그래프 변형: 옮기고 늘이고 뒤집기

지난 글에서 곡선 다섯을 표로 채워 그렸습니다. 이 글은 그 다섯 말고 새 곡선을 그리지 않습니다.

대신 이미 그린 곡선 하나를 옮기고 늘이고 뒤집어 새 곡선을 얻습니다. 규칙은 몇 개 안 되고, 그것만 익히면 표를 다시 채울 일이 없습니다.

옮기기

위아래 이동

가장 쉬운 것부터 봅니다. 식 $y = f(x) + k$ 는 출력이 나온 뒤에 $k$ 를 더합니다. 넣는 $x$ 는 그대로이고 나오는 값만 $k$ 만큼 커지니, 곡선 위의 점이 모두 같은 거리만큼 올라갑니다.

$y = f(x) + k \;\to\; \text{위로 } k$

$k$ 가 음수면 내려갑니다. $y = x^2 - 3$ 은 $y=x^2$ 을 아래로 3만큼 내린 것이고, 꼭짓점이 $(0,0)$ 에서 $(0,-3)$ 으로 갑니다.

표로 한 번 확인해 둡니다. 같은 $x$ 를 두 식에 넣고 나란히 적으면 아래 칸이 위 칸보다 언제나 3 작습니다.

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$x^2$	1	0	1	4
$x^2 - 3$	$-2$	$-3$	$-2$	1

$x=2$ 칸을 따라가 보면 $2^2 = 4$ 이고, 거기서 3을 빼서 $4 - 3 = 1$ 입니다. 넷 모두 같은 일이 일어났으므로 점 넷이 똑같이 3칸씩 내려갔습니다.

모양은 그대로 두고 자리만 옮기는 이런 변형을 평행이동이라고 합니다. 여기까지는 예상대로입니다. 문제는 좌우입니다.

좌우 이동

$y = (x-2)^2$ 을 봅니다. $-2$ 가 있으니 왼쪽으로 갈 것 같은데, 실제로는 오른쪽으로 갑니다.

대입으로 읽으면 헷갈리지 않습니다. 원래 곡선 $y=x^2$ 은 $x=1$ 에서 값이 1이었습니다. 새 곡선이 같은 1을 내놓으려면 괄호 안이 1이 되어야 하므로 $x-2=1$, 즉 $x=3$ 입니다.

같은 값을 얻는 자리가 2만큼 뒤로 밀렸습니다. 그것이 곧 그래프가 오른쪽으로 2 간다는 말입니다. 표로 적으면 더 잘 보입니다.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$(x-2)^2$	1	0	1	4

$x=4$ 칸은 $4-2=2$ 를 먼저 하고 $2^2=4$ 를 합니다. 위 절의 표에서 $x^2$ 줄이 $x=-1, 0, 1, 2$ 에서 내놓던 1, 0, 1, 4를 이번에는 $x=1, 2, 3, 4$ 에서 내놓습니다. 값의 줄은 그대로이고 자리만 두 칸씩 오른쪽으로 밀렸습니다.

$y = f(x-a) \;\to\; \text{오른쪽으로 } a$

$y = f(x+1)$ 은 $x+1 = x-(-1)$ 이라 $a=-1$ 이므로 왼쪽으로 1입니다.

괄호 안에 든 것은 늘 예상과 반대로 움직입니다. 여기가 가장 많이 틀리는 자리이므로, 헷갈릴 때마다 "괄호 안이 0이 되는 $x$ 는 얼마인가"를 물어보세요. $y=(x-2)^2$ 은 $x=2$ 에서 괄호가 0이 되고, 거기가 새 꼭짓점입니다.

점의 이동

위아래와 좌우를 따로 외우면 부호가 반대라서 둘이 서로 다른 규칙처럼 보입니다. 점 하나가 어디로 가는지로 적으면 한 줄로 합쳐집니다. 오른쪽으로 $h$, 위로 $k$ 옮기면 점 $(a, b)$ 는 이렇게 갑니다.

$(a,\ b) \;\to\; (a + h,\ b + k)$

오른쪽과 위가 더하기이고 왼쪽과 아래가 빼기입니다. 두 방향 모두 부호가 예상과 같습니다.

곡선 위에서 따라가기 쉬운 점을 하나 골라 두면 편합니다. 이렇게 그림을 옮길 때 표시로 삼는 점을 이 글에서는 기준점이라 부르겠습니다. $y=\sqrt{x}$ 라면 곡선이 시작하는 $(0, 0)$ 과, 근호가 깔끔하게 풀리는 $(4, 2)$ 가 좋습니다.

오른쪽으로 3 옮긴 $y=\sqrt{x-3}$ 에서 기준점을 확인합니다. $(0,0)$ 은 $(0+3,\ 0) = (3, 0)$ 으로 갑니다. 식에 $x=3$ 을 넣으면 $\sqrt{3-3} = \sqrt{0} = 0$ 이라 맞습니다. $(4, 2)$ 는 $(7, 2)$ 로 가고, $\sqrt{7-3} = \sqrt{4} = 2$ 라 역시 맞습니다.

이제 식 쪽도 한 줄로 맞춰 봅니다. $y = f(x-h) + k$ 에서 $k$ 를 왼쪽으로 넘기면 이렇게 됩니다.

$y - k = f(x - h)$

$x$ 자리에는 $x-h$ 가, $y$ 자리에는 $y-k$ 가 들어갔습니다. 두 문자 모두 "빼면 양의 방향으로 간다"는 같은 규칙을 따르고, 위아래만 부호가 거꾸로 보이던 것은 $k$ 를 오른쪽에 두고 읽었기 때문입니다.

