MATH / 초급

자연수의 사칙연산과 자릿수: 세로셈이 자리를 맞추는 이유

3705가 자리마다 다른 값을 뜻한다는 데서 시작해, 받아올림과 받아내림이 무엇인지, 곱셈 세로셈의 두 줄이 왜 그렇게 생겼는지, 몫과 나머지가 무엇인지를 손으로 세웁니다.

PALDYN Team2026.08.0615 MIN READ

지난 글까지 세 편이 수학을 읽고 쓰는 법이었습니다. 이제 계산으로 들어갑니다.

첫 자리는 자연수 — 1, 2, 3처럼 물건을 셀 때 쓰는 수입니다. 구구단을 다시 외우자는 것이 아닙니다. 이 글이 답하려는 문제는 다른 것입니다. 세로셈은 왜 자리를 맞춰 쓸까요. 학교에서는 "그렇게 하는 것"이라고 배우고 넘어가는데, 이유가 있습니다. 그리고 그 이유를 알면 받아올림·받아내림·곱셈 세로셈의 여러 줄이 전부 같은 하나에서 나온다는 것이 보입니다.

3705 가 뜻하는 것

숫자 네 개를 나란히 적은 $3705$ 는 무엇을 뜻할까요.

$자릿값$

$3705 = 3 \times 1000 + 7 \times 100 + 0 \times 10 + 5 \times 1$

같은 숫자라도 어느 자리에 앉았느냐가 값을 정합니다. 3이 천의 자리에 있으니 3000을 뜻하고, 만약 백의 자리에 있었다면 300을 뜻했을 것입니다. 이렇게 자리로 값을 정하는 방식을 위치 기수법이라고 부릅니다.

여기서 두 가지가 따라 나옵니다.

0은 값이 아니라 자리를 지키는 표시입니다. $3705$ 의 0은 "십의 자리에 아무것도 없다"를 뜻하지만, 그 자리를 비워 둔 채로 $375$ 라고 적으면 3과 7이 한 자리씩 내려앉아 완전히 다른 수가 됩니다. 0은 아무 값도 더하지 않으면서 다른 숫자들을 제자리에 붙들어 놓는 일을 합니다.

자리가 하나 올라가면 값이 10배입니다. 일의 자리에서 십의 자리로 올라가면 10배, 십에서 백으로 또 10배. 그래서 $5$ 를 십의 자리로 옮겨 적은 $50$ 은 $5$ 의 10배입니다.

이 두 문장이 아래 나올 모든 것의 바탕입니다.

덧셈 — 받아올림은 '열이 모이면 윗자리 하나'

$476 + 258$ 을 세로로 적어 봅니다.

무슨 일이 일어났는지 자리별로 폅니다.

일의 자리: $6 + 8 = 14$ . 그런데 한 자리에는 0부터 9까지만 적을 수 있습니다. 14는 10이 하나에 4가 남은 것이므로, 4를 일의 자리에 적고 10 하나는 십의 자리로 올려 보냅니다. 이것이 받아올림입니다.
십의 자리: $7 + 5 = 12$ 에 올라온 1을 더해 13. 다시 10이 하나에 3이 남았으니 3을 적고 1을 백의 자리로 올립니다.
백의 자리: $4 + 2 = 6$ 에 올라온 1을 더해 7.

받아올림은 규칙이 아니라 자릿값 그 자체입니다. 십의 자리 1은 10을 뜻하므로, 일의 자리에 10이 모였을 때 십의 자리에 1을 적는 것은 같은 값을 다르게 적은 것뿐입니다.

그리고 이것이 자리를 맞춰 쓰는 이유입니다. 같은 자리에 있는 것끼리만 더할 수 있습니다. 일의 자리 6과 십의 자리 5를 더하는 것은 6과 50을 더하는 것이라 아무 뜻이 없습니다. 세로셈에서 오른쪽 끝을 맞추는 것은 같은 자리끼리 세로로 만나게 하는 장치입니다.

뺄셈 — 받아내림은 그 반대

$502 - 247$ 입니다.

일의 자리: $2 - 7$ 을 할 수 없습니다. 그래서 윗자리에서 10을 빌려 옵니다. 그런데 십의 자리가 0이라 거기서도 빌릴 것이 없으니, 백의 자리에서 100을 빌려 십의 자리에 10을 세워 둡니다. 이제 십의 자리에서 10을 빌려 오면 일의 자리는 12가 되고 $12 - 7 = 5$ .
십의 자리: 10을 세워 두었다가 하나를 빌려줬으니 9가 남았습니다. $9 - 4 = 5$ .
백의 자리: 5에서 하나를 빌려줬으니 4. $4 - 2 = 2$ .

