면 높이는 $\frac{24}{6} = 4$ 입니다.

푸는 절차는 미지수가 수든 문자든 똑같습니다. 남길 문자를 미지수로 보고 나머지를 전부 수처럼 다루면 됩니다.

문자로 묶기

남길 문자가 여러 항에 흩어져 있으면 한 번 더 할 일이 있습니다. 가장 일반적인 일차방정식을 $x$ 에 대해 풀어 봅니다.

$ax + b = cx + d$

$x$ 가 든 항을 왼쪽으로, 나머지를 오른쪽으로 이항합니다.

$ax - cx = d - b$

왼쪽의 두 항은 수라면 동류항끼리 더하겠지만, 계수가 문자라 더할 수가 없습니다. 대신 분배법칙을 거꾸로 써서 $x$ 로 묶습니다.

$(a - c)x = d - b$

이것이 앞 절의 $ax = b$ 꼴입니다. $a - c$ 로 나누려면 그것이 0이 아니어야 하므로, 단서를 달고 답을 적습니다.

$x = \frac{d - b}{a - c} \quad (a \neq c)$

수를 넣어 확인해 봅니다. $5x + 2 = 3x + 10$ 은 $a = 5$, $b = 2$, $c = 3$, $d = 10$ 이므로 $x = \frac{10 - 2}{5 - 3} = 4$ 이고, 넣으면 양쪽이 22로 같습니다. 단서 $a \neq c$ 가 빠지면 어떻게 되는지도 보입니다. $a = c$ 이면 양쪽의 $x$ 항이 같아 이항하는 순간 사라지고, 앞 절의 해가 없거나 무수한 두 갈래로 떨어집니다. 문자로 풀 때 붙이는 단서는 장식이 아니라 세 갈래 중 어느 줄에 있는지를 적어 둔 것입니다.

비례식

12번 글에서 값으로 읽었던 비가 여기서 식이 됩니다. 두 비가 같다고 적은 $a : b = c : d$ 꼴의 등식을 비례식이라 하고, 바깥쪽 $a$ 와 $d$ 를 외항, 안쪽 $b$ 와 $c$ 를 내항이라고 부릅니다.

$a : b = c : d \;\Longleftrightarrow\; ad = bc$

"내항의 곱과 외항의 곱이 같다"는 규칙도 외울 것이 아닙니다. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ 의 양변에 $bd$ 를 곱한 것뿐이고, 등식의 성질 셋째입니다.

그러니 비례식은 이 절의 한 경우입니다. 모르는 항 하나를 남기고 싶으면 그 문자에 대해 풀면 됩니다. $ad = bc$ 를 $d$ 에 대해 풀면 양변을 $a$ 로 나눠 이렇게 됩니다.

$d = \frac{bc}{a}$

$3 : 4 = 6 : d$ 라면 $3d = 24$ 이고, 양변을 3으로 나눠 $d = 8$ 입니다. 비례식을 푸는 요령을 따로 익힐 필요가 없는 이유가 이것입니다. 곱해서 분모를 없애고, 남길 문자의 계수로 나누는 두 걸음은 다섯 걸음의 2번과 5번 그대로입니다.

연립방정식

$x + y = 7$ 하나만으로는 해가 정해지지 않습니다. $(1,6)$ 도 $(2,5)$ 도 참입니다. 식이 하나 더 있어야 합니다.

$$\begin{aligned} x + y &= 7 \\ 2x - y &= 2 \end{aligned}$$

두 식을 동시에 참으로 만드는 짝을 찾는 문제를 연립방정식이라고 합니다. 요령은 하나입니다 — 미지수를 하나 없애 버리면 앞에서 푼 것과 같아집니다. 이렇게 미지수를 없애는 것을 소거라고 하고, 없애는 방법이 둘입니다.

대입법

첫 식을 $y$ 에 대해 풉니다. 앞 절에서 한 것 그대로입니다.