예를 하나 풀어 봅니다. $y = (x+1)^2 - 4$ 는 $y=x^2$ 을 어떻게 옮긴 것일까요. 먼저 $-4$ 를 넘겨 $y + 4 = (x+1)^2$ 으로 적고, 둘 다 빼기 꼴로 바꿉니다.

$y - (-4) = \big(x - (-1)\big)^2$

$h=-1$, $k=-4$ 이므로 왼쪽으로 1, 아래로 4입니다. 점으로 확인하면 $(0,0)$ 이 $(-1,-4)$ 로, $(1,1)$ 이 $(0,-3)$ 으로 갑니다. 식에 $x=0$ 을 넣으면 $(0+1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$ 이라 맞습니다.

늘이기와 뒤집기

늘이기

출력에 $c$ 를 곱하면 모든 점의 높이가 $c$ 배가 됩니다.

$y = 3f(x) \;\to\; \text{세로로 3배}$

$c$ 가 0과 1 사이면 납작해집니다. $y = \frac{1}{2}x^2$ 은 $y=x^2$ 보다 완만합니다. $x=2$ 에서 $x^2$ 은 4인데 $\frac{1}{2}x^2$ 은 $\frac{1}{2} \times 4 = 2$ 입니다.

높이만 바뀌고 가로 위치는 그대로입니다. $y=0$ 인 자리, 즉 $x$ 축과 만나는 점은 몇 배를 해도 0이라 움직이지 않습니다.

이번에는 입력 쪽입니다. 좌우 이동과 같은 이유로 예상과 반대가 됩니다.

$y = f(2x)$ 를 봅니다. 원래 곡선이 $x=6$ 에서 내놓던 값을 새 곡선이 내놓으려면 $2x=6$, 즉 $x=3$ 이어야 합니다. 자리가 절반으로 당겨졌습니다.

$y = f(cx) \;\to\; \text{가로로 } \frac{1}{c} \text{ 배}$

$c=2$ 면 폭이 절반으로 좁아지고, $c=\frac{1}{2}$ 이면 두 배로 넓어집니다. $y=\sqrt{x/2}$ 로 확인해 봅니다. 원래 $y=\sqrt{x}$ 는 $x=4$ 에서 2를 내놓았습니다. 새 곡선이 2를 내놓으려면 근호 안이 4여야 하므로 $x/2 = 4$, 즉 $x=8$ 입니다. 같은 높이에 닿는 자리가 4에서 8로 두 배 멀어졌습니다.

세로는 곱한 만큼, 가로는 곱한 것의 역수만큼입니다.

뒤집기

부호를 어디에 붙이느냐로 갈립니다.

$y = -f(x)$ 는 출력의 부호를 바꿉니다. 위에 있던 것이 아래로 가므로 $x$ 축을 거울로 뒤집은 모습입니다.

$y = f(-x)$ 는 입력의 부호를 바꿉니다. 오른쪽에서 쓰던 값을 왼쪽에서 쓰게 되므로 $y$ 축을 거울로 뒤집은 모습입니다.

$y=\sqrt{x}$ 로 보면 분명합니다. $y=-\sqrt{x}$ 는 오른쪽 아래로 뻗고, $y=\sqrt{-x}$ 는 왼쪽 위로 뻗습니다. 정의역 자체가 $x \le 0$ 으로 옮겨 갑니다.

그런데 $-f(x)$ 는 $(-1) \times f(x)$ 이고, $f(-x)$ 는 $f\big((-1) \times x\big)$ 입니다. 둘 다 앞 절의 늘이기에서 $c = -1$ 을 넣은 것입니다. 그래서 규칙 넷(세로 늘이기, 가로 늘이기, $x$ 축 뒤집기, $y$ 축 뒤집기)이 둘로 줄어듭니다. $c$ 의 크기가 얼마나 늘일지를 정하고, 부호가 뒤집을지를 정합니다.

	$0 < \lvert c \rvert < 1$	$\lvert c \rvert > 1$	$c < 0$ 이면 더해지는 것
세로 $y = cf(x)$	납작해진다	길쭉해진다	$x$ 축 뒤집기
가로 $y = f(cx)$	넓어진다	좁아진다	$y$ 축 뒤집기

$\lvert c \rvert$ 는 $c$ 의 절댓값, 곧 부호를 뗀 크기입니다. $c = 1$ 이면 아무 일도 없고, $c = 0$ 은 뺍니다. $0 \times f(x)$ 는 늘 0이라 곡선이 $x$ 축 위의 한 줄로 뭉개지기 때문입니다.

예로 $y = -2x^2$ 을 읽으면 $c = -2$ 입니다. 크기 2가 세로 2배, 음의 부호가 $x$ 축 뒤집기입니다. 점 $(1, 1)$ 은 높이가 $-2 \times 1 = -2$ 가 되어 $(1, -2)$ 로, $(2, 4)$ 는 $-2 \times 4 = -8$ 이 되어 $(2, -8)$ 로 갑니다.

우함수와 기함수

뒤집기를 정리하면 대칭이 셋 남습니다.

