평균변화율과 할선: 두 점을 잇는 직선의 기울기를 수로 재기

지난 글까지는 극한을 덧셈에 썼습니다. 이 글부터는 나눗셈에 씁니다.

물음은 이것입니다 — 함수가 얼마나 빨리 변하는가. 두 점을 잡으면 답이 쉽게 나오는데, 문제는 어느 두 점을 잡느냐에 따라 답이 달라진다는 것입니다. 이 글은 그 답들이 구간을 좁힐 때 어디로 가는지를 손으로 확인합니다.

할선과 평균변화율

함수 $f$ 의 그래프 위에 두 점 $(a, f(a))$ 와 $(b, f(b))$ 를 잡습니다. 이 두 점을 지나는 직선을 할선이라고 합니다. 곡선을 가로질러 자르며 지나가는 직선이라는 뜻입니다.

이 직선의 기울기는 24번 글에서 세운 그대로입니다 — 가로로 간 만큼 나눈 세로로 간 만큼입니다.

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

이 값을 구간 $[a, b]$ 에서의 평균변화율 이라고 합니다. 새 개념이 아니라 기울기에 이름을 하나 더 붙인 것입니다. 「평균」이 붙은 이유는 구간 안에서 실제로는 빨랐다 느렸다 하는 것을 하나의 값으로 뭉갠 값이기 때문입니다.

변화량 표기

$\Delta$ 는 그리스 문자 델타이고 변화량을 적을 때 씁니다. $\Delta x$ 는 「$x$ 가 변한 만큼」이라는 뜻의 한 덩어리이지 $\Delta$ 와 $x$ 의 곱이 아닙니다. 새 계산이 들어온 것이 아니라 $b-a$ 를 짧게 적는 이름입니다.

$\Delta x = b - a, \qquad \Delta y = f(b) - f(a)$

지킬 것은 하나입니다 — 빼는 순서를 위아래가 맞춰야 합니다. 위에서 $b$ 를 먼저 썼으면 아래에서도 $f(b)$ 를 먼저 씁니다. 한쪽만 뒤집으면 부호가 통째로 뒤집혀 기울기의 부호가 거꾸로 나옵니다.

순서를 바꿔도 같은 값

그러면 둘 다 뒤집으면 어떨까요. 분자와 분모에 똑같이 $-1$ 이 곱해지므로 값은 그대로입니다.

$\frac{f(a)-f(b)}{a-b} = \frac{-\{f(b)-f(a)\}}{-(b-a)} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

두 점 중 어느 쪽을 먼저 잡든 평균변화율은 같습니다. 직선 하나에 기울기 하나라는 당연한 말을 계산으로 확인한 것입니다. 이것이 뒤에서 $h$ 를 음수로 잡아도 같은 식을 그대로 쓸 수 있는 근거가 됩니다.

단위가 붙은 평균변화율

$x$ 와 $y$ 에 단위가 붙으면 그 비에도 단위가 붙고, 이름이 따로 있는 양이 됩니다.

$x$ 의 단위	$y$ 의 단위	비에 붙는 이름
시간(초)	거리(m)	속도 (m/초)
넣은 기름(L)	간 거리(km)	연비 (km/L)
산 개수(개)	낸 돈(원)	단가 (원/개)
시간(시)	쌓인 비(mm)	강수 강도 (mm/시)

단위는 나눗셈을 그대로 따라갑니다. 세로 단위를 가로 단위로 나눈 것이 곧 답의 단위입니다. 그래서 답을 구한 뒤 단위를 적어 보면 무엇을 잘못 나눴는지 바로 드러납니다 — m/초가 나와야 하는데 초/m가 나왔으면 분자와 분모가 뒤집힌 것입니다.

구간마다 다른 답

말로만 두면 와닿지 않으니 표를 하나 채웁니다. 떨어뜨린 물체의 시간과 거리라고 해 봅니다.

시간 $t$ (초)	0	1	2	3	4
거리 $s$ (m)	0	5	20	45	80

구간마다 평균변화율 — 여기서는 평균속도 — 을 직접 계산합니다.

구간	계산	평균속도
$[0,1]$	$\dfrac{5-0}{1-0}$	5 m/s
$[1,2]$	$\dfrac{20-5}{2-1}$	15 m/s
$[2,3]$	$\dfrac{45-20}{3-2}$	25 m/s
$[3,4]$	$\dfrac{80-45}{4-3}$	35 m/s
$[0,4]$	$\dfrac{80-0}{4-0}$	20 m/s

같은 운동인데 답이 다섯 개 나왔습니다. 마지막 줄의 20 m/s는 네 구간 어디의 값도 아닙니다 — 전체를 하나로 뭉갠 값입니다.