$y = 7 - x$

이것을 둘째 식의 $y$ 자리에 통째로 넣습니다. 한 식을 한 문자에 대해 풀어 다른 식에 넣는 이 방법이 대입법입니다.

$2x - (7 - x) = 2$

$2x - 7 + x = 2$

$3x = 9$

$x = 3$

$y = 7 - 3 = 4$

괄호를 빼먹고 $2x - 7 - x$ 라고 적는 것이 가장 흔한 실수입니다. 대입한 것이 두 항이면 괄호로 묶어 넣습니다. 끝나면 짝 $(3, 4)$ 를 두 식 모두에 넣어 봅니다. $3 + 4 = 7$, $6 - 4 = 2$ 로 둘 다 참입니다. 한 식에만 넣으면 검산이 반쪽입니다.

가감법

같은 연립을 이번에는 두 식을 세로로 더해 풉니다. 왼쪽끼리, 오른쪽끼리 더합니다. 두 식을 더하거나 빼서 미지수 하나를 지우는 이 방법이 가감법입니다.

$(x + y) + (2x - y) = 7 + 2$

$3x = 9$

$y$ 와 $-y$ 가 상쇄돼 사라졌습니다. 이렇게 부호가 반대이면 그냥 더하면 됩니다. 두 식을 더해도 되는 까닭은 등식의 성질 첫째입니다. 첫 식의 양변에 같은 수를 더했을 뿐인데, 그 "같은 수"를 둘째 식이 $2x - y$ 와 2라는 두 가지 이름으로 건넨 것입니다.

계수가 안 맞으면 한쪽 식에 수를 곱해 맞춥니다. 등식의 성질 셋째입니다.

$$\begin{aligned} 2x + 3y &= 13 \\ 4x - y &= 5 \end{aligned}$$

$y$ 를 없애려면 아래 식을 3배 합니다. $12x - 3y = 15$ 가 되고, 위 식과 더하면 $14x = 28$ 이므로 $x=2$ 입니다. 이것을 아래 식에 넣으면 $8 - y = 5$ 이므로 $y=3$ 입니다.

둘 중 어느 것을 써도 답은 같습니다. 한쪽 식이 이미 $y = \cdots$ 꼴이면 대입법이, 계수가 나란히 놓여 있으면 가감법이 손이 덜 갑니다.

연립의 세 갈래

연립에도 해가 하나라는 보장은 없습니다. 두 쌍을 가감법으로 소거해 봅니다.

$$\begin{aligned} x + y &= 1 \\ x + y &= 3 \end{aligned}$$

아래에서 위를 빼면 $x$ 도 $y$ 도 한꺼번에 사라지고 $0 = 2$ 가 남습니다. 거짓이므로 해가 없습니다. 같은 $x + y$ 가 1이면서 3일 수는 없습니다.

$$\begin{aligned} x + y &= 1 \\ 2x + 2y &= 2 \end{aligned}$$

위 식을 2배 해 아래 식에서 빼면 $0 = 0$ 이 남습니다. 참이므로 해가 무수히 많습니다. 아래 식은 위 식에 2를 곱한 것일 뿐이라 사실상 식이 하나이고, $(0, 1)$, $(1, 0)$, $(3, -2)$ 처럼 합이 1인 짝이 전부 해입니다.

판정은 앞 절과 똑같습니다. 소거하다가 미지수가 모두 사라졌을 때 남은 것이 $0 =$ (0이 아닌 수)이면 해가 없고, $0 = 0$ 이면 무수히 많습니다. 미지수 하나가 남으면 그것이 $ax = b$ 이고 $a \neq 0$ 인 첫째 줄이라 해가 하나로 정해집니다. 이 세 갈래가 두 직선이 한 점에서 만나거나, 나란히 달려 안 만나거나, 아예 겹치는 세 모양과 짝을 이룬다는 것은 24번 글에서 그림으로 확인합니다. 미지수가 셋 이상일 때 이 소거를 표로 체계화하는 것은 43번 글의 몫입니다.