대칭	식에서 바뀌는 것	점 $(a,b)$ 가 가는 곳
$y$ 축 대칭	$x \to -x$	$(-a, b)$
원점 대칭	$x \to -x$, $y \to -y$	$(-a, -b)$
$y=x$ 대칭	$x$ 와 $y$ 를 맞바꾼다	$(b, a)$

어떤 곡선은 뒤집어도 그대로입니다. $y$ 축으로 뒤집어도 그대로인 함수, 즉 $f(-x)=f(x)$ 인 함수를 우함수라 하고, 원점을 중심으로 뒤집어도 그대로인 함수, 즉 $f(-x)=-f(x)$ 인 함수를 기함수라 합니다.

판정은 수 하나를 넣어 보면 시작할 수 있습니다. $x=2$ 와 $x=-2$ 를 넣어 두 값을 맞대 봅니다.

• $f(x) = x^2$: $f(-2) = (-2)^2 = 4$ 이고 $f(2) = 4$ 라 같습니다. 우함수입니다.
• $f(x) = \lvert x \rvert$: $f(-2) = 2$ 이고 $f(2) = 2$ 라 같습니다. 우함수입니다.
• $f(x) = x$: $f(-2) = -2$ 이고 $-f(2) = -2$ 라 부호만 바뀝니다. 기함수입니다.
• $f(x) = \dfrac{1}{x}$: $f(-2) = -\dfrac{1}{2}$ 이고 $-f(2) = -\dfrac{1}{2}$ 입니다. 기함수입니다.
• $f(x) = x + 1$: $f(-2) = -1$ 인데 $f(2) = 3$ 이고 $-f(2) = -3$ 이라 어느 쪽과도 안 맞습니다. 둘 다 아닙니다.

수 하나로 맞는 것은 시작일 뿐이고, 모든 $x$ 에서 맞아야 합니다. $x^2$ 은 $(-x)^2 = x^2$ 이라 어느 수를 넣어도 같으므로 확실히 우함수입니다. 반대로 한 수에서라도 어긋나면 그걸로 끝입니다. $x+1$ 은 2 하나로 탈락입니다.

우함수는 $y$ 축 뒤집기를 해도 제자리라 $f(-x)$ 로 바꿔 봐야 그래프가 안 달라집니다. 기함수는 $y$ 축 뒤집기와 $x$ 축 뒤집기의 결과가 같습니다. $f(-x) = -f(x)$ 가 바로 그 말입니다.

절댓값 씌우기

절댓값도 식의 어디에 씌우느냐로 두 갈래가 됩니다. $f(x) = x - 2$ 로 둘을 나란히 봅니다.

$y = \lvert f(x) \rvert = \lvert x - 2 \rvert$ 는 출력에 절댓값을 씌웁니다. 음수로 나온 값만 부호가 바뀌고 양수는 그대로이니, $x$ 축 아래로 내려간 부분만 위로 접어 올린 모습입니다. $y = x-2$ 는 $x < 2$ 에서 음수이므로 그 부분이 접혀 올라가고, 꺾이는 점이 $(2, 0)$ 인 V자가 됩니다.

$y = f(\lvert x \rvert) = \lvert x \rvert - 2$ 는 입력에 절댓값을 씌웁니다. $x = -3$ 을 넣어도 $x=3$ 을 넣은 것과 같아지니, 오른쪽 절반을 그대로 두고 그것을 $y$ 축에 비쳐 왼쪽을 새로 만든 모습입니다. 원래 곡선의 왼쪽 절반은 버려집니다. 꺾이는 점이 $(0, -2)$ 인 V자입니다.

$x$	$-1$	$0$	$1$	$3$	$4$
$\lvert x-2 \rvert$	3	2	1	1	2
$\lvert x \rvert - 2$	$-1$	$-2$	$-1$	1	2

$x = -1$ 칸을 따라가 봅니다. 윗줄은 $-1-2 = -3$ 을 먼저 하고 절댓값을 씌워 3입니다. 아랫줄은 $\lvert -1 \rvert = 1$ 을 먼저 하고 2를 빼서 $-1$ 입니다. 계산 순서가 반대라 값이 갈립니다. 오른쪽 두 칸은 같습니다. $x \ge 2$ 이면 $x - 2$ 가 이미 0 이상이라 출력에 절댓값을 씌워도 그대로이고, $x \ge 0$ 이면 $\lvert x \rvert = x$ 라 입력에 씌워도 그대로이기 때문입니다.

정리하면 $\lvert f(x) \rvert$ 는 아래를 위로 접고, $f(\lvert x \rvert)$ 는 오른쪽을 왼쪽에 비칩니다. $f(\lvert x \rvert)$ 는 늘 $y$ 축 대칭이라 언제나 우함수가 됩니다.

겹친 변형

변형의 순서

변형을 두 번 하면 순서를 따져야 합니다. $y=x^2$ 에 "위로 1"과 "세로 2배"를 해 봅니다.

먼저 올리고 늘이면 $y = 2(x^2+1) = 2x^2 + 2$ 입니다.

먼저 늘이고 올리면 $y = 2x^2 + 1$ 입니다.

다릅니다. 나중에 한 확대가 앞서 더한 1까지 함께 늘렸기 때문입니다. 점 $(1, 1)$ 로 따라가면 앞 순서는 $(1, 2)$ 를 거쳐 높이를 두 배 해 $(1, 4)$ 에, 뒤 순서는 $(1, 2)$ 를 거쳐 1을 더해 $(1, 3)$ 에 닿습니다.

그래서 식을 볼 때는 괄호가 정한 순서를 그대로 따릅니다. $y = -\dfrac{1}{2}(x+2)^2 + 3$ 이면 안쪽부터 이렇게 읽습니다.

