미적분의 기본정리와 적분 기법: 미분을 거꾸로 돌리면 넓이가 나온다

지난 글에서 $\int_0^1 x^2\,dx=\dfrac13$ 하나를 구하는 데 시그마 공식과 극한이 필요했습니다. $\sqrt{x}$ 는 그 공식조차 없어 표를 채우다 말았습니다.

이 글은 그 계산을 한 줄에 끝내는 도구를 만듭니다. 도구는 이미 손에 있습니다 — 미분입니다.

누적 넓이 함수

오른쪽 끝만 움직이기

넓이를 구간마다 따로 보지 말고, 왼쪽 끝을 고정하고 오른쪽 끝만 움직여 봅니다.

$A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$

$a$ 부터 $x$ 까지의 넓이입니다. $x$ 를 오른쪽으로 밀면 넓이가 늘어나므로 $A$ 는 $x$ 의 함수 입니다. 이것을 누적 넓이 함수 라고 합니다.

안쪽 글자가 $x$ 가 아니라 $t$ 인 것은 자리가 겹치지 않게 하려는 것뿐입니다. 위끝의 $x$ 는 어디까지 더할지를 정하는 값이고, 안쪽 글자는 더해 나가는 동안 움직이는 값이라 둘을 갈라 적습니다. 지난 글에서 본 더미 변수가 여기 그대로 쓰였습니다.

왼쪽 끝을 바꾸면

$a$ 를 다른 값 $c$ 로 바꾸면 다른 함수가 됩니다. 얼마나 다를까요. 구간을 쪼개는 규칙을 쓰면 바로 나옵니다.

$\int_c^x f = \int_c^a f + \int_a^x f$

오른쪽 첫 항은 $x$ 와 상관없는 수 하나입니다. $c$ 와 $a$ 가 둘 다 고정된 값이니까요. 그러니 왼쪽 끝을 옮겨 만든 함수는 원래 함수에 상수 하나를 더한 것입니다.

$A_c(x) = A_a(x) + (\text{상수})$

그래프로 보면 모양은 그대로고 통째로 위나 아래로 평행이동한 것입니다. 이 사실은 조금 뒤 적분상수 이야기에서 다시 나옵니다 — 왼쪽 끝을 어디로 잡든 답이 달라지지 않는 이유가 여기 있습니다.

f의 부호와 A의 증감

$A$ 가 어떻게 생겼는지는 $f$ 만 보고도 그릴 수 있습니다.

$f(x)=x-1$ 을 놓고 $a=0$ 으로 잡아 봅니다.

• $x$ 가 0에서 1까지 갈 동안 $f$ 는 음수입니다. 축 아래의 넓이는 음수로 세므로 $A$ 는 줄어듭니다.
• $x$ 가 1을 넘으면 $f$ 가 양수가 되어 $A$ 는 늘어납니다.
• $f$ 가 0인 $x=1$ 에서 $A$ 는 줄다가 늘기 시작하므로 가장 낮은 자리를 지납니다.

$f$ 의 높이가 $A$ 의 기울기 노릇을 하고 있습니다. 높이가 음수면 내려가고, 0이면 잠깐 평평하고, 양수면 올라갑니다. 이 관찰이 다음 절에서 증명할 내용의 전부이고, 여기서는 그림으로 먼저 봐 둔 것입니다.

기본정리의 유도

얇은 띠 하나

$A$ 도 함수이므로 미분할 수 있습니다. 정의식을 씁니다.

$\frac{A(x+h)-A(x)}{h}$

분자는 $x$ 까지의 넓이와 $x+h$ 까지의 넓이의 차이이므로, 그 사이의 얇은 띠 하나의 넓이입니다.

$h$ 가 작으면 그 띠는 거의 직사각형입니다. 폭이 $h$ 이고 높이가 $f(x)$ 이므로

$A(x+h)-A(x) \approx f(x)\cdot h$

양변을 $h$ 로 나눕니다.

