미분방정식 첫걸음: 변화율을 알 때 함수를 되찾기

16번 글에서 $2x+3=11$ 을 풀었습니다. 답은 $x=4$, 수 하나였습니다.

이번에는 물음이 이렇게 생겼습니다. "미분하면 자기 자신이 되는 함수는 무엇인가." 찾는 것이 수가 아니라 함수입니다. 답도 수 하나가 아닙니다.

미지의 함수와 그 도함수가 함께 들어 있는 등식을 미분방정식이라고 합니다. 그리고 그 등식을 참으로 만드는 함수를 그 방정식의 해라고 합니다. 이 글은 그중 손으로 풀 수 있는 것들을 풉니다.

오른쪽에 x만 있으면 그냥 적분이다

가장 쉬운 꼴부터 봅니다.

$\frac{dy}{dx} = 2x$

"미분해서 $2x$ 가 되는 함수는 무엇인가"라는 말입니다. 34번 글에서 이런 함수를 찾는 것을 부정적분이라고 불렀습니다. 양변을 적분하면

$y = x^2 + C$

여기서 $C$ 가 왜 붙는지가 이 글의 첫 수확입니다. 34번 글에서는 "미분하면 상수가 사라지니까"라고만 하고 넘어갔습니다. 미분방정식의 눈으로 보면 뜻이 달라집니다 — $C$ 가 어떤 수든 $x^2+C$ 는 전부 이 방정식의 해입니다. 해가 하나가 아니라 무리로 나오는 것입니다.

그림의 곡선들은 모양이 전부 같고 높이만 다릅니다. $C$ 만큼 위아래로 옮긴 것이니 당연합니다.

이 무리 전체를 일반해라고 하고, $C$ 를 하나로 정한 것을 특수해라고 합니다. 정하는 방법은 조건을 하나 주는 것입니다.

$y(0) = 4$

이렇게 "$x$ 가 얼마일 때 $y$ 가 얼마다"를 지정한 것을 초기조건이라고 합니다. $x=0$ 을 일반해에 넣으면 $0+C=4$ 이므로 $C=4$, 특수해는 $y=x^2+4$ 하나입니다. 그림에서 점 하나를 찍어 곡선 하나를 고른 셈입니다.

방향장 — 점마다 기울기를 꽂아 둔다

오른쪽에 $y$ 가 들어오면 그냥 적분할 수 없습니다.

$\frac{dy}{dx} = y$

$y$ 가 무엇인지 아직 모르는데 오른쪽에 그 $y$ 가 있으니 적분할 것이 없습니다. 그래도 이 식은 평면의 점마다 기울기를 알려 줍니다. 점 $(1,\,2)$ 를 지나는 해곡선이 있다면 그 점에서의 기울기는 $2$ 입니다. $(0,\,0.5)$ 를 지난다면 거기서의 기울기는 $0.5$ 고요.

평면의 여러 점에 그 점에서의 기울기만큼 기운 짧은 선분을 꽂아 놓은 그림을 방향장이라고 합니다.

선분들이 만드는 흐름을 눈으로 따라가면 해곡선이 보입니다. 위쪽에서는 가팔라지고, 가운데 가로줄에서는 평평하고, 아래쪽에서는 아래로 가팔라집니다.

가운데 가로줄 $y=0$ 은 그 자체로 해입니다. 늘 $y=0$ 인 함수는 도함수도 0이고 오른쪽 $y$ 도 0이라 등식이 성립합니다. 이렇게 변하지 않는 상수 함수인 해를 평형해라고 합니다.

방향장은 식을 못 풀어도 그릴 수 있습니다. 오른쪽에 무엇이 들어 있든 점을 넣으면 기울기가 나오니까요.

변수분리 — x끼리 y끼리 갈라놓는다

이제 실제로 풉니다. 오른쪽이 $x$ 만 든 것과 $y$ 만 든 것의 곱으로 갈라지는 경우가 있습니다.

$\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y)$

이런 꼴을 변수분리형이라고 합니다. 푸는 절차는 셋입니다.

걸음	하는 일
1	$h(y)$ 를 왼쪽으로, $dx$ 를 오른쪽으로 옮겨 $x$ 끼리 $y$ 끼리 갈라놓는다
2	양변을 각각 적분한다
3	$y$ 에 대해 푼다. 상수 $C$ 는 한쪽에만 남긴다

$\dfrac{dy}{dx}=y$ 로 해 봅니다. $g(x)=1$, $h(y)=y$ 입니다.

