정적분: 넓이를 잘게 쪼개 더하기

6번 글에서 삼각형과 원의 넓이를 구했습니다. 변이 곧은 도형이거나 공식이 있는 도형이었습니다.

그러면 곡선 아래의 넓이는 어떻게 구할까요. $y=x^2$ 의 그래프와 $x$ 축 사이, $x=0$ 부터 $x=1$ 까지의 넓이 같은 것입니다. 공식이 없습니다.

이 글은 그 넓이를 잘게 쪼개 더하는 방법으로 구합니다. 한 번은 끝까지 손으로 갑니다.

직사각형으로 덮기

오른쪽 끝에서 재기

넓이를 아는 도형으로 덮으면 됩니다. 가장 쉬운 것이 직사각형입니다.

$x=0$ 부터 $x=1$ 까지를 폭이 같은 네 칸으로 자릅니다. 칸마다 폭이 $\dfrac14=0.25$ 입니다. 각 칸에 직사각형을 하나씩 세우는데, 높이는 그 칸의 오른쪽 끝에서 잽니다.

칸	오른쪽 끝 $x$	높이 $x^2$	넓이 = 폭 × 높이
1	0.25	0.0625	0.015625
2	0.5	0.25	0.0625
3	0.75	0.5625	0.140625
4	1	1	0.25

넷을 더하면 0.46875 입니다.

이렇게 구간을 잘게 나눠 직사각형을 세우고 그 넓이를 모두 더한 것을 리만합이라고 합니다. 리만은 이 방식을 다듬은 수학자의 이름입니다.

왼쪽 끝과 오른쪽 끝

높이를 오른쪽 끝에서 쟀습니다. 왼쪽 끝에서 재면 어떻게 될까요.

칸	왼쪽 끝 $x$	높이	넓이
1	0	0	0
2	0.25	0.0625	0.015625
3	0.5	0.25	0.0625
4	0.75	0.5625	0.140625

합이 0.21875 입니다. 아까와 두 배 넘게 차이가 납니다.

$x^2$ 은 이 구간에서 계속 올라가므로 왼쪽 끝은 그 칸에서 가장 낮고 오른쪽 끝은 가장 높습니다. 그래서 왼쪽으로 재면 모자라고 오른쪽으로 재면 넘칩니다. 참값은 반드시 그 사이입니다.

$0.21875 < \text{참값} < 0.46875$

칸의 가운데에서 재기

높이를 잴 자리가 양 끝만은 아닙니다. 칸 안 어디서 재도 직사각형은 세워집니다. 칸의 한가운데에서 재는 방식을 중점법이라고 합니다.

네 칸의 가운데는 0.125, 0.375, 0.625, 0.875입니다.

칸	가운데 $x$	높이 $x^2$	넓이
1	0.125	0.015625	0.00390625
2	0.375	0.140625	0.03515625
3	0.625	0.390625	0.09765625
4	0.875	0.765625	0.19140625

합은 0.328125 입니다. 왼끝의 0.21875와 오른끝의 0.46875 사이이고, 양쪽 어느 것보다도 참값에 가깝습니다.

가운데에서 재면 왜 나아지는지는 그림에서 바로 보입니다. 오른끝으로 세운 직사각형은 곡선 위로 통째로 넘치고 왼끝으로 세운 것은 통째로 모자라는데, 가운데로 세우면 칸의 왼쪽 절반에서는 넘치고 오른쪽 절반에서는 모자라 두 오차가 칸 안에서 서로 깎아 냅니다.

가운데에서 재는 것 말고 한 가지 방법이 더 있습니다. 왼끝과 오른끝의 값을 평균 내는 것입니다.

$\frac{0.21875 + 0.46875}{2} = 0.34375$

이것은 직사각형이 아니라 사다리꼴로 덮은 것과 정확히 같습니다. 칸의 두 세로변이 각각 왼끝 높이와 오른끝 높이인 사다리꼴의 넓이가 $\dfrac{\text{왼끝}+\text{오른끝}}{2}\times\text{폭}$ 이기 때문입니다. 중점의 0.328125와 사다리꼴의 0.34375가 참값을 양쪽에서 감싸고 있습니다.

칸을 늘리는 일

열 칸으로 가기

네 칸으로는 범위가 너무 넓습니다. 좁히는 방법은 하나뿐입니다 — 칸을 늘리는 것입니다.