$\frac{A(x+h)-A(x)}{h} \approx f(x)$

최소와 최대로 조이기

"거의"와 "$\approx$"로 끝내면 찜찜합니다. 근사를 부등식으로 바꾸면 그 자리가 메워집니다.

구간 $[x,\;x+h]$ 안에서 $f$ 의 가장 작은 값을 $m$, 가장 큰 값을 $M$ 이라고 합시다. 띠는 높이 $m$ 인 직사각형보다는 넓고 높이 $M$ 인 직사각형보다는 좁습니다.

$m\,h \;\le\; A(x+h)-A(x) \;\le\; M\,h$

양변을 $h$ 로 나눕니다.

$m \;\le\; \frac{A(x+h)-A(x)}{h} \;\le\; M$

$h$ 를 0으로 보내면 구간이 점 $x$ 로 오그라듭니다. $f$ 가 끊긴 데 없이 이어져 있다면 그 구간의 최솟값과 최댓값이 둘 다 $f(x)$ 로 갑니다. 가운데 것은 양쪽에 끼여 갈 곳이 하나뿐입니다.

$A'(x) = f(x)$

넓이를 쌓아 온 함수를 미분하면 원래 함수가 나옵니다. 이것이 미적분의 기본정리 입니다. 유도 중에 딱 한 번 쓴 조건이 $f$ 가 이어져 있다는 것이었고, 끊긴 자리가 있으면 그 점에서는 이 결론이 보장되지 않습니다.

이 결론이 놀라운 이유는 두 계산이 서로 아무 상관 없어 보였기 때문입니다. 넓이를 재는 일은 잘게 쪼개 더하는 일이었고, 미분은 두 점을 가까이 붙여 기울기를 재는 일이라 빼고 나누는 일이었습니다. 지난 글에서 $\dfrac13$ 하나를 얻는 데 시그마 공식과 극한이 필요했던 것도 그 둘이 별개의 작업이었기 때문입니다. 그런데 방금 본 것은 한쪽을 하면 다른 쪽이 되돌려진다는 것이고, 그래서 어려운 쪽(더하기)을 쉬운 쪽(거꾸로 미분하기)으로 갈아탈 수 있게 됩니다. 이 글 나머지 전부가 그 갈아타기입니다.

위끝이 함수일 때

위끝이 $x$ 가 아니라 $x^2$ 이면 어떻게 될까요.

$G(x) = \int_a^{x^2} f(t)\,dt$

$G$ 는 $A$ 에 $x^2$ 을 넣은 것, 곧 $G(x)=A(x^2)$ 입니다. 겉함수 $A$ 와 속함수 $x^2$ 이 겹친 모양이므로 연쇄법칙이 그대로 붙습니다.

$G'(x) = A'(x^2)\cdot 2x = f(x^2)\cdot 2x$

위끝에 들어간 것의 도함수가 하나 곱해집니다. 위끝이 그냥 $x$ 일 때는 그 도함수가 1이라 안 보였을 뿐입니다.

F(b)−F(a)로 넓이 내기

정리가 둘이다

$A'=f$ 라는 말은 거꾸로 읽으면 미분해서 $f$ 가 되는 함수를 찾으면 그것이 넓이를 재 준다 는 뜻입니다.

미분해서 $f$ 가 되는 함수를 $F$ 라고 부릅니다. 그러면

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$

여기서 기본정리가 사실은 둘이라는 것이 드러납니다. 말이 비슷해 헷갈리므로 갈라 둡니다.

	하는 말	쓰는 자리
첫째	넓이를 쌓은 함수를 미분하면 $f$	적분과 미분이 서로를 되돌린다는 것
둘째	$F$ 를 찾으면 $F(b)-F(a)$ 가 넓이	실제로 값을 구할 때

첫째가 있어서 둘째가 성립합니다. 그리고 손으로 계산할 때 쓰는 것은 거의 언제나 둘째입니다.

$F(b)-F(a)$ 는 자주 쓰는 모양이라 표기가 따로 있습니다.

