회전·전단·스케일: 2×2 행렬로 보는 선형변환의 전부

위치 정보를 토큰에 넣는 방법은 오랫동안 "더하기"였습니다. 위치 $m$ 마다 벡터를 하나 만들어 임베딩에 더했습니다. 그런데 최근 모델들이 쓰는 회전 위치 인코딩(RoPE)은 더하지 않습니다 — 질의와 키 벡터를 위치에 비례한 각도만큼 돌립니다.

돌리는 것이 왜 위치를 담을 수 있는지, 그리고 왜 하필 회전인지는 회전행렬의 성질 두 개로 완전히 답이 됩니다. 이 글은 그 두 성질을 세우는 것이 전부이고, 마지막 절에서 그것만으로 RoPE의 핵심을 유도합니다. 복소수도 오일러 공식도 쓰지 않습니다.

사인과 코사인 자체는 초급 25번에서 단위원 위의 좌표로 정의해 두었습니다. 여기서는 그 정의를 받아 쓰기만 합니다.

회전행렬 세우기

열에 적는 기저의 상

지난 글들에서 얻은 방법이 있습니다 — 행렬을 알고 싶으면 기저가 어디로 가는지만 보면 됩니다.

$\mathbf{e}_1 = (1,0)$ 을 원점 둘레로 $\theta$ 만큼 돌립니다. 길이가 1인 채로 각도만 $\theta$ 가 되었으니, 그 점은 단위원 위의 각 $\theta$ 자리이고 초급 25번의 정의에 따라 좌표가 $(\cos\theta, \sin\theta)$ 입니다. 정의 그 자체라 계산할 것이 없습니다.

$\mathbf{e}_2 = (0,1)$ 은 $\mathbf{e}_1$ 보다 90도 앞선 자리에 있습니다. 둘을 함께 $\theta$ 만큼 돌려도 사이의 90도는 유지되므로 $\mathbf{e}_2$ 의 상은 각 $\theta + 90^\circ$ 자리, 즉 $(-\sin\theta, \cos\theta)$ 입니다.

두 상을 열에 적으면 끝입니다.

$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

θ가 0과 90도일 때로 검산

세운 식이 맞는지는 아는 값을 넣어 보면 압니다. $\theta = 0$ 이면 $\cos 0 = 1$, $\sin 0 = 0$ 이라 단위행렬이 됩니다 — 안 돌린 것이 아무것도 안 하는 것과 같아야 하니 맞습니다. $\theta = 90^\circ$ 이면

$R(90^\circ) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$

지난 글에서 $(a,b) \mapsto (-b,a)$ 라고 쓰며 예로 든 그 행렬이고, 이제 그것이 왜 90도 회전인지 알게 되었습니다. $(1,0)$ 을 넣으면 $(0,1)$ 이 나오니 반시계 방향입니다 — 부호 규약이 헷갈릴 때마다 이 한 점을 넣어 보면 복원됩니다.

(2,0)을 30도 돌려 보기

기호만으로는 손에 안 잡히니 수를 넣어 한 번 돌려 봅니다. $\mathbf{x} = (2,0)$ 을 30도 돌립니다. $\cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin 30^\circ = \tfrac12$ 이므로

$R(30^\circ)\begin{pmatrix} 2 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{\sqrt3}{2} & -\tfrac12 \\[2pt] \tfrac12 & \tfrac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt3 \\ 1\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1.732 \\ 1\end{pmatrix}$

길이를 재면 $\sqrt{3 + 1} = 2$ 로 원래와 같습니다. 이 관찰을 뒤에서 일반적으로 증명합니다.

각도의 단위 — 라디안

여기까지 각을 "30도"라고 적었지만, 수식과 코드가 실제로 받는 단위는 도가 아니라 라디안입니다. 라디안은 반지름이 1인 원에서 그 각이 잘라 내는 호의 길이로 각을 재는 방식입니다. 한 바퀴가 원둘레 $2\pi$ 이므로 $360^\circ = 2\pi$, 따라서 $180^\circ = \pi$, $30^\circ = \pi/6$ 입니다.