$255$ 입니다. 받아내림은 받아올림을 거꾸로 한 것뿐입니다 — 윗자리 하나는 아랫자리 열입니다.

곱셈 — 두 줄은 자리별 곱 넷이다

$23 \times 45$ 를 세로셈으로 하면 중간에 두 줄이 생깁니다. 그 두 줄이 무엇인지 봅니다.

$자리별 곱$

$23$ 은 $20 + 3$ 이고 $45$ 는 $40 + 5$ 입니다. 그러니 $23 \times 45$ 는 앞의 두 조각과 뒤의 두 조각을 모두 짝지어 곱한 뒤 더한 것입니다.

\begin{aligned} 20 \times 40 &= 800 \\ 20 \times 5 &= 100 \\ 3 \times 40 &= 120 \\ 3 \times 5 &= 15 \end{aligned}

넷을 더하면 $800 + 100 + 120 + 15 = 1035$ 입니다.

세로셈의 두 줄이 바로 이 넷을 둘씩 묶은 것입니다.

첫 줄 $115$ 는 $23 \times 5$ 이고, 이는 $100 + 15$ — 위 넷 중 둘째와 넷째입니다.
둘째 줄 $920$ 은 $23 \times 40$ 이고, 이는 $800 + 120$ — 첫째와 셋째입니다.

둘째 줄을 한 칸 왼쪽으로 밀어 쓰는 이유도 여기서 나옵니다. 그 줄은 40을 곱한 것이라 10배 자리에 앉아야 하기 때문입니다. 한 칸 미는 것이 곧 10배라는 것은 맨 앞에서 세운 문장 그대로입니다.

이렇게 큰 곱을 자리별 곱 여럿으로 쪼개 더하는 방식에는 이름이 붙어 있는데, 그 이름을 달고 음수의 부호까지 유도하는 것은 10번 · 수의 종류와 수직선의 몫입니다. 여기서는 세로셈이 왜 그렇게 생겼는지까지만 봅니다.

나눗셈 — 몫과 나머지

$17$ 을 $5$ 로 나눕니다. 5씩 세 묶음을 만들면 15가 쓰이고 2가 남습니다.

$17 = 5 \times 3 + 2$

$3$ 을 몫, $2$ 를 나머지라고 부릅니다. 그리고 여기에 반드시 붙는 조건이 있습니다.

나머지는 0 이상이고 나누는 수보다 작습니다. 위에서는 $0 \le 2 < 5$ 입니다. 왜 그래야 할까요. 만약 나머지가 5거나 그보다 크다면 묶음을 하나 더 만들 수 있다는 뜻이니, 몫을 덜 세었다는 말이 됩니다. 그러니 이 조건이 곧 "묶음을 최대한 만들었다"는 뜻입니다.

이 조건 덕분에 몫과 나머지는 한 쌍으로 딱 정해집니다. $17 = 5 \times 2 + 7$ 도 등식으로는 참이지만 7이 5보다 크므로 몫과 나머지로 인정하지 않습니다.

큰 수도 같습니다. $758 \div 6$ 을 자리별로 내려가며 합니다.

백의 자리 7에서 6이 한 번. 몫의 백의 자리에 1을 적고 1이 남습니다.
남은 1을 십의 자리로 내려 15. 6이 두 번(12)으로 몫의 십의 자리에 2, 3이 남습니다.
남은 3을 일의 자리로 내려 38. 6이 여섯 번(36)으로 몫의 일의 자리에 6, 2가 남습니다.

$758 = 6 \times 126 + 2$ 이고 $0 \le 2 < 6$ 입니다. 검산은 곧장 됩니다 — $6 \times 126 = 756$ , 여기에 2를 더하면 758.

나머지가 0이면 나누어떨어졌다고 말합니다. 이 한 줄이 다음 글의 출발점입니다.

한 줄씩 지나가는 것 둘

순서를 바꿔도 되는 것과 안 되는 것. 덧셈과 곱셈은 순서를 바꿔도 값이 같습니다 — $3 + 5 = 5 + 3$ , $3 \times 5 = 5 \times 3$ . 뺄셈과 나눗셈은 그렇지 않습니다 — $5 - 3 = 2$ 이지만 $3 - 5$ 는 자연수 안에서는 답이 아예 없고, $6 \div 3 = 2$ 이지만 $3 \div 6$ 은 나누어떨어지지도 않습니다. 2번 · 식을 읽는 순서에서 '같은 칸이면 왼쪽부터'라는 규칙이 필요했던 이유가 정확히 이것입니다.