$\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b = F(b)-F(a)$

지난 글의 답을 한 줄에 다시 얻기

$\int_0^1 x^2\,dx$ 를 이걸로 풉니다. 미분해서 $x^2$ 이 되는 함수 를 찾습니다. 32번 글의 $x^n\to nx^{n-1}$ 을 거꾸로 읽으면 지수를 하나 올리고 그 수로 나누면 됩니다.

$F(x)=\frac{x^3}{3} \quad\Longrightarrow\quad F'(x)=\frac{3x^2}{3}=x^2$

이제 끝점을 넣고 뺍니다.

$\int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13-0 = \frac13$

지난 글이 시그마 공식과 극한으로 얻은 답을 한 줄에 얻었습니다. 두 방법이 같은 답을 줍니다.

음수로 나오는 정적분도 그대로 확인됩니다. 지난 글에서 $\int_0^2 (x-1)\,dx = 0$ 이었습니다.

$\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_0^2 = (2-2)-0 = 0$

그림으로 얻은 답과 같습니다. 축 아래 절반이 음수로 세어지는 규약이 이 뺄셈 안에 이미 들어 있습니다.

아무 F나 골라도 같다

$F$ 를 $\dfrac{x^3}{3}$ 말고 $\dfrac{x^3}{3}+5$ 로 잡으면 어떻게 될까요.

$\left[\frac{x^3}{3}+5\right]_0^1 = \left(\frac13+5\right)-\left(0+5\right) = \frac13$

같습니다. 더해 준 5가 위끝에서도 아래끝에서도 똑같이 나타나 뺄셈에서 지워지기 때문입니다. 미분해서 $f$ 가 되기만 하면 어느 것을 골라도 답이 같습니다. 앞에서 본 "왼쪽 끝을 옮기면 상수만큼 평행이동한다"가 바로 이 자리에서 값을 안 바꾸는 이유입니다.

부정적분과 적분상수

상수만큼 어긋난 무리

미분해서 $x^2$ 이 되는 함수가 $\dfrac{x^3}{3}$ 하나뿐일까요. $\dfrac{x^3}{3}+5$ 도 미분하면 $x^2$ 입니다. 상수는 미분하면 0이 되어 사라지기 때문입니다.

그래서 미분해서 $f$ 가 되는 함수는 하나가 아니라 상수만큼 어긋난 무리 전체 입니다. 이 무리를 부정적분 이라고 하고 끝을 적지 않은 $\int$ 로 씁니다.

$\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}+C$

$C$ 를 적분상수 라고 합니다. "얼마인지 모르는 상수 하나"라는 뜻입니다. 정적분에서는 이 $C$ 가 걱정되지 않습니다. $F(b)-F(a)$ 에서 $(F(b)+C)-(F(a)+C)$ 가 되어 서로 지워지기 때문에, 정적분을 계산할 때는 $C$ 를 아예 적지 않습니다.

조건 하나가 C를 정한다

$C$ 가 영영 모르는 값인 것은 아닙니다. 지나는 점 하나를 알려 주면 정해집니다.

미분하면 $x^2$ 이 되고 $F(0)=2$ 인 함수를 찾아봅니다. 무리 전체가 $F(x)=\dfrac{x^3}{3}+C$ 이므로 $x=0$ 을 넣으면

$F(0) = 0 + C = 2 \quad\Longrightarrow\quad C = 2$

$F(x)=\dfrac{x^3}{3}+2$ 하나로 확정되었습니다. 무리에서 한 줄기를 골라내는 데 조건 하나면 충분합니다. 기울기만 알고 있던 그래프를 한 점에 못 박은 셈입니다.

함수 무리와 수 하나

기호가 닮아서 헷갈리지만 부정적분과 정적분은 종류가 다릅니다.