왜 굳이 이 단위인가 하면, 미분이 이 단위에서만 깔끔하기 때문입니다. $\theta$ 가 라디안일 때만 $\sin$ 의 도함수가 $\cos$ 이 되고, 작은 각에서 $\sin\theta \approx \theta$ 가 성립합니다. 도로 재면 그때마다 $\pi/180$ 이라는 군더더기 상수가 붙습니다. 그래서 math도 numpy도 삼각함수의 인자를 라디안으로 받고, 도를 쓰고 싶으면 np.radians(30) 처럼 먼저 바꿔 넣어야 합니다.

RoPE에서 위치 $m$ 에 $m\theta$ 만큼 돌린다고 할 때의 $\theta$ 도 라디안입니다. 도로 읽으면 $\theta_i$ 가 $10^{-4}$ 수준까지 작아지는 설계가 이상해 보이는데, 라디안으로 보면 한 칸 옮길 때마다 아주 조금씩 돌린다는 뜻이 그대로 읽힙니다.

2×2 행렬 셋이 원 하나에 하는 일

원을 넣어 보면 갈리는 것

회전 옆에 다른 두 종류를 나란히 놓으면 각각이 무엇을 지키고 무엇을 버리는지가 보입니다.

$S = \begin{pmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y\end{pmatrix}, \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1\end{pmatrix}$

$S$ 는 축마다 다른 배율로 늘이는 스케일이고, $H$ 는 위로 갈수록 옆으로 미는 전단입니다. 단위원을 넣어 보면 셋의 차이가 한눈에 갈립니다.

	길이	사잇각	넓이
회전 $R(\theta)$	보존	보존	보존
스케일 $S$	방향마다 다름	바뀜	$s_xs_y$ 배
전단 $H$	바뀜	바뀜	보존

회전만 세 칸이 전부 '보존'입니다. 이것이 위치 인코딩에 회전을 고른 이유의 절반이고, 나머지 절반은 다음 절에 있습니다.

넓이를 정하는 행렬식

표의 마지막 열은 어림해서 적은 값이 아니라 행렬식이 정합니다. $2\times2$ 행렬의 행렬식 $\det A = ad - bc$ 는 단위정사각형이 옮겨 간 도형의 넓이입니다. 기저의 상이 열이므로, 옮겨 간 도형은 두 열을 변으로 하는 평행사변형이고 그 넓이가 곧 $|\det A|$ 입니다.

셋을 각각 계산하면 표의 값이 그대로 나옵니다.

$\det R(\theta) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1, \qquad \det S = s_xs_y, \qquad \det H = 1\cdot1 - k\cdot0 = 1$

전단이 흥미롭습니다. 정사각형이 밀려 평행사변형이 되지만 밑변과 높이가 그대로라 넓이가 안 변합니다. 그래서 $\det = 1$ 인데도 길이와 각은 다 망가집니다 — 넓이 보존은 모양 보존보다 훨씬 약한 조건입니다.

절댓값을 붙인 이유는 부호가 넓이가 아니라 방향을 알려 주기 때문입니다. $\det$ 가 음수이면 도형이 뒤집혀 옮겨 간 것이고, 그 구별이 뒤에서 회전과 반사를 가릅니다.

두 번 돌리면 더해지는 각

곱을 성분으로 펼치기

$\beta$ 만큼 돌린 뒤 다시 $\alpha$ 만큼 돌리는 것은 처음부터 $\alpha+\beta$ 만큼 돌리는 것과 같습니다 — 그림을 보면 따질 것도 없는 사실입니다. 그런데 지난 글에서 합성은 곱이라고 했으니, 이 기하적 사실은 행렬 등식 한 줄이 됩니다.

$R(\alpha)R(\beta) = R(\alpha+\beta)$

왼쪽을 실제로 곱해 봅니다.

$R(\alpha)R(\beta) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta\end{pmatrix}$

1열부터 구합니다. 지난 글의 열 시선을 쓰면 결과의 1열은 오른쪽 행렬의 1열 $(\cos\beta, \sin\beta)$ 를 계수로 왼쪽 열들을 섞은 것입니다.

$\cos\beta\begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha\end{pmatrix} + \sin\beta\begin{pmatrix} -\sin\alpha \\ \cos\alpha\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \\ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\end{pmatrix}$

2열도 같은 방식으로 구하면 $(-(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta),\ \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)$ 입니다.

