도함수의 정의: 할선이 접선이 되는 자리에 이름 붙이기

지난 글에서 $h$ 를 줄이며 표를 채웠고, 값이 한 곳에 붙는 것을 보았습니다. 붙는 그 값에는 아직 이름이 없습니다.

이 글은 세 가지를 합니다. 그 값에 이름과 기호를 붙이고, 그것이 무엇의 기울기인지 밝히고, 마지막으로 관점을 한 번 바꿉니다.

붙는 값에 이름을 붙인다

지난 글에서 $f(x)=x^2$ 에 $a=1$ 을 잡고 $\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$ 의 표를 채웠더니 2에 붙었습니다. 그리고 식을 약분해 $2+h$ 임을 확정했습니다.

"$h$ 를 0으로 보낸다"는 동작은 28번 글에서 이미 $\lim$ 으로 적기로 했습니다. 그대로 적습니다.

$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

이 값을 $x=a$ 에서의 미분계수라고 하고 $f'(a)$ 로 적습니다. "에프 프라임 에이"라고 읽습니다. 프라임은 위에 찍은 작은 작대기의 이름입니다.

새로 나온 것은 기호뿐입니다. 지난 글의 표가 찾아 준 그 값을 한 줄로 적은 것이고, 안에 든 $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 는 구간 $[a,\ a+h]$ 의 평균변화율 그대로입니다.

$h=0$ 을 그냥 넣을 수 없다는 것도 지난 글 그대로입니다 — 넣으면 분모가 0이 되어 $\dfrac00$ 이 됩니다. 그래서 $\lim$ 이 필요합니다. 식을 손봐서 $h$ 를 약분한 다음에야 넣을 수 있게 됩니다.

앞의 결과를 이 기호로 다시 적으면 이렇습니다.

지난 글에서	이 글의 기호로
$x^2$, $a=1$ 에서 2에 붙었다	$f'(1)=2$
$x^3$, $a=2$ 에서 12에 붙었다	$f'(2)=12$
$\dfrac1x$, $a=2$ 에서 $-0.25$ 에 붙었다	$f'(2)=-\dfrac14$

그 값은 접선의 기울기다

지난 글 마지막에서 $h$ 를 줄이면 할선이 한 직선으로 기울어 가는 것을 그림으로 보았고, 그 직선을 접선 이라고 불렀습니다. 곡선에 닿기만 하고 지나가는 직선이라는 뜻입니다.

할선의 기울기가 $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 이고 접선은 그 할선들이 다가가는 직선입니다. 그러면 접선의 기울기는 그 값들이 다가가는 값, 곧 $f'(a)$ 입니다.

미분계수 $f'(a)$ 는 그 점에서 그은 접선의 기울기입니다. 앞으로 "$x=2$ 에서의 기울기"라고 하면 이 값을 뜻합니다.

접선의 방정식을 실제로 써 본다

직선 하나를 정하려면 지나는 점 하나와 기울기 하나면 충분합니다. 24번 글의 점-기울기꼴이 그것이었습니다.

$y - f(a) = f'(a)\,(x-a)$

$f(x)=x^2$ 의 $x=1$ 에서 써 봅니다. 지나는 점은 $(1,\ 1)$ 이고, 기울기는 위 표에서 $f'(1)=2$ 입니다.

$y - 1 = 2(x-1)$

괄호를 풀고 정리하면

$y = 2x - 1$

맞는지 눈으로 확인합니다. $x=1$ 을 넣으면 $y=1$ 이라 점을 지납니다. $x=1.1$ 에서 이 직선은 $2.2-1=1.2$ 이고 곡선은 $1.1^2=1.21$ 입니다. 0.01 차이입니다. $x=1.01$ 에서는 직선이 $1.02$, 곡선이 $1.0201$ 로 0.0001 차이입니다.

점 근처에서 곡선과 접선이 거의 겹칩니다. 곡선을 그 점 근처에서 직선으로 바꿔 봐도 된다는 뜻이고, 이것이 미분이 쓸모 있는 첫 번째 이유입니다.

기준점을 움직이면 새 함수가 된다

지금까지 $a$ 는 고정된 수였습니다. 여기서 관점을 바꿉니다.

지난 글에서 $x^2$ 의 계산 결과가 $2a+h$ 였고, $h$ 를 지우면 $2a$ 가 남았습니다. 이 $2a$ 를 다시 봅니다 — $a=1$ 이면 2, $a=2$ 면 4, $a=3$ 이면 6입니다. $a$ 하나에 값 하나가 정해집니다. 19번 글의 함수 정의 그대로입니다.

그래서 $a$ 를 고정된 수가 아니라 변수로 두고 이름도 $x$ 로 바꿔 적습니다.