$\frac{dy}{y} = dx$

양변을 적분합니다. 왼쪽은 32번 글에서 $\ln x$ 를 미분하면 $\dfrac1x$ 이었으니 $\ln\lvert y\rvert$ 이고, 오른쪽은 $x$ 입니다.

$\ln\lvert y\rvert = x + C$

21번 글의 방식대로 양변을 $e$ 의 지수로 올립니다.

$\lvert y\rvert = e^{x+C} = e^{C}e^{x}$

$e^{C}$ 는 어차피 하나의 양수이므로 부호까지 삼켜서 새 상수 $A$ 로 적습니다.

$y = A\,e^{x}$

"미분하면 자기 자신이 되는 함수"의 답이 나왔습니다. $A$ 는 아무 수나 되고, $A=0$ 이 아까 본 평형해입니다.

손으로 푸는 세 모형

이 꼴이 실제로 자주 나오는 세 자리를 풉니다.

하나 — 지수 성장과 감쇠

$\frac{dy}{dt} = k\,y$

"늘어나는 속도가 지금 있는 양에 비례한다"는 말입니다. 방금 푼 것과 같은 방법이고 $k$ 만 따라붙습니다.

$y = y_0\,e^{kt}$

$y_0$ 은 $t=0$ 일 때의 값입니다. $k>0$ 이면 커지고 $k<0$ 이면 줄어듭니다.

절반이 되는 데 걸리는 시간을 반감기라고 합니다. $y=\dfrac{y_0}{2}$ 로 두고 풉니다.

$\frac{y_0}{2} = y_0 e^{kt} \quad\Longrightarrow\quad e^{kt} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad kt = \ln\frac12 = -\ln 2$

$t = \frac{\ln 2}{-k}$

$y_0$ 이 지워진 것이 요점입니다. 처음에 얼마가 있었든 반이 되는 데 걸리는 시간은 같습니다.

탄소-14는 $k=-0.000121$ 입니다(단위는 1년). $\ln 2 = 0.6931$ 이므로

$t = \frac{0.6931}{0.000121} \approx 5728\ \text{년}$

커지는 쪽에서 두 배가 되는 데 걸리는 시간은 배가시간이라고 합니다. 계산은 똑같아서 $t=\dfrac{\ln 2}{k}$ 입니다. 해마다 7%씩 커지면 $k=0.07$ 이므로

$t = \frac{0.6931}{0.07} \approx 9.9\ \text{년}$

둘 — 냉각 법칙

뜨거운 커피는 어떻게 식을까요. 처음에는 빨리, 방 온도에 가까워질수록 천천히 식습니다.

$\frac{dy}{dt} = -k\,(y - A)$

$A$ 는 방 온도입니다. 오른쪽이 $y$ 가 아니라 $y-A$ 인 것이 전부의 차이입니다. 그래서 $u = y - A$ 로 이름만 바꿔 두면 $\dfrac{du}{dt}=-k\,u$ 라 앞의 것과 똑같아집니다. $A$ 는 상수라 미분하면 사라지므로 $\dfrac{du}{dt}=\dfrac{dy}{dt}$ 입니다.

$u = u_0 e^{-kt} \quad\Longrightarrow\quad y = A + (y_0 - A)\,e^{-kt}$

$e^{-kt}$ 는 0으로 가므로 $y$ 는 $A$ 로 붙습니다. 그림에서 곡선이 점선에 닿을 듯 눕는 자리입니다.

90도짜리 커피를 20도인 방에 두고 $k=0.05$ 라 합시다. 10분 뒤의 온도는

$y = 20 + (90-20)\,e^{-0.5} = 20 + 70 \times 0.6065 = 20 + 42.5 = 62.5\ \text{도}$

셋 — 로지스틱

지수 성장은 끝없이 커집니다. 실제로는 자리가 모자라 어느 선에서 멎습니다.

$\frac{dy}{dt} = k\,y\left(1 - \frac{y}{M}\right)$

$M$ 은 그 선입니다. $y$ 가 작으면 괄호가 거의 1이라 지수 성장처럼 굴고, $y$ 가 $M$ 에 가까우면 괄호가 0에 가까워져 성장이 멎습니다. 그래서 해곡선이 S자입니다.

이것도 변수분리로 풀리지만 왼쪽 적분이 길어서 결과만 적습니다.

$y = \frac{M}{1 + Be^{-kt}}$

대신 평형해는 식만 보고 바로 찾을 수 있습니다. 오른쪽 전체가 0이 되는 상수를 찾으면 되니까요.