덧셈정리가 떨어지는 자리

한편 오른쪽 $R(\alpha+\beta)$ 의 1열은 정의상 $(\cos(\alpha+\beta),\ \sin(\alpha+\beta))$ 입니다. 두 행렬이 같으니 성분끼리 같아야 하고, 그러면

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

고등학교에서 외운 삼각함수의 덧셈정리가 이렇게 떨어집니다. 외울 것이 아니라 "두 번 돌리면 각이 더해진다"를 성분으로 적은 것뿐입니다. 부호가 헷갈릴 때 $R(\alpha)R(\beta)$ 를 직접 곱해 보면 매번 복원됩니다.

수로 확인. $\alpha = \beta = 30^\circ$ 이면 $\cos30^\circ = 0.866$, $\sin30^\circ = 0.5$ 이므로

$0.866 \times 0.866 - 0.5 \times 0.5 = 0.75 - 0.25 = 0.5 = \cos 60^\circ$

$0.5 \times 0.866 + 0.866 \times 0.5 = 0.866 = \sin 60^\circ$

되돌리는 회전

따름정리가 하나 나옵니다. $\beta = -\alpha$ 를 넣으면 $R(\alpha)R(-\alpha) = R(0) = I$ 이므로

$R(\theta)^{-1} = R(-\theta)$

되돌리는 회전은 반대로 돌리는 것이고, 역행렬을 계산할 일이 없습니다. 덤으로 $R(\alpha)R(\beta) = R(\alpha+\beta) = R(\beta)R(\alpha)$ 이므로 2차원 회전끼리는 순서를 바꿔도 됩니다. 각의 덧셈에는 순서가 없으니 당연한데, 다음 소절에서 보듯 이 당연함은 2차원에서만 통합니다.

3차원에서 달라지는 것

3차원 회전은 중심만으로 정해지지 않습니다 — 무엇을 축으로 도는지가 있어야 합니다. $z$ 축을 축으로 도는 회전은 $xy$ 평면에서 하던 것을 그대로 하고 $z$ 는 건드리지 않으므로

$R_z(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

옮겨지는 것부터 봅니다. 열이 여전히 서로 수직인 단위벡터라 $R^\top R = I$ 이고, 그래서 노름과 내적이 보존되고 역행렬이 전치입니다. $\det = +1$ 이 회전, $-1$ 이 뒤집힘이라는 구별도 그대로입니다. 이 글에서 얻은 결론 중 "직교행렬이다"에 기대는 것은 전부 차원과 무관하게 살아남습니다.

옮겨지지 않는 것은 두 가지입니다. 하나는 각의 덧셈입니다. 축이 다르면 $R_x(\alpha)R_y(\beta)$ 를 하나의 각으로 적을 수 없습니다. 다른 하나는 순서입니다 — 축이 다르면

$R_x(90^\circ)R_y(90^\circ) \ne R_y(90^\circ)R_x(90^\circ)$

수로 확인하는 것이 빠릅니다. $\mathbf{e}_1 = (1,0,0)$ 을 두 순서로 보내 봅니다.

순서	$(1,0,0)$ 의 상
$y$ 축 90도 → $x$ 축 90도	$(0,1,0)$
$x$ 축 90도 → $y$ 축 90도	$(0,0,-1)$

같은 두 회전을 순서만 바꿨는데 도착지가 다릅니다. 손에 든 책을 두 번 돌려 보면 바로 확인됩니다. 2차원 회전이 각 하나로 적혀 순서가 없던 것은 평면에는 축이 하나뿐이기 때문이고, 축이 여럿이 되는 순간 그 성질만 깨집니다. 그래서 3차원 자세를 다룰 때 사원수 같은 도구가 따로 필요해지는데, RoPE는 평면 여러 장으로 쪼개 각 평면 안에서만 돌리므로 이 골치를 피해 갑니다.

회전행렬의 직교성

전치가 곧 역행렬

$R(\theta)$ 의 전치를 취하면 비대각 성분의 부호가 바뀝니다.