그러면 「2초일 때의 속도」는 얼마일까요. 위 표에는 그 답이 없습니다. 속도를 재려면 구간이 필요한데 한 점은 구간이 아니기 때문입니다. 이 물음이 이 글의 나머지 전부입니다.

전체 평균과 구간 평균

네 구간의 평균속도는 5, 15, 25, 35였고 전체는 20이었습니다. 5, 15, 25, 35를 그냥 더해 4로 나눠도 20입니다. 우연이 아닙니다.

전체 거리는 구간별 거리를 더한 것이고, 구간별 거리는 「그 구간의 평균속도 × 그 구간의 폭」입니다.

$\frac{5\times1 + 15\times1 + 25\times1 + 35\times1}{4} = 20$

여기서는 네 구간의 폭이 모두 1이라 단순 평균과 같아졌습니다. 폭이 다르면 넓은 구간이 더 세게 끌어당깁니다. $[0,1]$ 에서 5 m/s이고 $[1,4]$ 에서 30 m/s였다면 전체는 이렇게 됩니다.

$\frac{5\times1 + 30\times3}{4} = 23.75$

5와 30의 단순 평균인 17.5가 아닙니다. 평균변화율의 「평균」은 폭을 함께 센 평균입니다.

평균을 실제로 지나는 자리

전체 평균 20 m/s는 네 구간 어디의 값도 아니었습니다. 그런데 표를 보면 15와 25 사이에 20이 끼어 있습니다. $[1,2]$ 에서는 20보다 느렸고 $[2,3]$ 에서는 20보다 빨랐습니다.

그러면 그 사이 어딘가에 평균이 정확히 20인 좁은 구간이 있을 것 같습니다. 실제로 그렇습니다. 위 표의 값은 $s = 5t^2$ 을 따르고 있는데($t=1$ 에서 5, $t=2$ 에서 20, $t=4$ 에서 80입니다), 폭이 0.1인 구간 $[1.95,\ 2.05]$ 의 평균속도를 재 보면

$\frac{5 \times 2.05^2 - 5 \times 1.95^2}{0.1} = \frac{21.0125 - 19.0125}{0.1} = 20$

정확히 20 m/s입니다. 전체를 뭉갠 값이 어딘가에서 실제로 일어난 값이기도 한 것입니다. 구간을 계속 좁혀 가며 그 자리를 더 정확히 짚을 수 있다는 것, 이 관찰이 다음 절의 물음과 이어집니다.

거꾸로 묻는 문제

평균변화율을 주고 한쪽 끝을 묻는 문제도 됩니다. 모르는 값이 하나이니 풀립니다.

「$f(x)=x^2$ 에서 구간 $[2,\ b]$ 의 평균변화율이 7일 때 $b$ 는 얼마인가」를 풀어 봅니다.

$\frac{b^2-4}{b-2} = 7$

분자가 $(b-2)(b+2)$ 이므로 $b \ne 2$ 인 동안 약분되어 $b+2=7$ 이고 $b=5$ 입니다. 실제로 $[2,5]$ 의 평균변화율은 $\dfrac{25-4}{3} = 7$ 입니다.

약분이 여기서 벌써 한 번 나왔습니다. 이 글의 나머지가 하는 일이 정확히 이것입니다 — 분모가 0이 되는 자리를 피해 약분해 놓고 나서 값을 말하는 것입니다.

h를 줄이는 표

한 점만으로는 잴 수 없으니, 아주 좁은 구간 으로 재고 그 구간을 계속 줄여 봅니다. 시작점을 $a$ 로 고정하고 끝점을 $a+h$ 로 두면 구간의 폭이 $h$ 하나로 조절됩니다.

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

$f(x)=x^2$ 에 $a=1$ 을 잡고 $h$ 를 줄여 가며 표를 채웁니다. 28번 글이 세운 규약 그대로입니다 — 표로 먼저 보고 대수로 확정합니다.

$h$	$f(1+h)$	$f(1+h)-f(1)$	나눈 값
1	4	3	3
0.5	2.25	1.25	2.5
0.1	1.21	0.21	2.1
0.01	1.0201	0.0201	2.01
0.001	1.002001	0.002001	2.001

2에 붙습니다. 그런데 표만 보면 「2에 가까운 어떤 수」까지가 최선입니다. 이제 대수로 확정합니다.