순서	무엇이 붙었나	하는 일
1	$(x+2)$	왼쪽으로 2
2	$\dfrac{1}{2} \times$	세로로 절반
3	앞의 $-$	$x$ 축 대칭으로 뒤집기
4	$+3$	위로 3

꼭짓점은 $(0,0)$ 에서 $(-2, 3)$ 으로 가고, 뒤집혔으므로 위로 볼록한 모양이 됩니다. 점 하나로 확인해 둡니다. $x = 0$ 을 넣으면 $0 + 2 = 2$, $2^2 = 4$, $\dfrac{1}{2} \times 4 = 2$, 부호를 바꿔 $-2$, 3을 더해 1입니다. 표의 네 줄을 그대로 한 번씩 거친 계산입니다.

가로 변형의 묶음

가로 변형 둘이 괄호 안에 함께 들어 있으면 한 번 더 조심해야 합니다. $y = \sqrt{2x - 4}$ 를 봅니다. "2를 곱했으니 가로로 절반, $-4$ 이니 오른쪽으로 4"라고 읽기 쉬운데, 틀린 읽기입니다.

먼저 괄호 안이 0이 되는 자리를 봅니다. $2x - 4 = 0$ 에서 양변에 4를 더하면 $2x = 4$, 2로 나누면 $x = 2$ 입니다. 곡선은 4가 아니라 2에서 시작합니다.

이유는 곱한 수를 묶어 내 보면 보입니다. $2x - 4$ 의 두 항에서 2를 꺼내면 이렇게 됩니다.

$\sqrt{2x - 4} = \sqrt{2(x - 2)}$

$x$ 에 붙은 것은 $x-2$ 이지 $x-4$ 가 아닙니다. 가로 이동의 양은 곱한 수를 묶어 낸 뒤 괄호 안에 남은 수로 읽습니다.

기준점으로 확인합니다. $y=\sqrt{x}$ 위의 점 $(a, b)$ 가 새 곡선에서 같은 높이 $b$ 를 내려면 근호 안이 $a$ 여야 하므로 $2x - 4 = a$ 이고, 풀면 $x = \dfrac{a}{2} + 2$ 입니다. 먼저 절반으로 줄이고 그다음 2를 더합니다. 그리는 순서로 옮기면 가로로 절반, 그다음 오른쪽으로 2입니다.

원래 점	$x = \dfrac{a}{2} + 2$	새 점	식으로 확인
$(0, 0)$	$0 + 2 = 2$	$(2, 0)$	$\sqrt{4-4} = 0$
$(1, 1)$	$\dfrac{1}{2} + 2 = 2.5$	$(2.5, 1)$	$\sqrt{5-4} = 1$
$(4, 2)$	$2 + 2 = 4$	$(4, 2)$	$\sqrt{8-4} = 2$

"오른쪽으로 4, 그다음 가로로 절반"으로 읽어도 결과는 같습니다. 그때는 $x = \dfrac{a + 4}{2}$ 이고 $a=0$ 이면 $\dfrac{4}{2} = 2$ 로 같은 자리에 닿습니다. 틀리는 것은 "절반으로 줄이고 오른쪽으로 4"처럼 순서와 양을 짝 짓지 않고 섞을 때입니다. 그러면 시작점이 $\dfrac{0}{2} + 4 = 4$ 로 엉뚱한 곳에 갑니다.

세로와 가로

같은 방향의 변형끼리는 순서가 결과를 가르지만, 세로 변형과 가로 변형은 순서를 바꿔도 결과가 같습니다. 위 그림의 오른쪽이 그것입니다.

$y = x^2$ 을 오른쪽으로 2 옮기고 세로로 2배 하면 $(x-2)^2$ 을 거쳐 $2(x-2)^2$ 입니다. 세로로 2배를 먼저 하고 오른쪽으로 2 옮기면 $2x^2$ 의 $x$ 자리에 $x-2$ 를 넣어 역시 $2(x-2)^2$ 입니다.

점 $(1, 1)$ 로 따라가면 까닭이 보입니다. 앞 순서는 $(3, 1)$ 을 거쳐 $(3, 2)$ 에, 뒤 순서는 $(1, 2)$ 를 거쳐 $(3, 2)$ 에 닿습니다. 가로 변형은 점의 첫째 좌표만, 세로 변형은 둘째 좌표만 건드립니다. 서로 상대의 좌표를 안 만지니 누가 먼저 하든 도착점이 같습니다.

식으로도 확인합니다. $x = 3$ 을 넣으면 $3 - 2 = 1$, $1^2 = 1$, $2 \times 1 = 2$ 라 $(3, 2)$ 가 곡선 위에 있습니다. 그래서 여러 변형이 겹친 식을 그릴 때는 가로 변형끼리, 세로 변형끼리의 순서만 지키면 됩니다.

역함수

역함수 구하기

대칭 셋 가운데 $y=x$ 대칭은 다른 둘과 격이 다릅니다. 함수를 거꾸로 돌리는 일이기 때문입니다.

$f(x) = \frac{x}{2} + 1$ 은 2로 나누고 1을 더합니다. 거꾸로 하면 1을 빼고 2를 곱합니다. 이처럼 원래 함수가 한 일을 되돌려 출력에서 입력을 찾아 주는 함수를 역함수라 하고 $f^{-1}$ 로 적습니다.

구하는 절차는 두 줄입니다.

$y = \frac{x}{2} + 1$

하나, $x$ 에 대해 풉니다. 16번 글의 등식의 성질 그대로입니다. 양변에서 1을 빼고, 양변에 2를 곱합니다.