$R(\theta)^\top = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = R(-\theta)$

$\cos(-\theta) = \cos\theta$ 이고 $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ 이니 이것은 정확히 $-\theta$ 회전입니다. 방금 본 결과와 합치면

$R^\top R = R(-\theta)R(\theta) = I$

직접 곱해도 같습니다. 대각 성분은 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ 이고 비대각 성분은 $-\cos\theta\sin\theta + \sin\theta\cos\theta = 0$ 입니다.

$Q^\top Q = I$ 를 만족하는 행렬을 7번 글에서 직교행렬이라고 불렀습니다. 회전행렬은 직교행렬이고, 그래서 그 글에서 증명한 것이 전부 따라옵니다.

그대로 남는 노름과 내적

$\|R\mathbf{x}\|^2 = (R\mathbf{x})^\top(R\mathbf{x}) = \mathbf{x}^\top R^\top R\,\mathbf{x} = \mathbf{x}^\top\mathbf{x} = \|\mathbf{x}\|^2$

같은 계산을 두 벡터로 하면 내적도 남습니다.

$(R\mathbf{u})\cdot(R\mathbf{v}) = \mathbf{u}^\top R^\top R\,\mathbf{v} = \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$

내적이 남고 노름이 남으면 사잇각도 남습니다 — $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}$ 의 분자와 분모가 모두 그대로이기 때문입니다. 앞 절 표의 '보존' 세 칸이 이 두 줄에서 전부 나옵니다.

회전과 반사를 가르는 부호

거꾸로 직교행렬이라고 전부 회전인 것은 아닙니다. $\det R(\theta) = 1$ 인데, 예컨대 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$ 도 $Q^\top Q = I$ 를 만족하면서 행렬식이 $-1$ 입니다. 이것은 $x$ 축에 대한 반사이고, 길이와 각은 지키지만 왼쪽·오른쪽을 뒤집습니다. 앞 절에서 부호가 방향을 알려 준다고 한 것이 바로 이 자리입니다. $2\times2$ 직교행렬은 행렬식이 $+1$ 이면 회전, $-1$ 이면 반사 둘뿐입니다.

전단이 직교가 아닌 것도 한눈에 보입니다. $H$ 의 2열이 $(k, 1)$ 이라 노름이 $\sqrt{k^2+1} \ne 1$ 입니다. 열의 길이가 1이 아니면 $H^\top H$ 의 대각 성분이 1이 아니고, 그러면 $I$ 가 될 수 없습니다.

코드로 확인하기

import numpy as np

def R(deg):
    t = np.radians(deg)          # 도를 라디안으로
    return np.array([[np.cos(t), -np.sin(t)],
                     [np.sin(t),  np.cos(t)]])

print(R(30) @ np.array([2., 0]))          # [1.732 1.   ]
print(np.allclose(R(30) @ R(30), R(60)))  # True
print(np.allclose(R(40).T @ R(40), np.eye(2)))   # True
print(np.linalg.det(R(40)))               # 1.0

보존되는지도 숫자로 봅니다.

u, v = np.array([3., 1]), np.array([1., 2])
Q = R(50)

print(np.linalg.norm(u), np.linalg.norm(Q @ u))   # 3.1623 3.1623
print(u @ v, (Q @ u) @ (Q @ v))                   # 5.0 5.0

3차원의 순서 문제도 두 줄이면 확인됩니다.

Rx = np.array([[1,0,0],[0,0,-1],[0,1,0]], float)   # x축 90도
Ry = np.array([[0,0,1],[0,1,0],[-1,0,0]], float)   # y축 90도

print(np.allclose(Rx @ Ry, Ry @ Rx))   # False

다시 RoPE로

상대 위치만 남는 계산

이제 첫머리의 질문에 답합니다. 회전 위치 인코딩은 위치 $m$ 의 토큰의 질의 벡터를 $R(m\theta)$ 로 돌리고, 위치 $n$ 의 키 벡터를 $R(n\theta)$ 로 돌립니다. 어텐션이 하는 일은 그 둘의 내적입니다.