$\frac{(a+h)^2-a^2}{h}$

분자를 전개합니다. $(a+h)^2 = a^2+2ah+h^2$ 이므로

$\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h} = \frac{2ah+h^2}{h}$

$h$ 는 0이 아니므로 (0이면 애초에 나눌 수 없습니다) 약분할 수 있습니다.

$= \frac{h(2a+h)}{h} = 2a+h$

$a=1$ 을 넣으면 $2+h$ 입니다. 위 표를 다시 봅니다 — $h=1$ 에서 3, $h=0.1$ 에서 2.1, $h=0.01$ 에서 2.01. 전부 정확히 $2+h$ 입니다.

표가 짐작한 것과 유도가 확정한 것이 같은 답을 줍니다. 표는 어디로 가는지 알려 주고 대수는 그것을 못 박습니다. 그리고 $2+h$ 라고 적히고 나면 $h$ 를 줄일 때 2에 붙는다는 것이 눈으로 보입니다.

왼쪽에서 좁히기

지금까지는 $a$ 보다 오른쪽에서 다가갔습니다. $h$ 를 음수로 잡으면 왼쪽에서 다가갑니다. 구간이 $[1+h,\ 1]$ 로 뒤집히는 셈인데, 앞 절에서 본 대로 두 점의 순서는 값에 영향이 없으므로 식은 그대로 쓸 수 있습니다.

$h$	$f(1+h)$	나눈 값
−0.1	0.81	$\dfrac{-0.19}{-0.1}=1.9$
−0.01	0.9801	1.99
−0.001	0.998001	1.999

아래에서 2로 올라옵니다. 유도한 $2+h$ 에 음수를 넣은 값 그대로입니다. 양쪽에서 같은 곳에 붙었습니다.

그림에서 할선이 점점 한 직선에 가까워집니다. 이렇게 할선을 계속 좁혀서 얻는 직선을 접선이라고 부릅니다. 다만 「계속 좁혀서 얻는다」를 식으로 정확히 적는 일은 31번 · 도함수의 정의의 몫이라, 이 글에서는 그림으로만 예고하고 정의하지 않습니다.

a를 남겨 두면

위 유도에서 $a$ 를 1로 고정하지 않고 문자로 남겨 두었습니다. 그래서 답도 $2a+h$ 라는 식으로 나왔고, $h$ 를 지우면 $2a$ 가 남습니다.

이 $2a$ 를 $a$ 마다 하나씩 정해지는 값으로 보면 새 함수가 됩니다. $a=1$ 에서 2, $a=2$ 에서 4, $a=-1$ 에서 $-2$ 입니다. 넣는 값마다 나오는 값이 하나로 정해지니 19번 글에서 세운 함수의 조건 그대로입니다.

원래 곡선과 나란히 놓고 보면 읽는 법이 보입니다. $x$ 가 음수인 쪽에서 $2a$ 가 음수이고 그 자리에서 곡선은 내려가고 있습니다. $x=0$ 에서 0이고 거기가 곡선의 바닥입니다. 양수 쪽에서 양수이고 곡선은 올라갑니다. 곡선이 어느 쪽으로 가고 있는지를 그 새 함수가 수 하나로 적고 있습니다.

이 새 함수에 이름을 붙이는 것이 다음 글의 일입니다. 여기서는 $a$ 를 고정하지 않고 두면 값 하나가 아니라 함수 하나가 나온다는 것까지만 봅니다.

h를 절반씩 줄이면

표를 다시 봅니다. $h$ 가 1일 때 3, 0.1일 때 2.1, 0.01일 때 2.01이었습니다. 2에서 벗어난 만큼이 정확히 $h$ 입니다.

$2+h$ 라고 적히고 나면 당연한 말입니다. 어긋남이 곧 $h$ 이므로 $h$ 를 절반으로 줄이면 어긋남도 절반이 되고, 10분의 1로 줄이면 어긋남도 10분의 1이 됩니다.

$h$	나눈 값	2에서 벗어난 만큼
0.4	2.4	0.4
0.2	2.2	0.2
0.1	2.1	0.1
0.05	2.05	0.05

이것은 $x^2$ 이라 이렇게 깔끔한 것이고 함수마다 다릅니다. 아래에서 볼 $x^3$ 은 $3a^2+3ah+h^2$ 이라 어긋남이 $3ah+h^2$ 이고, $h$ 가 작을 때는 앞의 항이 거의 전부이므로 $h$ 를 절반으로 줄이면 어긋남도 대략 절반입니다. 「대략」이 붙은 것은 $h^2$ 이 남아 있어서인데, $h$ 가 작아질수록 그 몫은 더 빨리 사라집니다.