열 칸으로 갑니다. 폭이 0.1이고 오른쪽 끝의 높이는 $0.1^2, 0.2^2, \dots, 1^2$ 입니다.

$0.1\times(0.01+0.04+0.09+0.16+0.25+0.36+0.49+0.64+0.81+1)$

괄호 안이 3.85이므로 합은 0.385 입니다. 네 칸일 때의 0.46875에서 내려왔습니다.

위아래 차이가 정하는 오차

칸을 늘리면 좁혀진다는 것을 눈으로만 보지 말고 얼마나 좁혀지는지를 수로 잡아 둡니다.

오른끝 합과 왼끝 합은 같은 직사각형들을 한 칸씩 밀어 놓은 것이라, 겹치는 부분이 전부 지워지고 맨 오른쪽 칸 하나와 맨 왼쪽 칸 하나만 남습니다. 폭이 $\dfrac1n$ 이므로 차이는

$\frac{1}{n}\bigl(f(1)-f(0)\bigr) = \frac{1}{n}(1-0) = \frac{1}{n}$

네 칸이면 0.25, 열 칸이면 0.1입니다. 앞에서 구한 $0.46875-0.21875=0.25$ 와 맞습니다.

여기서 중요한 것은 참값을 몰라도 이 폭이 계산된다는 점입니다. 참값은 왼끝 합과 오른끝 합 사이에 반드시 있으므로, 둘 중 아무거나 답으로 삼아도 오차가 $\dfrac1n$ 을 넘지 않습니다. 열 칸이면 오차가 0.1 이하이니 소수 첫째 자리도 못 믿고, 천 칸이면 0.001 이하이니 소수 둘째 자리까지는 믿을 수 있습니다. 몇째 자리까지 적어도 되는지가 이 폭 하나로 정해집니다.

재는 자리와 좁혀지는 속도

같은 $n$ 이어도 어디서 높이를 재느냐에 따라 좁혀지는 속도가 다릅니다. 참값 $\dfrac13 = 0.3333\ldots$ 과의 차이를 적어 봅니다.

$n$	오른끝	오차	중점	오차
4	0.46875	0.13542	0.328125	0.00521
10	0.385	0.05167	0.3325	0.00083
40	0.34594	0.01261	0.33328	0.00005

$n$ 을 열 배 한 자리를 보면 갈림이 분명합니다. 오른끝은 $n$ 을 열 배 해야 오차가 십분의 일이 되는데 중점은 백분의 일이 됩니다. 네 칸짜리 중점법이 마흔 칸짜리 오른끝법보다 이미 정확합니다.

이유는 앞 절의 그림에 있습니다. 오른끝으로 재면 칸마다 오차가 한 방향으로만 쌓이는데, 중점으로 재면 칸 안에서 넘친 만큼과 모자란 만큼이 서로 깎아 내고 남은 것만 쌓이기 때문입니다.

시그마로 접어 극한 씌우기

일반 n으로 접기

백 칸, 천 칸으로 가면 더 정확해지겠지만 손으로 백 개를 더할 수는 없습니다. 문자로 한 번에 처리합니다.

칸이 $n$ 개면 폭은 $\dfrac1n$ 이고, $k$ 번째 칸의 오른쪽 끝은 $\dfrac kn$ 입니다. 높이가 $\left(\dfrac kn\right)^2$ 이므로 그 칸의 넓이는

$\left(\frac kn\right)^2\cdot\frac1n = \frac{k^2}{n^3}$

이것을 $k=1$ 부터 $n$ 까지 더합니다. 27번 글의 시그마 표기 그대로입니다.

$S_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{k^2}{n^3} = \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2$

$\dfrac{1}{n^3}$ 은 $k$ 와 상관없는 상수이므로 밖으로 뺐습니다. 그리고 27번 글의 공식이 $\sum k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 이었습니다.

$S_n = \frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$

분자를 나눠 정리합니다. $\dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac1n$ 이고 $\dfrac{2n+1}{n}=2+\dfrac1n$ 이므로

$S_n = \frac16\left(1+\frac1n\right)\left(2+\frac1n\right) = \frac13\left(1+\frac1n\right)\left(1+\frac{1}{2n}\right)$

식이 맞는지 확인합니다. $n=4$ 를 넣으면 $\dfrac13\times1.25\times1.125 = 0.46875$ 로 손으로 더한 값과 같습니다. $n=10$ 이면 $\dfrac13\times1.1\times1.05 = 0.385$ 입니다.