$\big(R(m\theta)\mathbf{q}\big)\cdot\big(R(n\theta)\mathbf{k}\big) = \mathbf{q}^\top R(m\theta)^\top R(n\theta)\,\mathbf{k}$

방금 얻은 두 결과를 차례로 씁니다. $R(m\theta)^\top = R(-m\theta)$ 이고, 회전의 곱은 각의 합이므로

$= \mathbf{q}^\top R\big((n-m)\theta\big)\,\mathbf{k}$

오른쪽에 남은 것은 $n - m$ 뿐입니다. 두 토큰이 문장의 몇 번째에 있었는지는 사라지고 몇 칸 떨어져 있었는지만 남습니다. 위치를 절대값으로 넣었는데 점수에는 상대 위치만 나타나는 것이 이 방식의 핵심이고, 그것을 만드는 재료는 이 글의 두 줄 — $R^\top R = I$ 와 $R(\alpha)R(\beta) = R(\alpha+\beta)$ — 이 전부입니다.

128차원에서 짝짓는 평면들

실제 모델의 벡터는 2차원이 아니라 128차원쯤 됩니다. 그때는 성분을 두 개씩 짝지어 64개의 평면으로 나누고 각 평면을 서로 다른 각도로 돌립니다. 짝마다 $\theta_i$ 를 다르게 주면 어떤 짝은 가까운 거리에, 어떤 짝은 먼 거리에 민감해집니다.

평면으로 쪼개는 것이 그저 편의가 아니라는 점은 앞 절의 3차원 이야기가 말해 줍니다 — 평면 안에 머무는 한 순서 문제도, 축을 고르는 문제도 생기지 않습니다. 64장이 서로 독립이라 각 장에서 $R(\alpha)R(\beta) = R(\alpha+\beta)$ 를 쓰면 그만이고, 그래서 위의 유도가 128차원에서도 글자 그대로 성립합니다. 지난 글의 표현을 빌리면 축을 2차원씩 묶어 다시 잡는 조작이고, 그 설계가 왜 그렇게 되는지는 「중급 43번 · 회전 위치 인코딩」이 이어받습니다.

제목의 "전부"에 대해

마지막으로 한 줄 덧붙입니다. 회전·전단·스케일이 $2\times2$ 행렬의 전부라는 뜻은 아닙니다. 정확한 문장은 모든 행렬이 회전 → 축 방향 스케일 → 회전의 합성으로 쪼개진다는 것이고, 그 분해를 세우는 것이 「중급 15번 · 특잇값 분해」입니다. 이 글은 그 세 조각을 각각 손에 쥐게 하는 자리입니다.

연습 문제

답은 문항을 눌러 펼칩니다. $\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \tfrac{\sqrt2}{2} \approx 0.707$ 을 씁니다.

연습 1 — 점 돌리기

1. $(1,0)$ 을 $90^\circ$ 돌린 점의 좌표.

   $R(90^\circ)$ 의 1열이 그대로 답입니다 — $(0,1)$. $\mathbf{e}_1$ 을 넣으면 언제나 1열이 나옵니다.
2. $(0,2)$ 를 $45^\circ$ 돌린 점의 좌표와 그 길이.

   2열의 2배입니다. $2\cdot(-\sin45^\circ, \cos45^\circ) = (-\sqrt2, \sqrt2) \approx (-1.414,\ 1.414)$ 이고 길이는 $\sqrt{2+2}=2$ 로 원래와 같습니다.
3. $(3,4)$ 를 $180^\circ$ 돌린 점의 좌표.

   $\cos180^\circ = -1$, $\sin180^\circ = 0$ 이라 $R(180^\circ) = -I$ 이고, 상은 $(-3,-4)$ 입니다. 180도 회전은 원점 대칭과 같은 것입니다.

연습 2 — 덧셈정리 복원

1. $R(\alpha)R(\beta)$ 의 2열을 열 시선으로 직접 계산하고 $R(\alpha+\beta)$ 의 2열과 비교해, 어떤 두 등식이 나오는지 적으세요.