약분해서 확정하기

방법이 손에 붙도록 다른 함수로 되풀이합니다. 순서는 늘 같습니다 — 표를 채우고, 식을 전개하고, $h$ 를 약분합니다.

$f(x)=x^3$ 에서 $a=2$

$h$	나눈 값
1	19
0.1	12.61
0.01	12.0601
0.001	12.006001

12에 붙습니다. 확정합니다. $(2+h)^3 = 8+12h+6h^2+h^3$ 이므로

$\frac{(2+h)^3-8}{h} = \frac{12h+6h^2+h^3}{h} = 12+6h+h^2$

$h=0.1$ 을 넣으면 $12+0.6+0.01 = 12.61$ 로 표와 같고, $h$ 를 줄이면 뒤의 두 항이 사라져 12만 남습니다.

$f(x)=\dfrac1x$ 에서 $a=2$

$h$	나눈 값
1	−0.1667
0.1	−0.2381
0.01	−0.24876
0.001	−0.249875

음수입니다.

$\dfrac1x$ 는 $x$ 가 커질수록 값이 줄어드니 당연합니다 — 가로로 가는 동안 세로가 내려오면 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 의 분자가 음수입니다. $-0.25$ 에 붙는 것 같습니다. 확정합니다.

$\frac{\dfrac{1}{2+h}-\dfrac12}{h}$

분자의 두 분수를 통분합니다. 분모를 $2(2+h)$ 로 맞추면

$\dfrac{1}{2+h}-\dfrac12 = \frac{2-(2+h)}{2(2+h)} = \frac{-h}{2(2+h)}$

이것을 $h$ 로 나눕니다 — 나누기는 역수를 곱하는 것이므로

$\frac{-h}{2(2+h)}\times\frac1h = \frac{-1}{2(2+h)}$

$h$ 를 줄이면 분모가 $2\times 2=4$ 로 가므로 $-\dfrac14 = -0.25$ 입니다. 표와 맞습니다.

$f(x)=\sqrt x$ 에서 $a=4$

여기서는 지금까지의 수법이 바로 안 통합니다.

$\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt a}{h}$

분자에 $h$ 가 겉으로 보이지 않으니 약분할 것이 없습니다. 13번 글에서 분모의 근호를 없앨 때 쓴 켤레를 여기서 씁니다 — 분자와 분모에 $\sqrt{a+h}+\sqrt a$ 를 함께 곱합니다.

$\frac{(\sqrt{a+h}-\sqrt a)(\sqrt{a+h}+\sqrt a)}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt a)} = \frac{(a+h)-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt a)}$

분자가 $h$ 가 됐습니다. 이제 약분합니다.

$= \frac{h}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt a)} = \frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt a}$

합차 공식이 근호를 걷어 내면서 숨어 있던 $h$ 를 꺼내 준 것입니다. $a=4$ 를 넣고 $h$ 를 줄이면 분모가 $\sqrt4+\sqrt4=4$ 로 가므로 $\dfrac14$ 입니다.

표로도 맞춰 봅니다. $h=0.1$ 이면 $\sqrt{4.1} \approx 2.0248$ 이므로 직접 계산한 값은 $\dfrac{2.0248-2}{0.1} \approx 0.2485$ 이고, 약분한 식에 넣은 $\dfrac{1}{2.0248+2} \approx 0.2485$ 와 같습니다.

넷을 한 표에

지금까지 넷을 나란히 놓습니다.

$f(x)$	$h$ 를 약분한 뒤	$h$ 를 지우면
$x^2$	$2a+h$	$2a$
$x^3$	$3a^2+3ah+h^2$	$3a^2$
$\dfrac1x$	$\dfrac{-1}{a(a+h)}$	$-\dfrac{1}{a^2}$
$\sqrt x$	$\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt a}$	$\dfrac{1}{2\sqrt a}$

오른쪽 줄만 읽으면 규칙이 눈치채입니다. $x^2$ 은 $2x$ 가 되고 $x^3$ 은 $3x^2$ 이 되니, 지수가 앞으로 내려오고 하나 줄어드는 모양입니다. $\dfrac1x$ 를 $x^{-1}$ 로 적으면 $-1 \times x^{-2}$ 라 같은 규칙이고, $\sqrt x$ 를 $x^{1/2}$ 로 적으면 $\dfrac12 x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt x}$ 로 역시 맞습니다.