$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

이렇게 얻은 새 함수 $f'$ 을 $f$ 의 도함수라고 합니다. 그리고 $f$ 에서 $f'$ 을 구하는 일을 미분한다 고 합니다.

둘의 차이를 한 번 못 박아 둡니다.

	무엇인가	예
미분계수 $f'(a)$	수 하나	$f'(1)=2$
도함수 $f'(x)$	함수	$f'(x)=2x$

미분계수는 도함수에 그 점을 넣은 값입니다. $f'(x)=2x$ 에 $x=1$ 을 넣으면 2입니다.

표기 셋을 나란히 놓는다

같은 것을 적는 방법이 셋 있습니다. 책마다 골라 쓰므로 셋 다 읽을 줄 알아야 합니다.

표기	읽는 법	쓰는 자리
$f'(x)$	에프 프라임 엑스	함수 이름이 있을 때 가장 짧다
$\dfrac{dy}{dx}$	디와이 디엑스	$y=f(x)$ 라 두었을 때
$\dfrac{df}{dx}$	디에프 디엑스	무엇으로 미분하는지 밝힐 때

$\dfrac{dy}{dx}$ 는 24번 글의 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 에서 $\Delta$ 를 $d$ 로 바꾼 모양입니다. $\Delta$ 가 눈에 보이는 크기의 변화량이라면 $d$ 는 한없이 작게 줄인 뒤의 것이라는 뜻입니다. 분수처럼 생겼지만 통째로 하나의 기호이고, 지금은 위아래를 따로 떼어 쓰지 않습니다.

정의식만으로 넷을 유도한다

지난 글에서는 표를 채워 값을 찾았습니다. 여기서는 문자 $x$ 하나로 한 번에 끝냅니다. 순서는 늘 넷입니다.

1. $f(x+h)$ 를 전개한다
2. $f(x)$ 를 뺀다
3. $h$ 를 약분한다
4. $h$ 에 0을 넣는다

$f(x)=x^2$

$(x+h)^2 = x^2+2xh+h^2$ 이므로 분자는 $2xh+h^2$ 입니다.

$\frac{2xh+h^2}{h} = \frac{h(2x+h)}{h} = 2x+h$

$h$ 에 0을 넣으면 $2x$ 입니다.

$f'(x)=2x$

$f(x)=x^3$

$(x+h)^3 = x^3+3x^2h+3xh^2+h^3$ 이므로 분자는 $3x^2h+3xh^2+h^3$ 입니다.

$\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h} = 3x^2+3xh+h^2$

$h$ 에 0을 넣으면 뒤의 두 항이 사라집니다.

$f'(x)=3x^2$

$x=2$ 를 넣으면 $3\times4=12$ 로, 지난 글의 표가 12에 붙었던 것과 맞습니다.

$f(x)=\dfrac1x$

분자의 두 분수를 통분합니다. 분모를 $x(x+h)$ 로 맞추면

$\frac{1}{x+h}-\frac1x = \frac{x-(x+h)}{x(x+h)} = \frac{-h}{x(x+h)}$

이것을 $h$ 로 나눕니다 — 나누기는 역수를 곱하는 것이므로

$\frac{-h}{x(x+h)}\times\frac1h = \frac{-1}{x(x+h)}$

$h$ 에 0을 넣으면 분모가 $x\times x$ 가 됩니다.

$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$

$x=2$ 에서 $-\dfrac14=-0.25$ 입니다. 표와 맞습니다.

$f(x)=\sqrt{x}$

이번에는 분자에 근호가 있어 그냥은 약분이 안 됩니다. 18번 글의 유리화를 씁니다 — 분모나 분자의 근호를 없애려고 켤레식을 위아래에 곱하는 조작 입니다. 여기서는 분자를 정리하는 것이 목적이라 $\sqrt{x+h}+\sqrt{x}$ 를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\times\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$

분자는 $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ 꼴이라 근호가 사라집니다.

$= \frac{(x+h)-x}{h\,(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \frac{h}{h\,(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$

이제 $h$ 가 약분됩니다.

$= \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$

$h$ 에 0을 넣으면 분모가 $2\sqrt{x}$ 입니다.

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

넷을 모으면 이렇습니다.

$f(x)$	$f'(x)$	$x=1$ 에서의 값
$x^2$	$2x$	2
$x^3$	$3x^2$	3
$\dfrac1x$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$-1$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$\dfrac12$

앞의 둘을 보면 지수가 앞으로 내려오고 지수는 하나 줄었습니다. 나머지 둘도 $\dfrac1x=x^{-1}$, $\sqrt{x}=x^{1/2}$ 로 적으면 같은 모양입니다. 이것을 규칙으로 못 박고 곱·몫·연쇄법칙까지 세우는 일은 32번 · 도함수 계산 규칙의 몫입니다. 이 글의 목적은 규칙 없이 정의만으로 끝까지 가 보는 것입니다.

f'의 부호가 오르내림을 말한다

$f'(a)$ 가 접선의 기울기이므로, 그 부호를 읽으면 그래프가 어느 쪽으로 가는지 알 수 있습니다.