$y - 1 = \frac{x}{2} \;\to\; x = 2y - 2$

둘, 문자를 맞바꿉니다. 입력을 늘 $x$ 라 부르기로 했으므로 이름만 바꿔 답니다.

$y = 2x - 2$

그래프에서는 $y=x$ 에 비친 모습입니다. 점 $(4,3)$ 이 $(3,4)$ 로 갑니다. 좌표를 맞바꾸는 것이 곧 $y=x$ 에 대한 대칭이기 때문입니다. 수로도 확인합니다. $f(4) = 2 + 1 = 3$ 이고 $f^{-1}(3) = 6 - 2 = 4$ 라, 4에서 3으로 간 것을 역함수가 3에서 4로 되돌립니다.

일대일 함수

$f(x)=x^2$ 을 거꾸로 돌려 봅니다. 4에서 출발하면 2로 가야 할지 $-2$ 로 가야 할지 정해지지 않습니다. 출력 하나에 입력이 둘이라 거꾸로 돌리면 함수가 아니게 됩니다.

지난 글의 세로선 판정법을 $y=x$ 에 비춰 보면 이번에는 가로선입니다. 가로선 하나가 그래프를 두 번 이상 만나면 역함수가 없습니다.

서로 다른 입력이 서로 다른 출력으로 가는 함수를 일대일 함수라 하고, 역함수는 그때만 생깁니다. $y=x^2$ 도 정의역을 $x \ge 0$ 으로 줄이면 일대일이 되고, 그 역함수가 $y=\sqrt{x}$ 입니다.

정의역과 치역의 맞바꿈

역함수는 원래 함수의 출력을 받아 입력을 돌려줍니다. 그러니 원래 함수의 치역이 역함수의 정의역이 되고, 원래 함수의 정의역이 역함수의 치역이 됩니다. 그래프로는 $y=x$ 에 비치면서 가로 범위와 세로 범위가 자리를 바꾸는 것입니다.

$f(x) = \sqrt{x - 1}$ 로 따라가 봅니다. 근호 안이 0 이상이어야 하므로 정의역은 $x \ge 1$ 이고, 근호의 값은 0 이상이라 치역은 $y \ge 0$ 입니다.

역함수를 구합니다. $y = \sqrt{x-1}$ 의 양변을 제곱하면 $y^2 = x - 1$ 이고, 양변에 1을 더하면 $x = y^2 + 1$ 입니다. 문자를 맞바꾸면 $y = x^2 + 1$ 입니다. 그런데 여기서 끝내면 틀립니다. 역함수의 정의역은 원래 함수의 치역인 $x \ge 0$ 이고, 치역은 원래 함수의 정의역인 $y \ge 1$ 입니다.

$$f^{-1}(x) = x^2 + 1 \quad (x \ge 0)$$

범위를 붙이지 않으면 무엇이 틀어지는지 합성으로 봅니다. 두 함수를 이어 붙이면 원래 수로 돌아와야 합니다. $f^{-1}(f(x))$ 는 $f$ 를 먼저 하고 되돌리는 것이라 $f$ 의 정의역 $x \ge 1$ 에서 $x$ 로 돌아옵니다. $x = 5$ 면 $f(5) = \sqrt{4} = 2$, $f^{-1}(2) = 4 + 1 = 5$ 입니다.

$f(f^{-1}(x))$ 는 순서가 반대라 $f^{-1}$ 의 정의역 $x \ge 0$ 에서만 $x$ 로 돌아옵니다. 범위를 잊고 $x = -3$ 을 넣으면 $(-3)^2 + 1 = 10$ 이 나오고, $f(10) = \sqrt{9} = 3$ 입니다. $-3$ 에서 출발했는데 3으로 돌아왔습니다. 식으로 적으면 $f(f^{-1}(x)) = \sqrt{x^2}$ 이고, 이것은 $x$ 가 아니라 $\lvert x \rvert$ 입니다. 두 합성이 성립하는 범위가 서로 다르고, 그 범위가 각각 먼저 쓰는 함수의 정의역입니다.

역함수와 역수

$f^{-1}$ 의 $-1$ 은 지수가 아닙니다. 13번 글에서 $2^{-1} = \dfrac{1}{2}$ 처럼 지수 $-1$ 이 뒤집으라는 뜻이었으니 헷갈리기 쉽지만, 함수 이름에 붙은 $-1$ 은 거꾸로 돌리라는 표시입니다. $f^{-1}(x)$ 와 $\dfrac{1}{f(x)}$ 는 다른 것입니다.

앞의 $f(x) = \dfrac{x}{2} + 1$ 로 수를 넣어 봅니다. $f^{-1}(4) = 2 \times 4 - 2 = 6$ 입니다. 확인하면 $f(6) = 3 + 1 = 4$ 라 맞습니다. 한편 $\dfrac{1}{f(4)}$ 은 $f(4) = 3$ 이라 $\dfrac{1}{3}$ 입니다. 6과 $\dfrac{1}{3}$ 으로 전혀 다른 수입니다.

$\dfrac{1}{f(x)}$ 를 적고 싶으면 괄호로 묶어 $\big(f(x)\big)^{-1}$ 로 쓰거나 분수로 씁니다. $f^{-1}$ 은 늘 역함수입니다.