$n$	$S_n$
4	0.46875
10	0.385
100	0.33835
1000	0.3338335

극한 씌우기

식이 있으니 28번 글의 극한을 그대로 씌웁니다. $n$ 이 커지면 $\dfrac1n$ 과 $\dfrac{1}{2n}$ 이 0으로 갑니다.

$\lim_{n\to\infty} S_n = \frac13\times1\times1 = \frac13$

넓이는 정확히 $\dfrac13$ 입니다. 표의 0.3338335가 그리로 가는 중이었습니다.

이 값을 정적분이라고 하고 이렇게 적습니다.

$\int_0^1 x^2\,dx = \frac13$

왼끝으로 접어도 같은 곳

오른끝으로 접었습니다. 왼끝으로 접으면 다른 답이 나올까요. 왼끝은 $k$ 번째 칸에서 $\dfrac{k-1}{n}$ 이므로, 번호를 $k=0$ 부터 $n-1$ 까지로 바꿔 적는 편이 깔끔합니다.

$L_n = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{k^2}{n^3} = \frac{1}{n^3}\cdot\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac13\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac{1}{2n}\right)$

$n=4$ 를 넣으면 $\dfrac13\times0.75\times0.875=0.21875$ 로 손으로 더한 왼끝 합과 같습니다. 그리고 $n$ 을 키우면 $\dfrac1n$ 과 $\dfrac{1}{2n}$ 이 0으로 가므로 극한은 역시 $\dfrac13$ 입니다.

$S_n$ 은 위에서 내려오고 $L_n$ 은 아래에서 올라와 같은 곳에서 만납니다. 두 방법으로 계산해 같은 답을 얻은 셈이라 답을 믿을 근거가 하나 더 생겼습니다.

폭이 꼭 같아야 하는 것도 아닙니다. 칸의 폭이 제각각이어도 가장 넓은 칸의 폭이 0으로 가기만 하면, 그리고 높이를 칸 안 어디서 재든, 극한은 같은 값입니다. 중점법이 같은 $\dfrac13$ 으로 가는 것도 이 때문입니다. 재는 자리는 수렴하는 속도만 바꾸지 도착지를 바꾸지 않습니다.

위끝을 문자로 남기기

1까지가 아니라 $b$ 까지 재면 어떻게 될까요. 같은 계산을 문자로 한 번 더 합니다. 폭이 $\dfrac bn$ 이고 $k$ 번째 칸의 오른쪽 끝이 $\dfrac{kb}{n}$ 이므로 그 칸의 넓이는 $\dfrac{k^2b^3}{n^3}$ 입니다.

$\sum_{k=1}^{n}\frac{k^2b^3}{n^3} = b^3\cdot\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\; \frac{b^3}{3}$

$\int_0^b x^2\,dx = \frac{b^3}{3}$

$b=1$ 을 넣으면 $\dfrac13$ 이라 앞의 답과 맞습니다. 끝을 문자로 남겨 두면 답 하나가 아니라 답의 공식이 나옵니다 — $b=2$ 면 $\dfrac83$, $b=3$ 이면 9입니다. 리만합을 다시 세울 필요가 없습니다.

적분 기호 읽기

네 자리의 이름

기호가 낯설지만 자리마다 뜻이 있습니다.

• $\int$ 는 늘여 쓴 S입니다. 합을 뜻하는 낱말의 첫 글자이고, 하는 일도 더하는 것입니다. $\sum$ 이 띄엄띄엄 더하는 기호라면 $\int$ 는 이어진 것을 더하는 기호입니다.
• 아래에 적힌 0을 아래끝, 위에 적힌 1을 위끝 이라 하고, 둘을 묶어 적분 구간 이라고 합니다.
• 가운데의 $x^2$ 을 피적분함수 라고 합니다. 직사각형의 높이 자리입니다.
• 끝의 $dx$ 는 가늘게 쪼갠 폭 입니다. 리만합에서 $\dfrac1n$ 이던 자리이고, $\dfrac{dy}{dx}$ 의 $d$ 와 같은 뜻입니다.

소리 내어 읽으면 "0부터 1까지 x제곱 dx의 적분" 입니다. 통째로 보면 "높이 곱하기 폭을 0부터 1까지 이어 더하라"입니다.

더미 변수

$\int_0^1 x^2\,dx$ 와 $\int_0^1 t^2\,dt$ 는 같은 값입니다. 둘 다 0.333…이고, 글자만 다를 뿐 같은 넓이를 가리킵니다.