	모양	결과
부정적분	$\int f(x)\,dx$	함수들의 무리 ($C$ 가 붙는다)
정적분	$\int_a^b f(x)\,dx$	수 하나

끝이 붙었느냐 안 붙었느냐가 전부입니다. 답에 $x$ 가 남으면 부정적분이고, 수 하나가 나오면 정적분입니다. 그래서 정적분의 답에 $+C$ 를 적어 두거나 부정적분의 답에서 $C$ 를 빠뜨리는 것이 둘 다 틀린 답입니다 — 앞의 것은 수 하나여야 할 자리에 모르는 값이 섞인 것이고, 뒤의 것은 무리 전체를 적어야 할 자리에 한 줄기만 적은 것입니다.

부정적분에도 상수배와 합 규칙이 그대로 통합니다.

$\int c\,f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx \qquad \int \bigl(f+g\bigr)dx = \int f\,dx + \int g\,dx$

그래서 표에 있는 것 몇 개를 더하고 상수배 한 식은 표만으로 끝납니다. $\int (3x^2+2x)\,dx$ 는 $x^3+x^2+C$ 입니다. 표가 다섯 줄뿐이어도 다룰 수 있는 식은 훨씬 넓습니다.

기본 적분 표

도함수 표를 거꾸로

32번 글의 도함수 표를 오른쪽에서 왼쪽으로 읽으면 그대로 적분 표가 됩니다.

$f(x)$	$\displaystyle\int f(x)\,dx$
$x^n$ ($n\ne-1$)	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\dfrac1x$	$\ln\lvert x\rvert+C$
$e^x$	$e^x+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$

읽을 때 걸리는 자리가 셋 있습니다.

• $n=-1$ 만 빠져 있습니다. 지수를 하나 올리면 0이 되어 0으로 나누게 되기 때문입니다. 그 자리를 $\ln$ 이 대신 맡습니다.
• $\ln$ 에 절댓값이 붙습니다. $\ln$ 은 음수를 못 받는데 $\dfrac1x$ 은 $x$ 가 음수여도 값이 있기 때문입니다.
• $\sin$ 쪽에 마이너스가 나옵니다. $\cos$ 을 미분하면 $-\sin$ 이었으니 거꾸로 오면서 부호가 따라옵니다.

$\int_0^{\pi} \sin x\,dx$ 로 써 봅니다.

$\Bigl[-\cos x\Bigr]_0^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = -(-1)+1 = 2$

표의 둘을 곱한 것은 표에 없다

표에 $x$ 가 있고 $e^x$ 도 있습니다. 그러면 $x\,e^x$ 도 표에 있을까요. 없습니다.

미분 쪽에는 곱의 규칙이 있어서 $(fg)'=f'g+fg'$ 로 언제나 풀립니다. 적분에는 그런 규칙이 없습니다. $\int fg$ 를 $\int f$ 와 $\int g$ 로 만들어 주는 공식이 아예 존재하지 않습니다. $\int x\,e^x\,dx$ 가 $\dfrac{x^2}{2}\cdot e^x$ 일 것 같지만 미분해 보면 전혀 다른 것이 나옵니다.

곱을 다루려면 따로 도구가 필요하고, 그것이 이 글 뒤쪽의 부분적분입니다.

표를 그대로 쓰면 안 되는 자리

두 가지 경계를 못 박아 둡니다.

하나 — 초등함수로 아예 안 되는 적분이 있습니다. 미분은 규칙을 따라가면 언제나 끝나지만 적분은 그렇지 않습니다. $e^{-x^2}$ 이 대표적입니다. 이 함수의 부정적분은 우리가 아는 함수들(다항식·지수·로그·삼각함수)을 유한 번 조합해서는 적을 수 없습니다. 값이 없는 것이 아니라 적을 이름이 없는 것이라, 이럴 때는 지난 글의 리만합처럼 수치로 잽니다.

둘 — 구간 안에 정의되지 않는 자리가 있으면 표를 그대로 쓰면 안 됩니다.

$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}$

표를 그대로 써서 $\bigl[\ln\lvert x\rvert\bigr]_{-1}^{1} = 0-0 = 0$ 이라고 적으면 틀립니다. $\dfrac1x$ 은 $x=0$ 에서 값이 없고, 구간 한가운데에 그 구멍이 있습니다. $F(b)-F(a)$ 가 성립하려면 $F$ 가 구간 전체에서 이어져 있어야 하는데 그 조건이 깨졌습니다. 끝점만 보지 말고 구간 안쪽도 봐야 합니다.