연습 문제

네 묶음 모두 구한 값을 원래 식에 도로 넣어 확인하세요.

연습 1 — 일차방정식

1. $x + 7 = 12$

   양변에서 7을 뺍니다. $x = 5$.
2. $3x = 21$

   양변을 3으로 나눕니다. $x = 7$.
3. $2x - 5 = 9$

   $2x = 14$, $x = 7$.
4. $5 - x = 8$

   $-x = 3$ 이고 양변을 $-1$ 로 나누면 $x = -3$.
5. $4x + 3 = x + 18$

   $3x = 15$, $x = 5$.
6. $7x - 2 = 3x + 10$

   $4x = 12$, $x = 3$.
7. $2(x + 3) = 14$

   괄호를 풀면 $2x + 6 = 14$, $x = 4$.
8. $3(x - 1) = 2(x + 4)$

   $3x - 3 = 2x + 8$, $x = 11$.
9. $5(x + 2) - 3 = 2x + 16$

   $5x + 7 = 2x + 16$, $3x = 9$, $x = 3$.
10. $\dfrac{x}{2} = 6$

    양변에 2를 곱합니다. $x = 12$.
11. $\dfrac{x}{3} + 1 = 4$

    $\dfrac{x}{3} = 3$, $x = 9$.
12. $\dfrac{2x}{5} = 4$

    양변에 5를 곱하면 $2x = 20$, $x = 10$.
13. $\dfrac{3}{4}x = 9$

    양변에 $\dfrac{4}{3}$ 을 곱합니다. $x = 12$.
14. $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5$

    양변에 6을 곱하면 $3x + 2x = 30$, $x = 6$.
15. $\dfrac{x}{4} - \dfrac{x}{6} = 1$

    양변에 12를 곱하면 $3x - 2x = 12$, $x = 12$.
16. $\dfrac{2x - 1}{3} = 5$

    양변에 3을 곱하면 $2x - 1 = 15$, $x = 8$.
17. $\dfrac{x+1}{2} = \dfrac{x-1}{3}$

    양변에 6을 곱하면 $3(x+1) = 2(x-1)$, $3x + 3 = 2x - 2$, $x = -5$.
18. $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x+2}{5} = 6$

    양변에 10을 곱하면 $5x + 2(x+2) = 60$, $7x = 56$, $x = 8$.
19. $0.2x + 1 = 1.8$

    양변에 10을 곱하면 $2x + 10 = 18$, $2x = 8$, $x = 4$.
20. $0.5x - 0.3 = 1.2$

    양변에 10을 곱하면 $5x - 3 = 12$, $5x = 15$, $x = 3$.
21. $1.2x = 0.4x + 3.2$

    양변에 10을 곱하면 $12x = 4x + 32$, $8x = 32$, $x = 4$.
22. $0.05x + 0.1 = 0.35$

    소수점 아래가 두 자리이므로 100을 곱합니다. $5x + 10 = 35$, $5x = 25$, $x = 5$.
23. $0.4(x - 2) = 0.3x + 0.1$

    양변에 10을 곱하면 $4(x - 2) = 3x + 1$, $4x - 8 = 3x + 1$, $x = 9$. 넣으면 양쪽이 2.8입니다.

연습 2 — 해의 갈래

1~6은 해가 하나인지, 없는지, 모든 수인지를 답하세요. 하나면 그 값도 적습니다.

1. $3x + 5 = 5 - 2x$

   $5x = 0$ 이라 $a = 5$, $b = 0$ 입니다. 해가 하나이고 $x = 0$ 입니다.
2. $4(x - 1) = 4x - 4$

   괄호를 풀면 양쪽이 같아져 $0 \cdot x = 0$. 모든 수가 해입니다.
3. $2(x + 1) = 2x + 5$

   $2x + 2 = 2x + 5$ 에서 $0 \cdot x = 3$. 해가 없습니다.
4. $(k - 2)x = 3$ 이 해를 갖지 않게 하는 $k$ 는 무엇입니까?