$k\,y\left(1-\frac{y}{M}\right) = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 0 \ \text{또는}\ y = M$

$y=0$ 은 아무것도 없으면 늘어날 것도 없다는 뜻이고, $y=M$ 은 꽉 차서 더 늘지 않는다는 뜻입니다. 그림의 두 점선입니다.

대개는 풀리지 않는다

지금까지 푼 것들은 운이 좋은 경우입니다. $\dfrac{dy}{dx}=x^2+y^2$ 처럼 조금만 모양을 바꿔도 우리가 아는 함수로는 해를 적을 수 없습니다. 그런 방정식이 오히려 보통입니다.

그래도 답이 있기는 있습니다. 모든 점에서 오른쪽 식이 매끄럽게 이어져 있으면 초기조건 하나마다 해곡선이 정확히 하나 있다는 사실이 알려져 있습니다. 왜 그런지는 이 글에서 다루지 않지만, 방향장 그림을 떠올리면 그럴듯합니다 — 점을 하나 찍으면 흐름을 따라갈 길이 하나로 정해지니까요.

적을 수는 없어도 그릴 수는 있다는 말입니다. 그러면 그 곡선을 숫자로 따라가면 됩니다.

오일러 방법 — 접선을 따라 걷는다

방향장이 알려 주는 것은 점마다의 기울기였습니다. 그러니 이렇게 걸으면 됩니다.

지금 점에서 기울기를 구하고, 그 기울기로 직선을 조금만 따라가서, 새 점에서 기울기를 다시 구한다. 이것을 되풀이하는 것이 오일러 방법입니다. 한 걸음의 폭을 $h$ 라 하면

$y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n,\,y_n)$

$f$ 는 미분방정식의 오른쪽입니다. 걸음마다 접선을 조금 타고 가는 것이라 31번 글의 접선 근사를 이어 붙인 셈입니다.

$y'=y$, $y(0)=1$ 을 $h=0.2$ 로 다섯 걸음 걸어 봅니다. 오른쪽이 $y$ 이므로 매번 기울기가 곧 지금 값입니다.

$n$	$x_n$	$y_n$	기울기	다음 값 계산
0	0.0	1.0000	1.0000	$1 + 0.2 \times 1 = 1.2$
1	0.2	1.2000	1.2000	$1.2 + 0.2 \times 1.2 = 1.44$
2	0.4	1.4400	1.4400	$1.44 + 0.2 \times 1.44 = 1.728$
3	0.6	1.7280	1.7280	$1.728 + 0.2 \times 1.728 = 2.0736$
4	0.8	2.0736	2.0736	$2.0736 + 0.2 \times 2.0736 = 2.48832$
5	1.0	2.4883

이 방정식은 참값을 알고 있습니다. $y=e^{x}$ 이므로 $x=1$ 에서 $2.71828$ 입니다.

$2.71828 - 2.48832 = 0.22996$

꽤 벌어졌습니다. 그림에서 꺾은선이 곡선 아래로 처지는 것이 보입니다 — 곡선은 걸음 중에도 계속 가팔라지는데 우리는 걸음 첫머리의 기울기로만 걸었기 때문입니다.

걸음을 절반으로 줄이면 어떻게 될까요. $h=0.1$ 이면 매번 $1.1$ 배가 되므로 열 걸음 뒤에는 $1.1^{10}=2.59374$ 입니다.

$2.71828 - 2.59374 = 0.12454$

$h$	걸음 수	$x=1$ 에서의 값	오차
0.2	5	2.48832	0.22996
0.1	10	2.59374	0.12454

걸음을 절반으로 줄였더니 오차도 대략 절반이 되었습니다. 이 관계에 이름과 기호를 붙이는 것은 47번 · 자릿수와 오차의 몫입니다.

절반짜리 오차를 얻으려고 걸음 수를 두 배로 늘려야 하는 것은 좋은 거래가 아닙니다. 걸음 안에서 기울기를 여러 번 재서 이 낭비를 줄이는 방법들이 있고, 룽게-쿠타 방법이 그중 가장 널리 쓰입니다 — 이름만 적어 둡니다.

연습 문제

연습 1 — 적분하고 초기조건 맞추기

오른쪽에 $x$ 만 있는 꼴입니다.