이 둘을 알아 두는 값어치는 헛수고를 피하는 데 있습니다. 앞의 것은 아무리 오래 붙잡아도 답이 안 나오는 적분이 있다는 말이고, 뒤의 것은 답이 나왔는데 그 답이 틀린 경우가 있다는 말입니다. 적분을 시작하기 전에 피적분함수가 구간 전체에서 값을 갖는지 한 번 보는 습관이 뒤의 것을 막아 줍니다.

치환적분

연쇄법칙을 거꾸로

표에 없는 모양은 규칙을 거꾸로 돌려 만듭니다. 먼저 연쇄법칙입니다.

$\int 2x\,e^{x^2}\,dx$

표에 없습니다. 그런데 이 식을 미분 쪽에서 보면 낯익습니다 — $e^{x^2}$ 을 미분하면 겉이 $e^{x^2}$, 속 $x^2$ 의 도함수가 $2x$ 라서 정확히 이 모양이 나옵니다.

속을 $u$ 로 두고 통째로 바꿔 쓰는 방법을 치환적분이라고 합니다.

1. $u=x^2$ 으로 둡니다. 그러면 $\dfrac{du}{dx}=2x$ 이므로 $du = 2x\,dx$ 입니다.
2. 식에서 $2x\,dx$ 자리에 $du$ 를, $x^2$ 자리에 $u$ 를 넣습니다.

$\int 2x\,e^{x^2}\,dx = \int e^u\,du = e^u + C$

3. $u$ 를 도로 $x^2$ 으로 돌립니다.

$= e^{x^2}+C$

맞는지 미분해 봅니다. $e^{x^2}$ 을 미분하면 $e^{x^2}\cdot2x$ 입니다. 적분은 미분해서 확인할 수 있습니다 — 이 점검을 매번 하는 것이 좋습니다.

무엇을 $u$ 로 잡을지의 기준은 하나입니다 — 식 안에 그것의 도함수가 곱해져 있는 것. 위에서는 $2x$ 가 $x^2$ 의 도함수라서 $x^2$ 이 $u$ 였습니다.

자주 나오는 두 꼴

치환이 상수 하나로 끝나는 가장 짧은 경우가 속이 일차식일 때입니다.

$\int e^{3x}\,dx$

$u=3x$ 로 두면 $du=3\,dx$ 이므로 $dx=\dfrac{du}{3}$ 입니다.

$\int e^{3x}\,dx = \frac13\int e^u\,du = \frac13 e^{3x}+C$

속이 $ax+b$ 꼴이면 언제나 이렇게 $\dfrac1a$ 하나가 앞에 붙는 것으로 끝납니다. $\int\cos(5x)\,dx = \dfrac15\sin(5x)+C$ 인 식입니다.

또 하나 자주 나오는 것은 분자가 분모의 도함수인 꼴입니다.

$\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx$

$u=x^2+1$ 로 두면 $du=2x\,dx$ 라 분자가 통째로 $du$ 가 됩니다.

$\int\frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C = \ln(x^2+1)+C$

분모가 늘 양수라 절댓값을 벗겼습니다. 분자가 분모의 도함수이면 답은 늘 $\ln$ 입니다 — 이 모양은 눈에 익혀 두면 치환을 세우지 않고도 바로 적을 수 있습니다.

정적분은 끝도 바꾼다

정적분에 치환을 쓸 때 빠뜨리기 쉬운 것이 있습니다. 글자를 바꿨으면 아래끝과 위끝도 그 글자의 값으로 바꿔야 합니다.

$\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx$

$u=x^2$ 이므로 $x=0$ 일 때 $u=0$ 이고 $x=1$ 일 때 $u=1$ 입니다. 여기서는 마침 둘 다 그대로입니다.