   계수 $k - 2$ 가 0이면 $0 = 3$ 이 되어 해가 없습니다. $k = 2$.
5. $(k - 1)x = k - 1$ 에서 모든 수가 해가 되는 $k$ 와, 그 밖의 $k$ 에서의 해를 구하세요.

   $k = 1$ 이면 $0 \cdot x = 0$ 이라 모든 수가 해입니다. $k \neq 1$ 이면 양변을 $k - 1$ 로 나눠 $x = 1$ 하나입니다.
6. $kx = 2x + 4$ 를 $k = 5$ 일 때 풀고, 해가 없어지는 $k$ 도 구하세요.

   이항해 묶으면 $(k - 2)x = 4$. $k = 5$ 이면 $3x = 4$, $x = \dfrac{4}{3}$. $k = 2$ 이면 $0 = 4$ 라 해가 없습니다.

7~9는 연립의 해가 하나인지, 없는지, 무수히 많은지를 답하세요.

7. $x + 2y = 4$, $2x + 4y = 8$

   위를 2배 해 아래에서 빼면 $0 = 0$. 무수히 많습니다.
8. $x - y = 2$, $3x - 3y = 5$

   위를 3배 하면 $3x - 3y = 6$ 이고 아래에서 빼면 $0 = -1$. 해가 없습니다.
9. $2x + 3y = 7$, $4x + 5y = 13$

   위를 2배 하면 $4x + 6y = 14$ 이고 아래를 빼면 $y = 1$, 이어서 $x = 2$. 해가 하나입니다.

연습 3 — 연립방정식 열 문제

1. $x + y = 7$, $x - y = 1$

   더하면 $2x = 8$ 이므로 $x = 4$, $y = 3$.
2. $x + y = 10$, $2x + y = 16$

   아래에서 위를 빼면 $x = 6$, $y = 4$.
3. $y = 2x$, $x + y = 9$

   대입하면 $3x = 9$ 이므로 $x = 3$, $y = 6$.
4. $y = x + 1$, $2x + y = 10$

   대입하면 $3x + 1 = 10$ 이므로 $x = 3$, $y = 4$.
5. $y = x - 1$, $3x + y = 11$

   대입하면 $4x - 1 = 11$ 이므로 $x = 3$, $y = 2$.
6. $2x + y = 7$, $3x - y = 8$

   더하면 $5x = 15$ 이므로 $x = 3$, $y = 1$.
7. $3x + 2y = 16$, $x - 2y = 0$

   더하면 $4x = 16$ 이므로 $x = 4$, $y = 2$.
8. $3x + 2y = 12$, $5x - y = 7$

   아래를 2배 해 더하면 $13x = 26$ 이므로 $x = 2$, $y = 3$.
9. $5x - 2y = 4$, $3x + 4y = 18$

   위를 2배 해 더하면 $13x = 26$ 이므로 $x = 2$, $y = 3$.
10. $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 4$, $x - y = 3$

    위에 6을 곱해 $3x + 2y = 24$. 아래에서 $x = y + 3$ 을 대입하면 $5y = 15$ 이므로 $y = 3$, $x = 6$.

연습 4 — 문장제 일곱 문제

식을 세우는 것까지가 문제입니다. 구하려는 것을 $x$ 로 놓고 시작하세요.

1. 어떤 수에 3을 곱하고 4를 더했더니 25가 되었습니다.

   $3x + 4 = 25$, $3x = 21$, $x = 7$.
2. 연속한 두 자연수의 합이 47입니다.

   작은 쪽을 $x$ 로 놓으면 $x + (x+1) = 47$, $2x = 46$, $x = 23$. 두 수는 23과 24입니다.
3. 한 개에 800원인 사과와 1200원인 배를 합쳐 10개 사고 9,600원을 냈습니다. 사과는 몇 개입니까?