계산이 끝나면 사라져서 답에 남지 않는 글자를 더미 변수라고 합니다. 시그마의 $k$ 가 그랬습니다 — $\sum_{k=1}^{3}k$ 를 $\sum_{j=1}^{3}j$ 로 적어도 답은 똑같이 6입니다. 적분변수도 같습니다. 답에 남는 것은 아래끝과 위끝뿐입니다.

바로 앞에서 $\int_0^b x^2\,dx = \dfrac{b^3}{3}$ 을 얻었을 때 답에 $b$ 는 남고 $x$ 는 안 남은 것이 그 증거입니다. 위끝은 답을 정하는 값이고 적분변수는 더해 나가는 동안만 쓰이는 이름입니다.

$\sum$ 과 $\int$

두 기호가 하는 일이 같아서 자리도 하나씩 대응합니다.

$\sum_{k=1}^{n} a_k$	$\int_a^b f(x)\,dx$	하는 일
$k$	$x$	더해 나가는 동안 움직이는 이름
$k=1$ 과 $n$	$a$ 와 $b$	어디서 시작해 어디서 멈추는가
$a_k$	$f(x)$	더할 것 하나의 크기
(없음)	$dx$	폭

$dx$ 만 짝이 없습니다. 시그마는 항을 하나씩 세므로 폭이라는 개념이 없고, 적분은 이어진 것을 더하므로 하나씩 셀 수가 없어 폭을 곱해야 하기 때문입니다.

그리고 $dx$ 에는 일이 하나 더 있습니다. 어느 글자로 적분하는지를 밝히는 것입니다. 식 안에 글자가 둘이면 이것이 없으면 뜻이 정해지지 않습니다 — $\int_0^1 ax\,dx$ 는 $x$ 로 더하는 것이고 $\int_0^1 ax\,da$ 는 $a$ 로 더하는 것이라 답이 다릅니다.

부호 있는 넓이

축 아래는 음수

높이가 음수면 넓이도 음수로 셉니다. 약속입니다.

$y=x-1$ 을 0부터 2까지 봅니다. 0에서 1까지는 축 아래의 삼각형이고 밑변 1, 높이 1이라 넓이가 0.5입니다. 1에서 2까지는 축 위의 삼각형으로 역시 0.5입니다. 규약에 따라

$\int_0^2 (x-1)\,dx = -0.5+0.5 = 0$

정적분은 "넓이"가 아니라 "부호를 붙인 넓이"입니다.

실제 넓이와 정적분

그러면 그림에 칠해진 넓이 자체를 구하고 싶을 때는 어떻게 할까요. 정적분이 0이라고 해서 칠할 것이 없는 것은 아닙니다. 위의 그림에는 삼각형 둘이 분명히 있고 넓이를 합치면 1입니다.

방법은 함수가 축을 지나는 자리에서 구간을 갈라 각각을 따로 재고, 음수로 나온 것에 부호를 뒤집어 더하는 것입니다. 축을 지나는 자리는 $y=0$ 이 되는 $x$ 이므로 $x-1=0$ 에서 $x=1$ 입니다.

$\left|\int_0^1 (x-1)\,dx\right| + \left|\int_1^2 (x-1)\,dx\right| = 0.5+0.5 = 1$

그러니 "넓이를 구하라"와 "정적분을 구하라"는 다른 물음입니다. 구간 안에서 함수가 축을 한 번도 안 지나면 둘이 같고, 지나면 갈립니다. 문제를 읽을 때 어느 쪽을 묻는지 먼저 가려야 합니다.

원점 대칭인 함수

$y=x^3$ 을 $-1$ 부터 1까지 봅니다. 이 함수는 원점을 가운데 두고 대칭이라 $x$ 에서의 높이와 $-x$ 에서의 높이가 크기는 같고 부호만 반대입니다. $1^3=1$ 이고 $(-1)^3=-1$ 인 식입니다.

그러면 왼쪽 절반과 오른쪽 절반이 크기가 같고 부호가 반대라 더하면 지워집니다.

$\int_{-1}^{1} x^3\,dx = 0$

계산하지 않고 그림만 보고 답을 적은 것입니다. 원점 대칭인 함수를 $-a$ 부터 $a$ 까지 재면 언제나 0입니다. 반대로 $y$ 축 대칭인 $y=x^2$ 은 양쪽이 같은 부호라 지워지지 않고, $-a$ 부터 $a$ 까지가 0부터 $a$ 까지의 두 배입니다. 대칭을 먼저 보면 계산을 통째로 건너뛰거나 절반으로 줄일 수 있습니다.