하지만 여기서 규칙이라고 못 박지는 않습니다. 넷이 맞는다고 전부 맞는다는 보장이 없고, 무엇보다 「$h$ 를 지운다」가 아직 말로만 있는 조작입니다. 그 조작에 이름을 주는 것이 31번 · 도함수의 정의이고, 위 규칙을 증명하는 것이 32번 · 미분 규칙입니다.

좁히기가 실패하는 자리

넷이 전부 한 값에 붙었습니다. 늘 그런 것은 아니라는 것을 보려면 안 되는 자리를 하나 찾아야 합니다. 두 가지가 있는데 하나는 함수 쪽 사정이고 하나는 계산 쪽 사정입니다.

꺾인 자리

$f(x) = |x|$ 를 $a=0$ 에서 봅니다. 10번 글에서 절댓값을 「0에서 떨어진 거리」로 세웠습니다.

$\frac{|0+h| - |0|}{h} = \frac{|h|}{h}$

$h$ 가 양수이면 $|h|=h$ 이므로 값이 1입니다. 음수이면 $|h|=-h$ 이므로 $-1$ 입니다. $h$ 를 아무리 줄여도 오른쪽은 1이고 왼쪽은 $-1$ 이라 한 곳에 안 붙습니다.

$x^2$ 에서는 $h$ 를 양수로 잡든 음수로 잡든 $2+h$ 하나였는데, 여기서는 부호에 따라 아예 다른 값이 나옵니다. 그림에서 보이는 대로 원점이 뾰족하게 꺾여 있기 때문입니다. 뾰족한 자리에는 「이쪽으로 가고 있다」고 말할 방향이 하나로 정해지지 않습니다.

$a=3$ 처럼 꺾이지 않은 자리에서는 $|x|=x$ 이므로 값이 1로 잘 붙습니다. 막히는 것은 함수 전체가 아니라 그 한 점입니다.

표가 무너지는 자리

좁히기가 실패하는 방식이 하나 더 있는데, 이번에는 함수가 아니라 계산 쪽 사정입니다.

$x^2$ 에 $a=1$ 로 두고 $h$ 를 아주 작게 잡아 표를 이어 봅니다. 손으로 끝까지 적는 대신, 소수점 아래 열 자리까지만 들고 있는 계산기로 잰다고 해 봅시다.

$h$ 가 $0.000000001$ 이면 $(1+h)^2 = 1.000000002000000001$ 인데, 열 자리에서 끊으면 $1.0000000020$ 입니다. 여기서 1을 빼면 $0.0000000020$ 이고 $h$ 로 나누면 2.0이라 아직 괜찮습니다.

$h$ 를 더 줄여 $0.0000000000001$ 이 되면 $(1+h)^2$ 은 열 자리에서 끊는 순간 그냥 1입니다. 1을 빼면 0이고 $h$ 로 나눠도 0입니다. 답이 2가 아니라 0으로 나옵니다.

거의 같은 두 수를 뺐기 때문입니다. 앞자리가 서로 지워지고 나면 남는 것은 뒷자리뿐인데, 그 뒷자리를 애초에 들고 있지 않았으니 남을 것이 없습니다. $h$ 를 줄일수록 좋아지다가 어느 지점부터 오히려 무너집니다.

$2a+h$ 로 약분해 둔 식에는 이 문제가 아예 없습니다. 뺄셈이 사라졌으니까요. 손으로 약분해 두는 것은 보기 좋으라고 하는 일이 아니라 계산을 잃지 않으려고 하는 일입니다. 표는 어디로 가는지 알려 주지만 끝까지 밀어붙이면 무너지고, 약분한 식은 그 자리를 아예 지나지 않고 답을 내놓습니다.

연습 문제

연습 1 — 평균변화율 세 문제

1. $f(x)=x^2$ 의 구간 $[2,5]$ 에서의 평균변화율

   $\dfrac{25-4}{5-2} = \dfrac{21}{3} = 7$ 입니다.
2. $f(x)=3x+1$ 의 구간 $[1,4]$ 에서의 평균변화율

   $\dfrac{13-4}{4-1} = 3$ 입니다. 일차함수는 어느 구간을 잡아도 기울기가 같아 늘 3이 나옵니다.
3. 아래 표에서 $t=1$ 부터 $t=3$ 까지의 평균속도

   $t$	0	1	2	3
   $s$	0	2	8	18

   $\dfrac{18-2}{3-1} = \dfrac{16}{2} = 8$ 입니다.