   오른쪽 행렬의 2열이 $(-\sin\beta, \cos\beta)$ 이므로 $-\sin\beta\begin{pmatrix}\cos\alpha\\\sin\alpha\end{pmatrix} + \cos\beta\begin{pmatrix}-\sin\alpha\\\cos\alpha\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-(\cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta)\\ \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\end{pmatrix}$ 이고 $R(\alpha+\beta)$ 의 2열은 $(-\sin(\alpha+\beta),\ \cos(\alpha+\beta))$ 입니다. 성분을 맞대면 1열에서 얻은 것과 같은 두 등식이 나옵니다. 2열이 새 정보를 주지 않는 것은 회전행렬의 두 열이 서로 90도 관계로 묶여 있기 때문입니다.

연습 3 — 회전인가 반사인가

1. $Q = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ 이 $Q^\top Q = I$ 를 만족하는지 확인하고, 행렬식으로 갈래를 정하세요.

   $Q^\top = Q$ 이고 $QQ = I$ 이므로 직교행렬입니다. $\det Q = 0\cdot0 - 1\cdot1 = -1$ 이라 반사입니다. $(1,0)\mapsto(0,1)$, $(0,1)\mapsto(1,0)$ 이니 직선 $y=x$ 에 대한 반사입니다.
2. $Q = \tfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$ 에 대해 같은 두 가지를 하고, 회전이면 각도까지 적으세요.

   열이 $\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1)$ 과 $\tfrac{1}{\sqrt2}(-1,1)$ 로 각각 길이 1이고 내적이 0이라 직교행렬입니다. $\det Q = \tfrac12(1\cdot1 - (-1)\cdot1) = 1$ 이므로 회전이고, 성분을 $R(\theta)$ 와 맞대면 $\cos\theta = \sin\theta = \tfrac{1}{\sqrt2}$ 이라 $\theta = 45^\circ$ 입니다.

연습 4 — 전단은 왜 직교가 아닌가

1. $H = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ 에 대해 $H^\top H$ 를 계산하세요.

   $H^\top H = \begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}$ 로 $I$ 가 아닙니다. 비대각의 2는 두 열이 수직이 아니라는 뜻이고, 대각의 5는 2열의 길이 제곱입니다.
2. 같은 $H$ 로 $\mathbf{e}_2 = (0,1)$ 을 보내 길이를 재고, $\det H$ 와 비교해 보세요.

   $H\mathbf{e}_2 = (2,1)$ 이라 길이가 $\sqrt5 \approx 2.236$ 으로 1에서 늘었습니다. 한편 $\det H = 1$ 이라 넓이는 그대로입니다 — 넓이를 지켜도 길이는 안 지켜질 수 있다는 것이 전단이 직교가 아닌 이유를 그대로 보여 줍니다.

정리

• $R(\theta)$ 의 열은 기저의 상입니다. $\mathbf{e}_1 \mapsto (\cos\theta, \sin\theta)$, $\mathbf{e}_2 \mapsto (-\sin\theta, \cos\theta)$ 이고 그것을 적으면 회전행렬이 됩니다.
• 각의 단위는 라디안입니다. 미분이 이 단위에서만 깔끔해서이고, 코드에서 np.radians가 필요한 이유가 그것입니다.
• 회전만 길이·각·넓이를 모두 보존합니다. 스케일은 길이를, 전단은 각을 바꿉니다. 표의 넓이 열은 $\det$ 가 정합니다.
• $R(\alpha)R(\beta) = R(\alpha+\beta)$ 의 성분을 비교하면 덧셈정리가 나옵니다. 외울 공식이 아니라 두 번 돌리기를 적은 것입니다.
• 3차원으로 가면 직교성은 살아남고 순서는 깨집니다. 축이 여럿이라 $R_xR_y \ne R_yR_x$ 입니다.
• $R^\top = R(-\theta)$ 이고 $R^\top R = I$ 이므로 회전은 직교행렬이고, 노름과 내적을 그대로 남깁니다.
• 직교행렬은 행렬식이 $+1$ 이면 회전, $-1$ 이면 반사입니다.
• 회전 위치 인코딩이 상대 위치만 남기는 것은 위 두 성질을 이어 붙인 한 줄의 결과입니다.

다음 글은 이 그림에 이상한 자리 하나를 짚습니다 — 스케일 행렬에는 "늘어나기만 하는 방향"이 있는데 회전에는 없습니다. 그 방향에 이름을 붙이는 것이 고윳값과 고유벡터입니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