만과 억. 자리는 넷씩 끊어 읽습니다. 1만은 0이 넷 붙은 $10000$ , 1억은 0이 여덟 붙은 $100000000$ 입니다. 그래서 만이 만 번 모이면 억입니다. 큰 수를 만날 때 0의 개수를 넷씩 끊어 세면 자리를 잃지 않습니다.

손으로 해 봅니다

연습 1 — 자릿수로 펴기

다음 다섯 수를 자릿값의 합으로 펴서 적으세요.

$2860$
$4009$
$51302$
$700$
$68000$

답. 1 $2 \times 1000 + 8 \times 100 + 6 \times 10 + 0 \times 1$ . 2 $4 \times 1000 + 0 \times 100 + 0 \times 10 + 9 \times 1$ . 3 $5 \times 10000 + 1 \times 1000 + 3 \times 100 + 0 \times 10 + 2 \times 1$ . 4 $7 \times 100$ . 5 $6 \times 10000 + 8 \times 1000$ .

연습 2 — 세로셈 덧셈 다섯

$476 + 258$ , $389 + 245$ , $1897 + 2465$ , $999 + 1$ , $5074 + 928$

답. 734, 634, 4362, 1000, 6002.

네 번째를 눈여겨보세요. $999 + 1$ 은 일의 자리에서 받아올림이 나고, 그것이 십의 자리에서 또 받아올림을 내고, 백의 자리에서 다시 냅니다. 받아올림이 연달아 세 번 일어나 자리가 하나 늘었습니다.

연습 3 — 세로셈 뺄셈 다섯

$502 - 247$ , $800 - 356$ , $1000 - 1$ , $3004 - 1728$ , $620 - 185$

답. 255, 444, 999, 1276, 435.

세 번째는 연습 2의 네 번째 문제를 거꾸로 한 것입니다. 받아내림이 연달아 세 번 일어납니다.

연습 4 — 세로셈 곱셈 다섯

$23 \times 45$ , $36 \times 24$ , $108 \times 7$ , $52 \times 60$ , $125 \times 8$

답. 1035, 864, 756, 3120, 1000.

$36 \times 24$ 를 자리별 곱 넷으로도 확인해 보세요. $30 \times 20 = 600$ , $30 \times 4 = 120$ , $6 \times 20 = 120$ , $6 \times 4 = 24$ . 더하면 864입니다. 검산 (다) — 같은 것을 두 방법으로 계산하기 — 를 여기 쓴 것입니다.

연습 5 — 몫과 나머지 열

각각 $a = b \times q + r$ 꼴로 적고 $0 \le r < b$ 인지 확인하세요.

$17 \div 5$ , $100 \div 7$ , $84 \div 12$ , $45 \div 6$ , $1000 \div 3$ , $23 \div 23$ , $9 \div 10$ , $77 \div 9$ , $144 \div 11$ , $60 \div 8$

답.

식	몫	나머지	확인
$17 \div 5$	3	2	$17 = 5 \times 3 + 2$
$100 \div 7$	14	2	$100 = 7 \times 14 + 2$
$84 \div 12$	7	0	$84 = 12 \times 7$ — 나누어떨어집니다
$45 \div 6$	7	3	$45 = 6 \times 7 + 3$
$1000 \div 3$	333	1	$1000 = 3 \times 333 + 1$
$23 \div 23$	1	0	$23 = 23 \times 1$ — 나누어떨어집니다
$9 \div 10$	0	9	$9 = 10 \times 0 + 9$ — 몫이 0일 수 있습니다
$77 \div 9$	8	5	$77 = 9 \times 8 + 5$
$144 \div 11$	13	1	$144 = 11 \times 13 + 1$
$60 \div 8$	7	4	$60 = 8 \times 7 + 4$

정리

자연수는 자리로 값을 정합니다. 0은 값이 아니라 자리를 지키는 표시이고, 자리가 하나 올라가면 값이 10배입니다.
받아올림과 받아내림은 "윗자리 하나는 아랫자리 열"이라는 한 문장입니다. 세로셈이 자리를 맞추는 것은 같은 자리끼리만 더할 수 있기 때문입니다.
곱셈 세로셈의 두 줄은 자리별 곱 넷을 둘씩 묶은 것이고, 한 칸 미는 것이 10배입니다.
나눗셈은 $a = b \times q + r$ 과 $0 \le r < b$ 로 몫과 나머지를 한 쌍으로 정합니다.