정의역·치역·점근선

정의역의 이동

곡선을 옮기면 넣을 수 있는 값의 범위, 곧 정의역도 함께 옮겨 갑니다. $y = \sqrt{x}$ 의 정의역은 $x \ge 0$ 이었습니다. 왼쪽으로 3 옮긴 $y=\sqrt{x+3}$ 은 근호 안이 0 이상이어야 하므로 $x + 3 \ge 0$ 이고, 양변에서 3을 빼면 $x \ge -3$ 입니다. 네 방향 그림의 오른쪽 아래 칸에서 곡선이 $-3$ 에서 시작하던 것이 이것입니다.

위아래 이동은 정의역을 안 건드립니다. $y=\sqrt{x} + 2$ 의 정의역은 그대로 $x \ge 0$ 입니다. 넣는 $x$ 에는 손대지 않고 나온 값에만 더했기 때문입니다.

가로 뒤집기는 정의역을 뒤집습니다. $y = \sqrt{-x}$ 는 $-x \ge 0$, 곧 $x \le 0$ 입니다. 가로 늘이기는 시작점이 0이면 시작점을 안 옮깁니다. $\sqrt{x/2}$ 도 $x \ge 0$ 입니다. 정의역을 바꾸는 것은 가로 변형뿐이고, 판정은 늘 "괄호 안이 허용되는 범위를 푸는 것"입니다.

치역의 이동

치역은 반대로 세로 변형을 따라갑니다. $y = -2\lvert x \rvert + 5$ 를 $y = \lvert x \rvert$ 에서 한 단계씩 만들며 치역을 적어 봅니다.

단계	식	치역
출발	$\lvert x \rvert$	$y \ge 0$
세로 2배	$2\lvert x \rvert$	$y \ge 0$
$x$ 축 뒤집기	$-2\lvert x \rvert$	$y \le 0$
위로 5	$-2\lvert x \rvert + 5$	$y \le 5$

2배를 해도 0 이상인 것은 0 이상입니다. 부호를 바꾸면 0 이상이 0 이하가 되고, 부등호의 방향이 뒤집힙니다. 마지막에 5를 더하면 0 이하였던 값이 모두 5 이하가 됩니다.

수로 확인합니다. $x=0$ 이면 $-2 \times 0 + 5 = 5$ 이고, $x=1$ 이면 $-2 + 5 = 3$, $x=-2$ 면 $-4 + 5 = 1$ 입니다. 가장 큰 값이 5이고 그보다 큰 값은 안 나옵니다. 정의역은 이 네 단계 내내 모든 실수입니다. 세로 변형만 했기 때문입니다.

점근선

$y = \frac{1}{x}$ 을 오른쪽으로 2, 위로 3 옮기면 이렇게 됩니다.

$y = \frac{1}{x-2} + 3$

원래 곡선은 $x=0$ 과 $y=0$ 이라는 두 직선에 한없이 가까워지면서 닿지는 않았습니다. 옮겼으니 그 두 직선도 함께 옮겨 갑니다. $x=2$ 와 $y=3$ 입니다.

이렇게 곡선이 한없이 가까워지지만 닿지 않는 직선을 점근선이라 합니다. 여기서는 그림에서 눈으로 확인하는 데까지만 씁니다. "한없이 가까워진다"를 식으로 정확히 적는 것은 28번 · 극한의 몫입니다.

수를 넣어 보면 가까워지는 모습이 보입니다. $x = 12$ 면 $\dfrac{1}{10} + 3 = 3.1$ 로 3에 가깝고, $x = 2.1$ 이면 $\dfrac{1}{0.1} + 3 = 13$ 으로 치솟습니다. $x$ 가 2에 다가갈수록 분모가 0에 가까워져 값이 한없이 커집니다.

점근선은 정의역·치역의 구멍과 같은 자리입니다. $y = \dfrac{1}{x}$ 은 정의역이 $x \ne 0$, 치역이 $y \ne 0$ 이었고, 옮긴 곡선은 정의역이 $x \ne 2$, 치역이 $y \ne 3$ 입니다. 빠진 두 수가 곧 두 점근선입니다. 그래서 분수 꼴을 만나면 분모가 0이 되는 $x$ 와 뒤에 더해진 수를 먼저 보면 그래프의 자리가 정해집니다.

연습 문제

2번 묶음은 단계마다 한 번씩 그려 보세요. 마지막 그림만 그리면 순서를 익히지 못합니다.

연습 1 — 변형 알아보기

괄호 안에 적은 곡선에서 출발했습니다. 무엇을 한 것입니까?

1. $y = x^2 + 3$  ($y=x^2$ 에서)

   위로 3만큼 옮긴 것. 꼭짓점이 $(0,3)$ 입니다.
2. $y = \sqrt{x-4}$  ($y=\sqrt{x}$ 에서)

   오른쪽으로 4만큼. 근호 안이 0이 되는 자리가 4로 옮겨 갑니다.
3. $y = |x+1|$  ($y=|x|$ 에서)

   왼쪽으로 1만큼. 꺾이는 점이 $(-1, 0)$ 입니다.
4. $y = 3x^2$  ($y=x^2$ 에서)

   세로로 3배 늘인 것. 원점을 지나는 것은 그대로입니다.
5. $y = \sqrt{2x}$  ($y=\sqrt{x}$ 에서)

   가로로 $\dfrac{1}{2}$ 배. $y=2$ 가 나오던 자리가 4에서 2로 당겨집니다.
6. $y = -\dfrac{1}{x}$  ($y=\dfrac{1}{x}$ 에서)