   사과를 $x$ 개라 하면 배는 $10-x$ 개이므로 $800x + 1200(10-x) = 9600$. 풀면 $-400x = -2400$, $x = 6$. 사과 6개, 배 4개입니다.
4. 가로가 세로보다 5cm 긴 직사각형의 둘레가 46cm입니다. 세로의 길이는 얼마입니까?

   세로를 $x$ 라 하면 $2(x + x + 5) = 46$, $4x + 10 = 46$, $x = 9$. 세로 9cm, 가로 14cm입니다.
5. 지금 형은 12살, 동생은 4살입니다. 형의 나이가 동생 나이의 2배가 되는 것은 몇 년 뒤입니까?

   $t$ 년 뒤라 하면 $12 + t = 2(4 + t)$, $12 + t = 8 + 2t$, $t = 4$. 4년 뒤에 16살과 8살이 됩니다.
6. 연속한 두 자연수의 합이 40입니다. 두 수는 무엇입니까?

   $x + (x + 1) = 40$, $2x = 39$, $x = 19.5$. 자연수가 아니므로 조건에 맞는 두 수는 없습니다. 연속한 두 자연수의 합은 늘 홀수입니다.
7. 지금 아버지는 42살, 아들은 12살입니다. 아버지의 나이가 아들 나이의 4배가 되는 것은 몇 년 뒤입니까?

   $t$ 년 뒤라 하면 $42 + t = 4(12 + t)$, $42 + t = 48 + 4t$, $-3t = 6$, $t = -2$. "몇 년 뒤"의 답으로는 맞지 않으므로 앞으로는 그런 해가 없습니다. 음수가 뜻하는 대로 읽으면 2년 전, 40살과 10살일 때였습니다.

문장제에서 막히는 자리는 계산이 아니라 무엇을 $x$ 로 놓을지 정하는 데 있습니다. 3번처럼 구하는 것을 $x$ 로 놓으면 나머지가 $10-x$ 로 저절로 따라옵니다. 그리고 식이 푼 값이 곧 문제의 답은 아닙니다. 6번과 7번처럼 방정식은 멀쩡히 풀렸는데 그 값이 자연수여야 한다거나 앞날이어야 한다는 문제의 조건에 안 맞으면, 그 값은 버리고 "조건에 맞는 답이 없다"고 적는 것이 답입니다. 식을 세울 때 식에 담기지 않은 조건을 따로 적어 두면 이 마지막 확인을 잊지 않습니다.

정리

• 방정식의 해는 등식을 참으로 만드는 값이고, 푼다는 것은 등식을 $x=\square$ 꼴로 갈아입히는 일입니다.
• 갈아입힐 때 쓰는 도구는 등식의 성질 넷뿐입니다. 넷 다 되돌릴 수 있어서 해가 안 바뀌고, 0을 곱하거나 제곱하는 것은 되돌릴 수 없어 해가 바뀝니다.
• 이항은 새 규칙이 아니라 앞의 둘을 줄여 적은 이름입니다. 부호가 바뀌어 보이는 이유가 뺐기 때문입니다.
• 절차를 다섯 걸음으로 고정합니다 — 괄호, 분모 없애기, 동류항, 이항, 계수로 나누기. 소수는 10이나 100을 곱하고, 분수와 섞이면 분수로 먼저 고칩니다.
• 검산은 정리한 식이 아니라 원래 식에 넣고, 틀리면 아래 줄부터 넣어 참과 거짓의 경계를 찾습니다.
• 모든 일차방정식은 $ax = b$ 로 모이고, $a \neq 0$ 이면 해 하나, $a = 0$ 이면 $b$ 에 따라 없거나 모든 수입니다.
• 연립은 미지수를 하나 없애면 앞에서 푼 것과 같아지고, 소거 뒤 남은 것으로 같은 세 갈래를 가릅니다.

다음 글에서는 등호 자리에 부등호가 놓입니다. 도구는 거의 그대로인데 딱 한 자리에서 갈라집니다 — 음수를 곱하면 방향이 뒤집힙니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