그림에서 읽히는 규칙 셋

상수배와 합

$\int_a^b c\,f(x)\,dx = c\int_a^b f(x)\,dx$

$\int_a^b \bigl(f(x)+g(x)\bigr)dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$

직사각형의 높이를 두 배로 늘리면 넓이도 두 배가 되고, 높이를 위아래로 붙이면 넓이도 붙습니다.

부등호도 같은 방식으로 통과합니다. 구간 전체에서 $f$ 가 $g$ 보다 크거나 같으면 칸마다 직사각형이 더 높으므로 합도 더 크고, 극한을 씌워도 그 관계가 남습니다.

$f(x)\ge g(x) \quad\Longrightarrow\quad \int_a^b f(x)\,dx \ge \int_a^b g(x)\,dx$

앞에서 참값이 왼끝 합과 오른끝 합 사이에 있다고 한 것이 이 규칙의 한 경우였습니다.

구간 쪼개기와 끝 뒤집기

$\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx$

넓이를 세로로 한 번 자른 것입니다. 위의 $y=x-1$ 을 0에서 1까지와 1에서 2까지로 갈라 계산한 것이 바로 이 규칙이었습니다.

$\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$

끝을 바꾸면 부호가 뒤집힙니다. 폭을 오른쪽으로 세지 않고 왼쪽으로 세면 폭이 음수가 되기 때문입니다. 여기서 $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ 도 따라옵니다 — 폭이 0인 구간입니다.

평균 높이

정적분을 구간의 폭으로 나누면 그 구간에서의 평균 높이가 나옵니다. 리만합이 "높이 × 폭"을 다 더한 것이니, 폭으로 도로 나누면 높이 쪽만 남는 셈입니다.

$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$

$y=x^2$ 을 0부터 1까지 재면 정적분이 $\dfrac13$ 이고 폭이 1이므로 평균 높이도 $\dfrac13$ 입니다. 이 말은 높이가 $\dfrac13$ 으로 일정한 직사각형이 곡선 아래와 넓이가 같다는 뜻입니다. 곡선의 높이는 0에서 1까지 오르내리지만 골라 낸 한 높이로 바꿔 놓아도 넓이가 그대로입니다.

그 높이를 실제로 지나는 자리도 있습니다. $x^2=\dfrac13$ 이 되는 $x$ 는 약 0.577이고, 구간 안에 있습니다. 평균 높이가 최솟값 0과 최댓값 1 사이에 있으니 이어진 곡선이라면 그 높이를 어디선가 반드시 지납니다.

연습 문제

연습 1 — 리만합 표 채우기

폭과 오른쪽 끝의 높이를 곱해 더합니다. 소수 다섯째 자리에서 반올림합니다.

1. $f(x)=x^2$ 을 0부터 1까지, $n=5$

   폭 0.2, 높이는 $0.2^2$ 부터 $1^2$ 까지입니다. $0.2\times(0.04+0.16+0.36+0.64+1) = 0.2\times2.2 = 0.44$ 입니다. $n=4$ 의 0.46875보다 작아졌습니다.
2. $f(x)=\sqrt{x}$ 를 0부터 1까지, $n=4$ 와 $n=10$

   $n=4$ 는 $0.25\times(0.5+0.70711+0.86603+1)=0.25\times3.07314=0.76829$ 입니다. $n=10$ 은 높이 열 개의 합이 7.10510이므로 $0.1\times7.10510=0.71051$ 입니다. 내려가는 중입니다.
3. $f(x)=\dfrac1x$ 을 1부터 2까지, $n=4$ 와 $n=10$

   $n=4$ 는 $0.25\times(0.8+0.66667+0.57143+0.5)=0.25\times2.53810=0.63452$ 입니다. $n=10$ 은 높이 열 개의 합이 6.68773이므로 0.66877입니다. 이번에는 올라갑니다 — $\dfrac1x$ 이 내려가는 함수라 오른쪽 끝이 그 칸에서 가장 낮고, 그래서 리만합이 참값보다 작기 때문입니다.

연습 2 — 도형의 넓이로 즉답하기

그래프를 그려 보면 전부 아는 도형입니다.