1. $\dfrac{dy}{dx}=3x^2$, $y(0)=5$

   적분하면 $y=x^3+C$ 입니다. $x=0$ 에서 $C=5$ 이므로 $y=x^3+5$ 입니다.
2. $\dfrac{dy}{dx}=\cos x$, $y(0)=2$

   미분해서 $\cos x$ 가 되는 것은 $\sin x$ 이므로 $y=\sin x+C$ 입니다. $\sin 0=0$ 이라 $C=2$, 답은 $y=\sin x+2$ 입니다.
3. $\dfrac{dy}{dt}=4t+1$, $y(1)=0$

   $y=2t^2+t+C$ 입니다. $t=1$ 을 넣으면 $2+1+C=0$ 이므로 $C=-3$, 답은 $y=2t^2+t-3$ 입니다.

연습 2 — 변수분리와 지수 모형

$\ln 2 = 0.6931$, $e^{0.3}=1.3499$ 를 씁니다.

1. $\dfrac{dy}{dt}=0.03\,y$, $y(0)=200$ 일 때 $t=10$ 에서의 값

   $y=200e^{0.03t}$ 이고 $t=10$ 이면 지수가 $0.3$ 입니다. $200\times1.3499=269.98$ 입니다.
2. 반감기가 8일인 물질의 $k$

   $8=\dfrac{\ln2}{-k}$ 이므로 $-k=\dfrac{0.6931}{8}=0.0866$, 즉 $k=-0.0866$ 입니다(단위는 1일).
3. $\dfrac{dy}{dx}=x\,y$, $y(0)=1$

   갈라놓으면 $\dfrac{dy}{y}=x\,dx$ 입니다. 적분하면 $\ln\lvert y\rvert=\dfrac{x^2}{2}+C$ 이고, 지수로 올리면 $y=Ae^{x^2/2}$ 입니다. $x=0$ 에서 $y=A=1$ 이므로 $y=e^{x^2/2}$ 입니다.

연습 3 — 평형해와 오일러

1. $\dfrac{dy}{dt}=0.5\,y\left(1-\dfrac{y}{400}\right)$ 의 평형해를 모두

   오른쪽이 0이 되는 상수를 찾습니다. $y=0$ 과 $y=400$ 둘입니다.
2. $y'=2y$, $y(0)=1$ 을 $h=0.25$ 로 두 걸음. 참값은 $e^{0.5}=1.6487$ 입니다

   첫 걸음은 기울기가 $2\times1=2$ 이므로 $1+0.25\times2=1.5$ 입니다. 둘째 걸음은 기울기가 $2\times1.5=3$ 이므로 $1.5+0.25\times3=2.25$ 입니다. $x=0.5$ 에서 참값보다 $0.6013$ 큽니다.
3. 방 온도 25도, 처음 85도, $k=0.1$ 인 냉각에서 5분 뒤의 온도. $e^{-0.5}=0.6065$ 입니다

   $y=25+(85-25)e^{-0.5}=25+60\times0.6065=25+36.4=61.4$ 도입니다.

정리

• 미분방정식은 미지의 함수와 그 도함수가 함께 든 등식이고, 그것을 참으로 만드는 함수가 해입니다. 답이 수가 아닙니다.
• 오른쪽에 $x$ 만 있으면 그냥 적분입니다. 이때 해는 $+C$ 만큼 무리로 나오고(일반해), 초기조건 하나가 그중 하나를 고릅니다(특수해). 34번 글에서 이유 없이 붙였던 적분상수의 정체가 이것입니다.
• 방향장은 점마다 기울기를 꽂아 둔 그림이라 못 푸는 식에도 그릴 수 있습니다. 변하지 않는 상수 해를 평형해라 하고, 오른쪽을 0으로 두면 찾을 수 있습니다.
• 변수분리형은 $x$ 끼리 $y$ 끼리 갈라 양변을 적분합니다. 이것으로 $\dfrac{dy}{dt}=ky$ 의 해 $y_0e^{kt}$ 가 나오고, 반감기 $\dfrac{\ln2}{-k}$ 는 처음 양과 무관합니다.
• 냉각 법칙 $-k(y-A)$ 는 $u=y-A$ 로 두면 같은 꼴이 되고 해가 $A$ 로 붙습니다. 로지스틱은 S자를 그리며 평형해가 $y=0$ 과 $y=M$ 둘입니다.
• 해석해가 없는 것이 오히려 보통입니다. 그럴 때는 오일러 방법으로 접선을 따라 걷습니다 — $y_{n+1}=y_n+h\,f$. 걸음을 절반으로 줄이면 오차도 대략 절반이 됩니다.

여기까지가 확실한 세계였습니다. 다음 글부터는 물음이 달라집니다 — 무슨 일이 일어날지 미리 알 수 없을 때, 그래도 무언가를 말할 수 있을까요.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