• $f'(a)>0$ 이면 접선이 오른쪽 위를 향합니다 → 그 근처에서 올라갑니다
• $f'(a)<0$ 이면 접선이 오른쪽 아래를 향합니다 → 그 근처에서 내려갑니다
• $f'(a)=0$ 이면 접선이 수평입니다

$f(x)=x^2$ 에서 확인합니다. $f'(x)=2x$ 이므로 $x<0$ 에서 음수, $x>0$ 에서 양수, $x=0$ 에서 0입니다. 그래프대로 왼쪽에서는 내려오다가 오른쪽에서 올라가고, 그 사이 한 점이 꼭짓점입니다.

f'=0이라고 반드시 극값은 아니다

꼭짓점에서 $f'=0$ 이었으니 거꾸로도 될 것 같지만 아닙니다. $f(x)=x^3$ 을 봅니다. $f'(x)=3x^2$ 이므로 $f'(0)=0$ 입니다. 그런데 $x^3$ 의 값을 0 근처에서 직접 적어 보면

$x$	$-0.1$	$-0.01$	0	0.01	0.1
$x^3$	$-0.001$	$-0.000001$	0	0.000001	0.001

계속 올라갑니다. 0에서 잠깐 평평해질 뿐 꺾이지 않습니다. $3x^2$ 은 $x$ 가 무엇이든 음수가 되지 않으니 부호가 바뀔 일도 없습니다.

그래서 규칙은 이렇습니다 — $f'(a)=0$ 은 후보일 뿐이고, 실제로 꺾였는지는 $f'$ 의 부호가 그 앞뒤에서 바뀌었는지를 봐야 압니다.

미분이 안 되는 자리

$f'(a)$ 는 극한으로 정의했고, 극한은 없을 수도 있습니다. 그 극한이 있는 점을 미분가능하다고 하고, 없는 점을 미분가능하지 않다고 합니다. 없는 모양이 셋 있습니다.

첫째, 꺾인 점. $f(x)=\lvert x\rvert$ 의 $x=0$ 입니다. $f(0)=0$ 이므로 정의식의 분자는 $\lvert h\rvert$ 입니다.

• $h>0$ 이면 $\lvert h\rvert = h$ 이므로 $\dfrac{h}{h}=1$
• $h<0$ 이면 $\lvert h\rvert = -h$ 이므로 $\dfrac{-h}{h}=-1$

왼쪽에서 다가가면 $-1$, 오른쪽에서 다가가면 1입니다. 좌극한과 우극한이 다르므로 극한이 없습니다. 그림에서도 그 점에서 접선을 하나로 정할 수가 없습니다.

둘째, 수직 접선. 접선이 세로로 서면 기울기가 수로 나오지 않습니다. 세로선은 가로로 간 만큼이 0이라 나눌 수가 없기 때문입니다.

셋째, 끊긴 점. 그래프가 뚝 끊겨 있으면 $h$ 를 아무리 줄여도 분자가 0으로 줄지 않습니다. 분모만 0으로 가니 몫이 한없이 커집니다.

여기서 한 가지가 따라 나옵니다 — 미분가능하면 연속입니다. 끊긴 자리에서는 방금 본 대로 극한이 없으니, 미분이 되었다면 끊기지 않았다는 뜻입니다.

하지만 거꾸로는 아닙니다. $\lvert x\rvert$ 는 $x=0$ 에서 끊기지 않았는데도 미분이 안 됩니다. 연속은 "이어져 있다"이고 미분가능은 "이어진 데다 매끄럽다"입니다. 매끄럽다는 조건이 하나 더 붙어 있습니다.

연습 문제

연습 1 — 정의식으로 도함수 구하기

앞의 네 단계를 그대로 밟습니다.