$\int_0^1 e^u\,du = \bigl[e^u\bigr]_0^1 = e-1$

끝이 바뀌는 예를 하나 더 봅니다. $\displaystyle\int_0^2 2x\,e^{x^2}\,dx$ 라면 $x=2$ 에서 $u=4$ 이므로 위끝이 4가 됩니다.

$\int_0^4 e^u\,du = e^4-1$

끝을 안 바꾸고 $\bigl[e^u\bigr]_0^2$ 이라고 적으면 틀립니다. 끝을 바꾸기 싫으면 방법이 하나 있습니다 — 부정적분을 먼저 끝내 $e^{x^2}$ 까지 돌려놓고, 그다음에 원래 끝 0과 2를 넣는 것입니다. 어느 쪽이든 되지만 섞으면 안 됩니다.

부분적분

곱의 규칙을 거꾸로

이번에는 곱의 규칙을 거꾸로 돌립니다.

$(fg)' = f'g + fg'$

양변을 적분합니다. 왼쪽은 미분한 것을 도로 적분하는 것이라 $fg$ 로 돌아옵니다.

$fg = \int f'g\,dx + \int fg'\,dx$

$\int fg'\,dx$ 에 대해 풀면

$\int f\,g'\,dx = fg - \int f'g\,dx$

이것을 부분적분이라고 합니다. 흔히 $f$ 를 $u$, $g'\,dx$ 를 $dv$ 로 적어 이렇게 씁니다.

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

하는 일은 적분을 없애는 것이 아니라 더 쉬운 적분으로 바꿔 넘기는 것입니다. 오른쪽에 여전히 적분이 남아 있고, 그것이 원래보다 쉬워야 이득입니다.

무엇을 u로 잡을까

$u$ 는 미분하면 간단해지는 쪽 으로 잡습니다. $u$ 쪽은 나중에 $du$ 로 미분되어 오른쪽 적분에 들어가기 때문입니다.

• $\ln x$ 는 미분하면 $\dfrac1x$ 로 로그가 사라집니다. 있으면 무조건 이것이 $u$ 입니다.
• 다항식은 미분하면 차수가 하나 줄어듭니다. $\ln$ 이 없으면 이것이 $u$ 입니다.
• $e^x$ 과 $\sin x$ 는 미분해도 그대로라 줄어들지 않습니다. 이쪽이 $dv$ 입니다.

셋을 손으로 푼다

$\int x\,e^x\,dx$. $\ln$ 이 없으니 다항식 $x$ 가 $u$ 이고 $e^x\,dx$ 가 $dv$ 입니다. 그러면 $du=dx$ 이고 $v=e^x$ 입니다.

$\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int e^x\,dx = x\,e^x - e^x + C = (x-1)e^x+C$

미분해 확인합니다 — $e^x + (x-1)e^x = x\,e^x$ 로 맞습니다.

$\int x\sin x\,dx$. $u=x$, $dv=\sin x\,dx$ 이므로 $du=dx$, $v=-\cos x$ 입니다.

$\int x\sin x\,dx = -x\cos x - \int(-\cos x)\,dx = -x\cos x + \sin x + C$

미분해 확인합니다 — $-\cos x + x\sin x + \cos x = x\sin x$ 로 맞습니다.

$\int \ln x\,dx$. 곱이 아닌데도 부분적분이 통하는 자리입니다. $\ln x$ 가 있으니 $u=\ln x$ 이고, 남는 $dx$ 가 통째로 $dv$ 입니다. 그러면 $du=\dfrac1x\,dx$ 이고 $v=x$ 입니다.

$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac1x\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C$

미분해 확인합니다 — $\ln x + x\cdot\dfrac1x - 1 = \ln x$ 로 맞습니다.

$u$ 를 반대로 잡았다면 오른쪽에 남는 적분이 원래보다 어려워집니다. $\int x\,e^x\,dx$ 에서 $u=e^x$ 으로 잡으면 오른쪽에 $\int \dfrac{x^2}{2}e^x\,dx$ 가 남아 차수가 오히려 올라갑니다. 그렇게 되면 두 자리를 맞바꿔 다시 합니다.