   출력의 부호를 바꿨으므로 $x$ 축 대칭입니다.
7. $y = \dfrac{1}{-x}$  ($y=\dfrac{1}{x}$ 에서)

   입력의 부호를 바꿨으므로 $y$ 축 대칭입니다. 정리하면 $-\dfrac{1}{x}$ 이라 6번과 그래프가 같습니다. $y=1/x$ 가 기함수여서 두 뒤집기의 결과가 겹칩니다.
8. $y = -\sqrt{-x}$  ($y=\sqrt{x}$ 에서)

   두 뒤집기를 함께 했으므로 원점을 중심으로 돌린 모습입니다. 왼쪽 아래로 뻗고 정의역은 $x \le 0$ 입니다.
9. $y = \sqrt{3x - 6}$  ($y=\sqrt{x}$ 에서)

   $3x - 6 = 3(x-2)$ 이므로 가로로 $\dfrac{1}{3}$ 배, 그다음 오른쪽으로 2입니다. 곡선은 $3x - 6 = 0$, 곧 $x = 2$ 에서 시작합니다. 확인하면 $x = 3$ 에서 $\sqrt{9 - 6} = \sqrt{3}$ 입니다.
10. $y = (2x + 6)^2$  ($y=x^2$ 에서)

    $2x + 6 = 2(x+3)$ 이므로 가로로 절반, 그다음 왼쪽으로 3입니다. 꼭짓점은 $2x + 6 = 0$ 인 $x = -3$ 에서 $(-3, 0)$ 입니다. 왼쪽으로 6이 아닙니다.
11. $y = \left\lvert \dfrac{x}{2} - 1 \right\rvert$  ($y=|x|$ 에서)

    $\dfrac{x}{2} - 1 = \dfrac{1}{2}(x - 2)$ 이므로 가로로 2배, 그다음 오른쪽으로 2입니다. 꺾이는 점은 $(2, 0)$ 이고, $x = 4$ 를 넣으면 $\lvert 2 - 1 \rvert = 1$ 입니다.

연습 2 — 단계별 그리기

1. $y = x^2$ 에서 출발해 $y = -2(x-3)^2 + 1$ 까지 단계마다 그리고, 꼭짓점과 볼록한 방향을 적으세요.

   오른쪽 3 → 세로 2배 → $x$ 축 대칭 → 위로 1. 꼭짓점은 $(3, 1)$ 이고 앞에 $-$ 가 붙었으므로 위로 볼록합니다.
2. $y = \dfrac{1}{x}$ 에서 출발해 $y = \dfrac{1}{x+1} - 2$ 까지 그리고, 점근선 두 개를 적으세요.

   왼쪽 1 → 아래로 2. 점근선은 $x = -1$ 과 $y = -2$ 입니다.
3. $f(x) = x^2 - 1$ 일 때 $y = \lvert f(x) \rvert$ 와 $y = f(\lvert x \rvert)$ 를 그리고, $x = 0$ 과 $x = -2$ 에서 두 값을 비교하세요.

   $y = f(\lvert x \rvert)$ 는 $\lvert x \rvert^2 - 1 = x^2 - 1$ 이라 원래 곡선 그대로입니다. $x^2 - 1$ 이 우함수라 오른쪽을 왼쪽에 비쳐도 달라지지 않습니다. $y = \lvert f(x) \rvert$ 는 곡선이 $x$ 축 아래로 내려간 $-1 < x < 1$ 부분만 위로 접혀, 가운데가 $(0, 1)$ 로 솟은 W자가 됩니다. $x = 0$ 에서는 $\lvert -1 \rvert = 1$ 과 $-1$ 로 갈리고, $x = -2$ 에서는 $\lvert 4 - 1 \rvert = 3$ 과 $4 - 1 = 3$ 으로 같습니다.
4. $f(x) = x + 3$ 일 때 $y = \lvert f(x) \rvert$ 와 $y = f(\lvert x \rvert)$ 를 그리고, 꺾이는 점과 $x = -5$ 에서의 값을 적으세요.

   $y = \lvert x + 3 \rvert$ 는 $x < -3$ 부분이 접혀 올라가 꺾이는 점이 $(-3, 0)$ 입니다. $y = \lvert x \rvert + 3$ 은 오른쪽 절반을 왼쪽에 비쳐 꺾이는 점이 $(0, 3)$ 입니다. $x = -5$ 에서는 $\lvert -5 + 3 \rvert = \lvert -2 \rvert = 2$ 와 $\lvert -5 \rvert + 3 = 8$ 입니다.

연습 3 — 식 되쓰기

지난 글의 다섯 곡선 중 하나를 옮겨 놓은 것입니다. 식을 쓰세요.

1. $y=x^2$ 과 같은 모양이고 꼭짓점이 $(1, 2)$ 입니다.

   $y = (x-1)^2 + 2$.
2. $y=|x|$ 와 같은 모양이고 꺾이는 점이 $(-2, 0)$ 입니다.

   $y = |x+2|$. 왼쪽으로 2 옮겼으므로 괄호 안이 $x+2$ 입니다.
3. $y=\dfrac{1}{x}$ 를 옮긴 것이고 점근선이 $x=3$ 과 $y=-1$ 입니다.

   $y = \dfrac{1}{x-3} - 1$.
4. $y=\sqrt{x}$ 를 옮긴 것이고 곡선이 $(4, 1)$ 에서 시작합니다.

   $y = \sqrt{x-4} + 1$. 근호 안이 0이 되는 자리가 4입니다.