1. $f(x)=3x^2$

   분자는 $3(x+h)^2-3x^2 = 6xh+3h^2$ 이므로 $h$ 로 나누면 $6x+3h$ 입니다. $h$ 에 0을 넣어 $f'(x)=6x$ 입니다.
2. $f(x)=x^2+5$

   분자는 $(x+h)^2+5-(x^2+5) = 2xh+h^2$ 입니다. 더한 5가 서로 지워져 $f'(x)=2x$ 로 $x^2$ 일 때와 같습니다. 그래프를 위로 올려도 기울기는 그대로이기 때문입니다.
3. $f(x)=2x+5$

   분자는 $\{2(x+h)+5\}-(2x+5) = 2h$ 이므로 $h$ 로 나누면 2입니다. $h$ 도 $x$ 도 남지 않아 $f'(x)=2$ 입니다. 직선은 어디서나 기울기가 같습니다.
4. $f(x)=\dfrac{1}{3x}$

   분자는 $\dfrac{1}{3(x+h)}-\dfrac{1}{3x} = \dfrac{-h}{3x(x+h)}$ 이고, 이것을 $h$ 로 나누면 $\dfrac{-1}{3x(x+h)}$ 입니다. $h$ 에 0을 넣어 $f'(x)=-\dfrac{1}{3x^2}$ 입니다.

연습 2 — 접선의 방정식

본문에서 구한 도함수 표를 써도 됩니다.

1. $f(x)=x^2$ 의 $x=3$ 에서의 접선

   $f(3)=9$, $f'(3)=2\times3=6$ 입니다. $y-9=6(x-3)$ 이므로 $y=6x-9$ 입니다.
2. $f(x)=x^3$ 의 $x=1$ 에서의 접선

   $f(1)=1$, $f'(1)=3\times1^2=3$ 입니다. $y-1=3(x-1)$ 이므로 $y=3x-2$ 입니다.
3. $f(x)=\dfrac1x$ 의 $x=2$ 에서의 접선

   $f(2)=\dfrac12$, $f'(2)=-\dfrac{1}{2^2}=-\dfrac14$ 입니다. $y-\dfrac12=-\dfrac14(x-2)$ 를 정리하면 $y=-\dfrac{x}{4}+1$ 입니다.

연습 3 — 부호와 예외

1. $f(x)=x^2-6x$ 의 도함수를 정의식으로 구하고, 부호가 바뀌는 $x$ 와 그 좌우에서 그래프가 오르는지 내리는지

   분자는 $(x+h)^2-6(x+h)-(x^2-6x) = 2xh+h^2-6h$ 이므로 $h$ 로 나누면 $2x+h-6$ 이고, $f'(x)=2x-6$ 입니다. $2x-6=0$ 에서 $x=3$ 이고, $x<3$ 이면 음수라 내려가고 $x>3$ 이면 양수라 올라갑니다.
2. $f(x)=\lvert x-2\rvert$ 에서 정의식의 극한이 없는 $x$ 와 그 이유

   $x=2$ 입니다. 분자가 $\lvert h\rvert$ 가 되어 $h>0$ 이면 1, $h<0$ 이면 $-1$ 로 갈리므로 좌극한과 우극한이 다릅니다.
3. $f(x)=-x^2+4x$ 의 도함수를 정의식으로 구하고, $f'(x)=0$ 이 되는 $x$ 와 그 자리가 가장 높은 점인지 낮은 점인지

   분자는 $-(x+h)^2+4(x+h)+x^2-4x = -2xh-h^2+4h$ 이므로 $h$ 로 나누면 $-2x-h+4$ 이고, $f'(x)=-2x+4$ 입니다. $x=2$ 에서 0이 되고, 왼쪽에서는 양수라 올라가다 오른쪽에서 음수라 내려가므로 가장 높은 점입니다. 그때 값은 $f(2)=4$ 입니다.

정리

• $f'(a)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 를 미분계수 라고 합니다. 지난 글의 표가 찾아낸 값에 기호를 붙인 것입니다.
• 그 값은 그 점에서 그은 접선의 기울기 이고, 접선의 방정식은 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ 입니다.
• 기준점을 변수로 두면 점마다 기울기를 돌려주는 새 함수가 되고, 이것이 도함수 $f'(x)$ 입니다. $f'(x)$·$\dfrac{dy}{dx}$·$\dfrac{df}{dx}$ 셋은 같은 것을 적은 것입니다.
• 정의식만으로 넷을 얻었습니다 — $x^2 \to 2x$, $x^3 \to 3x^2$, $\dfrac1x \to -\dfrac{1}{x^2}$, $\sqrt{x} \to \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
• $f'$ 의 부호가 오르내림을 말합니다. 다만 $f'=0$ 은 후보일 뿐이라 $x^3$ 처럼 꺾이지 않는 자리도 있습니다.
• 꺾인 점·수직 접선·끊긴 점에서는 극한이 없어 미분되지 않습니다. 미분가능하면 연속이지만 연속이라고 미분가능한 것은 아닙니다.

정의식으로 하나씩 유도하는 것은 정확하지만 느립니다. 다음 글은 이 유도를 한 번씩만 해 두고 표로 만들어, $x^2 e^{-x^2}$ 같은 식도 몇 초 만에 미분하는 규칙을 세웁니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