한 번으로 안 끝나는 것들

한 번 적용해서 남은 적분이 아직 어려우면 한 번 더 적용합니다.

$\int x^2 e^x\,dx$

$u=x^2$, $dv=e^x dx$ 로 두면

$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - 2\int x\,e^x\,dx$

오른쪽에 남은 것이 바로 위에서 푼 $\int x e^x dx=(x-1)e^x$ 입니다.

$= x^2 e^x - 2(x-1)e^x + C = (x^2-2x+2)e^x + C$

다항식의 차수가 한 번에 하나씩 내려가므로 $x^n$ 이면 $n$ 번 하면 끝납니다.

두 번 해도 안 끝나고 원래 적분이 오른쪽에 다시 나오는 경우도 있습니다.

$I = \int e^x\sin x\,dx$

$u=e^x$, $dv=\sin x\,dx$ 로 두면 $I = -e^x\cos x + \int e^x\cos x\,dx$ 이고, 남은 것에 한 번 더 하면 $\int e^x\cos x\,dx = e^x\sin x - I$ 입니다. 합치면

$I = -e^x\cos x + e^x\sin x - I$

$I$ 가 양쪽에 있으니 방정식처럼 이항해서 풉니다.

$2I = e^x(\sin x - \cos x) \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C$

마지막으로 정적분에 쓸 때의 표기입니다. $uv$ 자리에도 끝점을 넣습니다.

$\int_a^b u\,dv = \Bigl[uv\Bigr]_a^b - \int_a^b v\,du$

$\int_0^1 x\,e^x\,dx = \Bigl[x\,e^x\Bigr]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e-1) = 1$

연습 문제

연습 1 — 정적분 여덟 문제

미분해서 그 함수가 되는 것을 찾고 끝점을 넣어 뺍니다.

1. $\int_0^2 x^3\,dx$

   $\left[\dfrac{x^4}{4}\right]_0^2 = \dfrac{16}{4}-0 = 4$ 입니다.
2. $\int_1^3 (2x+1)\,dx$

   $\bigl[x^2+x\bigr]_1^3 = (9+3)-(1+1) = 10$ 입니다.
3. $\int_0^1 e^x\,dx$

   $\bigl[e^x\bigr]_0^1 = e-1 \approx 1.71828$ 입니다.
4. $\int_1^e \dfrac1x\,dx$

   $\bigl[\ln x\bigr]_1^e = 1-0 = 1$ 입니다. $\ln e=1$ 이고 $\ln 1=0$ 입니다.
5. $\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$

   $\bigl[\sin x\bigr]_0^{\pi/2} = 1-0 = 1$ 입니다.
6. $\int_1^4 \sqrt{x}\,dx$

   $x^{1/2}$ 이므로 지수를 올려 $\dfrac{x^{3/2}}{3/2}=\dfrac23x^{3/2}$ 입니다. $\left[\dfrac23x^{3/2}\right]_1^4 = \dfrac{16}{3}-\dfrac23 = \dfrac{14}{3}$ 입니다.
7. $\int_{-1}^{1} x^3\,dx$

   $\left[\dfrac{x^4}{4}\right]_{-1}^{1} = \dfrac14-\dfrac14 = 0$ 입니다. 축 위와 아래의 넓이가 같고 부호가 반대라 지워집니다.
8. $\int_0^1 (3x^2-2x)\,dx$

   $\bigl[x^3-x^2\bigr]_0^1 = (1-1)-0 = 0$ 입니다.

연습 2 — 치환적분 세 문제

식 안에 도함수가 곱해져 있는 덩어리를 찾습니다.