연습 4 — 범위와 역함수

1. $y = \sqrt{x - 5} - 1$ 의 정의역과 치역을 그리기 전에 먼저 적으세요.

   근호 안이 0 이상이어야 하므로 $x - 5 \ge 0$, 곧 정의역은 $x \ge 5$ 입니다. $\sqrt{x-5}$ 는 0 이상이고 1을 빼므로 치역은 $y \ge -1$ 입니다. 곡선은 $(5, -1)$ 에서 시작합니다.
2. $y = -\lvert x - 1 \rvert + 3$ 의 정의역과 치역을 적으세요.

   절댓값에는 어떤 수든 넣을 수 있으므로 정의역은 모든 실수입니다. $\lvert x - 1 \rvert \ge 0$ 에 부호를 바꾸면 0 이하, 3을 더하면 3 이하라 치역은 $y \le 3$ 입니다. 가장 높은 점이 $(1, 3)$ 입니다.
3. $y = \dfrac{1}{x + 4} - 2$ 의 정의역과 치역을 적으세요.

   분모가 0이 되는 $x = -4$ 를 뺀 모든 실수가 정의역이고, $\dfrac{1}{x+4}$ 가 0이 될 수 없으므로 $-2$ 를 뺀 모든 실수가 치역입니다. 점근선이 $x = -4$ 와 $y = -2$ 입니다.
4. $y = 2\sqrt{-x} + 1$ 의 정의역과 치역을 적으세요.

   $-x \ge 0$ 이어야 하므로 정의역은 $x \le 0$ 입니다. $\sqrt{-x}$ 는 0 이상이고 2배를 해도 0 이상, 1을 더해 치역은 $y \ge 1$ 입니다. 확인하면 $x = -4$ 에서 $2 \times 2 + 1 = 5$ 입니다.
5. $f(x) = 2x - 3$ 의 역함수를 구하고, 두 그래프가 $y=x$ 에 대칭인지 점 하나로 확인하세요.

   $y = 2x-3$ 을 $x$ 에 대해 풀면 $x = \dfrac{y+3}{2}$ 이고, 문자를 맞바꾸면 $f^{-1}(x) = \dfrac{x+3}{2}$ 입니다. $f(3) = 3$ 은 $y=x$ 위의 점이라 확인에 못 쓰므로 다른 점을 씁니다. $f(4) = 5$ 이므로 원래 그래프에 $(4,5)$ 가 있고, 역함수에 $f^{-1}(5) = 4$ 이므로 $(5,4)$ 가 있습니다. 좌표가 맞바뀌었으므로 $y=x$ 에 대칭입니다.
6. $f(x) = \dfrac{x}{3} + 2$ 의 역함수를 구하세요.

   $x = 3(y-2) = 3y - 6$ 이므로 $f^{-1}(x) = 3x - 6$.
7. 모든 실수에서 정의된 $f(x) = |x|$ 에 역함수가 있습니까? 없다면 어떻게 고치면 생깁니까?

   없습니다. $f(3) = f(-3) = 3$ 이라 가로선 $y=3$ 이 그래프를 두 번 만납니다. 정의역을 $x \ge 0$ 으로 줄이면 식이 $f(x)=x$ 가 되어 일대일이 되고, 역함수는 $y=x$ 입니다.
8. $f(x) = \sqrt{x + 2}$ 의 정의역과 치역을 적고, 역함수와 그 정의역·치역을 구하세요.

   $f$ 의 정의역은 $x \ge -2$, 치역은 $y \ge 0$ 입니다. $y = \sqrt{x+2}$ 의 양변을 제곱하면 $y^2 = x + 2$, 2를 빼면 $x = y^2 - 2$ 이고, 문자를 맞바꿔 $f^{-1}(x) = x^2 - 2$ 입니다. 정의역은 $f$ 의 치역인 $x \ge 0$, 치역은 $f$ 의 정의역인 $y \ge -2$ 입니다. 확인하면 $f(7) = \sqrt{9} = 3$ 이고 $f^{-1}(3) = 9 - 2 = 7$ 입니다.
9. $f(x) = \dfrac{1}{x} + 1$ 의 역함수를 구하고, 두 함수의 정의역과 치역을 적으세요.

   $y = \dfrac{1}{x} + 1$ 에서 1을 빼면 $y - 1 = \dfrac{1}{x}$ 입니다. 양변에 $x$ 를 곱하면 $x(y - 1) = 1$, 양변을 $y - 1$ 로 나누면 $x = \dfrac{1}{y-1}$ 이고, 문자를 맞바꿔 $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{x - 1}$ 입니다. $f$ 는 정의역이 $x \ne 0$, 치역이 $y \ne 1$ 이고, $f^{-1}$ 은 그 둘이 맞바뀌어 정의역이 $x \ne 1$, 치역이 $y \ne 0$ 입니다. 확인하면 $f(2) = 1.5$ 이고 $f^{-1}(1.5) = \dfrac{1}{0.5} = 2$ 입니다.

옮기기는 점을 $(a+h,\ b+k)$ 로 보내고, 늘이기와 뒤집기는 $c$ 의 크기와 부호가 정하며, 겹칠 때는 같은 방향끼리의 순서만 지키면 됩니다. 역함수는 이 변형 가운데 $y=x$ 대칭이 맡고, 정의역과 치역을 맞바꿉니다.

다음 글에서는 새 곡선이 하나 늘어납니다. 곱셈을 거듭하며 자라는 지수함수이고, 이 글의 변형 규칙을 그대로 받아 씁니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