1. $\int_0^3 2\,dx$

   가로 3, 세로 2인 직사각형이므로 6입니다.
2. $\int_0^4 x\,dx$

   밑변 4, 높이 4인 삼각형이므로 $\dfrac12\times4\times4=8$ 입니다.
3. $\int_1^3 (x+1)\,dx$

   두 세로변이 $f(1)=2$ 와 $f(3)=4$, 폭이 2인 사다리꼴이므로 $\dfrac{2+4}{2}\times2=6$ 입니다.
4. $\int_0^2 (-x)\,dx$

   축 아래에 있는 밑변 2, 높이 2인 삼각형이라 넓이는 2이고 부호가 음수이므로 $-2$ 입니다.
5. $\int_{-1}^{1} (2-x)\,dx$

   두 세로변이 $f(-1)=3$ 과 $f(1)=1$, 폭이 2인 사다리꼴이므로 $\dfrac{3+1}{2}\times2=4$ 입니다. 구간 전체가 축 위에 있습니다.

연습 3 — 규칙 쓰기

$\int_0^1 x^2\,dx=\dfrac13$ 과 $\int_0^1 x\,dx=\dfrac12$ 를 알고 있다고 봅니다.

1. $\int_0^1 6x^2\,dx$

   상수배가 밖으로 나오므로 $6\times\dfrac13=2$ 입니다.
2. $\int_0^1 (x^2+x)\,dx$

   갈라서 더하면 $\dfrac13+\dfrac12=\dfrac56$ 입니다.
3. $\int_1^0 x^2\,dx$

   끝이 뒤집혀 있으므로 $-\dfrac13$ 입니다.
4. $\int_0^1 x\,dx$ 가 가리키는 평균 높이

   폭이 1이므로 $\dfrac12\div1=\dfrac12$ 입니다. $y=x$ 는 0에서 1까지 곧게 오르므로 가운데 값이 평균이 되는 것이 그림과도 맞습니다.
5. $\int_{-1}^{1} x^5\,dx$

   $x^5$ 은 원점 대칭이라 0입니다. $(-1)^5=-1$ 이고 $1^5=1$ 로 부호만 반대입니다.

정리

• 곡선 아래 넓이는 폭이 같은 직사각형으로 덮어 더해 잽니다. 그 합이 리만합 입니다.
• 높이를 왼쪽 끝에서 재면 모자라고 오른쪽 끝에서 재면 넘칩니다. 참값은 그 사이 이고 그 폭이 정확히 $\dfrac1n\bigl(f(1)-f(0)\bigr)$ 이라, 참값을 몰라도 소수 몇째 자리까지 믿을 수 있는지가 정해집니다.
• 칸의 가운데에서 재면 넘친 만큼과 모자란 만큼이 칸 안에서 깎여 훨씬 빨리 좁혀집니다 — 오른끝이 $\dfrac1n$ 으로 줄 때 중점은 $\dfrac{1}{n^2}$ 으로 줍니다.
• 칸이 $n$ 개일 때의 합을 시그마 공식으로 접으면 $S_n=\dfrac13\left(1+\dfrac1n\right)\left(1+\dfrac{1}{2n}\right)$ 이고, 극한을 씌우면 정확히 $\dfrac13$ 입니다. 왼끝으로 접은 $L_n$ 도 같은 곳으로 갑니다.
• 이 값을 $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ 로 적습니다. $\int$ 는 늘여 쓴 S, 아래위는 적분 구간, 가운데는 피적분함수, $dx$ 는 가늘게 쪼갠 폭 입니다. 적분변수는 답에 안 남는 더미 변수 입니다.
• 정적분은 부호를 붙인 넓이라, 칠해진 넓이 자체를 구하려면 축을 지나는 자리에서 구간을 갈라야 합니다. 원점 대칭인 함수는 $-a$ 부터 $a$ 까지가 0입니다.
• 규칙 셋 — 상수배와 합은 그대로 통과하고, 구간은 쪼개 더할 수 있고 끝을 바꾸면 부호가 뒤집힙니다. 그리고 정적분을 폭으로 나누면 그 구간의 평균 높이 가 나옵니다.

$\dfrac13$ 하나 구하는 데 시그마 공식과 극한이 필요했습니다. $\sqrt{x}$ 나 $\dfrac1x$ 은 그 공식조차 없어서 표를 채우다 말았습니다. 다음 글은 이 계산을 한 줄에 끝내는 도구를 만듭니다.

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읽어주셔서 감사합니다. 😊