1. $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$

   $u=x^2+1$ 이면 $du=2x\,dx$ 이므로 $\int u^3\,du = \dfrac{u^4}{4}+C = \dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$ 입니다.
2. $\int \cos(3x)\,dx$

   $u=3x$ 이면 $du=3\,dx$ 이므로 $dx=\dfrac{du}{3}$ 입니다. $\dfrac13\int\cos u\,du = \dfrac13\sin(3x)+C$ 입니다.
3. $\int_0^1 \dfrac{x}{x^2+1}\,dx$

   $u=x^2+1$ 이면 $du=2x\,dx$ 이므로 $x\,dx=\dfrac{du}{2}$ 입니다. 끝도 바꾸면 $x=0$ 에서 $u=1$, $x=1$ 에서 $u=2$ 이므로 $\dfrac12\int_1^2\dfrac{du}{u} = \dfrac12\bigl[\ln u\bigr]_1^2 = \dfrac{\ln 2}{2}$ 입니다.

연습 3 — 부분적분 세 문제

미분해서 간단해지는 쪽을 $u$ 로 잡습니다.

1. $\int x\cos x\,dx$

   $u=x$, $dv=\cos x\,dx$ 이므로 $v=\sin x$ 입니다. $x\sin x-\int\sin x\,dx = x\sin x+\cos x+C$ 입니다.
2. $\int x\,e^{2x}\,dx$

   $u=x$, $dv=e^{2x}dx$ 이므로 $v=\dfrac12e^{2x}$ 입니다. $\dfrac{x}{2}e^{2x}-\dfrac12\int e^{2x}dx = \dfrac{x}{2}e^{2x}-\dfrac14e^{2x}+C$ 입니다.
3. $\int x^2\ln x\,dx$

   $\ln$ 이 있으므로 $u=\ln x$, $dv=x^2dx$ 이고 $v=\dfrac{x^3}{3}$ 입니다. $\dfrac{x^3}{3}\ln x-\int\dfrac{x^3}{3}\cdot\dfrac1x\,dx = \dfrac{x^3}{3}\ln x-\dfrac{x^3}{9}+C$ 입니다.

정리

• 누적 넓이 함수 $A(x)=\int_a^x f$ 를 미분하면 $A'(x)=f(x)$ 입니다. 이것이 미적분의 기본정리 입니다. 유도에 쓴 조건은 $f$ 가 이어져 있다는 것 하나였습니다.
• $f$ 의 높이가 $A$ 의 기울기 노릇을 합니다 — $f$ 가 음수면 $A$ 가 내려가고, 0인 자리에서 $A$ 가 꼭짓점을 지납니다.
• 그래서 미분해서 $f$ 가 되는 $F$ 를 찾으면 $\int_a^b f = F(b)-F(a)$ 로 넓이가 나옵니다. 리만합이 필요 없습니다.
• 그런 $F$ 는 상수만큼 어긋난 무리 전체이고 이것을 부정적분 이라고 씁니다. 정적분에서는 $C$ 가 뺄셈에서 지워지고, 지나는 점 하나가 주어지면 $C$ 가 정해집니다.
• 기본 적분 표는 도함수 표를 거꾸로 읽은 것입니다. $n=-1$ 만 빠지고 그 자리를 $\ln\lvert x\rvert$ 가 맡습니다. 표의 둘을 곱한 것은 표에 없고, $e^{-x^2}$ 처럼 아예 적을 이름이 없는 적분도 있습니다.
• 치환적분 은 연쇄법칙을 거꾸로 돌린 것이고, 도함수가 곱해져 있는 덩어리를 $u$ 로 잡습니다. 정적분이면 끝도 함께 바꿉니다.
• 부분적분 은 곱의 규칙을 거꾸로 돌린 것이고, 미분해서 간단해지는 쪽을 $u$ 로 잡습니다. 한 번으로 안 끝나면 한 번 더 하거나, 원래 적분이 다시 나오면 이항해서 풉니다. 결과는 늘 미분해서 확인할 수 있습니다.

미분과 적분이 여기서 한 쌍으로 묶였습니다. 다음 글은 미분을 다시 꺼내 씁니다 — 접선 하나로 곡선을 흉내 내다가, 항을 더 붙이면 얼마나 잘 흉내 낼 수 있는지를 봅니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