연습 2 — $h$ 표 세 문제

1. $f(x)=x^2$, $a=3$ 에서 $h=0.1$ 과 $h=0.01$ 의 값, 그리고 붙는 곳

   $\dfrac{9.61-9}{0.1}=6.1$, $\dfrac{9.0601-9}{0.01}=6.01$ 입니다. 6에 붙습니다. 유도한 $2a+h$ 에 $a=3$ 을 넣으면 $6+h$ 이므로 맞습니다.
2. $f(x)=x^2+1$, $a=1$ 에서 $h=0.1$ 의 값

   $\dfrac{(1.21+1)-(1+1)}{0.1} = \dfrac{0.21}{0.1} = 2.1$ 입니다. 더한 1이 분자에서 서로 지워져 $x^2$ 일 때와 같은 값이 나옵니다.
3. $f(x)=\dfrac1x$, $a=1$ 에서 $h=0.1$ 과 $h=0.01$ 의 값, 그리고 붙는 곳

   $\dfrac{\frac{1}{1.1}-1}{0.1} = -0.9091$, $\dfrac{\frac{1}{1.01}-1}{0.01} = -0.9901$ 입니다. $-1$ 에 붙습니다.

연습 3 — 약분해서 확정하기 두 문제

1. $f(x)=x^2+3x$ 에서 $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 를 $h$ 가 약분된 꼴로

   분자는 $(a+h)^2+3(a+h)-(a^2+3a) = 2ah+h^2+3h$ 이므로 $h$ 로 나누면 $2a+3+h$ 입니다.
2. $f(x)=5x-2$ 에서 같은 식

   분자는 $\{5(a+h)-2\}-(5a-2) = 5h$ 이므로 $h$ 로 나누면 5입니다. $h$ 도 $a$ 도 남지 않습니다 — 직선은 어디서 얼마나 넓게 재든 기울기가 같기 때문입니다.

연습 4 — 거꾸로 묻기와 안 붙는 자리 두 문제

1. $f(x)=x^2$ 에서 구간 $[3,\ b]$ 의 평균변화율이 10일 때 $b$

   $\dfrac{b^2-9}{b-3}$ 의 분자가 $(b-3)(b+3)$ 이므로 $b \ne 3$ 인 동안 $b+3=10$ 이고 $b=7$ 입니다. 확인하면 $\dfrac{49-9}{4}=10$ 으로 맞습니다.
2. $f(x)=|x-2|$ 에서 $a=2$ 로 두고 $h$ 가 양수일 때와 음수일 때의 값

   식이 $\dfrac{|h|}{h}$ 가 되어 양수이면 1, 음수이면 $-1$ 입니다. 꺾이는 자리가 원점에서 $x=2$ 로 옮겨졌을 뿐 같은 일이 일어납니다.

정리

• 그래프 위의 두 점을 잇는 직선이 할선 이고, 그 기울기 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 가 그 구간의 평균변화율 입니다. 두 점의 순서를 바꿔도 값은 같습니다.
• 같은 함수라도 어느 구간을 잡느냐에 따라 값이 달라집니다. 한 점에서의 변화율은 아직 뜻이 없습니다 — 한 점은 구간이 아니기 때문입니다.
• 전체 평균은 구간 평균들을 폭으로 가중해 평균 낸 값이고, 그 값과 같아지는 좁은 구간이 실제로 안에 있습니다.
• 그래서 구간을 $[a,\ a+h]$ 로 두고 $h$ 를 줄입니다. $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 가 그 값입니다.
• 표를 채워 어디로 가는지 보고, 분자를 전개해 $h$ 를 약분해 확정합니다. $x^2$ 에서는 $2a+h$ 였고, 근호가 든 함수는 켤레를 곱해야 $h$ 가 나옵니다.
• $a$ 를 고정하지 않고 두면 값 하나가 아니라 함수 하나가 나옵니다.
• 늘 되는 것은 아닙니다. 꺾인 자리에서는 양쪽이 서로 다른 값에 붙고, $h$ 를 지나치게 줄이면 표 쪽이 먼저 무너집니다.
• 할선을 계속 좁혀 얻는 직선을 접선 이라고 부릅니다. 그것을 식으로 적는 일은 다음 글의 몫입니다.

$2a+h$ 에서 $h$ 를 지우면 $2a$ 만 남습니다. 다음 글은 그 지우는 동작에 $\lim$ 을 붙여 이름을 주고, 그 결과를 다시 함수로 봅니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